2022-2023學(xué)年四川省宜賓市校高二年級上冊學(xué)期第三學(xué)月考試數(shù)學(xué)（文）試題【含答案】

2022-2023學(xué)年四川省宜賓市第四中學(xué)校高二上學(xué)期第三學(xué)月考試數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．不等式的解集為（

）A．或 B．C．或 D．【答案】B【解析】由可得異號，分類討論解不等式組可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以或，解得或，綜上可得，不等式的解集為，故選：B.2．某工廠從一批產(chǎn)品中抽取一個容量為的樣本，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)分成，，，，四組，得到頻率分布直方圖如圖所示．若樣本數(shù)據(jù)落在內(nèi)的個數(shù)是66，則（

）A．150 B．300 C．600 D．1200【答案】A【解析】先由頻率分布直方圖求出數(shù)據(jù)落在內(nèi)的頻率，再由頻率等于頻數(shù)除以總數(shù)，可求得的值【詳解】由圖可知樣本數(shù)據(jù)落在內(nèi)的頻率為，則．故選：A3．某校有學(xué)生800人，其中女生有350人，為了解該校學(xué)生的體育鍛煉情況，按男、女學(xué)生采用分層抽樣法抽取容量為80的樣本，則男生抽取的人數(shù)是（

）A．35 B．40 C．45 D．60【答案】C【解析】利用分層抽樣的定義直接求解即可【詳解】由題意可得男生抽取的人數(shù)是．故選：C4．拋物線的準(zhǔn)線方程是

A．x=1 B．x=-1 C． D．【答案】C【分析】先把拋物線方程整理成標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而求得p，再根據(jù)拋物線性質(zhì)得出準(zhǔn)線方程．【詳解】解：整理拋物線方程得，∴p＝∵拋物線方程開口向上，∴準(zhǔn)線方程是y＝﹣故答案為C．【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題．5．若圓與直線相切，則（

）A．3 B．或3 C． D．或【答案】B【分析】根據(jù)圓與與直線相切，利用圓心到直線的距離等于半徑求解.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則圓心為，半徑為，因?yàn)閳A與與直線相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，解得或，故選：B6．設(shè)直線，．若，則的值為（

）A．或 B．或 C． D．【答案】A【分析】由兩直線垂直可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?，則，解得或.故選：A.7．在棱長為1的正方體中，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知，得，，，，，所以在上的投影為，所以點(diǎn)到直線的距離為故選：B8．橢圓與曲線有（

）A．相同的離心率 B．相同的焦距C．相同的漸近線 D．相同的頂點(diǎn)【答案】B【分析】先求出的頂點(diǎn)，焦距，離心率，在分析不同的參數(shù)范圍下，曲線的頂點(diǎn)，焦距，離心率，由于橢圓沒有漸近線，該曲線也無需分析漸近線，對比選項(xiàng)分析可得結(jié)果.【詳解】在橢圓中，，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，焦距是8，離心率是；對于曲線，當(dāng)，曲線化為，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，長軸長為，短軸長為，其焦距為8，而離心率，頂點(diǎn)坐標(biāo)都跟取值有關(guān)；當(dāng)，即，則曲線化為，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，長軸長為，短軸長為，其焦距是8，而離心率，頂點(diǎn)都和取值有關(guān).綜上分析可知，且與橢圓有相等的焦距.結(jié)合選項(xiàng)可知B正確.故選：B9．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻面系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之比為，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知，點(diǎn)滿足，則直線被點(diǎn)的軌跡截得的弦長為(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè),利用兩點(diǎn)間距離公式代入化簡得到點(diǎn)的軌跡，再聯(lián)立軌跡與直線得弦長.【詳解】設(shè),則,整理得,與直線聯(lián)立得,∴弦長為.故選:A.10．若橢圓的弦恰好被點(diǎn)平分，則所在的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】判斷點(diǎn)M與橢圓的位置關(guān)系，再借助點(diǎn)差法求出直線AB的斜率即可計(jì)算作答.【詳解】顯然點(diǎn)在橢圓內(nèi)，設(shè)點(diǎn)，依題意，，兩式相減得：，而弦恰好被點(diǎn)平分，即，則直線AB的斜率，直線AB：，即，所以所在的直線方程為.故選：D11．已知長方體的頂點(diǎn)，，，，在球的表面上，頂點(diǎn)，，，，在過球心的一個平面上，若，，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】把兩個這樣的長方體疊放在一起，構(gòu)成一個長寬高分別為，8，8的長方體，則球就是該長方體的外接球，根據(jù)長方體外接球的直徑等于體對角線的長，求出直徑，即可得出球的表面積.【詳解】如下圖所示：把兩個這樣的長方體疊放在一起，構(gòu)成一個長寬高分別為，8，8的長方體，則球就是該長方體的外接球，根據(jù)長方體的結(jié)構(gòu)特征可得，其外接球直徑等于體對角線的長，所以球的半徑滿足，所以球的表面積.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查幾何體外接球的表面積，熟記長方體結(jié)構(gòu)特征，其外接球的球心和半徑與長方體的關(guān)系，以及球的表面積公式，是解決此類問題的關(guān)鍵.12．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，以拋物線上不同兩點(diǎn)、為直徑的圓恰好過焦點(diǎn)，直線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)恰好在軸上，則該圓的半徑為（

）A．3B．6C．D．【答案】C【分析】設(shè)直線：，與拋物線聯(lián)立，用設(shè)而不求法表示出，解出，求出圓的半徑.【詳解】準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故直線可設(shè)為：，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線得方程組，化簡得，所以，，由得，解得，故圓的半徑為．故選：C二、填空題13．雙曲線的漸近線方程為______．【答案】【分析】將雙曲線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得到且，利用雙曲線漸近線方程，可得結(jié)果．【詳解】把雙曲線化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，且，雙曲線的漸近線方程為，即故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查利用雙曲線的方程求漸近線方程，意在考查對基礎(chǔ)知識的掌握情況，屬于基礎(chǔ)題．若雙曲線方程為，則漸近線方程為；若雙曲線方程為，則漸近線方程為.14．已知滿足約束條件，則的最小值為___________．【答案】【分析】根據(jù)題意，作出可行域，進(jìn)而根據(jù)幾何意義求解即可.【詳解】解：作出可行域如圖，將變形為，所以根據(jù)幾何意義，當(dāng)直線過點(diǎn)時，有最小值，所以聯(lián)立方程得，所以的最小值為故答案為：15．已知，且，則的最小值為______.【答案】9【分析】由題意可得，化簡后利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為9，故答案為：916．已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過的直線與的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為，若，，則的離心率為________.【答案】2【解析】首先根據(jù)可得，可計(jì)算，結(jié)合可得是等腰三角形，且，再由漸進(jìn)線的斜率可計(jì)算出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，利用結(jié)合可得之間的關(guān)系，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，即所以為點(diǎn)到漸近線的距離，，所以，可得點(diǎn)為的中點(diǎn)，又因?yàn)?，所以，所以，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，，則，因?yàn)?，所以，所以，，所以，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，，將代入整理可得：即，所以，可得，解得：或（舍），故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓離心率的方法：（1）直接利用公式；（2）利用變形公式；（3）根據(jù)條件列出關(guān)于的齊次式，兩邊同時除以，化為關(guān)于離心率的方程即可求解.三、解答題17．設(shè)p：；q：關(guān)于x的方程無實(shí)根.(1)若q為真命題，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)若是假命題，且是真命題，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)命題的真假，結(jié)合一元二次方程無實(shí)根，列出的不等式，即可求得結(jié)果；（2）求得命題為真對應(yīng)的的范圍，結(jié)合命題一個為真命題一個為假命題，即可列出的不等式組，求解即可.【詳解】（1）若q為真命題，則，解得，即實(shí)數(shù)k的取值范圍為.（2）若p為真，，解得，由是假命題，且是真命題，得：p、q兩命題一真一假，當(dāng)p真q假時，或，得，當(dāng)p假q真時，，此時無解.綜上的取值范圍為.18．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，解關(guān)于的不等式；（2）若正數(shù)滿足，且對于任意的，恒成立求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）答案詳見解析；（2）.【解析】（1）當(dāng)時，，用分類討論的思想解不等式即可得到答案.（2）對于任意的恒成立，則，由一元二次函數(shù)圖像的性質(zhì)得，利用基本不等式可得，利用基本不等式等號成立的條件，結(jié)合已知條件即可得到答案.【詳解】（1）當(dāng)時，，則不等式等價于，①

當(dāng)時，，解得；②

當(dāng)時，，解得；③

當(dāng)時，，解得.綜上所述，當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為.（2）函數(shù)的圖像是開口向上，對稱軸為的拋物線，因?yàn)?，所?所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上的最小值為，依題對于任意的恒成立，所以即，又，所以當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.又依題有所以，所以.所以滿足條件的的值為.【點(diǎn)睛】本題第一問主要考查一元二次不等式的解，涉及分類討論思想，第二問主要考查恒成立問題和基本不等式，屬于中等題.19．已知圓：（1）若圓的切線在軸和軸上的截距相等，且截距不為零，求此切線的方程；（2）若從圓外一點(diǎn)向該圓引切線和（，為切點(diǎn)），求弦長的大小.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）先把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出圓心和半徑，再利用已知條件設(shè)切線的方程為，利用圓心到直線的距離公式求解即可得解；（2）設(shè)，中點(diǎn)為，在以及中，求出，得到，最后利用勾股定理求解即可.【詳解】解：（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑，因?yàn)閳A的切線在軸和軸上的截距相等，且截距不為零，所以可設(shè)切線的方程為，于是圓心到直線的距離，解得或1，所以切線方程為或（2）如圖，設(shè)，中點(diǎn)為，在中，，，所以，在中，，故，解得，所以，于是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓的弦長的求法：（1）幾何法，設(shè)圓的半徑為，弦心距為，弦長為，則；（2）代數(shù)法，設(shè)直線與圓相交于，，聯(lián)立直線與圓的方程，消去得到一個關(guān)于的一元二次方程，從而可求出，，根據(jù)弦長公式，即可得出結(jié)果.20．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程是.（1）求拋物線的方程；（2）過點(diǎn)且傾斜角為的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，求；（3）設(shè)點(diǎn)在拋物線上，且，求的面積（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）根據(jù)準(zhǔn)線方程得，即可求出拋物線方程；（2）根據(jù)拋物線焦點(diǎn)弦的弦長公式求解；（3）根據(jù)求出的坐標(biāo)即可得出三角形的面積.【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程是，所以，即，故拋物線的方程為；（2）因?yàn)橹本€過點(diǎn)，且傾斜角為，所以直線的方程是，聯(lián)立，整理得，設(shè)，，則，故；（3）設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，將代入方程，解得，則的面積為.【點(diǎn)睛】此題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，通過方程求解弦長和點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而求出三角形面積.21．如圖，三棱錐中，AD⊥底面BCD，底面BCD是等邊三角形，AD＝BD＝1，M為BC中點(diǎn).(1)證明：平面ABC⊥平面ADM；(2)求點(diǎn)M到平面ABD的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，證明BC⊥平面ADM,再根據(jù)面面垂直的判定定理證明平面ABC⊥平面ADM；（2）根據(jù)，即利用等體積法求得答案.【詳解】（1）證明：∵AD⊥底面BCD，∴AD⊥BC,又∵底面BCD為等邊三角形，M為BC中點(diǎn)，∴DM⊥BC,且，平面ADM,∴BC⊥平面ADM,又平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADM；（2）設(shè)點(diǎn)M到平面ABD的距離為d，,由得：，即，故，∴點(diǎn)M到平面ABD的距離為.22．已知橢圓()的左、右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)為的上頂點(diǎn)，點(diǎn)在上，，且.（1）求的方程；（2）已知過原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，垂直于的直線過且與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)，由已知，求得的坐標(biāo)為，代入橢圓方程，得；再由，求得，結(jié)合，求出值，即可求得結(jié)論；（2）先討論直線斜率不存在和斜率為0的情況，驗(yàn)證不滿足條件，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，消元，由韋達(dá)定理和相交弦長公式，