2022-2023學(xué)年浙江省杭師大附中高一年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年浙江省杭師大附中高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)全集，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由補(bǔ)集、交集定義運(yùn)算即可.【詳解】由題意知，，則，故選：B2．函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【分析】偶次根式要求被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，便可求得定義域.【詳解】要使函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：B3．設(shè)，且則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)或0舉反例，結(jié)合不等式的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可.【詳解】對(duì)A，當(dāng)時(shí)，但，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，但，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，則，故D正確；故選：D4．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】首先解分式不等式，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，，，或，?dāng)時(shí)，或一定成立，所以“”是“”的充分條件；當(dāng)或時(shí)，不一定成立，所以“”是“”的不必要條件.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A5．已知命題p：，則它的否定為（

）A．?x>0，x2<2 B．?x≤0，x2<2C．?x≤0，x2<2 D．?x>0，x2<2【答案】D【分析】全稱命題的否定是存在量詞命題，把任意改為存在，把結(jié)論否定.【詳解】的否定是.故選：D6．下面各組函數(shù)中是同一函數(shù)的是（

）A．與B．與C．與D．與【答案】C【分析】分別分析各個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的定義域，值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系，即可得出答案.【詳解】A．函數(shù)的定義域?yàn)?，，兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則不相同，不是同一函數(shù)，B．，定義域?yàn)椋瘮?shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)C．兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同，是同一函數(shù)D．由得得，由得或，兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)，故選：C．7．設(shè)命題p：，x若是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C．(- D．(-【答案】B【分析】寫出命題的否定，根據(jù)命題的否定為真，可轉(zhuǎn)化為，利用均值不等式求最小值即可得解.【詳解】命題p：，x所以：，，由是真命題可得，，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，故選：B8．某金店用一桿不準(zhǔn)確的天平（兩邊臂不等長）稱黃金，某顧客要購買黃金，售貨員先將的砝碼放在左盤，將黃金放于右盤使之平衡后給顧客；然后又將的砝碼放入右盤，將另一黃金放于左盤使之平衡后又給顧客，則顧客實(shí)際所得黃金（

）A．大于 B．小于 C．等于 D．以上都有可能【答案】A【分析】根據(jù)杠桿原理以及基本不等式即可求解.【詳解】由于天平兩邊臂不相等，故可設(shè)天平左臂長為a，右臂長為b（不妨設(shè)），第一次稱出的黃金重為，第二次稱出的黃金重為由杠杠平衡原理可得，，所以，這樣可知稱出的黃金大于.故選:A二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．的最小值為2 B．的最小值為1C．的最大值為2 D．最小值為【答案】BD【分析】A選項(xiàng)，舉出反例；B選項(xiàng)，利用得到；C選項(xiàng)，配方法得到，從而求出最大值為1；D選項(xiàng)，變形后利用基本不等式求出最小值.【詳解】當(dāng)時(shí)，無最小值，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故B正確；，所以的最大值為1，C錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，D正確.故選：BD10．下列函數(shù)中是偶函數(shù)的有（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再判斷是否成立.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，設(shè)，則，因?yàn)榈亩x域?yàn)椴⑶遥允嵌x在上的偶函數(shù).對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)則的自變量滿足即，所以定義域?yàn)?，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為非奇非偶函數(shù).對(duì)于C項(xiàng)，設(shè)則，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，并且，所以是定義在上的奇函數(shù).對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)則，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，并且，所以是定義在上的偶函數(shù).故選：AD11．若函數(shù)存在最大值，則實(shí)數(shù)a可能的值是（

）A． B． C．1 D．2【答案】BCD【分析】求出二次函數(shù)部分的對(duì)稱軸，再討論a與對(duì)稱軸的大小，求出a的的取值范圍即可得到答案【詳解】解：圖象的對(duì)稱軸方程為，①當(dāng)，時(shí)，有最大值，又，所以，所以此時(shí)有最大值1；②當(dāng)，時(shí)，有最大值，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，所以，所以要有最大值，得，解得，與矛盾，舍去，綜上，當(dāng)時(shí)，有最大值，故選：BCD．12．已知關(guān)于x的不等式a≤x2－3x＋4≤b，下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)a＜b＜1時(shí)，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集為?B．當(dāng)a＝1，b＝4時(shí)，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集為{x|0≤x≤4}C．當(dāng)a＝2時(shí)，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集可以為{x|c≤x≤d}的形式D．不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集恰好為{x|a≤x≤b}，那么b＝【答案】AB【分析】A.由x2－3x＋4≤b得3x2－12x＋16－4b≤0，根據(jù)b＜1，利用判別式判斷；B.令a＝1，b＝4，利用一元二次不等式的解法判斷；C.在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋1的圖象及直線y＝a和y＝b判斷；D．根據(jù)a≤x2－3x＋4≤b的解集為{x|a≤x≤b}，則a≤ymin，x＝a，x＝b時(shí)函數(shù)值都是b．然后分別由b2－3b＋4＝b，a2－3a＋4＝b求解判斷．【詳解】由x2－3x＋4≤b得3x2－12x＋16－4b≤0，又b＜1，所以Δ＝48(b－1)＜0．所以不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集為?，故A正確；當(dāng)a＝1時(shí)，不等式a≤x2－3x＋4為x2－4x＋4≥0，解集為R，當(dāng)b＝4時(shí)，不等式x2－3x＋4≤b為x2－4x≤0，解集為{x|0≤x≤4}，故B正確；在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋1的圖象及直線y＝a和y＝b，如圖所示．由圖知，當(dāng)a＝2時(shí)，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集為{x|xA≤x≤xC}∪{x|xD≤x≤xB}的形式，故C錯(cuò)誤；由a≤x2－3x＋4≤b的解集為{x|a≤x≤b}，知a≤ymin，即a≤1，因此當(dāng)x＝a，x＝b時(shí)函數(shù)值都是b．由當(dāng)x＝b時(shí)函數(shù)值是b，得b2－3b＋4＝b，解得b＝或b＝4．當(dāng)b＝時(shí)，由a2－3a＋4＝b＝，解得a＝或a＝，不滿足a≤1，不符合題意，故D錯(cuò)誤．故選：AB【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式與二次函數(shù)，二次方程的關(guān)系及應(yīng)用，屬于中檔題.三、填空題13．已知，則____________．【答案】39【分析】求出函數(shù)的解析式即得解.【詳解】解：設(shè)，所以.所以.故答案為：3914．函數(shù)的增區(qū)間為______．【答案】【分析】先求函數(shù)的定義域，再求函數(shù)的增區(qū)間，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的同增異減原則即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，設(shè)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.故答案為：.15．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為____________．【答案】【分析】由基本不等式可求得答案.【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.故答案為：.16．已知函數(shù)，則不等式的解集是____________．【答案】##【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，再利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性得，解不等式即可得解集.【詳解】因?yàn)?，所以是偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，，易知函數(shù)在為增函數(shù)，又，為偶函數(shù)，不等式等價(jià)于，又在為增函數(shù)，得，即，解得.即的解集為.故答案為：四、解答題17．已知不等式的解集為A，不等式的解集為B．(1)求；(2)若不等式的解集為，求不等式的解集．【答案】(1)；(2)R.【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式和分式不等式的解法求出集合，結(jié)合交集的定義和運(yùn)算即可求解；（2）根據(jù)一元二次不等式的解集和一元二次方程根的關(guān)系求出，，利用一元二次不等式的解法即可求解.【詳解】（1）由，解得，所以，由，得，解得，所以，所以；（2）由(1)知，由題意得：-1和2是方程的兩個(gè)實(shí)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得，，解得，，所以不等式化為，即，則，所以不等式的解集為R.18．已知集合，，（1）若，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；【答案】（1）；（2）或【分析】（1），可得，求出a，驗(yàn)證即可求實(shí)數(shù)a的值.（2）由已知求出集合A，由，推出，通過B為空集，不是空集分別列出a的關(guān)系式，得到關(guān)于a的不等式或不等式組，解不等式組，求解，即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，將代入，得，?dāng)代入，得，此時(shí)，故舍去；當(dāng)代入，得，此時(shí)，故成立；因?yàn)?，所以B可能為，當(dāng)時(shí)，解得當(dāng)時(shí)a無解；當(dāng)時(shí)a無解；當(dāng)時(shí)，解得；綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是或19．已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．(1)求函數(shù)在上的解析式；(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)在上單調(diào)遞減．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以有，當(dāng)時(shí)，，所以；（2），當(dāng)時(shí)，即因?yàn)?，所以，因此，故，于是在上單調(diào)遞減．20．已知命題p：“，”是假命題．（1）求實(shí)數(shù)m的取值集合B；（2）設(shè)集合，若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）分離出m，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值，求出，求出m的范圍．（2）通過對(duì)一元二次不等式對(duì)應(yīng)的兩個(gè)根大小的討論，寫出集合A，“是的必要不充分條件，”即，求出a的范圍即可【詳解】（1）由題意，命題：“，都有不等式成立”是真命題，得在恒成立，∴，由于二次函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸為，故在取得最大值得，即；（2）不等式，①當(dāng)，即時(shí)，解集，若是的必要不充分條件，則，∴，即，即②當(dāng)即時(shí)解集，若是的必要不充分條件，則成立，③當(dāng)，即時(shí)解集，若是的必要不充分條件，則成立，∴，此時(shí)．綜上①②③：實(shí)數(shù)a的取值范圍為．21．某校課外興趣小組的學(xué)生為了給學(xué)校邊的一口被污染的池塘治污，他們通過實(shí)驗(yàn)后決定在池塘中投放一種能與水中的污染物質(zhì)發(fā)生化學(xué)反應(yīng)的藥劑．已知每投放個(gè)單位的藥劑，它在水中釋放的濃度（克/升）隨著時(shí)間（天）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為，其中若多次投放，則某一時(shí)刻水中的藥劑濃度為各次投放的藥劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)水中藥劑的濃度不低于4（克/升）時(shí)，它才能起到有效治污的作用．(Ⅰ)若一次投放4個(gè)單位的藥劑，則有效治污時(shí)間可達(dá)幾天？(Ⅱ)若第一次投放2個(gè)單位的藥劑，6天后再投放個(gè)單位的藥劑，要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效治污，試求的最小值．【答案】（Ⅰ）有效治污的時(shí)間可達(dá)8天；（Ⅱ）的最小值為1【詳解】試題分析：（Ⅰ）先由可得在水中釋放的濃度再分別分段求出水中藥劑的濃度不低于4（克/升）時(shí)的天數(shù)，從而得出有效治污的時(shí)間可達(dá)8天；（Ⅱ）先得出模型當(dāng)時(shí)，，然后由基本不等式知，再由，解得，即的最小值為1.試題解析：（I）∵∴．2分當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí)．4分綜上，得．故若一次投放4個(gè)單位的藥劑，則有效治污的時(shí)間可達(dá)8天．6分（II）當(dāng)時(shí)，，9分又，，則．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).令，解得，故所求的最小值為1．14分【解析】1.函數(shù)模型的應(yīng)用；2.基本不等式的應(yīng)用22．對(duì)于函數(shù),存在實(shí)數(shù),使,成立,則稱為關(guān)于參數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).(1)當(dāng),時(shí),求關(guān)于參數(shù)1的不動(dòng)點(diǎn);(2)當(dāng),時(shí),函數(shù)在上存在兩個(gè)關(guān)于參數(shù)的相異的不動(dòng)點(diǎn),試求參數(shù)的取值范圍;(3)對(duì)于任意的,總存在,使得函數(shù)有關(guān)于參數(shù)的兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn),試求的取值范圍.【答案】(1)和3(2)(3)【分析】(1)當(dāng),時(shí),結(jié)合已知可得,解方程可求;(2)當(dāng),時(shí),轉(zhuǎn)化為問題在上有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解,進(jìn)行分離,結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可求．（3）方程恒有兩個(gè)不等實(shí)根，即，即對(duì)于任意的,總存在使之成立，轉(zhuǎn)化為，令,再