2022-2023學(xué)年江蘇省鹽城市高二年級上冊學(xué)期第二次學(xué)情調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省鹽城市第一中學(xué)高二上學(xué)期第二次學(xué)情調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．過點且傾斜角為的直線在y軸上的截距是（

）A． B．4 C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)傾斜角確定斜率，再根據(jù)已知點和直線斜截式求出直線方程，找到直線截距.【詳解】根據(jù)直線傾斜角為可知直線斜率為，設(shè)直線方程為，將點代入方程，得出方程，由此看出直線在y軸上的截距是.故選:A2．已知雙曲線的焦距為，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由雙曲線的性質(zhì)根據(jù)焦距求得，從而可得漸近線方程．【詳解】由題意，又，故解得．∴漸近線方程為，故選：C．3．中國古代有一個問題為“今有竹九節(jié)，下三節(jié)容量四升，上四節(jié)容量三升.問中間二節(jié)欲均容各多少?”其中“欲均容”的意思是使容量變化均勻，即由下往上均勻變細.該問題中由上往下數(shù)的第2節(jié)，第3節(jié)，第8節(jié)竹子的容積之和為（

）A．升 B．升 C．升 D．升【答案】B【分析】設(shè)自上而下依次設(shè)各節(jié)竹子的容積分別為升，升，……，升，則數(shù)列，，……，為等差數(shù)列，再由已知條件列方程組，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)自上而下依次設(shè)各節(jié)竹子的容積分別為升，升，……，升，則數(shù)列，，……，為等差數(shù)列，由題意得，因為，所以，所以，所以第2節(jié)，第3節(jié)，第8節(jié)竹子的容積之和為升，故選：B4．由直線上的點向圓引切線，則切線長的最小值為A． B． C． D．【答案】B【分析】過圓心作直線的垂線，垂線與直線的交點向圓引切線，切線長最?。驹斀狻繄A心,半徑，圓心到直線的距離則切線長的最小值【點睛】本題考查圓的切線長，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．5．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A、B兩點．若AB的中點坐標為(1，－1)，則E的方程為A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝1【答案】D【詳解】設(shè)、，所以，運用點差法，所以直線的斜率為，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，所以；又因為，解得.【考點定位】本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力.6．設(shè)等差數(shù)列，的前n項和分別為，，若，則為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得，此由可得結(jié)論．【詳解】是等差數(shù)列，則，∴．故選：C．7．已知拋物線的焦點為F，準線為l，點在C上，過P作l的垂線，垂足為Q，若，則F到l的距離為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合條件表示出的長度，然后列出方程即可得到結(jié)果.【詳解】如圖，不妨令在軸上方，準線l與軸交點為，因為點在C上，根據(jù)拋物線定義可得，且，則，所以為等腰三角形，且，在中，，即解得，即F到l的距離為.故選:C.8．已知橢圓的左、右焦點分別為、，經(jīng)過的直線交橢圓于，，的內(nèi)切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對變形得到，進而得到以，結(jié)合橢圓定義可求出，，，由余弦定理求解關(guān)系式，求出離心率.【詳解】因為，所以，如圖，在上取一點M，使得，連接，則，則點I為AM上靠近點M的三等分點，所以，所以，設(shè)，則，由橢圓定義可知：，即，所以，所以，，故點A與上頂點重合，在中，由余弦定理得：，在中，，解得：，所以橢圓離心率為.故選：A【點睛】對于求解圓錐曲線離心率問題，要結(jié)合題目中的條件，直接求出離心率或求出的齊次方程，解出離心率，本題的難點在于如何將進行轉(zhuǎn)化，需要作出輔助線，結(jié)合內(nèi)心的性質(zhì)得到三角形三邊關(guān)系，求出離心率.二、多選題9．下列說法中正確的是（

）A．若b2=ac，則a，b，c成等比數(shù)列B．等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù)C．數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*，都有D．若一個常數(shù)列是等比數(shù)列，則這個數(shù)列的公比是1【答案】CD【分析】A.舉數(shù)列0，0，0判斷；B.舉數(shù)列1，1，1，…，判斷；C.由等差數(shù)列的定義判斷；D.由等比數(shù)列的定義判斷.【詳解】A.如數(shù)列0，0，0，滿足b2=ac，但a，b，c不成等比數(shù)列，故錯誤；B.如數(shù)列1，1，1，…，是等差數(shù)列，其前n項和為n，不是常數(shù)項為0的二次函數(shù)，故錯誤；C.若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則，即，故必要，若，即為，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列，故充分，故正確；D.若一個常數(shù)列是等比數(shù)列，即，則這個數(shù)列的公比是，故正確；故選：CD10．嫦娥四號月球探測器于2018年12月8日搭載長征三號乙運載火箭在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射.12日下午4點43分左右，嫦娥四號順利進入了以月球球心為一個焦點的橢圓形軌道，如圖中軌道③所示，其近月點與月球表面距離為100公里，遠月點與月球表面距離為400公里，已知月球的直徑約為3476公里，對該橢圓下述四個結(jié)論正確的是A．焦距長約為300公里 B．長軸長約為3988公里C．兩焦點坐標約為 D．離心率約為【答案】AD【解析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)及月球直徑，分別求得橢圓的和月球半徑，即可確定長軸長、焦距和離心率，因為沒有建立坐標系，所以不能得到焦點坐標，即C不正確.【詳解】設(shè)該橢圓的半長軸長為，半焦距長為.依題意可得月球半徑約為，，，，，，橢圓的離心率約為，可得結(jié)論A、D項正確，B項錯誤；因為沒有給坐標系，焦點坐標不確定，所以C項錯誤.綜上可知，正確的為AD，故選：AD.【點睛】本題考查了橢圓幾何性質(zhì)的實際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為Sn，公差為d．已知，S12＞0，，則（）A． B．C．Sn＜0時，n的最小值為14 D．數(shù)列中最小項為第7項【答案】ABD【分析】求得的正負情況判斷選項A；求得公差的取值范圍判斷選項B；求得Sn＜0時，n的最小值判斷選項C；求得數(shù)列中最小項判斷選項D.【詳解】等差數(shù)列的前n項和為Sn，首項為，公差為d．由S12＞0，可得，則又，則，則選項A判斷正確；由，S12＞0，，可得，解之得，則選項B判斷正確；由可得或（舍）由，可得，則Sn＜0時，n的最小值為13.則選項C判斷錯誤；由時，，時，，時，，時，，可得時，，，，時，二次函數(shù)開口向下，過原點，對稱軸則在時，單調(diào)遞減，且又時，為遞減數(shù)列，為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列則在時，數(shù)列為遞增數(shù)列，則時取得最小值.則數(shù)列中最小項為第7項，則選項D判斷正確.故選：ABD12．已知拋物線：，過其準線上的點作的兩條切線，切點分別為A，B，下列說法正確的是（

）A． B．當時，C．當時，直線的斜率為2 D．直線過定點(0,1)【答案】ABD【分析】A選項：根據(jù)為準線上的點列方程，解方程即可得到；B選項：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到過點的切線斜率，然后利用斜率列方程得到，同理得到，即可得到，為方程的解，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和韋達定理得到，即可得到；C選項：利用韋達定理和斜率公式求即可；D選項：聯(lián)立和得到，同理可得，即可得到直線的方程為，恒過.【詳解】因為為準線上的點，所以，解得，故A正確；根據(jù)拋物線方程得到，則，設(shè)切點坐標為，，則，整理得，同理得，所以，為方程的解，，所以，則，故B正確；由B選項得，所以，故C錯；由B選項得，又，聯(lián)立得，同理得，所以直線的方程為，恒過點，故D正確.故選：ABD.三、填空題13．若拋物線的準線經(jīng)過雙曲線的一個焦點，則____．【答案】【詳解】試題分析：由題設(shè)可得雙曲線的一個焦點是,故,故應(yīng)填.【解析】拋物線和雙曲線的幾何性質(zhì)及運用．14．等差數(shù)列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為_____．【答案】210【詳解】試題分析：設(shè)前3m項和為x，則30，100﹣30，x﹣100成等差數(shù)列，解出x的值，即為所求．解：等差數(shù)列{an}的每m項的和成等差數(shù)列，設(shè)前3m項和為x，則30，100﹣30，x﹣100成等差數(shù)列，故2×70=30+（x﹣100），x=210，故答案為210．【解析】等差數(shù)列的性質(zhì)．15．若直線上存在一點P，圓上存在一點Q，滿足，則實數(shù)k的取值范圍為________．【答案】【分析】設(shè)，由得，由Q在圓上、P在直線上，聯(lián)立圓與直線方程，由有解得，求解即可.【詳解】設(shè)，，∴，∵Q在圓上，∴，聯(lián)立得，由有解得，解得.故答案為：.四、雙空題16．歷史上第一個研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年-325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：如圖甲，從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，其中法線表示與橢圓C的切線垂直且過相應(yīng)切點的直線，如圖乙，橢圓C的中心在坐標原點，焦點為，由發(fā)出的光經(jīng)橢圓兩次反射后回到經(jīng)過的路程為．利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決以下問題：（1）橢圓C的離心率為__________．（2）點P是橢圓C上除頂點外的任意一點，橢圓在點P處的切線為在l上的射影H在圓上，則橢圓C的方程為__________．【答案】

##0.5

【分析】(1)由題意得到關(guān)于a,c的等式,然后結(jié)合離心率的定義即可確定橢圓的離心率;(2)由題意利用幾何關(guān)系求得a,b的值即可求得橢圓方程.【詳解】設(shè)橢圓C的長軸長為2a(a>0),則由F1發(fā)出的光經(jīng)橢圓兩次反射后回到F1，經(jīng)過的路程為，從而；如圖示：延長,交于點F0.在△中,PH⊥F0F2,由反射角等于入射角，可得：,則且H為中點.在△中,則,∴,所以橢圓方程為.故答案為：；.五、解答題17．在中，已知點，邊上的中線所在直線的方程為，邊上的高所在直線的方程為.（1）求直線的方程；（2）求點的坐標.【答案】（1）（2）【分析】（1）先計算，過點，得到答案.（2）聯(lián)立直線方程：解得答案.【詳解】解：（1）由邊上的高所在直線方程為得，則.又∵，∴直線的方程為，即（或）.（2）因為邊上的中線過點，則聯(lián)立直線方程：.解得：，即點坐標為.【點睛】本題考查了直線方程，意在考查學(xué)生的計算能力.18．有下列3個條件：①；②；③，，成等比數(shù)列.從中任選1個，補充到下面的問題中并解答問題：設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)的最小值并指明相應(yīng)的的值．【答案】(1)；(2)=5或者6時，取到最小值.【分析】（1）由已知可得，則是公差為2的等差數(shù)列，若選①，則由列方程可求出，從而可求出通項公式；若選②，則由列方程可求出，從而可求出通項公式；若選③，則由，，成等比數(shù)列可得，由此可求出，從而可求出通項公式；（2）由（1）可得，再由二次函數(shù)的性質(zhì)可求出其最小值.【詳解】（1）因為,所以，即是公差為2的等差數(shù)列，選擇條件①：因為，所以，則，解得，所以；選擇條件②：因為，所以，解得，所以；選擇條件③：因為，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以；（2）由（1）可知，，所以，因為，

所以當或者6時，取到最小值，即19．等差數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知求出和公差，再由等差數(shù)列通項公式求解即可；（2）寫出的通項公式，可知當時，，當時，；再利用求和公式分別在兩個范圍內(nèi)求解.【詳解】（1）由題意得：，解得，；（2），當時，，；時，，；當時，；當時，；即，綜上所述：.20．已知圓：，直線是過原點O的一條動直線，且與圓交于A，B兩點.(1)若A，B恰好將圓分成長度之比為1：2的兩段圓弧，求的斜率；(2)記AB的中點為M，在繞著原點O旋轉(zhuǎn)的過程中，點M在平面內(nèi)形成一段曲線E，求E的長度.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)出直線方程，由題可得，即可得出圓心C到弦AB的距離，利用點到直線的距離公式可求出；（2）由題可得點M在以O(shè)C為直徑的圓上，即可求出.【詳解】（1）設(shè)直線的斜率為，則：，圓：以點為圓心，2為半徑，因為A，B將圓C分成長度之比為1：2的兩段圓弧，所以，又因為半徑，所以圓心C到弦AB的距離為1，，即，解得.（2）由于M為AB中點，過原點O的直線l與圓C交于A，B兩點，由垂徑定理可知，即，所以點M在以O(shè)C為直徑的圓上，設(shè)OC的中點為T，則，所以，所以點M在以為圓心，2為直徑的圓T上，所以，曲線E為圓T在圓C內(nèi)部的部分圓弧，記圓T與圓C的交點為P，Q，易得，所以，所以，所以，即曲線E的長度為.21．在平面直角坐標系xOy中，設(shè)動點M到坐標原點的距離與到x軸的距離分別為d1，d2，且，記動點M的軌跡為Ω.(1)求Ω的方程(2)設(shè)過點(0，－2）的直線l與Ω相交于A，B兩點，當△AOB的面積最大時，求直線l的方程.【答案】(1)(2)，或【分析】（1）利用直譯法即可求得Ω的方程；（2）設(shè)出直線l的方程并與Ω的方程聯(lián)立，利用設(shè)而不求的方法得到△AOB的面積的表達式，再利用均值定理即可求得當△AOB的面積最大時直線l的方程.【詳解】（1）設(shè)，則，，則，故的方程為.（2）依題意，當軸時不合題意，故設(shè)直線：，令，，將代入，整理得，當，即時，，，從而，點到直線的距離，所以的面積，設(shè)，則，，（當且僅當，即（滿足）時等號成立）所以當?shù)拿娣e最大時，，則直線l的方程為.22．如圖，已知拋物線的焦點F，且經(jīng)過點，．(1)求p和m的值；(2)點M，N