2022-2023學(xué)年廣西壯族自治區(qū)北海市高一年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

廣西壯族自治區(qū)北海市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題（每題5分，共40分）1．（5分）已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1}，集合B＝{﹣1，1}，則（?UA）∪（?UB）＝（）A．{2，3} B．{﹣1，0，2，3} C．{﹣1，0，1} D．{1}2．（5分）不等式（﹣x+1）（2x+1）≥0的解集為（）A．{x|﹣＜x＜1} B．{x|x≤﹣或x≥1} C．{x|﹣≤x＜1} D．{x|﹣≤x≤1}3．（5分）命題“?x＞0，x3≥3x+1”的否定是（）A．?x＞0，x3＜3x+1 B．?x＜0，x3≥3x+1 C．?x＞0，x3＜3x+1 D．?x＜0，x3＜3x+14．（5分）函數(shù)，的定義域?yàn)椋ǎ〢．[0，1）∪（1，3） B．[0，3] C．[0，1）∪（1，3] D．（﹣∞，0）∪（3，+∞）5．（5分）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足a+b＝3，則的最小值是（）A． B．4 C．1 D．6．（5分）已知x∈R，則“x＜9”是“x2＜81”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．（5分）已知函數(shù)，且f（5）＝﹣2，則f（﹣5）＝（）A．﹣2 B．2 C．3 D．88．（5分）已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，且f（﹣5）＝0，則滿足（x﹣3）f（x）＞0的x的取值范圍是（）A．（﹣5，0）∪（3，5） B．（﹣5，0）∪（0，5） C．（﹣∞，﹣5）∪（0，5） D．（﹣5，﹣3）∪（3，5）二、多選題（每題5分，共20分）（多選）9．（5分）下列哪些函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)？（）A．f（x）＝ B．f（x）＝x2﹣4x+2，x∈（1，+∞） C．f（x）＝x﹣ D．f（x）＝3x+x3（多選）10．（5分）下列命題正確的有（）A．若a，b，c均為正數(shù)，且b＞a，則有 B．設(shè)f（x）＝，則f（x）為偶函數(shù) C．若x＞0，y＞0，則的最小值是2 D．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮，?x∈I，有f（x）≥M，則f（x）的最小值一定為M（多選）11．（5分）已知，下列關(guān)于f（x）的說法正確的有（）A．y＝f（x）為奇函數(shù) B．f（x）的值域?yàn)閇2，+∞） C．的解集為[3，+∞） D．f（x）在區(qū)間上的值域?yàn)椋ǘ噙x）12．（5分）已知a＞0，b＞0，a2+b2﹣ab＝2，則下列不等式恒成立的是（）A．+≥ B．a(chǎn)+b≥2 C．a(chǎn)3+b3≤4 D．0＜b≤三、填空題（每題5分，共20分）13．（5分）已知3∈{a，a2﹣1，2}，則a的所有可能取值為．14．（5分）已知，則f（6）+f（﹣6）＝．15．（5分）已知函數(shù)f（x）＝，x∈[，2]，則f（x）的值域?yàn)椋?6．（5分）已知函數(shù)f（x2﹣1）的定義域是[﹣2，2]，則f（x+1）的定義域?yàn)椋?、解答題（請(qǐng)寫出必要的解答過程）17．（10分）設(shè)集合M＝{x|2≤x≤4}，N＝{x|a2＜x＜5}．（1）若，求M∪N；（2）若M∩N＝M，求a的取值范圍．18．（12分）（1）化簡(jiǎn)；（2）已知a+b＝6，ab＝4，且a＞b，求的值．19．（12分）已知冪函數(shù)f（x）的圖像過點(diǎn)（3，27）．（1）求f（x）的解析式，并用定義證明其在定義域內(nèi)的單調(diào)性；（2）解關(guān)于t的不等式f（4t2﹣3t﹣1）+f（t﹣t2）＞0．20．（12分）已知函數(shù)為偶函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)m的值；（2）若對(duì)任意的x∈R，總存在y∈R，使得成立，求n的取值范圍．21．（12分）隨著城市城鎮(zhèn)化不斷推進(jìn)，城市居民人口持續(xù)增加．根據(jù)第七次全國人口普查數(shù)據(jù)，預(yù)計(jì)2022年末南寧市人口總量將突破900萬大關(guān)，這使得南寧市交通擁堵問題日益嚴(yán)重．為測(cè)試一路段在晚高峰時(shí)段的車輛通行能力，某課外興趣小組研究了該路段內(nèi)的車流速度v（單位：千米/小時(shí)）和車流密度x（單位：輛/千米）所滿足的關(guān)系式：．研究表明：當(dāng)該路段內(nèi)的車流密度達(dá)到120輛/千米時(shí)造成堵塞，此時(shí)車流速度是0千米/小時(shí)（1）若車流速度v不小于40千米/小時(shí)，求車流密度x的取值范圍；（2）若該路段內(nèi)的車流量y（單位時(shí)間內(nèi)通過該路段的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）滿足y＝x?v，求該路段內(nèi)車流量的最大值，并指出當(dāng)車流量最大時(shí)的車流密度．22．（12分）若函數(shù)g（x）＝ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在區(qū)間[2，3]上有最大值4和最小值1，設(shè)；（1）求a、b的值；（2）關(guān)于x的方程有且僅有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．廣西壯族自治區(qū)北海市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單選題（每題5分，共40分）1．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合補(bǔ)集以及并集的定義，即可求解．【解答】解：全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1}，集合B＝{﹣1，1}，則?UA＝{﹣1，2，3}，?UB＝{0，2，3}，故（?UA）∪（?UB）＝{﹣1，0，2，3}．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查補(bǔ)集以及并集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】根據(jù)題意可將（﹣x+1）（2x+1）≥0轉(zhuǎn)化為（x﹣1）（2x+1）≤0，從而可解．【解答】解：因?yàn)椋ī亁+1）（2x+1）≥0，則（x﹣1）（2x+1）≤0，得﹣，則不等式解集為{x|}，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】直接利用原命題得到命題的否定．【解答】解：命題“?x＞0，x3≥3x+1”的否定是：?x＞0，x3＜3x+1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：命題的否定，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，列出使函數(shù)解析式有意義的不等式組，求出解集即可．【解答】解：，則，解得0≤x＜3且x≠1，故f（x）得定義域?yàn)閇0，1）∪（1，3）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的定義域及其求法，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】根據(jù)給定的條件，利用“1”的妙用及均值不等式可得代數(shù)式的最小值．【解答】解：因正實(shí)數(shù)a，b滿足a+b＝3，可得＝1，所以＝（）?1＝（）?＝（2++）≥（2+2）＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查“1”的活用及基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】根據(jù)x2＜81?﹣9＜x＜9即可判斷．【解答】解：如：﹣10＜9，（﹣10）2＞81；反之，若x2＜81，則﹣9＜x＜9，?x＜9，所以“x＜9”是“x2＜81”的必要不充分條件．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)易邏輯，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】令g（x）＝f（x）﹣3，可證明g（x）是奇函數(shù)，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：由f（x）＝ax3﹣+3，令g（x）＝ax3﹣，因?yàn)間（﹣x）＝a（﹣x）3﹣＝＝﹣ax3+＝﹣g（x），可得g（x）為奇函數(shù)，即g（x）＝f（x）﹣3，所以g（﹣5）＝﹣g（5），所以f（﹣5）＝g（﹣5）+3＝﹣g（5）+3＝﹣[f（5）﹣3]+3＝﹣f（5）+6＝﹣（﹣2）+6＝8，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查奇函數(shù)的平行移動(dòng)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】由函數(shù)的奇偶性，及單調(diào)性，結(jié)合f（﹣5）＝0，可得分別使f（x）＞0，f（x）＜0的區(qū)間，解得不等式的解集．【解答】解：因?yàn)閒（x）是定義在R上的奇函數(shù)，在（0，+∞）單調(diào)遞減，且f（﹣5）＝0，所以f（5）＝0，且f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，所以x∈（﹣∞，﹣5）∪（0，5）時(shí)，f（x）＞0，x∈（﹣5，0）∪（5，+∞）時(shí)，f（x）＜0．由（x﹣3）f（x）＞0，得或，解得3＜x＜5或﹣5＜x＜0，則x的取值范圍是（﹣5，0）∪（3，5）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．二、多選題（每題5分，共20分）9．【分析】由已知結(jié)合基本初等函數(shù)的單調(diào)性分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【解答】解：f（x）＝在定義域[0，+∞）上單調(diào)遞增，A符合題意；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，f（x）＝x2﹣4x+2在（1，+∞）上不單調(diào)，B錯(cuò)誤；f（x）＝x﹣在（0，∞）上單調(diào)遞增，C正確；因?yàn)閥＝3x，y＝x3在R上單調(diào)遞增，故y＝3x+x3在R上單調(diào)遞增，D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)題．10．【分析】利用比較法可檢驗(yàn)選項(xiàng)A；結(jié)合函數(shù)奇偶性定義可檢驗(yàn)選項(xiàng)B；結(jié)合基本不等式可檢驗(yàn)選項(xiàng)C；結(jié)合不等式的恒成立問題可檢驗(yàn)選項(xiàng)D．【解答】解：因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，且b＞a，則＝＞0，故正確；因?yàn)閒（x）＝定義域R且f（﹣x）＝＝＝f（x），則f（x）為偶函數(shù)，B正確；若x＞0，y＞0，則＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取等號(hào)，C正確；函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮，?x∈I，有f（x）≥M，則f（x）min≥M，但最小值不一定為M，D錯(cuò)誤．故選：ABC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了比較法在不等式大小關(guān)系比較中的應(yīng)用，還考查了函數(shù)奇偶性的判斷基本不等式求解最值及不等式的恒成立問題的應(yīng)用，屬于中檔題．11．【分析】根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的函數(shù)性質(zhì)結(jié)合選項(xiàng)條件即可作出判斷．【解答】解：對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以f（x）是奇函數(shù)，則A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)x＞0時(shí)，根據(jù)基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝1時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以當(dāng)x＜0時(shí)f（x）≤﹣2，故f（x）的值域?yàn)椋ī仭?，?]∪[2，+∞），則B不對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，等價(jià)于等價(jià)于，解得或x≥3，則C不對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，由B可知當(dāng)x＜0時(shí)f（x）在x＝﹣1處取最大值，f（﹣1）＝﹣2，最小值在區(qū)間端點(diǎn)處取得，，f（x）在區(qū)間上的值域?yàn)?，故D正確．故選：AD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12．【分析】根據(jù)基本不等式及不等式的基本性質(zhì)解答即可．【解答】解：因?yàn)閍＞0，b＞0，所以ab+2＝a2+b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)取等號(hào)，解得ab≤2，對(duì)于A：＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)取等號(hào)，A正確；對(duì)于B：a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝2，所以（a+b）2﹣2＝3ab≤6，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，解得a+b，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)閍＞0，b＞0，a3+b3＝（a+b）（a2+b2﹣ab）＝2（a+b），C正確；對(duì)于D：由a2﹣ab+b2﹣2＝0，關(guān)于a的一元二次方程有正根，首先Δ＝b2﹣4（b2﹣2）≥0，b＞0，解得：，此時(shí)，符合題意，D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式求最值、解不等式，屬于中檔題．三、填空題（每題5分，共20分）13．【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系分類討論即可求解．【解答】解：分類討論①當(dāng)3＝a，a2﹣1＝8，集合為{3，8，2}，滿足集合的元素具有互異性；②3＝a2﹣1，可解得a＝±2；當(dāng)a＝2時(shí)，與已有元素2重復(fù)，不滿足互異性；當(dāng)a＝﹣2時(shí)，集合為{﹣2，3，2}，滿足集合的元素具有互異性．綜上，a＝3或a＝﹣2．故答案為：3或﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合元素的性質(zhì)，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14．【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，代入數(shù)值求解即可．【解答】解：根據(jù)題意f（6）＝f（6﹣4）＝f（2）＝f（﹣2）＝f（﹣6）＝16；f（6）+f（﹣6）＝2f（﹣6）＝32．故答案為：32．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)值的求解，屬于基礎(chǔ)題．15．【分析】令，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g（t）在上的值域即可．【解答】解：，令，由雙勾函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)g（t）在上單調(diào)遞減，在（2，5]上單調(diào)遞增，則，所以所求函數(shù)的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋海军c(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)值域的求法，考查換元思想以及運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．16．【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域解法，先求出x2﹣1，即為f（x）的定義域，再將x+1代入即可求f（x+1）的定義域．【解答】解：由函數(shù)f（x2﹣1）的定義域?yàn)槭荹﹣2，2]，即x∈[﹣2，2]，則﹣1≤x2﹣1≤3；對(duì)于f（x+1），有﹣1≤x+1≤3，則x∈[﹣2，2]．故答案為：[﹣2，2]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了抽象函數(shù)的定義域，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．四、解答題（請(qǐng)寫出必要的解答過程）17．【分析】（1）根據(jù)并集的定義可解．（2）根據(jù)題意M∩N＝M，故M?N，利用集合間的關(guān)系可解．【解答】解：（1）若a＝，則N＝{x|3＜x＜5}，又M＝{x|2≤x≤4}，故M∪N＝{x|2≤x＜5}，（2）因?yàn)镸∩N＝M，故M?N，則a2＜2，故﹣，則a的取值范圍為（﹣）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查并集定義以及集合間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．18．【分析】（1）根據(jù)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則即可求解；（2）根據(jù)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則即可求解．【解答】解：（1）原式＝．（2）∵a＞b，∴，則．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：指數(shù)和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．19．【分析】（1）設(shè)f（x）＝xα，代入點(diǎn)可得其解析式，再任取x1＜x2，通過計(jì)算f（x1）﹣f（x2）的正負(fù)來證明f（x）的單調(diào)性；（2）先證明f（x）是奇函數(shù)，再利用奇偶性將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用單調(diào)性去掉f，解一元二次不等式即可．【解答】解：（1）設(shè)f（x）＝xα，將點(diǎn)（3，27）代入得27＝3α，即α＝3，∴f（x）＝x3（x∈R），任取x1＜x2，∴，∵x1＜x2，x1﹣x2＜0，又∵，∴，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）的（﹣∞，+∞）上為增函數(shù)；（2）∵f（﹣x）＝（﹣x）3＝﹣f（x），∴f（x）是奇函數(shù)，所以不等式f（4t2﹣3t﹣1）+f（t﹣t2）＞0等價(jià)于f（4t2﹣3t﹣1）＞f（t2﹣t），又f（x）在（﹣∞，+∞）上為增函數(shù)，所以4t2﹣3t﹣1＞t2﹣t，即3t2﹣2t﹣1＞0，解得：或t＞1，所以該不等式的解集為：（﹣）∪（1，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．20．【分析】（1）首先判斷函數(shù)定義域?yàn)镽，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)f（﹣x）＝f（x），即可得出答案；（2）由（1）知f（x）＝3x+3﹣x，f（x）＞0，題意轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的x∈R，總存在y∈R，使得2≥成立，即2≥（）max，也即總存在y∈R，使得2≥＝2﹣1成立，即總存在y∈R，使得﹣y2﹣2y+n≥﹣1成立，也即總存在y∈R，使得n≥y2+2y﹣1成立，構(gòu)造函數(shù)g（y）＝y(tǒng)2+2y﹣1，求出g（y）的最小值，即可得出答案．【解答】解：（1）∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴函數(shù)定義域?yàn)镽，且f（﹣x）＝f（x），∴＝，即32mx＝9x，∴2m＝2，解得m＝1；（2）由（1）知f（x）＝3x+3﹣x，f（x）＞0，對(duì)任意的x∈R，總存在y∈R，使得成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的x∈R，總存在y∈R，使得2≥成立，即2≥（）max，∵f（x）＞0，∴f（x）＝3x+3﹣x≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)3x＝3﹣x，即x＝0時(shí)，等號(hào)成立，∴（）max＝，∴總存在y∈R，使得2≥＝2﹣1成立，即總存在y∈R，使得﹣y2﹣2y+n≥﹣1成立，也即總存在y∈R，使得n≥y2+2y﹣1成立，令g（y）＝y(tǒng)2+2y﹣1＝（y+1）2﹣2，二次函數(shù)g（y）的圖象開口向上，且對(duì)稱軸為直線y＝1，∴g（y）min＝g（﹣1）＝﹣2，∴n≥﹣2，故實(shí)數(shù)n的取值范圍為[﹣2，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性和函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．21．【分析】（1）根據(jù)已知條件，求得參數(shù)k，再令v≥40即可求得x的范圍；（2）根據(jù)（1）中所求結(jié)合題意求得y關(guān)于x的函數(shù)，再求分段函數(shù)的最大值即可．【解答】解：（1）由題意知當(dāng)x＝120（輛/千米）時(shí)，v＝0（千米/小時(shí)），代入，解得k＝3600，故v＝，當(dāng)0＜x≤40時(shí)，v＝60≥40，符合題意，當(dāng)40＜x≤120時(shí)，令，解得x≤88，所以0＜x≤88．故若車流速度v不小于40千米/小時(shí)，則車流密度x的取值范圍是（0，88]．（2