2023高考真題知識(shí)總結(jié)方法總結(jié)題型突破：41 導(dǎo)數(shù)中不等式的證明問題(學(xué)生版)

專題41導(dǎo)數(shù)中不等式的證明問題【高考真題】1．(2022·北京)已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對(duì)任意的，有．2．(2022·浙江)設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，曲線上不同的三點(diǎn)處的切線都經(jīng)過點(diǎn)．證明：(ⅰ)若，則；(ⅱ)若，則．(注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))3．(2022·新高考Ⅱ)已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．【方法總結(jié)】構(gòu)造法證明不等式是指在證明與函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，根據(jù)所要證明的不等式，構(gòu)造與之相關(guān)的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性、極值、最值加以證明．常見的構(gòu)造方法有：(1)直接構(gòu)造法：證明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))轉(zhuǎn)化為證明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)；(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮，二是利用常見的放縮結(jié)論，如lnx≤x－1，ex≥x＋1，lnx＜x＜ex(x＞0)，eq\f(x,x＋1)≤ln(x＋1)≤x(x＞－1)；(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)：稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，如移項(xiàng)、通分、取對(duì)數(shù)，把不等式轉(zhuǎn)化為左、右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的形式，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù)；(4)構(gòu)造雙函數(shù)：若直接構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)難以判斷符號(hào)，導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)也不易求得，因此函數(shù)單調(diào)性與極值點(diǎn)都不易獲得，則可構(gòu)造函數(shù)f(x)和g(x)，利用其最值求解．【題型突破】1．已知函數(shù)f(x)＝ax－axlnx－1(a∈R，a≠0)．(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)x＞1時(shí)，求證：eq\f(1,x－1)＞eq\f(1,ex)－1．2．已知函數(shù)f(x)＝1－eq\f(x－1,ex)，g(x)＝x－lnx．(1)證明：g(x)≥1；(2)證明：(x－lnx)f(x)>1－eq\f(1,e2)．3．(2021·全國乙)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(a－x)，已知x＝0是函數(shù)y＝xf(x)的極值點(diǎn)．(1)求a；(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝eq\f(x＋f(x),xf(x))，證明：g(x)＜1．4．已知f(x)＝(x－1)ex＋eq\f(1,2)ax2．(1)當(dāng)a＝e時(shí)，求f(x)的極值；(2)對(duì)?x>1，求證：f(x)≥eq\f(1,2)ax2＋x＋1＋ln(x－1)．5．已知函數(shù)f(x)＝lnx＋eq\f(1,2)ax2＋x＋1．(1)當(dāng)a＝－2時(shí)，求f(x)的極值點(diǎn)；(2)當(dāng)a＝0時(shí)，證明：對(duì)任意的x>0，不等式xex≥f(x)恒成立．6．設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋axlnx(a∈R)．(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)為x＝1，證明：f(x)≤e－x＋x2．7．已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3．(1)若對(duì)一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．(2)證明：對(duì)一切x∈(0，＋∞)，lnx＞eq\f(1,ex)－eq\f(2,ex)恒成立．8．已知函數(shù)f(x)＝lnx＋eq\f(a,x)，g(x)＝e－x＋bx，a，b∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)若函數(shù)y＝g(x)在R上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(2)若函數(shù)y＝f(x)在x＝eq\f(1,e)處的切線方程為ex＋y－2＋b＝0．求證：對(duì)任意的x∈(0，＋∞)，總有f(x)>g(x)．9．已知f(x)＝xlnx．(1)求函數(shù)f(x)在[t，t＋2](t＞0)上的最小值；(2)證明：對(duì)一切x∈(0，＋∞)，都有l(wèi)nx＞eq\f(1,ex)－eq\f(2,ex)成立．10．(2018·全國Ⅰ改編)已知函數(shù)f(x)＝aex－lnx－1．(1)設(shè)x＝2是f(x)的極值點(diǎn)，求a的值并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：當(dāng)a＝eq\f(1,e)時(shí)，f(x)≥0．11．已知函數(shù)f(x)＝x－1－alnx．(1)若f(x)≥0，求a的值；(2)設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)n，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,22)))·…·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2n)))＜m，求m的最小值．12．已知函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)．(1)求證：當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，eq\f(x,1＋x)<f(x)<x；(2)已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，求證：?n∈N*，eq\r(e)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,n2)))·…·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(n,n2)))<e．13．已知f(x)＝lnx－x＋a＋1．(1)若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≥0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)求證：當(dāng)x＞1時(shí)，在(1)的條件下，eq\f(1,2)x2＋ax－a＞xlnx＋eq\f(1,2)成立．14．(2017·全國Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x．(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a<0時(shí)，證明f(x)≤－eq\f(3,4a)－2．15．已知函數(shù)f(x)＝lnx－eq\f(a(x－1),x＋1)．(1)若函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)設(shè)m>n>0，求證：lnm－lnn>eq\f(2(m－n),m＋n)．16．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1－x,ax)＋lnx在(1，＋∞)上是增函數(shù)，且a>0．(1)求a的取值范圍；(2)若b>0，試證明eq\f(1,a＋b)<lneq\f(a＋b,b)<eq\f(a,b)．17．設(shè)函數(shù)f(x)＝xln(ax)(a>0)．(1)設(shè)F(x)＝eq\f(1,2)f(1)x2＋f′(x)，討論函數(shù)F(x)的單調(diào)性；(2)過兩點(diǎn)A(x1，f′(x1))，B(x2，f′(x2))(x1<x2)的直線的斜率為k，求證：eq\f(1,x2)<k<eq\f(1,x1)．18．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，若，求證：．19．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：．20．已知函數(shù)f