現(xiàn)代數(shù)學(xué)簡介課件

現(xiàn)代數(shù)學(xué)簡介復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院劉憲高現(xiàn)代數(shù)學(xué)簡介復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院1現(xiàn)代數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期是指由19世紀(jì)20年代至今，這一時期數(shù)學(xué)主要研究的是最一般的數(shù)量關(guān)系和空間形式，數(shù)和量僅僅是它的極特殊的情形，通常的一維、二維、三維空間的幾何形象也僅僅是特殊情形。分析學(xué)，幾何學(xué)和拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)學(xué)是整個現(xiàn)代數(shù)學(xué)科學(xué)的主體部分。它們是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的課程?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期是指由19世紀(jì)20年代至今，這2非歐幾何1826年，羅巴契夫斯基和里耶首先提出的。非歐幾何的出現(xiàn)，改變了人們認(rèn)為歐氏幾何唯一地存在是天經(jīng)地義的觀點。它的革命思想不僅為新幾何學(xué)開辟了道路，而且是20世紀(jì)相對論產(chǎn)生的前奏和準(zhǔn)備。1854年，黎曼推廣了空間的概念，開創(chuàng)了幾何學(xué)一片更廣闊的領(lǐng)域——黎曼幾何學(xué)。非歐幾何學(xué)的發(fā)現(xiàn)還促進了公理方法的深入探討，研究可以作為基礎(chǔ)的概念和原則，分析公理的完全性、相容性和獨立性等問題。非歐幾何1826年，羅巴契夫斯基和里耶首先提出的。非歐幾何的3不可交換代數(shù)在1843年，哈密頓發(fā)現(xiàn)了一種乘法交換律不成立的代數(shù)——四元數(shù)代數(shù)。不可交換代數(shù)的出現(xiàn)，改變了人們認(rèn)為存在與一般的算術(shù)代數(shù)不同的代數(shù)是不可思議的觀點。它的革命思想打開了近代代數(shù)的大門。另一方面，由于一元方程根式求解條件的探究，引進了群的概念。19世紀(jì)20～30年代，阿貝爾和伽羅華開創(chuàng)了近世代數(shù)學(xué)的研究。古典代數(shù)的內(nèi)容是以討論方程的解法為中心的。群論之后，多種代數(shù)系統(tǒng)(環(huán)、域、格、布爾代數(shù)、線性空間等)被建立。不可交換代數(shù)在1843年，哈密頓發(fā)現(xiàn)了一種乘法交換律不成立的4數(shù)學(xué)的嚴(yán)格化1）分析的算術(shù)化（19世紀(jì)）。Newton和Leibnitz創(chuàng)立了微積分.但是不嚴(yán)格。1874年威爾斯特拉斯提出了一個引人注目的例子，要求人們對分析基礎(chǔ)作更深刻的理解。他提出了被稱為“分析的算術(shù)化”的著名設(shè)想，實數(shù)系本身最先應(yīng)該嚴(yán)格化，然后分析的所有概念應(yīng)該由此數(shù)系導(dǎo)出。今天的全部分析可以從表明實數(shù)系特征的一個公設(shè)集中邏輯地推導(dǎo)出來。歐幾里得幾何通過其分析的解釋，也可以放在實數(shù)系中；如果歐氏幾何是相容的，則幾何的多數(shù)分支是相容的。實數(shù)系(或某部分)可以用來解群代數(shù)的眾多分支；可使大量的代數(shù)相容性依賴于實數(shù)系的相容性。事實上，可以說：如果實數(shù)系是相容的，則現(xiàn)存的全部數(shù)學(xué)也是相容的。

數(shù)學(xué)的嚴(yán)格化1）分析的算術(shù)化（19世紀(jì)）。Newton和L5數(shù)學(xué)的嚴(yán)格化2）歐幾里得幾何通過其分析的解釋（解析幾何），也可以放在實數(shù)系中；如果歐氏幾何是相容的，則幾何的多數(shù)分支是相容的。實數(shù)系(或某部分)可以用來解群代數(shù)的眾多分支；可使大量的代數(shù)相容性依賴于實數(shù)系的相容性。事實上，可以說：如果實數(shù)系是相容的，則現(xiàn)存的全部數(shù)學(xué)也是相容的。數(shù)學(xué)的嚴(yán)格化2）歐幾里得幾何通過其分析的解釋（解析幾何），也6數(shù)學(xué)的嚴(yán)格化3）19世紀(jì)后期，由于狄德金、康托和皮亞諾的工作，這些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)已經(jīng)建立在更簡單、更基礎(chǔ)的自然數(shù)系之上。即他們證明了實數(shù)系(由此導(dǎo)出多種數(shù)學(xué))能從確立自然數(shù)系的公設(shè)集中導(dǎo)出。20世紀(jì)初期，證明了自然數(shù)可用集合論概念來定義，因而各種數(shù)學(xué)能以集合論為基礎(chǔ)來講述。數(shù)學(xué)的嚴(yán)格化3）19世紀(jì)后期，由于狄德金、康托和皮亞諾的工作7數(shù)學(xué)的嚴(yán)格化4)拓?fù)鋵W(xué)開始是幾何學(xué)的一個分支，但是直到20世紀(jì)的第二個1/4世紀(jì)，它才得到了推廣。拓?fù)鋵W(xué)可以粗略地定義為對于連續(xù)性的數(shù)學(xué)研究?？茖W(xué)家們認(rèn)識到：任何事物的集合，不管是點的集合、數(shù)的集合、代數(shù)實體的集合、函數(shù)的集合或非數(shù)學(xué)對象的集合，都能在某種意義上構(gòu)成拓?fù)淇臻g。數(shù)學(xué)的嚴(yán)格化4)拓?fù)鋵W(xué)開始是幾何學(xué)的一個分支，但是直到28Newton(25December1642–20March1727)Newton(25December1642–20M9Leibnitz(July1,1646–November14,1716)Leibnitz(July1,1646–Novemb10Hilbert(January23,1862–February14,1943)Hilbert(January23,1862–Feb11KarlWeierstrass(German,

31October1815–19February1897)KarlWeierstrass(German,31O12

Augustin-LouisCauchy(French,21August1789–23May1857)Augustin-LouisCauchy(French13BernhardRiemann(September17,1826–July20,1866)BernhardRiemann(September17,14Euler(15April1707–18September1783)Euler(15April1707–18Sept15SergeiLvovichSobolev(Russian,6October1908–3January1989)SergeiLvovichSobolev(Russia16CharlesBradfieldMorrey

(23July1907–29April1984)CharlesBradfieldMorrey(2317JohannCarlFriedrichGauss(30April1777–23February1855)JohannCarlFriedrichGauss(318邱成桐邱成桐19Hilbert的23個問題偉大的數(shù)學(xué)家Hilbert希爾伯特（HilbertD.,1862.1.23～1943.2.14）是二十世紀(jì)上半葉德國乃至全世界最偉大的數(shù)學(xué)家之一。他在橫跨兩個世紀(jì)的六十年的研究生涯中，幾乎走遍了現(xiàn)代數(shù)學(xué)所有前沿陣地，從而把他的思想深深地滲透進了整個現(xiàn)代數(shù)學(xué)。希爾伯特是哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派的核心，他以其勤奮的工作和真誠的個人品質(zhì)吸引了來自世界各地的年青學(xué)者，使哥廷根的傳統(tǒng)在世界產(chǎn)生影響。希爾伯特去世時，德國《自然》雜志發(fā)表過這樣的觀點：現(xiàn)在世界上難得有一位數(shù)學(xué)家的工作不是以某種途徑導(dǎo)源于希爾伯特的工作。他像是數(shù)學(xué)世界的亞歷山大，在整個數(shù)學(xué)版圖上，留下了他那顯赫的名字。1900年，希爾伯特在巴黎數(shù)學(xué)家大會上提出了23個最重要的問題供二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們?nèi)パ芯?，這就是著名的"希爾伯特23個問題"。

Hilbert的23個問題偉大的數(shù)學(xué)家Hilbert20Hilbert的23個問題

1975年，在美國伊利諾斯大學(xué)召開的一次國際數(shù)學(xué)會議上，數(shù)學(xué)家們回顧了四分之三個世紀(jì)以來希爾伯特23個問題的研究進展情況。當(dāng)時統(tǒng)計，約有一半問題已經(jīng)解決了，其余一半的大多數(shù)也都有重大進展。

1976年，在美國數(shù)學(xué)家評選的自1940年以來美國數(shù)學(xué)的十大成就中，有三項就是希爾伯特第1、第5、第10問題的解決。由此可見，能解決希爾伯特問題，是當(dāng)代數(shù)學(xué)家的無上光榮。Hilbert的23個問題1975年，在美國伊利諾斯大學(xué)召21Hilbert的23個問題1．連續(xù)統(tǒng)假設(shè)1874年，康托猜測在可列集基數(shù)和實數(shù)基數(shù)之間沒有別的基數(shù)，這就是著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。1938年，哥德爾證明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和世界公認(rèn)的策梅洛--弗倫克爾Zermelo-Fraenkel集合論公理系統(tǒng)的無矛盾性。1963年，美國數(shù)學(xué)家科亨證明連續(xù)假設(shè)和策梅洛--倫克爾集合論公理是彼此獨立的。因此，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不能在策梅洛--弗倫克爾公理體系內(nèi)證明其正確性與否。希爾伯特第1問題在這個意義上已獲解決。Hilbert的23個問題1．連續(xù)統(tǒng)假設(shè)1874年，康托22Hilbert的23個問題2．算術(shù)公理的相容性歐幾里得幾何的相容性可歸結(jié)為算術(shù)公理的相容性。希爾伯特曾提出用形式主義計劃的證明論方法加以證明。1931年，哥德爾發(fā)表的不完備性定理否定了這種看法。1936年德國數(shù)學(xué)家根茨在使用超限歸納法的條件下證明了算術(shù)公理的相容性。

1988年出版的《中國大百科全書》數(shù)學(xué)卷指出，數(shù)學(xué)相容性問題尚未解決。Hilbert的23個問題2．算術(shù)公理的相容性歐幾里得幾23Hilbert的23個問題3．兩個等底等高四面體的體積相等問題問題的意思是，存在兩個等邊等高的四面體，它們不可分解為有限個小四面體，使這兩組四面體彼此全等。M.W.德恩1900年即對此問題給出了肯定解答。Hilbert的23個問題3．兩個等底等高四面體的體積相等問24Hilbert的23個問題4．兩點間以直線為距離最短線問題此問題提得過于一般。滿足此性質(zhì)的幾何學(xué)很多，因而需增加某些限制條件。1973年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家波格列洛夫宣布，在對稱距離情況下，問題獲得解決。

《中國大百科全書》說，在希爾伯特之后，在構(gòu)造與探討各種特殊度量幾何方面有許多進展，但問題并未解決。Hilbert的23個問題4．兩點間以直線為距離最短線問題25Hilbert的23個問題

5.一個連續(xù)變換群的李氏概念，定義這個群的函數(shù)不假定是可微的.

這個問題簡稱連續(xù)群的解析性，即：是否每一個局部歐氏群都有一定是李群？中間經(jīng)馮·諾伊曼（1933，對緊群情形）、邦德里雅金（1939，對交換群情形）、謝瓦莢（1941，對可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥馬利、齊賓共同解決，得到了完全肯定的結(jié)果。Hilbert的23個問題26Hilbert的23個問題6.物理學(xué)的公理化希爾伯特建議用數(shù)學(xué)的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力學(xué)。1933年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫?qū)崿F(xiàn)了將概率論公理化。后來在量子力學(xué)、量子場論方面取得了很大成功。但是物理學(xué)是否能全盤公理化，很多人表示懷疑。Hilbert的23個問題6.物理學(xué)的公理化希爾伯特建議用27Hilbert的23個問題7.某些數(shù)的無理性與超越性1934年，A.O.蓋爾方德和T.施奈德各自獨立地解決了問題的后半部分，即對于任意代數(shù)數(shù)α≠0，1，和任意代數(shù)無理數(shù)β證明了αβ的超越性。Hilbert的23個問題7.某些數(shù)的無理性與超越性19328Hilbert的23個問題8.素數(shù)問題包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孿生素數(shù)問題等。一般情況下的黎曼猜想仍待解決。哥德巴赫猜想的最佳結(jié)果屬于陳景潤（1966），但離最解決尚有距離。目前孿生素數(shù)問題的最佳結(jié)果也屬于陳景潤。Hilbert的23個問題29Hilbert的23個問題9．在任意數(shù)域中證明最一般的互反律該問題已由日本數(shù)學(xué)家高木貞治（1921）和德國數(shù)學(xué)家E.阿廷（1927）解決。Hilbert的23個問題9．在任意數(shù)域中證明最一般的互反律30Hilbert的23個問題10．丟番圖方程的可解性能求出一個整系數(shù)方程的整數(shù)根，稱為丟番圖方程可解。希爾伯特問，能否用一種由有限步構(gòu)成的一般算法判斷一個丟番圖方程的可解性？1970年，蘇聯(lián)的IO.B.馬季亞謝維奇證明了希爾伯特所期望的算法不存在。Hilbert的23個問題10．丟番圖方程的可解性能求出31Hilbert的23個問題11．系數(shù)為任意代數(shù)數(shù)的二次型H.哈塞（1929）和C.L.西格爾（1936，1951）在這個問題上獲得重要結(jié)果。Hilbert的23個問題11．系數(shù)為任意代數(shù)數(shù)的二次型H32Hilbert的23個問題12．將阿貝爾域上的克羅克定理推廣到任意的代數(shù)有理域上去這一問題只有一些零星的結(jié)果，離徹底解決還相差很遠(yuǎn)。Hilbert的23個問題12．將阿貝爾域上的克羅克定理推33Hilbert的23個問題13．不可能用只有兩個變數(shù)的函數(shù)解一般的七次方程七次方程的根依賴于3個參數(shù)a、b、c，即x=x（a，b，c）。這個函數(shù)能否用二元函數(shù)表示出來？蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家阿諾爾德解決了連續(xù)函數(shù)的情形（1957），維士斯金又把它推廣到了連續(xù)可微函數(shù)的情形（1964）。但如果要求是解析函數(shù)，則問題尚未解決。Hilbert的23個問題13．不可能用只有兩個變數(shù)的函數(shù)解34Hilbert的23個問題14．證明某類完備函數(shù)系的有限性這和代數(shù)不變量問題有關(guān)。1958年，日本數(shù)學(xué)家永田雅宜給出了反例。Hilbert的23個問題14．證明某類完備函數(shù)系的有限性35Hilbert的23個問題15．舒伯特計數(shù)演算的嚴(yán)格基礎(chǔ)一個典型問題是：在三維空間中有四條直線，問有幾條直線能和這四條直線都相交？舒伯特給出了一個直觀解法。希爾伯特要求將問題一般化，并給以嚴(yán)格基礎(chǔ)?，F(xiàn)在已有了一些可計算的方法，它和代數(shù)幾何學(xué)不密切聯(lián)系。但嚴(yán)格的基礎(chǔ)迄今仍未確立。16．代數(shù)曲線和代數(shù)曲線面的拓?fù)鋯栴}這個問題分為兩部分。前半部分涉及代數(shù)曲線含有閉的分枝曲線的最大數(shù)目。后半部分要求討論的極限環(huán)的最大個數(shù)和相對位置，其中X、Y是x、y的n次多項式.蘇聯(lián)的彼得羅夫斯基曾宣稱證明了n=2時極限環(huán)的個數(shù)不超過3，但這一結(jié)論是錯誤的，已由中國數(shù)學(xué)家舉出反例（1979）。Hilbert的23個問題15．舒伯特計數(shù)演算的嚴(yán)格基礎(chǔ)36Hilbert的23個問題17．半正定形式的平方和表示一個實系數(shù)n元多項式對一切數(shù)組(x1,x2,...,xn)都恒大于或等于0，是否都能寫成平方和的形式？1927年阿廷證明這是對的。18．用全等多面體構(gòu)造空間由德國數(shù)學(xué)家比勃馬赫（1910）、莢因哈特（1928）作出部分解決。Hilbert的23個問題17．半正定形式的平方和表示一37Hilbert的23個問題

19．正則變分問題的解是否一定解析對這一問題的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得羅夫斯基等得出了一些結(jié)果。Hilbert的23個問題38Hilbert的23個問題20．一般邊值問題這一問題進展十分迅速，已成為一個很大的數(shù)學(xué)分支。目前還在繼續(xù)研究。Hilbert的23個問題20．一般邊值問題這一問題進展39Hilbert的23個問題21．具有給定單值群的線性微分方程解的存在性證明已由希爾伯特本人（1905）和H.羅爾（1957）的工作解決。Hilbert的23個問題21．具有給定單值群的線性微分方程40Hilbert的23個問題22．由自守函數(shù)構(gòu)成的解析函數(shù)的單值化它涉及艱辛的黎曼曲面論，1907年P(guān).克伯獲重要突破，其他方面尚未解決。Hilbert的23個問題22．由自守函數(shù)構(gòu)成的解析函數(shù)的單41Hilbert的23個問題23．變分法的進一步發(fā)展出這并不是一個明確的數(shù)學(xué)問題，只是談了對變分法的一般看法。20世紀(jì)以來變分法有了很大的發(fā)展。這23問題涉及現(xiàn)代數(shù)學(xué)大部分重要領(lǐng)域，推動了20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展。Hilbert的23個問題23．變分法的進一步發(fā)展出這并42

數(shù)學(xué)7大難題2000年5月24日，千年數(shù)學(xué)會議在著名的法蘭西學(xué)院舉行。會上，98年費爾茲獎獲得者伽沃斯（Gowers）以"數(shù)學(xué)的重要性"為題作了演講，其后，塔特（Tate）和阿啼亞(Atiyah)公布和介紹了這七個"千年大獎問題"。

數(shù)學(xué)7大難題2000年5月24日，千年數(shù)學(xué)會議在著名的法43數(shù)學(xué)7大難題數(shù)學(xué)7大難題44現(xiàn)代數(shù)學(xué)簡介復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院劉憲高現(xiàn)代數(shù)學(xué)簡介復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院45現(xiàn)代數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期是指由19世紀(jì)20年代至今，這一時期數(shù)學(xué)主要研究的是最一般的數(shù)量關(guān)系和空間形式，數(shù)和量僅僅是它的極特殊的情形，通常的一維、二維、三維空間的幾何形象也僅僅是特殊情形。分析學(xué)，幾何學(xué)和拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)學(xué)是整個現(xiàn)代數(shù)學(xué)科學(xué)的主體部分。它們是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的課程?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期是指由19世紀(jì)20年代至今，這46非歐幾何1826年，羅巴契夫斯基和里耶首先提出的。非歐幾何的出現(xiàn)，改變了人們認(rèn)為歐氏幾何唯一地存在是天經(jīng)地義的觀點。它的革命思想不僅為新幾何學(xué)開辟了道路，而且是20世紀(jì)相對論產(chǎn)生的前奏和準(zhǔn)備。1854年，黎曼推廣了空間的概念，開創(chuàng)了幾何學(xué)一片更廣闊的領(lǐng)域——黎曼幾何學(xué)。非歐幾何學(xué)的發(fā)現(xiàn)還促進了公理方法的深入探討，研究可以作為基礎(chǔ)的概念和原則，分析公理的完全性、相容性和獨立性等問題。非歐幾何1826年，羅巴契夫斯基和里耶首先提出的。非歐幾何的47不可交換代數(shù)在1843年，哈密頓發(fā)現(xiàn)了一種乘法交換律不成立的代數(shù)——四元數(shù)代數(shù)。不可交換代數(shù)的出現(xiàn)，改變了人們認(rèn)為存在與一般的算術(shù)代數(shù)不同的代數(shù)是不可思議的觀點。它的革命思想打開了近代代數(shù)的大門。另一方面，由于一元方程根式求解條件的探究，引進了群的概念。19世紀(jì)20～30年代，阿貝爾和伽羅華開創(chuàng)了近世代數(shù)學(xué)的研究。古典代數(shù)的內(nèi)容是以討論方程的解法為中心的。群論之后，多種代數(shù)系統(tǒng)(環(huán)、域、格、布爾代數(shù)、線性空間等)被建立。不可交換代數(shù)在1843年，哈密頓發(fā)現(xiàn)了一種乘法交換律不成立的48數(shù)學(xué)的嚴(yán)格化1）分析的算術(shù)化（19世紀(jì)）。Newton和Leibnitz創(chuàng)立了微積分.但是不嚴(yán)格。1874年威爾斯特拉斯提出了一個引人注目的例子，要求人們對分析基礎(chǔ)作更深刻的理解。他提出了被稱為“分析的算術(shù)化”的著名設(shè)想，實數(shù)系本身最先應(yīng)該嚴(yán)格化，然后分析的所有概念應(yīng)該由此數(shù)系導(dǎo)出。今天的全部分析可以從表明實數(shù)系特征的一個公設(shè)集中邏輯地推導(dǎo)出來。歐幾里得幾何通過其分析的解釋，也可以放在實數(shù)系中；如果歐氏幾何是相容的，則幾何的多數(shù)分支是相容的。實數(shù)系(或某部分)可以用來解群代數(shù)的眾多分支；可使大量的代數(shù)相容性依賴于實數(shù)系的相容性。事實上，可以說：如果實數(shù)系是相容的，則現(xiàn)存的全部數(shù)學(xué)也是相容的。

數(shù)學(xué)的嚴(yán)格化1）分析的算術(shù)化（19世紀(jì)）。Newton和L49數(shù)學(xué)的嚴(yán)格化2）歐幾里得幾何通過其分析的解釋（解析幾何），也可以放在實數(shù)系中；如果歐氏幾何是相容的，則幾何的多數(shù)分支是相容的。實數(shù)系(或某部分)可以用來解群代數(shù)的眾多分支；可使大量的代數(shù)相容性依賴于實數(shù)系的相容性。事實上，可以說：如果實數(shù)系是相容的，則現(xiàn)存的全部數(shù)學(xué)也是相容的。數(shù)學(xué)的嚴(yán)格化2）歐幾里得幾何通過其分析的解釋（解析幾何），也50數(shù)學(xué)的嚴(yán)格化3）19世紀(jì)后期，由于狄德金、康托和皮亞諾的工作，這些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)已經(jīng)建立在更簡單、更基礎(chǔ)的自然數(shù)系之上。即他們證明了實數(shù)系(由此導(dǎo)出多種數(shù)學(xué))能從確立自然數(shù)系的公設(shè)集中導(dǎo)出。20世紀(jì)初期，證明了自然數(shù)可用集合論概念來定義，因而各種數(shù)學(xué)能以集合論為基礎(chǔ)來講述。數(shù)學(xué)的嚴(yán)格化3）19世紀(jì)后期，由于狄德金、康托和皮亞諾的工作51數(shù)學(xué)的嚴(yán)格化4)拓?fù)鋵W(xué)開始是幾何學(xué)的一個分支，但是直到20世紀(jì)的第二個1/4世紀(jì)，它才得到了推廣。拓?fù)鋵W(xué)可以粗略地定義為對于連續(xù)性的數(shù)學(xué)研究?？茖W(xué)家們認(rèn)識到：任何事物的集合，不管是點的集合、數(shù)的集合、代數(shù)實體的集合、函數(shù)的集合或非數(shù)學(xué)對象的集合，都能在某種意義上構(gòu)成拓?fù)淇臻g。數(shù)學(xué)的嚴(yán)格化4)拓?fù)鋵W(xué)開始是幾何學(xué)的一個分支，但是直到252Newton(25December1642–20March1727)Newton(25December1642–20M53Leibnitz(July1,1646–November14,1716)Leibnitz(July1,1646–Novemb54Hilbert(January23,1862–February14,1943)Hilbert(January23,1862–Feb55KarlWeierstrass(German,

31October1815–19February1897)KarlWeierstrass(German,31O56

Augustin-LouisCauchy(French,21August1789–23May1857)Augustin-LouisCauchy(French57BernhardRiemann(September17,1826–July20,1866)BernhardRiemann(September17,58Euler(15April1707–18September1783)Euler(15April1707–18Sept59SergeiLvovichSobolev(Russian,6October1908–3January1989)SergeiLvovichSobolev(Russia60CharlesBradfieldMorrey

(23July1907–29April1984)CharlesBradfieldMorrey(2361JohannCarlFriedrichGauss(30April1777–23February1855)JohannCarlFriedrichGauss(362邱成桐邱成桐63Hilbert的23個問題偉大的數(shù)學(xué)家Hilbert希爾伯特（HilbertD.,1862.1.23～1943.2.14）是二十世紀(jì)上半葉德國乃至全世界最偉大的數(shù)學(xué)家之一。他在橫跨兩個世紀(jì)的六十年的研究生涯中，幾乎走遍了現(xiàn)代數(shù)學(xué)所有前沿陣地，從而把他的思想深深地滲透進了整個現(xiàn)代數(shù)學(xué)。希爾伯特是哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派的核心，他以其勤奮的工作和真誠的個人品質(zhì)吸引了來自世界各地的年青學(xué)者，使哥廷根的傳統(tǒng)在世界產(chǎn)生影響。希爾伯特去世時，德國《自然》雜志發(fā)表過這樣的觀點：現(xiàn)在世界上難得有一位數(shù)學(xué)家的工作不是以某種途徑導(dǎo)源于希爾伯特的工作。他像是數(shù)學(xué)世界的亞歷山大，在整個數(shù)學(xué)版圖上，留下了他那顯赫的名字。1900年，希爾伯特在巴黎數(shù)學(xué)家大會上提出了23個最重要的問題供二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們?nèi)パ芯?，這就是著名的"希爾伯特23個問題"。

Hilbert的23個問題偉大的數(shù)學(xué)家Hilbert64Hilbert的23個問題

1975年，在美國伊利諾斯大學(xué)召開的一次國際數(shù)學(xué)會議上，數(shù)學(xué)家們回顧了四分之三個世紀(jì)以來希爾伯特23個問題的研究進展情況。當(dāng)時統(tǒng)計，約有一半問題已經(jīng)解決了，其余一半的大多數(shù)也都有重大進展。

1976年，在美國數(shù)學(xué)家評選的自1940年以來美國數(shù)學(xué)的十大成就中，有三項就是希爾伯特第1、第5、第10問題的解決。由此可見，能解決希爾伯特問題，是當(dāng)代數(shù)學(xué)家的無上光榮。Hilbert的23個問題1975年，在美國伊利諾斯大學(xué)召65Hilbert的23個問題1．連續(xù)統(tǒng)假設(shè)1874年，康托猜測在可列集基數(shù)和實數(shù)基數(shù)之間沒有別的基數(shù)，這就是著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。1938年，哥德爾證明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和世界公認(rèn)的策梅洛--弗倫克爾Zermelo-Fraenkel集合論公理系統(tǒng)的無矛盾性。1963年，美國數(shù)學(xué)家科亨證明連續(xù)假設(shè)和策梅洛--倫克爾集合論公理是彼此獨立的。因此，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不能在策梅洛--弗倫克爾公理體系內(nèi)證明其正確性與否。希爾伯特第1問題在這個意義上已獲解決。Hilbert的23個問題1．連續(xù)統(tǒng)假設(shè)1874年，康托66Hilbert的23個問題2．算術(shù)公理的相容性歐幾里得幾何的相容性可歸結(jié)為算術(shù)公理的相容性。希爾伯特曾提出用形式主義計劃的證明論方法加以證明。1931年，哥德爾發(fā)表的不完備性定理否定了這種看法。1936年德國數(shù)學(xué)家根茨在使用超限歸納法的條件下證明了算術(shù)公理的相容性。

1988年出版的《中國大百科全書》數(shù)學(xué)卷指出，數(shù)學(xué)相容性問題尚未解決。Hilbert的23個問題2．算術(shù)公理的相容性歐幾里得幾67Hilbert的23個問題3．兩個等底等高四面體的體積相等問題問題的意思是，存在兩個等邊等高的四面體，它們不可分解為有限個小四面體，使這兩組四面體彼此全等。M.W.德恩1900年即對此問題給出了肯定解答。Hilbert的23個問題3．兩個等底等高四面體的體積相等問68Hilbert的23個問題4．兩點間以直線為距離最短線問題此問題提得過于一般。滿足此性質(zhì)的幾何學(xué)很多，因而需增加某些限制條件。1973年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家波格列洛夫宣布，在對稱距離情況下，問題獲得解決。

《中國大百科全書》說，在希爾伯特之后，在構(gòu)造與探討各種特殊度量幾何方面有許多進展，但問題并未解決。Hilbert的23個問題4．兩點間以直線為距離最短線問題69Hilbert的23個問題

5.一個連續(xù)變換群的李氏概念，定義這個群的函數(shù)不假定是可微的.

這個問題簡稱連續(xù)群的解析性，即：是否每一個局部歐氏群都有一定是李群？中間經(jīng)馮·諾伊曼（1933，對緊群情形）、邦德里雅金（1939，對交換群情形）、謝瓦莢（1941，對可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥馬利、齊賓共同解決，得到了完全肯定的結(jié)果。Hilbert的23個問題70Hilbert的23個問題6.物理學(xué)的公理化希爾伯特建議用數(shù)學(xué)的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力學(xué)。1933年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫?qū)崿F(xiàn)了將概率論公理化。后來在量子力學(xué)、量子場論方面取得了很大成功。但是物理學(xué)是否能全盤公理化，很多人表示懷疑。Hilbert的23個問題6.物理學(xué)的公理化希爾伯特建議用71Hilbert的23個問題7.某些數(shù)的無理性與超越性1934年，A.O.蓋爾方德和T.施奈德各自獨立地解決了問題的后半部分，即對于任意代數(shù)數(shù)α≠0，1，和任意代數(shù)無理數(shù)β證明了αβ的超越性。Hilbert的23個問題7.某些數(shù)的無理性與超越性19372Hilbert的23個問題8.素數(shù)問題包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孿生素數(shù)問題等。一般情況下的黎曼猜想仍待解決。哥德巴赫猜想的最佳結(jié)果屬于陳景潤（1966），但離最解決尚有距離。目前孿生素數(shù)問題的最佳結(jié)果也屬于陳景潤。Hilbert的23個問題73Hilbert的23個問題9．在任意數(shù)域中證明最一般的互反律該問題已由日本數(shù)學(xué)家高木貞治（1921）和德國數(shù)學(xué)家E.阿廷（1927）解決。Hilbert的23個問題9．在任意數(shù)域中證明最一般的互反律74Hilbert的23個問題10．丟番圖方程的可解性能求出一個整系數(shù)方程的整數(shù)根，稱為丟番圖方程可解。希爾伯特問，能否用一種由有限步構(gòu)成的一般算法判斷一個丟番圖方程的可解性？1970年，蘇聯(lián)的IO.B.馬季亞謝維奇證明了希爾伯特所期望的算法不存在。Hilbert的23個問題10．丟番圖方程的可解性能求出75Hilbert的23個問題11．系數(shù)為任意代數(shù)數(shù)的二次型H.哈塞（1929）和C.L.西格爾（1936，1951）在這個問題上獲得重要結(jié)果。Hilbert的23個問題11．系數(shù)為任意代數(shù)數(shù)的二次型H76Hilbert的23個問題12．將阿貝爾域上的克羅克定理推廣到任意的代數(shù)有理域上去這一問題只有一些零星的結(jié)果，離徹底解決還相差很遠(yuǎn)。Hilbert的23個問題12．將阿貝爾域上的克羅克定理推77Hilbert的23個問題13．不可能用只有兩個變數(shù)的函數(shù)解一般的七次方程七次方程的根依賴于3個參數(shù)a、b、c，即x=x（a，b，c）。這個函數(shù)能否用二元函數(shù)表示出來？蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家阿諾爾德解決了連續(xù)函數(shù)的情形（1957），維士斯金又把它推廣到了連續(xù)可微函數(shù)的情形（1964）。但如果要求是解析函數(shù)，則問題尚未解決。Hilbert的23個問題13．不可能用只有兩個變數(shù)的函數(shù)解78Hilbert的23個問題14．證明某類完備函數(shù)系的有限性這和代數(shù)不變量問題有關(guān)。195