高中物理競(jìng)賽真題分類匯編 4 光學(xué) （學(xué)生版+解析版50題）

競(jìng)賽專題4光學(xué)

50題競(jìng)賽真題強(qiáng)化訓(xùn)練

一、解答題

1.（2019?全國?高三競(jìng)賽）一近視患者不戴眼鏡時(shí)，只能看清距眼睛a=20cm以內(nèi)的

物體.他發(fā)現(xiàn)，如果在眼前靠近眼睛處放一帶小圓孔的卡片，通過小圓孔不戴眼鏡看

遠(yuǎn)處物體時(shí)也能清晰些.

（1）若小圓孔的直徑為D,試根據(jù)幾何光學(xué)的原理，求出當(dāng)近視患者直視遠(yuǎn)處的一個(gè)物

點(diǎn)時(shí)，在眼睛的視網(wǎng)膜上產(chǎn)生的光斑的直徑.（提示：可將眼睛簡(jiǎn)化成一個(gè)焦距，可調(diào)

的薄透鏡和一個(gè)可成像的視網(wǎng)膜，透鏡兩側(cè)的介質(zhì)均為空氣，視網(wǎng)膜與透鏡的距離為

b.）

（2）再考慮小孔的衍射效應(yīng)，求小圓孔直徑最恰當(dāng)?shù)拇笮?

2.（2019?全國?高三競(jìng)賽）在半導(dǎo)體元件的生產(chǎn)中，為了測(cè)定Si片上的SiO?薄膜厚

度，將SiO?薄膜磨成劈尖形狀.如圖所示，用波長(zhǎng)/l=546.1nm的綠光照射，已知

Si。2的折射率為146,Si的折射率了3.42,若觀察到劈尖上出現(xiàn)了7個(gè)條紋間距，問

Si。。薄膜的厚度是多少？

3.（2019?全國?高三競(jìng)賽）將一偏振片沿45。角插入一對(duì)正交偏振器之間.自然光經(jīng)過它

們，強(qiáng)度減為原來的百分之幾？

4.（2019?全國?高三競(jìng)賽）設(shè)一束自然光和平面偏振光的混合光通過一個(gè)可旋轉(zhuǎn)的理想

偏振片后，光強(qiáng)隨著偏振片的取向可以有5倍的改變.求混合光中各個(gè)成分光強(qiáng)的比例.

5.（2019?全國?高三競(jìng)賽）如圖所示，在。點(diǎn)有一個(gè)物屏，上面有一個(gè)發(fā)光小物體.

垂直于物屏有光軸，共軸放置一個(gè)焦距為一的透鏡，光心為C,在距離。點(diǎn)L處共軸

擺放一個(gè)平面鏡。當(dāng)0C距離為修時(shí)，發(fā)現(xiàn)經(jīng)過透鏡透射，平面鏡反射，再經(jīng)過透鏡

透射，發(fā)光物體在物屏處成了清晰像。向右移動(dòng)C點(diǎn)到X2處，再次在物屏處成了清晰

像，繼續(xù)向右移動(dòng)C點(diǎn)到X3處，又在物屏處成了清晰像。

（1）求出X/,X2,X3；

（2）當(dāng)透鏡位于X/處時(shí)，向上移動(dòng)物點(diǎn)距離則在物屏上的像向什么方向移動(dòng)了多

少距離。

6.（2019?全國?高三競(jìng)賽）如圖所示，一正六邊形A4AAAA，每邊均為一平面

鏡.現(xiàn)從A4中點(diǎn)M發(fā)出一條光線，此光線依次經(jīng)&A3,AA,，…，AA反射，最后

回到A4邊，試求光線出射角，的范圍

若將正六邊形44人3444換成正〃邊形A&LA.，且要求光線依然從M（44中

點(diǎn)）發(fā)出，先后依次經(jīng)44，44，…，AA反射并回到A4邊，則試求。的范

圍.（以上范圍均用反三角函數(shù)表示）

7.（2019?全國?高三競(jìng)賽）（1）s系為相對(duì)觀察者靜止的慣性參照系.s系中存在以速

度V高速運(yùn)動(dòng)的鏡子，觀察者看到鏡面與速度方向的夾角為。，一光線經(jīng)鏡面反射，如

圖1所示，入射角為a,反射角為夕.求a、夕、。間滿足的關(guān)系式

⑵有一橫截面為半橢圓的反射鏡，半橢圓的形狀為親的橢圓沿長(zhǎng)軸平分

的一半.現(xiàn)討論該鏡面上的反射情況.鏡面以沿長(zhǎng)軸（平行于X軸）方向以速度］運(yùn)

動(dòng)，一足夠大平行光場(chǎng)照射到鏡面上，光與豎直方向呈。角（逆時(shí)針為正），如圖2所

且已知鏡子前半面

（速度方向?yàn)榍埃┑挠行Х瓷涔饩€占前半面入射光線的2:.求。和后半面有效光線占

后半面入射光線比例

②令e=0,平行光場(chǎng)單位長(zhǎng)度光子密度為%=常量.定義反射光的光子角密度

dN

劉，e為反射光方向角，求"⑻=勺鈾由時(shí)的方向角與豎直方向的夾角及

"（?）=!〃⑹皿時(shí)的方向角與豎直方向的夾角?（只考慮在地系同時(shí)在某一瞬時(shí)反射的光

子）

8.（2019?全國?高三競(jìng)賽）如圖所示，在與偏振方向垂直的偏振片1、2之間插入一塊

厚度為"的波晶片，波晶片的e軸與偏振片1的偏振方向成a角，且波晶片對(duì)。光與e

光的折射率分別為”.和〃.，三元件的平面彼此平行，波長(zhǎng)為2的單色光正入射到這一

系統(tǒng)上，試問:

偏振片2

(1)圖中①②③三區(qū)域光的偏振態(tài)；

(2)圖中①②③三區(qū)域光的強(qiáng)度(入射單色光的強(qiáng)度為/)

9.(2019?全國?高三競(jìng)賽)用坐標(biāo)紙繪制N=6,"=1.5a的夫瑯禾費(fèi)衍射強(qiáng)度分布曲

線.橫坐標(biāo)取sin。，至少畫到第4級(jí)主極強(qiáng)，并計(jì)算第4級(jí)主極強(qiáng)與單縫主極強(qiáng)之

比.

10.(2019?全國?高三競(jìng)賽)半徑為飛的平凸透鏡平放在半徑為尺的圓柱形玻璃體上,

11.(2019?全國?高三競(jìng)賽)將焦距/=20cm的凸透鏡從正中切去寬度為a的小部分，

如圖(a),再將剩下兩半黏接在一起，構(gòu)成一個(gè)“黏合透鏡”，見圖(b).圖中

D=2cm,在黏合透鏡一側(cè)的中心軸線上距鏡20cm處，置一波長(zhǎng)2=500nm的單色點(diǎn)

光源S,另一側(cè)，垂直于中心軸線放置屏幕，見圖(c).屏幕上出現(xiàn)干涉條紋，條紋

間距Ax=0.2"”“，試問：

f

相*-G........................

(?)(b)(c)*

(1)切去部分的寬度a是多少？

(2)為獲得最多的干涉條紋，屏幕應(yīng)離透鏡多遠(yuǎn)？

12.(2019?全國?高三競(jìng)賽)如圖所示的洛埃鏡鏡長(zhǎng)/=7.5cm,點(diǎn)光源S到鏡面的距離

J=0.15cm,到鏡面左端的距離b=4.5cm,光屏M垂直于平面鏡且與點(diǎn)光源S相距

A=1.2m.如果光源發(fā)出長(zhǎng)；1=6x10的單色光，求：

A

（1）在光屏上什么范圍內(nèi)有干涉的條紋?

（2）相鄰的明條紋之間距離多大？

（3）在該范圍內(nèi)第一條暗條紋位于何處?

13.（2019?全國?高三競(jìng)賽）內(nèi)半徑為R的直立圓柱器皿內(nèi)盛水銀，繞圓柱軸線勻速旋

轉(zhuǎn)（水銀不溢，皿底不露），穩(wěn)定后的液面為旋轉(zhuǎn)拋物面.若取坐標(biāo)原點(diǎn)在拋物面的最

低點(diǎn)，縱坐標(biāo)軸r與圓柱器皿的軸線重合，橫坐標(biāo)軸r與z軸垂直，則液面的方程為

z=*，，式中。為旋轉(zhuǎn)角速度，g為重力加速度（當(dāng)代已使用大面積的此類旋轉(zhuǎn)水

銀液面作反射式天文望遠(yuǎn)鏡）.觀察者的眼睛位于拋物面最低點(diǎn)正上方某處，保持位置

不變，然后使容器停轉(zhuǎn)，待液面靜止后，發(fā)現(xiàn)與穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時(shí)相比，看到的眼睛的像的

大小、正倒都無變化.求人眼位置至穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)水銀面最低點(diǎn)的距離.

14.（2019?全國?高三競(jìng)賽）裝在門上的門鏡（又稱“貓眼”）由一個(gè)網(wǎng)透鏡和一個(gè)凸透

鏡組成.有一種門鏡的凹透鏡焦距為1.0cm,凸透鏡焦距為3.5cm,兩透鏡之間的距離

為2.1cm,如圖所示.試根據(jù)這些數(shù)據(jù)說明，人在室外看不清室內(nèi)的景物，而在室內(nèi)

的人卻能清楚地看見室外的人.

15.（2019?全國?高三競(jìng)賽）一束會(huì)聚光線，在沒有放入凹透鏡時(shí)會(huì)聚于A點(diǎn)，若在距

A為a處放人一凹透鏡，該會(huì)聚光線經(jīng)透鏡折射后會(huì)聚于B點(diǎn)；A、B相距為b,如圖

所示，試求此透鏡的焦距.

16.（2019?全國?高三競(jìng)賽）常在高速公路上駕駛的司機(jī)有這樣的體驗(yàn)：當(dāng)氣溫較高

時(shí)，高速公路的正前方有一塊地方是濕漉漉的，好像是才被水澆過一樣，波光閃閃，

而且這一區(qū)域還會(huì)隨著汽車的行駛而向前移動(dòng)，這實(shí)質(zhì)上是由于空氣密度的分布不均

勻而造成的折射現(xiàn)象.

在高速公路上，因溫差，公路上方空氣的折射率隨高度線性變化，即〃=%（l+ay）,

其中a=1.5xlO-6mT,結(jié)果司機(jī)無法看見距離他d處的公路路面（y=0）.若司機(jī)的眼

睛離公路高1.7m,求d之值.又問，溫度隨高度如何變化？

17.（2019?全國?高三競(jìng)賽）一半徑為R,折射率為n的透明球，其中心為C.在一徑

向方向上取P、Q兩點(diǎn)，使CP=￡CQ=nR.試證，從P點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)界面折射

n

后，總是像從Q點(diǎn)發(fā)出的.

18.（2019?全國?高三競(jìng)賽）帶電粒子飛過長(zhǎng)方體形狀的閃爍計(jì)數(shù)器，沿粒子運(yùn)動(dòng)軌跡

放置閃爍體，閃爍體分子輻射光.在每一點(diǎn)各向輻射等強(qiáng)光，即在各方向強(qiáng)度是均勻

的.求從閃爍器有多大部分光能射出到空氣中？如果閃爍體物質(zhì)的折射率〃=1.6,在

閃爍體中光的吸收不計(jì).附注：圓錐頂立體角等于C=2%（l-cos。），式中。是圓錐軸

與其母線所成角.

19.（2019?全國?高三競(jìng)賽）如圖所示，兩鏡面間夾角c=15。，O4=10cm點(diǎn)發(fā)出的垂

直于4的光線射向右后在兩鏡間反復(fù)反射，直到光線平行于某一鏡面射出，則從4點(diǎn)

開始到最后一次反射點(diǎn)，光線所走的路程是多少？

20.（2019?全國?高三競(jìng)賽）如圖所示為一套干涉裝置，鼻為半反鏡，4、鼻、，，為

平面鏡，以為一反射鏡，其外形為旋轉(zhuǎn)拋物面，由于光屏距2較遠(yuǎn)，可以認(rèn)為只有近

似垂直于光屏入射的光線才能到達(dá).的光軸與2、2的對(duì)稱軸重合.已知激光波

長(zhǎng)為2的拋物線方程為y=光屏到光線在2上的反射點(diǎn)的距離為。.問：

光屏上干涉條紋的間距是多少？

21.（2019?全國?高三競(jìng)賽）一束光入射到一組偏振片上，這個(gè)偏振片組由四塊偏振片

組成，每塊的透振方向相對(duì)于前面一片沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)過30。角.試問入射光中有多大

一部分透過了這組偏振片？

22.（2019?全國?高三競(jìng)賽）設(shè)一束橢圓偏振光與自然光的混合光沿z軸方向傳播，通

過一偏振片.當(dāng)偏振片的透振方向沿x軸時(shí)，透射光的強(qiáng)度最大，為L(zhǎng)5/。；透振方向沿

）'軸時(shí)，透射光的強(qiáng)度最小，為A.問：當(dāng)透振方向與z軸成9角時(shí)，透射光強(qiáng)是多

少？與入射光中的無偏振部分相關(guān)嗎？

23.（2019?全國?高三競(jìng)賽）一架照相機(jī)在離地面200km的高空拍攝地面上的物體.如果

要求它能分辨地面上相距1m的兩點(diǎn)，照相機(jī)的鏡頭至少要多大？（設(shè)鏡頭的幾何像

差已被很好地消除，感光波長(zhǎng)為400nm）

24.（2019?全國?高三競(jìng)賽）已知地月距離約為3.8x10stoM.用口徑為1m的天文望遠(yuǎn)鏡能

分辨月球表面兩點(diǎn)的最小距離是多少？

25.（2019?全國?高三競(jìng)賽）一個(gè)由暗盒組成的針孔照相機(jī)，其小孔直徑為d,暗盒中

像成在小孔后距離為。的感光膠片上，如圖所示，物體位于小孔前乙處，所用波長(zhǎng)為

2.

（1）估計(jì)成像清晰時(shí)小孔半徑的大小.

（2）若使用（1）中算出的小孔，試問：物體上兩點(diǎn)之間的最小距離是多少時(shí)，該兩

點(diǎn)的像可分辨？

26.（2019?全國?高三競(jìng)賽）某業(yè)余無線電玩家住在A鎮(zhèn)，他經(jīng)常與分別住在8鎮(zhèn)和C

市的兩位友人用無線電相互通訊聯(lián)絡(luò).他希望當(dāng)他與其中一人通訊時(shí)，另一人不能同時(shí)

收到訊號(hào).因此他在住家的空地上豎立了兩根垂直于地面的發(fā)射天線S和邑，可以同時(shí)

發(fā)出訊號(hào)，并使兩個(gè)發(fā)射訊號(hào)之間的相位差可在每次發(fā)射前調(diào)整，采用的無線電波的

波長(zhǎng)為人如圖所示，給定的；A3方向線朝AC方向線逆時(shí)針轉(zhuǎn)角夕〈乃；圖中S1、

A、邑三點(diǎn)共線，連線長(zhǎng)度記為廠；A3方向線沿逆時(shí)針方向到S吊方向線的轉(zhuǎn)角記為

a（順時(shí)針方向轉(zhuǎn)角為負(fù)）：A、B間距和A、C間距都遠(yuǎn)大于廣和；I.

（1）取不同的a,找出「可取得的最小值之?；

（2）取臉畫出SA邑連線相對(duì)A3連線和4c連線的方位圖，標(biāo)出相應(yīng)a角的旋轉(zhuǎn)方

向；

（3）取之…對(duì)給定的發(fā)射功率，為使B鎮(zhèn)友人收到的訊號(hào)達(dá)最強(qiáng)，試求輸入加、S2

訊號(hào)間的相位差.

27.（2019?全國?高三競(jìng)賽）某種蜜蜂的眼睛能夠看到平均波長(zhǎng)為500nm的光，它是由

5000個(gè)小眼構(gòu)成的復(fù)眼，小眼一個(gè)個(gè)密集排放在眼睛的整個(gè)表面上.小眼構(gòu)造得很精

巧，頂部有一個(gè)透光的圓形集光裝置，叫角膜鏡；下面連著圓錐形的透明晶體，使得

外部入射的光線會(huì)聚到圓錐頂點(diǎn)連接的感光細(xì)胞上（進(jìn)入一個(gè)小眼的光線不會(huì)透過錐

壁進(jìn)入其他小眼），從而造成一個(gè)“影像點(diǎn)”（像素）；所有小眼的影像點(diǎn)就拼成了一個(gè)

完整的像.若將復(fù)眼看作球面圓錐，球面半徑為r=15〃“，則蜜蜂小眼角膜鏡的最佳直

徑d約為多少？（請(qǐng)給出兩位有效數(shù)字）

28.（2019?全國?高三競(jìng)賽）厚玻璃上方鍍有雙層增透膜，以波長(zhǎng)為2

和單色光垂直入射，設(shè)三束反射光（只考慮一次反射）“、b、c在空氣中的振幅相

等，欲使這三束光相干疊加后的總強(qiáng)度為0,則第一層膜的最小厚度4和第二層膜的

最小厚度4各為多少？

29.（2019?全國?高三競(jìng)賽）如圖所示，波長(zhǎng)久=632.8川"的平行激光束垂直入射到雙棱

鏡上，雙棱鏡的頂角a=3,3（T,寬度W=4.0CT〃，折射率〃=1.5.問：當(dāng)幕與雙棱鏡的距

離分別為多大時(shí)，在幕上觀察到的干涉條紋的總數(shù)最少和最多？最多時(shí)能看到幾條干

涉條紋？

30.（2019?全國?高三競(jìng)賽）圓錐透鏡如圖所示，S,S'為錐面，〃為底面.通過錐頂A

垂直于底面的直線為光軸.平行光垂直入射于底面，現(xiàn)在把一垂直于光軸的平面屏尸從

透鏡頂點(diǎn)A向右方移動(dòng)，不計(jì)光的干涉與衍射.

（1）用示意圖畫出在屏上看到的圖像，當(dāng)屏遠(yuǎn)離錐頂A時(shí)圖像怎樣變化?

（2）設(shè)圓錐底面半徑為R,錐面母線與底面的夾角為尸（3~5）,透鏡材料的折射率為

〃，令屏離錐頂A的距離為x,求出為描述圖像變化需給出的屏的幾個(gè)特殊位置.

31.（2019?全國?高三競(jìng)賽）有一放在空氣中的玻璃棒，折射率〃=1.5,中心軸線長(zhǎng)

L=45CTM,一端是半徑為N=的凸球面

（1）要使玻璃棒的作用相當(dāng)于一架理想的天文望遠(yuǎn)鏡（使主光軸上無限遠(yuǎn)處物成像于

主光軸上無限遠(yuǎn)處的望遠(yuǎn)系統(tǒng)），取中心軸為主光軸，玻璃棒另一端應(yīng)磨成什么樣的球

面？

（2）對(duì)于這個(gè)玻璃棒，由無限遠(yuǎn)物點(diǎn)射來的平行入射光束與玻璃棒的主光軸成小角度

/時(shí)，從棒射出的平行光束與主光軸成小角度。2,求與（此比值等于此玻璃棒的望遠(yuǎn)

系統(tǒng)的視角放大率）

32.（2019?全國?高三競(jìng)賽）圖為投影儀的結(jié)構(gòu)示意圖，4是水平放置的凸透鏡，在其

正上方有一個(gè)與水平面成40。角的平面鏡右，在右邊豎直放著一個(gè)屏幕，當(dāng)物體

（AB）的光線經(jīng)。和右后，在屏上成一個(gè)清晰的像，已知BQ=3（kw,OtO2=30cm,

（1）求凸透鏡。的焦距.

（2）畫出成像的光路圖.

33.（2019?全國?高三競(jìng)賽）半徑均為。的圓盤發(fā)光面S和不透光的圓盤P共軸放置，相

距2d,在P后相距d處旋轉(zhuǎn)光屏Q,在S和尸正中有一凹透鏡L,焦距/=

（1）在S照明下，。上形成的尸的本影和半影的半徑八4；（透鏡的半徑足夠大）

（2）把凹透鏡換成凸透鏡，位置不變，焦距/=求此時(shí)P的本影和半影的半徑4'、

匕.

34.（2019?全國?高三競(jìng)賽）兩塊共軸放置的凸透鏡多和瓶，點(diǎn)光源S.位于透左側(cè),最

終在右的右側(cè)得到一個(gè)實(shí)像S,如圖所示.試用作圖法求出透鏡右和4焦點(diǎn)的位置.

4b

八八s

工,.

……0；..。；.

*V

35.（2019?全國?高三競(jìng)賽）如圖所示，有一半徑R=O128機(jī)的玻璃半球，在其主光軸上

放一長(zhǎng)/=0020"的條形物A&.在主光軸的E點(diǎn)附近可同時(shí)觀察到44的兩個(gè)像，它們

分別是經(jīng)玻璃半球的平面和凹球面反射而成的.當(dāng)條形物的4端與半球平面相距0.020m

時(shí)，兩個(gè)像恰好連接在一起，試求玻璃半球的折射率〃.

36.（2019?全國?高三競(jìng)賽）體溫計(jì)橫截面如圖所示，已知細(xì)水銀柱頂端A離圓柱面頂

點(diǎn)。的距離為2R,R為該圓柱面半徑，C為圓柱面中心軸位置.玻璃的折射率〃=1.5,

E代表人眼，求圖示橫截面上人眼所見水銀柱像的位置、虛實(shí)、正倒和放大倍數(shù).

37.（2019?全國?高三競(jìng)賽）給定一厚度為d的平行平板，其折射率按下式變化：

束光在。點(diǎn)由空氣垂直射入平板，并在A點(diǎn)以角度a射出，如圖所示求

A點(diǎn)的折射率明,并確定A點(diǎn)的位置及平板的厚度.（設(shè)出=L2,r=\3cm,a=30）

38.（2019?全國?高三競(jìng)賽）如圖所示，在某非勻質(zhì)光介質(zhì)中，折射率〃隨y變化,

|取4處〃=/，讓光從y=-4,x=處掠入，光線方程為尸Asin9,求〃與y的

2%)

關(guān)系.

39.(2019?全國?高三競(jìng)賽)圖”是基于全內(nèi)反射原理制備的折射率階躍型光纖及其耦

合光路示意圖.光纖內(nèi)芯直徑50pm,折射率〃尸1.46；它的玻璃外包層的外徑為

125pm,折射率“2=1.45.氫速激光器輸出一圓柱形平行光束，為了將該激光束有效地耦

合進(jìn)入光纖傳輸，可以在光纖前端放置一微球透鏡進(jìn)行聚焦和耦合，微球透鏡的直徑

￡>=3.00mm,折射率“=1.50.已知激光束中心軸通過微球透鏡中心，且與光纖對(duì)稱軸重

合.空氣折射率的=1.0。

(1)為了使光線能在光纖內(nèi)長(zhǎng)距離傳輸，在光纖端面處光線的最大入射角應(yīng)為多大？

(2)若光束在透鏡聚焦過程中滿足近軸條件，為了使平行激光束剛好聚焦于光纖端面(與

光纖對(duì)稱軸垂直)處，微球透鏡后表面中心頂點(diǎn)。與光纖端面距離應(yīng)為多大？

(3)為了使進(jìn)入光纖的全部光束能在光纖內(nèi)長(zhǎng)距離傳輸，平行入射激光束的直徑最大不

能超過多少？

40.(2019?全國?高三競(jìng)賽)一束橢圓偏振光通過一偏振片，透射光的強(qiáng)度將隨著偏振

片的透振方向的轉(zhuǎn)動(dòng)而變化.若測(cè)得最大的透射光強(qiáng)和最小的透射光強(qiáng)分別為/2和

而…問當(dāng)透射方向與光強(qiáng)最大透射方向間的夾角為夕時(shí)，透射光強(qiáng)為多少？

41.（2019?全國?高三競(jìng)賽）在焦距為20.00cm的薄凸透鏡的主軸上離透鏡中心

30.00cm處有一小發(fā)光點(diǎn)S,一個(gè)厚度可以忽略的光楔C（頂角a很小的三棱鏡）放在

發(fā)光點(diǎn)與透鏡之間，垂直于主軸，與透鏡的距離為2.00cm,如圖所示.設(shè)光楔的折射

率〃=1.5,楔角0=0.（）28rad.在透鏡另一側(cè)離透鏡中心46.25cm處放一平面鏡M,其

反射面向著透鏡并垂直于主軸.問最后形成的發(fā)光點(diǎn)的像相對(duì)發(fā)光點(diǎn)的位置在何處？

（只討論近軸光線，小角度近似適用.在分析計(jì)算過程中應(yīng)作必要的光路圖.）

42.（2019?全國?高三競(jìng)賽）田野中有一條直路.一只山羊沿路奔跑的速度不超過v,

沿田野奔跑的速度不超過u,且“＜嘰求山羊在時(shí)間t內(nèi)可能到達(dá)的區(qū)域.

43.（2019?全國?高三競(jìng)賽）將焦距為10。"的一塊雙凸透鏡沿其表面的垂直方向切割成

相同的兩部分，把這兩部分沿垂直于主軸的方向移開一段距離5=0.1?！?，并用不透明

的材料將其擋住，若在原透鏡左側(cè)主軸上，距透鏡光心20cm處放一點(diǎn)光源如圖

所示，點(diǎn)光源能射出波長(zhǎng)為0.5〃%的單色光，那么在透鏡另一側(cè)距透鏡50cm的屏幕

（垂直于透鏡主軸放置）上，將出現(xiàn)多少條亮條紋？

44.（2019?全國?高三競(jìng)賽）焦距均為了的兩個(gè)凸透鏡。、4與兩個(gè)圓形平面反射鏡

放置如圖所示.二透鏡共軸，透鏡的主軸與二平面鏡垂直，并通過二平面鏡的

中心，四鏡的直徑相同，在主軸上有一點(diǎn)光源。.

（1）畫出由光源向右的條光線。4（如圖所示）在此光學(xué)系統(tǒng)中的光路.

（2）分別說出由光源向右發(fā)出的光線和向左發(fā)出的光線各在哪些位置（。點(diǎn)除外）形

成光源。的能看到的像，哪些是實(shí)像？哪些是虛像？

（3）現(xiàn)在用不透明板把4和心的下半部（包括透鏡中心）都遮住，則這些像有什么變

化？

45.（2020?全國?高三競(jìng)賽）如圖，一半徑r=50cm的球形薄壁玻璃魚缸內(nèi)充滿水，水中

有一條小魚。玻璃和水的折射率都是〃=三4，觀察者在不同位置和不同角度對(duì)玻璃魚缸

里的魚進(jìn)行觀察。

（1）當(dāng)魚位于魚缸的中心時(shí)，求觀察者看到的魚的表觀位置和橫向放大率；

（2）當(dāng)魚位于某些位置時(shí)，有時(shí)觀察到魚缸里的魚“消失”，試找出魚可能“消失”的位

置范圍以及觀察者的觀測(cè)位置范圍，并于圖中標(biāo)出，并作簡(jiǎn)要說明。

46.（2020?全國?高三競(jìng)賽）光纖陀螺儀是一種能夠精確測(cè)定運(yùn)動(dòng)物體方位的光學(xué)儀

器，它是現(xiàn)代航海、航空和航天等領(lǐng)域中被廣泛使用的一種慣性導(dǎo)航儀器。光纖陀螺

儀導(dǎo)航主要基于下述效應(yīng)：在一個(gè)半徑為R、以角速度。轉(zhuǎn)動(dòng)的光纖環(huán)路（見下圖）

中，從固定在環(huán)上的分束器A分出的兩束相干光分別沿逆時(shí)針（CCW）和順時(shí)針

（CW）方向傳播后回到A,兩者的光程不一樣。檢測(cè)兩束光的相位差或干涉條紋的變

化，可確定該光纖環(huán)路的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度口。真空中的光速為c。

圖6a

(1)如下圖，光纖由內(nèi)、外兩層介質(zhì)構(gòu)成，內(nèi)、外層介質(zhì)的折射率分別為川、〃2

(〃/>“2)。為了使光能在光纖內(nèi)傳輸，光在輸入端口(端口外介質(zhì)的折射率為〃。)的

入射角，應(yīng)滿足什么條件？

(2)考慮沿環(huán)路密繞N匝光纖，首尾相接于分束器A,光纖環(huán)路以角速度Q沿逆時(shí)針方

向旋轉(zhuǎn)。從4分出兩束相干光沿光纖環(huán)路逆時(shí)針和順時(shí)針方向傳播，又回到A。已知

光傳播介質(zhì)的折射率為〃/，兩束光在真空中的波長(zhǎng)為4，間兩束相干光分別沿光纖環(huán)

路逆時(shí)針和順時(shí)針方向傳播的時(shí)間fCCW和/CW為多少？這兩束光的相位差為多少？

試指出該相差與介質(zhì)折射率〃/之間的關(guān)系。

(3)為了提高陀螺系統(tǒng)的微型化程度，人們提出了諧振式光學(xué)陀螺系統(tǒng)。該系統(tǒng)中含有-

一個(gè)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的光學(xué)環(huán)形腔，其半徑為凡旋轉(zhuǎn)角速度為a(RQ?c),已知

腔中的介質(zhì)折射率為小在腔內(nèi)存在沿逆時(shí)針和順時(shí)針方向傳播的兩類共振模式。當(dāng)

環(huán)形腔靜止時(shí)，這些模式的波長(zhǎng)乙。由周期邊界條件2乃R決定，其中根為正整

數(shù)，稱為共振模式的級(jí)次。當(dāng)環(huán)形腔旋轉(zhuǎn)時(shí)，同一級(jí)次(均為相)的沿順時(shí)針和逆時(shí)

針方向傳播的共掘模式存在--個(gè)共振頻率差//，試導(dǎo)出環(huán)形腔轉(zhuǎn)動(dòng)角速度Q與該共振

頻率差4/之間的關(guān)系。

47.(2020?全國?高三競(jìng)賽)自1964年Yeh和Cummins觀察到水流中粒子的散射光多

普勒頻移至今，激光多普勒測(cè)速技術(shù)已獲得了廣泛應(yīng)用。為了得到足夠的散射光強(qiáng)，

通常在流體中散播尺寸和濃度適當(dāng)?shù)氖聚櫳⑸淞Ｗ?，激光照射到運(yùn)動(dòng)粒子上時(shí)發(fā)生散

射，從而獲得粒子(和流體)的速度信息。設(shè)粒子速度v與豎直方向的夾角為夕。

(1)如下圖所示，一束頻率為了的光被流體中的運(yùn)動(dòng)粒子所散射。光在流體中的傳播速

率為c/〃(n為流體的折射率)，粒子以速度v運(yùn)動(dòng)入射光和觀測(cè)到的散

射光的傳播方向與粒子速度的夾角分別為4和打。求散射光相對(duì)于入射光的頻移量Af

與散射光方向的關(guān)系。設(shè)粒子的速率v=lm/s。光的頻率/=10"Hz,修■能否可以直

接用分辨率為5MHz的光譜儀進(jìn)行檢測(cè)？

（2）如下圖所示，用頻率為了的兩束相干平行光（其傳播方向在同一豎直平面內(nèi)）照射

流體中同一粒子，兩束光與水平面的夾角均為a/2（a比較?。?。兩束光的散射光到

達(dá)光電探測(cè)器的相位分別為玖和〃，散射光的電場(chǎng)矢量方向近似相同且振幅均為4。

光電探測(cè)器輸出的電流強(qiáng)度正比于它接收到的光強(qiáng)，比例常量為大。假設(shè)光電探測(cè)器

的頻率響應(yīng)范圍為1（）2~107Hz,求光電探測(cè)器的輸出電流表達(dá)式。為簡(jiǎn)單起見，假設(shè)

（3）設(shè)XOZ平面內(nèi)兩束相干平行光相對(duì)于X軸對(duì)稱入射到達(dá)相交區(qū)域（見下圖），求干

涉條紋間距：粒子（其速度在XOZ平面內(nèi)）經(jīng)過明暗相間的干涉條紋區(qū)將散射出光脈

沖，求光脈沖的頻率。

宇宙射線時(shí)發(fā)現(xiàn)了電子的反粒子——正電子。此后，人類又陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了反質(zhì)子等反粒

子。

用單粒子能量為6.8GeV的高能質(zhì)子束轟擊靜止的質(zhì)子靶，可產(chǎn)生反質(zhì)子，其反應(yīng)式為

p+p------------------P+P+P+

I

K~+

質(zhì)子和反質(zhì)子湮滅時(shí)可產(chǎn)生兀介子，因此在反質(zhì)子束流中還伴隨有大量兀一介子。下圖

是探測(cè)反質(zhì)子的實(shí)驗(yàn)裝置原理圖。反質(zhì)子M和兀一介子流依次通過閃爍計(jì)數(shù)器加、s2

和S3,S1與邑相距/=12m,在S?和S?之間放置有切倫科夫計(jì)數(shù)器C1和C?。切倫科夫

計(jì)數(shù)器通過探測(cè)切倫科夫輻射(帶電粒子在介質(zhì)中的運(yùn)動(dòng)速度超過介質(zhì)中光速時(shí)所激

發(fā)的電磁輻射)而確定帶電粒子的運(yùn)動(dòng)速度。j僅記錄速度較快的兀一介子，a僅記錄

速度較慢的反質(zhì)子。實(shí)驗(yàn)中S,的作用是檢驗(yàn)前面的計(jì)數(shù)結(jié)果是否真實(shí)。

(1)在上述反應(yīng)中，假設(shè)末態(tài)質(zhì)子和反質(zhì)子速度相同，求反質(zhì)子從加運(yùn)動(dòng)到s2所需的時(shí)

間今。若兀-介子與反質(zhì)子動(dòng)能相同，求兀介子從S1運(yùn)動(dòng)到S2所需的時(shí)間J。

(2)運(yùn)動(dòng)速率為v(v>c/〃)的帶電粒子通過折射率為n的介質(zhì)，求所產(chǎn)生的切倫科夫輻

射傳播方向與帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方向的夾角e。

(3)微分式切倫科夫計(jì)數(shù)器可以記錄速率在某一個(gè)區(qū)間的粒子數(shù)。下圖是其關(guān)于軸線

(圖中虛線)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的原理剖面圖。光收集系統(tǒng)包括半徑為/?的球面鏡和半徑可調(diào)

的環(huán)狀光闌。當(dāng)切倫科夫輻射傳播方向與帶電粒子運(yùn)動(dòng)方向的夾角。很小時(shí)，球面鏡

將帶電粒子激發(fā)的切倫科夫輻射會(huì)聚在其焦平面上，形成半徑為，?的輻射光環(huán)。投射

在計(jì)數(shù)器上。對(duì)于速率為V的帶電粒子激發(fā)的輻射，求光環(huán)的半徑。

(4)反質(zhì)子與質(zhì)子相遇會(huì)發(fā)生湮滅反應(yīng)p+pf3?！?。反應(yīng)末態(tài)粒子的總動(dòng)能與反應(yīng)初態(tài)

粒子的總動(dòng)能之差即為反應(yīng)能Q。為簡(jiǎn)單起見，假設(shè)質(zhì)子和反質(zhì)子的動(dòng)能可忽略。末

態(tài)三個(gè)兀。介子的總動(dòng)能是一個(gè)常量，可用Dalitz圖表示總動(dòng)能在三個(gè)?！憬樽又g的分

配。如下圖所示，Dalitz圖是一個(gè)高為1的等邊三角形，P點(diǎn)到三邊的距離等于三個(gè)兀。

介子的動(dòng)能占反應(yīng)能的比率，即4=2.,/。，表示第，?個(gè)兀。介子的動(dòng)能，

i=1,2,3。以底邊為X軸，底邊中點(diǎn)為原點(diǎn)，底邊上的中垂線為丫軸建立坐標(biāo)系。求P

點(diǎn)可能的分布范圍邊界的表達(dá)式，用反應(yīng)能。、兀。介子質(zhì)量機(jī)『和真空中的光速c表

示。并討論若加.。=0時(shí)，P點(diǎn)的分布范圍邊界的表達(dá)式。

已知：真空中的光速c=2.998xl0*m/s,質(zhì)子質(zhì)量%=938.2720MeV/c2,中性兀介子

質(zhì)量=134.9766MeV/c2,帶電n士介子質(zhì)量=139.5702MeV/<?。

49.(2021?全國?高三競(jìng)賽)如圖，一薄凹透鏡焦距為-20.00cm,一點(diǎn)光源P位于該透

鏡左邊并在透鏡主軸的正上方，P在該透鏡主軸上的投影距透鏡中心。點(diǎn)32.00cm,P

離光軸距離為0.30cm。透鏡的右邊40.00cm處有一曲率半徑為10.00cm的凹面鏡，其

反射面對(duì)著透鏡并垂直于主軸放置。試在近軸近似條件下，求最終點(diǎn)光源P所成的像

點(diǎn)P'相對(duì)于P點(diǎn)的位置，說明此像是實(shí)像還是虛像？

50.（2021?全國?高三競(jìng)賽）（1）一寬束平行光正入射到折射率為”的平凸透鏡左側(cè)平

面上，會(huì)聚于透鏡主軸上的點(diǎn)尸，系統(tǒng)過主軸的截面如圖所示。已知凸透鏡頂點(diǎn)。到

尸點(diǎn)的距離為為。試在極坐標(biāo)系中求所示平凸透鏡的凸面形狀，并表示成直角坐標(biāo)系

中的標(biāo)準(zhǔn)形式。

（2）在如圖所示的光學(xué)系統(tǒng)中，共軸地插入一個(gè)折射率為〃’的平凹透鏡（平凹透鏡的

平面在凹面的右側(cè)，頂點(diǎn)在。、尸點(diǎn)之間的光軸上，到尸的距離為廉<“），使原

來匯聚到廠點(diǎn)的光線經(jīng)平凹透鏡的凹面折射后平行向右射出。

（i）在極坐標(biāo)系中求所插入的平凹透鏡的凹面形狀，并表示成直角坐標(biāo)系中的標(biāo)準(zhǔn)形

式；

（ii）已知通過平凸透鏡后的匯聚光線與主軸的夾角。的最大值為盤穌，求入射平行圓

光束與出射平行圓光束的橫截面半徑之比。

競(jìng)賽專題4光學(xué)

50題競(jìng)賽真題強(qiáng)化訓(xùn)練

一、解答題

1.(2019?全國?高三競(jìng)賽)一近視患者不戴眼鏡時(shí)，只能看清距眼睛a=20cm以內(nèi)的

物體.他發(fā)現(xiàn)，如果在眼前靠近眼睛處放一帶小圓孔的卡片，通過小圓孔不戴眼鏡看

遠(yuǎn)處物體時(shí)也能清晰些.

(1)若小圓孔的直徑為D,試根據(jù)幾何光學(xué)的原理，求出當(dāng)近視患者直視遠(yuǎn)處的一個(gè)物

點(diǎn)時(shí)，在眼睛的視網(wǎng)膜上產(chǎn)生的光斑的直徑.(提示：可將眼睛簡(jiǎn)化成一個(gè)焦距，可調(diào)

的薄透鏡和一個(gè)可成像的視網(wǎng)膜，透鏡兩側(cè)的介質(zhì)均為空氣，視網(wǎng)膜與透鏡的距離為

b.)

(2)再考慮小孔的衍射效應(yīng)，求小圓孔直徑最恰當(dāng)?shù)拇笮?

【答案】(1)A/=—D(2)D—2A4aA?0.49mm

oa

【解析】

【詳解】

眼睛和眼鏡都是幾何光學(xué)成像元件，都是通過透鏡的折射成像的.對(duì)于題中的近視患

者，其眼鏡的遠(yuǎn)點(diǎn)是20cm.

通過小孔，不戴眼鏡也能看清遠(yuǎn)處的物體，是由于小孔限制了進(jìn)入眼鏡的物光束的張

角，從而每個(gè)物點(diǎn)在視網(wǎng)膜上成一個(gè)發(fā)散較小的像斑，其光斑越小，感覺的像就越清

晰，圖示為近視眼觀察物體在有小孔與無小孔時(shí)成像的像斑大小的比較.

■Ml的焦點(diǎn)

(1)當(dāng)物點(diǎn)較遠(yuǎn)，其入射光束近似為平行光束.小孔對(duì)眼睛晶狀體焦點(diǎn)的張角為

D/fM,其中九為看遠(yuǎn)處物體時(shí)眼睛的焦距，即眼睛的最大焦距.視網(wǎng)膜到眼睛晶狀

體的距離為b,從圖中可看出，一個(gè)物點(diǎn)在眼睛的焦點(diǎn)處可會(huì)聚成一個(gè)像點(diǎn)，但到視

網(wǎng)膜上則散成一個(gè)像斑，像斑的直徑為

JM

近視是因?yàn)檠圯S的長(zhǎng)度大于眼睛的最大焦距.當(dāng)遠(yuǎn)點(diǎn)的物剛好能夠在視網(wǎng)膜上成像

時(shí),根據(jù)成像公式訝+:二卷’可得九二焉代入像斑大小的公式,得到

該像斑對(duì)小孔的張角是兇=牛=9

9

(2)考慮小孔的衍射，遠(yuǎn)處物點(diǎn)經(jīng)小孔所成的艾里斑對(duì)小孔的張角為2A4=2xl.221,

在眼睛焦平面上的艾里斑和在視網(wǎng)膜上的艾里斑對(duì)小孔的張角是一樣的，因而，確定

出最適合孔徑的條件是=△。即可得到

D=12.44”、?0.49mm.

【點(diǎn)睛】

本題有兩個(gè)層面的問題需要了解：一是要明白眼睛是一個(gè)構(gòu)造比較復(fù)雜的光學(xué)系統(tǒng)，

入射光線要經(jīng)過角膜表面上的折射和晶體前后表面上的多次折射，眼睛角膜外的介質(zhì)

是空氣，角膜與晶體之間和晶體與視網(wǎng)膜之間都充滿了折射率為1.336的液體.本題

為了使學(xué)生能進(jìn)行分析計(jì)算，提出了一個(gè)簡(jiǎn)化模型，眼球的折射作用簡(jiǎn)化為一個(gè)凸透

鏡，且透鏡兩側(cè)的介質(zhì)都是空氣，這些都與實(shí)際情況本同，此外，眼睛的焦距是可以

調(diào)節(jié)的，觀察者觀察遠(yuǎn)處物體時(shí)，眼睛會(huì)自動(dòng)地調(diào)節(jié)到能看清楚的最遠(yuǎn)處，即物距為

a處，所以解答中的眼睛系統(tǒng)就處于a處物體在視網(wǎng)膜上成像的狀態(tài).另外，作為競(jìng)賽

學(xué)習(xí)者，熟悉基本的光學(xué)儀器的原理及性能是必需的.二是利用光學(xué)儀器觀察物體

時(shí)，其分辨率取決于艾里斑的大小，這與衍射相關(guān)，我們一定要清楚觀察到清晰像的

條件.

2.(2016全國?高三競(jìng)賽)在半導(dǎo)體元件的生產(chǎn)中，為了測(cè)定Si片上的SiO?薄膜厚

度，將SiO,薄膜磨成劈尖形狀.如圖所示，用波長(zhǎng)2=546.1nm的綠光照射，已知

SiOz的折射率為L(zhǎng)46,Si的折射率了3.42,若觀察到劈尖上出現(xiàn)了7個(gè)條紋間距，問

Si。。薄膜的厚度是多少？

【答案】￡>=1.31xl(r6m

【解析】

【詳解】

設(shè)圖中從上到下依次為空氣、SiO?和Si,山丁SiO?的折射率力2小于Si的折射率，所

以光從空氣射入Sio?劈尖的上、下表面反射時(shí)都有半波損失，因此在棱邊（劈膜厚度

"=。處）為明條紋.當(dāng)劈膜厚度d等于光在膜層中半波長(zhǎng)的奇數(shù)倍時(shí)（或者膜層厚度

d的2倍等于光在膜層中波長(zhǎng)的整數(shù)倍時(shí)）都將出現(xiàn)明條紋.所以明條紋的位置應(yīng)滿

足

2d=-k,（/：=0,1,2,...）.

%

因此相鄰明條紋對(duì)應(yīng)的劈膜厚度差為

\d=—

2n2,

所以在劈膜開口處對(duì)應(yīng)的膜層厚度為

D=7x—=1.31xl0^m

【點(diǎn)睛】

干涉發(fā)生在光程差極小的背景卜，利用干涉圖像，可以測(cè)量一些微小尺度或一些微小

的變化.

物理學(xué)的研究是離不開應(yīng)用，相對(duì)于宏觀狀態(tài)的應(yīng)用，對(duì)微小量的測(cè)量對(duì)中學(xué)生而

言，似乎顯得“高、大、卜”一些，其“科研性”也要強(qiáng)一些，因此，它也就自然而然地

成了命題的熱點(diǎn)內(nèi)容.

3.（2019?全國?高三競(jìng)賽）將一偏振片沿45。角插入一對(duì)正交偏振器之間.自然光經(jīng)過它

們，強(qiáng)度減為原來的百分之幾？

【答案】12.5%

【解析】

【詳解】

設(shè)偏振片6，巴正交，則最終通過鳥的光強(qiáng)為

4=0（消光）.

若在《，鳥之間插入另一塊偏振片尸，尸與4夾角為e（如圖所不），則最終通過巴的

光強(qiáng)為

I\=1sin29=I】cos2Osin?^=-/sin220.

8o

式中4為入射光強(qiáng)，/分別為通過4，P后的光強(qiáng).當(dāng)。=45。時(shí)，有

4=1=12.5%

108

偏振也是波所特有的現(xiàn)象之一，光的偏振的計(jì)算屬新大綱增加的內(nèi)容之一，應(yīng)熟練掌

握有關(guān)偏振光的強(qiáng)度的計(jì)算.

4.(2019?全國?高三競(jìng)賽)設(shè)一束自然光和平面偏振光的混合光通過一個(gè)可旋轉(zhuǎn)的理想

偏振片后，光強(qiáng)隨著偏振片的取向可以有5倍的改變.求混合光中各個(gè)成分光強(qiáng)的比例.

【答案】自然光占33.3%,偏振光占66.7%

【解析】

【詳解】

自然光透過偏振片后，光強(qiáng)變?yōu)樵瓉淼?/2；偏振光有一個(gè)可以消光的位置.因此，

U+/,=5x。，

22

解得=2人，即自然光占33.3%,偏振光占66.7%.

了解自然光與平面偏振光的通過偏振片的屬性，便能理解光強(qiáng)5倍變化的原因，進(jìn)而

問題得解.

5.(2019?全國?高三競(jìng)賽)如圖所示，在。點(diǎn)有一個(gè)物屏，上面有一個(gè)發(fā)光小物體。

垂直于物屏有光軸，共軸放置一個(gè)焦距為一的透鏡，光心為C,在距離。點(diǎn)L處共軸

擺放一個(gè)平面鏡。當(dāng)0C距離為內(nèi)時(shí)，發(fā)現(xiàn)經(jīng)過透鏡透射，平面鏡反射，再經(jīng)過透鏡

透射，發(fā)光物體在物屏處成了清晰像。向右移動(dòng)C點(diǎn)到X2處，再次在物屏處成了清晰

像，繼續(xù)向右移動(dòng)C點(diǎn)到0處，又在物屏處成了清晰像。

(1)求出X/,X2,X3;

(2)當(dāng)透鏡位于X/處時(shí)，向上移動(dòng)物點(diǎn)距離△〃，則在物屏上的像向什么方向移動(dòng)了多

少距離。

【答案】(1)玉=.九r=---J；x,=---'；(2)將會(huì)向相反方向移動(dòng)

-232

A/?o

【解析】

【詳解】

(1)在經(jīng)過透鏡L折射之后的像L,作為平面鏡的物所成的像k再反射回透鏡成像回到

原物平面，需要滿足以下條件上與L或者重疊在平面鏡上，或者都在無窮遠(yuǎn)處。我們

現(xiàn)在畫出X/,X2,心分別對(duì)應(yīng)的光路圖

左圖

X\=f

折射后的平行光被反射成像，右圖則是X2,心的情況，物體經(jīng)過折射成像在平面鏡上，

反射之后成像在原物平面上，對(duì)應(yīng)

111

—I----------=一

xL-xf

的兩個(gè)解，整理得到

fa+fLx-x2

X2-LX+fL=O

解得

L±y]l3-4JL

x~~

綜上列出

x,=/,E_L-^l3-^fL_L+^Lr-4fL

-232

(注意，有個(gè)先決條件是L>V，但是如果不滿足的話根本不會(huì)有后面兩種成像情況，

所以不需要分類討論)

(2)當(dāng)物體在用處時(shí)，我們知道經(jīng)透鏡第一次折射之后得到平行光，角度正比于物的大

小，反射后角度相同，再次折射之后在物平面成的像為倒立的實(shí)像，根據(jù)像比例關(guān)系

的傳遞可知與原物等大，故而當(dāng)物體移動(dòng)△/?時(shí)，像將會(huì)向相反方向移動(dòng)A/?。

6.(2019?全國?高三競(jìng)賽)如圖所示，一正六邊形A&AA4A4,每邊均為一平面

鏡.現(xiàn)從A4中點(diǎn)M發(fā)出一條光線，此光線依次經(jīng)44,44，…，AA反射，最后

回到AA2邊，試求光線出射角。的范圍

若將正六邊形44AAiAA換成正”邊形A&LA.，且要求光線依然從M（A4中

點(diǎn)）發(fā)出，先后依次經(jīng)44，A,A....4八反射并回到A4邊，則試求。的范

圍.（以上范圍均用反三角函數(shù)表示）

【答案】arcsin

+++2”(〃+1)

<arcsin（〃為偶數(shù)）

+(〃-爐+27?(H-1)COS—

n

(/?+l)sin”

<0<arcsin("為

+(/?-!)+2〃(〃-l)cos」rr+(?+!)"+2〃(〃+l)cos

奇數(shù)）

【解析】

【詳解】

如圖所示，設(shè)4"=4"=1,A2N=xf由三角形的相似性可知各邊長(zhǎng)度如圖所示,

從而有

6-5x

4/M&

4?3x\

0<x<2

0<^^<2

X

0<3x-2<2

4-3x解之得

0<-^—^<2

x

0<5x-4<2

0<^^<2

x

再由余弦定理，則MN=Jl+x+x2-

故sin，=回吐1°x.則arcsin

MN

2

若換成A&L4,同樣有不等式組，解得現(xiàn)=1+兀=1+

-co+2ipco

sin(180?！猐.xsin—

而，sin。=j[n=7"??x

J1+x2-2xcosf180°-1^1+x2+2xcos—

.2兀

nsin——

于是有arcsin=<0

2兀

n2+(〃+iy+2n(/i+l)cos

n

.2兀

/?sin——

<arcsin(〃為偶數(shù))

2兀

/?2+2n(n-l)cos——

n

(n-l)sin^

arcsin〃=<0

Jn2+(H-1)2+2H(H-1)COS—

(H+l)sin—

〈arcsin',“2(〃為奇數(shù))

J/?2+(/t+l)2+2H(/Z+1)COS—

（注：本題也可采用鏡面作圖法解答）

7.（2019?全國?高三競(jìng)賽）（1）S系為相對(duì)觀察者靜止的慣性參照系.S系中存在以速

度u高速運(yùn)動(dòng)的鏡子，觀察者看到鏡面與速度方向的夾角為凡一光線經(jīng)鏡面反射，如

圖1所示，入射角為反射角為夕.求。、夕、。間滿足的關(guān)系式

圖1

（2）有一橫截面為半橢圓的反射鏡，半橢圓的形狀為竺+￡=1的橢圓沿長(zhǎng)軸平分

4R-R-

的一半.現(xiàn)討論該鏡面上的反射情況.鏡面以沿長(zhǎng)軸（平行于x軸）方向以速度|運(yùn)

動(dòng)，一足夠大平行光場(chǎng)照射到鏡面上，光與豎直方向呈。角（逆時(shí)針為正），如圖2所

示

圖2

①定義：反射光線與豎直方向的夾角小于90。的反射為有效反射.且已知鏡子前半面

（速度方向?yàn)榍埃┑挠行Х瓷涔饩€占前半面入射光線的求。和后半面有效光線占

后半面入射光線比例

②令e=o,平行光場(chǎng)單位長(zhǎng)度光子密度為%=常量.定義反射光的光子角密度

（IN

?（0）=—,e為反射光方向角，求"⑼="⑹a時(shí)的方向角與豎直方向的夾角及

勺e）=；%）max時(shí)的方向角與豎直方向的夾角?（只考慮在地系同時(shí)在某一瞬時(shí)反射的光

子）

sina(l-A)e

【答案】(1)m吟'———(2)①萬=。?54②見解析

(l+￡：)cosa-24％

【解析】

【詳解】

（1）從波陣面角度考慮易知，沿鏡面方向速度對(duì)光反射無作用，直接考慮垂直鏡面方

向關(guān)系可為

sinasin夕sinasin/?

cosa-PcosP+PA1-Pcosa1+&cosf3

vvv或s得蹙k

其中仇='sin。，以匕三式等價(jià)，推導(dǎo)從略.（能夠化歸的關(guān)系均正確）

C

（2）①由尺縮效應(yīng)，運(yùn)動(dòng)后鏡了一的半長(zhǎng)軸為*=欄二=R

因此，在S系看來，鏡子是半圓柱面鏡，而要形成有效反射，其柱面上反射的臨界點(diǎn)

在反射部位的最下端（反射光向前平射），當(dāng)有效反射光線占前半面入射光線的1時(shí),

反射部位的反射面傾角為

2

61=90°x-=60°

3

此時(shí)豎直向上的反射光線的反射角尸=30。.

對(duì)前半面：考慮反射的臨界部位遵循的幾何條件，有

。=60。、a=60?！?、尸=30。，且0，走=顯

八224

sin（60。一°）sin30°

代入（1）中的公式有]〃I端「77萬―亦，解得。=一&21。

1-pvcos（60°~（p）1+pYcos300

廣半面?監(jiān)界狀太計(jì)fTsin（0-|9|）sin（90。-。）

11lr

."心cos（。一呵一力.sin。cos（90°+Pcsin0

解得6=37.6。.

,-sin69

在鏡子系中平行光方向：tan°=cos荷主,解得”=22.6。

鏡面有部分無入射光線半=一±]=_cot夕'fy=0.34/?

dxy4

故地系有入射光的角度為=arccot=70.2°

A

9

所以有效入射光線比例：7-=0-54

②由（1）結(jié)論：

（0、sina（l-/?；sin2a）

=----;--------------------

7（1+/72sin~a）cosa+2sin姐.

2tana（1+tan皿J

=>tan/?=①

（&tana+1）~-tan2a

光子反射前后有圳udlRsina^ioRcosadauqmd/?

當(dāng)"⑶="⑶皿時(shí)，nWmm=芋xl.30,Z?=27.8

當(dāng)"⑺⑶a時(shí)，?,=65.78744522°；a2=-21.174992150

在鏡子系中光線方向tanQ=M二”=旦故上兩解符合

A.3

8.（2019?全國?高三競(jìng)賽）如圖所示，在與偏振方向垂直的偏振片1、2之間插入一塊

厚度為d的波晶片，波晶片的e軸與偏振片1的偏振方向成a角，且波晶片對(duì)。光與e

光的折射率分別為〃。和4,三元件的平面彼此平行，波長(zhǎng)為力的單色光正入射到這一

系統(tǒng)上，試問:

偏振片2

（1）圖中①②③三區(qū)域光的偏振態(tài)；

（2）圖中①②③三區(qū)域光的強(qiáng)度（入射單色光的強(qiáng)度為/）

【答案】見解析

【解析】

【詳解】

（1）強(qiáng)度為/的單色光通過偏振片1后，在區(qū)域①范圍內(nèi)形成線偏振光，其強(qiáng)度為

y.設(shè)其振動(dòng)矢量為耳，振幅為A，此線偏振光投射到波晶片上，將其分解為e振