西工大821自動控制原理-1、習題及答案

第五章線性系統(tǒng)的頻域分析與校正ururuc ur uc 圖5-75R-C網(wǎng)

K K RU

K(s

解（a)依圖： 1

RUr

T1sR1R

RR

T1 1R21

R1

R1G(j)Uc(j)

R2jR1

K1(1 U(

RRjRR

1jT

Uc(s)

1R211

2s

1 2Ur

R1R2

T2s

T2(R1R2G(j)Uc(j)

1

1jUr (Ur

1j(R1R2

1用時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出cs(t和穩(wěn)態(tài)誤差esr(t)sinr(t)sin(t30)2cos(2t解

(s)

s

圖5-76構

(j)

(j)

j44

4 4

()arctan(

e(s)

1

s1s114 e(j)

e(j)arctanarctan(2（1）當r(t)sin2t

2 (

2

18

(j2)arctan(2)2e(

2

58(j2)arctan2

(j2)sin(2t)0.35sin(2t45

e(j2)sin(2t

)0.79sin(2t18.4

r(t)sin(t302cos(2t45

1

rm1

rm2(j1)

55

(j1)arctan(1)2e(j1)

105

e(j1)

arctan(3

cs(t)

(j1)sin[t30(j1)]

(j2)cos[2t45(m0.4sin(t3.4)0.7cos(2t90me(t)r(j1)sin[t30(j1)]r(j2)cos[2t45

( 0.63sin(t48.4)1.58cos(2t26.6h(t)11.8e4t

(t C(s)1s

1.8s

0.8s

s(s4)(s

R(s)s則

(s)

(s4)(s

(j)

(j4)(j解

G(s)K/sG(s)K/s2G(s)K/G(j)K

Kj( ()2

G(j0)G(j)

G(j)

(

Ke()

G(j0)G(j)K

j(3

G(j) (

3

圖解5-

G(j0)G(j)()2G(s)H(s) s(2s1)(s20.5s試分別計算0.5和2A(和相角( G(j)H(j)

j(1j2)((12j0.5A()

1

(12)2()90arctan2arctan1

(0.5)

A(2)(2)G(s)

(2s1)(8sG(s)10(15(15(1162)2解

G(j)G(j)tg12tg18tg1 1 ①ω=0時②ω=0.25③ω=∞

G(j)G(j)G(j)

G(j)G(j)G(j) 圖解5-6（2）Nyquist101 G(j)101G(j)tg1 ①ω=0時

G(j)

,G(j)②ω=∞

G(j)

,G(j)G(s)K(T2s1)

K,T,Ts(T1s 當1時G(j)180

G(

0.5穩(wěn)態(tài)誤差1。試寫出系統(tǒng)開環(huán)頻率特性表達式Gj解先繪制

G(s)K(T2s0(s)K(T2s1)的幅相曲線，然后順時針轉(zhuǎn)180°即可得到Gj0。G0(s)的零極點分布圖及幅相曲線分別如圖解5-7(a)、(b)所示。G(s)的幅相曲線如圖

KlimsG(s)Kvv

1K1，因此K1G(j1)arctanT290arctanT1

1T

G(j1)

1(1jT2)(1jT(1jT2)(1jT11211T1T2j(T1T22

(T1T2)0.51T22T22T12TT22T12T2 T32T2T2(T2

2)

T22T11T20.5K1

G(j)

1j2j(1j0.5)G(s) s(s1)(s2解Gj的零極點分布圖如圖解5-8(a)0G(j0)90G(j1)135G(1)315G(j)0s平面各零極點矢量隨0的變化趨勢，可以繪出開環(huán)幅相曲線如圖解5-8(b)G(s)G(s)

(2s1)(8s1)；G(s)

s2(s1)(10s1)40(s0.5)s(s0.2)(s2s20(3ssG(s)

1)(s24s8(ss(s2s1)(s24s解(1)G(s)

(2s1)(8s圖解5-9（1）Bode (2)G(s)

s2(s1)(10s Bode

G(s)

40(s s(s0.2)(s2s

100(2ss1)(s2s圖解5- s2(4)s2 8(s

0.8

s

25 2s(s2s1)(s24s2

s(s2s1)1s

s 圖解5-

G(s)KG 式中G0(s)為G(s)中，除比例和積分兩種環(huán)節(jié)外的部分。試11K式中，1為近似對數(shù)幅頻特性曲線最左端直線（或其延長線）與0dB線交點的頻率，如圖－77K證依題意，G(s)svKs

的對數(shù)幅頻曲線與0db交點處的頻率值1

KvK(jK(j

0

K1,故vK,

Kv 1圖5－785－11題解(a)依圖可寫出：G(s) (1

1)(

20lgKL()40db

K則 G(s) (

s1)(

s 圖解5-11（a）Bode G(s)

K(

K2s2(

1圖解5-11（b）Bode G(s) (

K1)(

1 20lgK10 K11圖解5-11（c）Bode 已知G1(s、G2(s和G3(s均為最小相角傳遞函數(shù)，其近似對數(shù)幅頻特性曲線G4(s)

G1(s)G2圖5-795-121G2(s)G3圖5-795-12解：(1) L1()20lgK1 K1則 G1(s)G(s) s(

/20lgK21

K2 L3()20lgK320lg0.111K3

G3(s)

s G4(s)將GGG代入得：G(s

1

s(0.125s圖解5- (a)Bode (b)Nyquist解題5-13PNZP1G(s) (T1s1)(T2s1)(T3s0-22G(s) s(T1s1)(T2s0003G(s) s2(Ts0-24G(s)K(T1s (TTs2(Ts 20005G(s)0-26G(s)K(T1s1)(T2s0007G(s) K(T5s1)(T6ss(T1s1)(T2s1)(T3s1)(T4s0008G(s) (K109G(s) (K101G(s) s(Ts1)1-2G(s)

；s(Ts1)(s

(K,TT2KK10TKT解Gj)

(12)(1T22

X()Y(T令Y()0，解出T

1X(表達式并令其絕對值小于TX(T

)KT11T

0K

1或T3

0T

K（1）T2時，0K 2（2）K100T19KT值的范圍如圖解5-14G(s)

10(s22s5)(s2)(s解作出系統(tǒng)開環(huán)零極點分布圖如圖解5-15（a）所示。GjG(j0)Gj10(52G(j)

(2j)(0.5(12)2(1.5)2ImGj)

0 5.5/3.5

ReG(j0)ZP2N12(1)2G(s) s(1

H(s)(s解內(nèi)回路開環(huán)傳遞函數(shù):G0(s)G(sH(s)(sG(j0)G(j0)G(j)0大致畫出G0j的幅相曲線如圖解5-16所示?？梢奊0j不會 Z0P02N0020PZ0由題5-16圖(b)看出:系統(tǒng)開環(huán)頻率特性包圍（-1,j0）點的圈數(shù)N=-1ZP2NZ12N02(1)G(s) s(0.2s20.8s作出系統(tǒng)開環(huán)零極點分布圖如圖解5-17(a)G(j)Gj

j(1j0.2)(1

10[0.8j(10.22G(j0)180G(j0)270G(j)0270limRe[G(j)]幅相特性曲線Gj與負實軸無交點。由于慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)T10.2，小于不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)T21，故(呈現(xiàn)先增大后減小的變化趨勢。繪出幅相特性曲線如圖ZP2N12(1)2G(s)

s2ss(s4

解作出系統(tǒng)開環(huán)零極點分布圖如圖解5-18(a)所示。當0Gj的G(j0)G(j0)90G(j2)153.4G(j2)333.4G(j)0360繪出幅相特性曲線Gj如圖解5-18(b)ZP2N02(1)G(s)G(s)

s(0.2sG(s)

(0.2s1)(s2)(ss(0.1s1)(0.25s100(sG(s) s(s1)(

1)(

解 G(s)

s(0.2s

s(s1)55

1800G(j)hh1G(g圖解5-19 G(s)

(0.2s1)(s2)(s

(s1)(s1)(2s 畫Bode圖判定穩(wěn)定性：Z=P-2N=0-2×(-1)=2系統(tǒng)不穩(wěn)定。由Bode圖得：c6令 G(j)1

解得

cc 令 G(

)tg1g5

1800G(G(g(hG(g(圖解5-19 NyquistG(s)

s(0.1s1)(0.25s

s(

1)(s4

4444

圖解5-19 圖解5-19(4)Bode100(s圖解5-19(4)BodeG(s) s(s1)(

1)(

c

g180(c)h0.343G(s)as11 G(j)

(tg1a18001a22A() c2c 即 4a22

c 1800()c 即 ()tg1a1804501800 ac 聯(lián)立求解（1）、（2）兩式得：c a0.84G(s)

s(s1)

H(s)1Kh解G(s)H(s)10(1Khs(s

圖解5-G(j)H(j)10(Khjj(j h()9001800tg1tg1K h htg1tg1K hcKhc1c1Khc21Kh 1c由Bode c法(二

KhG(j)H(j)10(1Khj)u()jv()j(j1)10(1K

10(K2u() (2

;v() (2令v(0

10(K21)

211Khhh 1Khhh又 u()10(1Kh)(2

代入(1)

)(

KhKh 10K29K1

K9

Kh

,

1（舍去）1故當 1/秒，Kh110時，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定1Ke0若單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)

s

G(j)

1

ej0

G(j) 1相頻特性 ()ej08111

1

0.8 G(j)

()G(j)0.8tg1由(2) tg1

tg(tg1)tg(0.8)K1 1解出 c

K5s2G(s)

(s解 G(j)

(12)2

G(j)1800180

由 12 11.618, 20.618(舍去）18036004tg解得：τ=1.3686,由圖可見：當τ〈1.3686時，G(jω)不包圍(-1,j0)點,所以的穩(wěn)定范圍 G(s)

s(

1)(

()90arctan

arctan2

c

180(c)G(s)

s(s1)(s

c110c1180(c1)2.85ooooo

0.160.4

1)=sts

對于典型二階系統(tǒng)，已知參數(shù)n3，0.7，試確定截止頻率c和相角裕度。解 G(s)

s(s2n

s(s20.7

s(

繪制開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線L()如圖解5-25所示，c180(c)對于典型二階系統(tǒng)，已知％=15％，ts3s，試計算相角裕度。解G(s) 1s(s21依

15o

ts33.5

G(s)

s(s20.517 繪制開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線L()如圖解5-26所示，c180(c)解由G(s)交接頻率：1

,

,3

ω3--472----------------M------0-----()05----------圖解5- G(s)10(1s)

G(s)

1

ss(1 s

圖5-83某控制系統(tǒng)結(jié)構解

G(s)G1(s)G2(s)20lg48

s(18s)(1s118

2

3 c

查圖5-56

%21%

t6.61.13 C(2)Mr,C當ω=5L(ω)=0,(ω)=-

Mr

(r65),C查圖5-62

%21%

t6.81.13 C(3) 123456789 530-----(°)-------112.5-115.5--- 10- - --- M0

Mr

Mr7fb27

f103 3

fa2

fa1.19M(faN 41.19 FfaMr71.13f6 M %[41Ln(NF)17]%t2.16F0.40.6 a已知控制系統(tǒng)結(jié)構圖如圖5-84所示。當輸入r(t)2sintcs(t)4sin(t45。試確定系統(tǒng)的參數(shù)n解(s) nns22snn nn

(j1)arctan2n21nn1.2440.22

18oots0.05soo0.160.4

t cK02

(oo0.16)1 K0

212.1所求的頻域指標為

41.8，c212.1解由圖5-85寫出閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)(s)

(s

1)(sG(s)

1K0.5

s(s2.825)(s

180

)90

c1 2.825 4.425tg601

2

12.5解 c12.02

K1K2.020.54.04G(s)

s(0.2s1)(0.5s若要求系統(tǒng)最大輸出速度為2(r/min)，輸出位置的容許誤差小于2oGc(s)

0.4s0.08s 解(1)確定滿足 2（轉(zhuǎn)/分）=120/秒和e20的K KG(s)

CMax6（1/秒6

c

2 '90oarctg0.2'arctg0.5'2 g20lgh'Gc(s)G(s)

6(0.4ss(0.08s1)(0.2s1)(0.5s62.5

62

"90oarctg0.4"arctg0.2"arctg0.08"arctg0.5 算出g7.3,h2.37120lgh7.5dBG(s)

s(s在單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差ess115解依e

11

Kc 1800G(j)1800900 900arctan3.873定c7.5b

(ABACAB11.5dB,過C點作20dB/dec直線交出D點（D2），令DCCE）得E點（E28.125）sG(s) 1且有：mcsG(s)G(s)

s(s1K1v ess 1K1vc"7.5(rad/ "1800G(")G carctg"67.7320cG(s)

s(s1)(0.25s G(s) s(s1)(4

KKv

c

5180(c)

采用串聯(lián)遲后校正。試探c，使455取1取2取3取

(0.8)180(0.8)(0.5)180(0.5)(0.6)180(0.6)c3過c0.6BCACBAD(D0.1c0.06D作-20dB/dec線交0dBE(E0.0072)?？梢远ǔ鲂Ｕb置的傳遞函數(shù)s

G(s)D

5(

G(s)G(s) scss(s4

G(s) s(0.2s1)(0.0625s G(s)

s(0.2s1)(0.0625s

s(s1)(

校正前 c

14.145900arctgcarctgc 5 m"100300(220)100m超前校正后截止頻率c大于原系統(tǒng)c14.14，而原系統(tǒng)在16之后相角下降很快，用一級超前網(wǎng)絡要求。"50經(jīng)試算在2.4處 (2.4)∴ c"對

") 40 在c2.4以下24.436dB畫水平線，左延10dec到對應ω=0.24處,作20dBdec線交線到E：

0.240.015，因此可得出遲后校正裝置傳遞函數(shù)： 1 G(s) 140 G(s)G(s)

s s

"900

arctan2.4arctan2.4

90084.29025.6408.53089.642050.480g"由Bodeh20lg

"20

408.61.991.29

18.9dB30gg幅值裕度h不滿足要求。為增加h，應將高頻段壓低。重新設計：使滯后環(huán)節(jié)高頻段幅值衰減40dB(g8.9)。求對應20lgG(c'")40dB處的cggLc"

20

lgcc40102100 "'cc"'(0.4)900arctan0.4arctan0.4 查慣性環(huán)節(jié)表,在0.7c0.28處：0840340以20dBdec交0dB線于E：（E0.0028）， G(s) "'

在 處:

20lg

20

G(s)G(s)

s s

驗算：g"'h20lgGcG(

408.6408.61.991.1353

1800G

0.4arctan0.4arctan0.4

c9005504.5701.432089.60

因此確定 G(s) 3.57s1

357sG(s) s(s1)(0.25s解在2 KKv

180G(jc)

4

90

m54505 圖5-65(b)得

a8

10lga過c2BCBAAC；過C作20dB/dec線并且左右延伸各3D、EF5252*c2

2E0.1c0.12F

E

0.20.67Gc3s

G

5

Gc(s)G(s)

s(s

arctan248.876性分別如圖5-86(a)、(b)和(cL0LC所示。要求：分析各GC(s解 G(s) 0c0

s(

0180

)18090arctan14.14

(s)s 10sG(s)

(s)

(s)

s(

20(s1)(

20

，

caa180a(ca)a550

穩(wěn)定性增強oo減小可

ca2

(b)未校正系統(tǒng)頻率指標同(a)s (s)

s

sG(s)

(s)

(s)

s1s(s s(

cb20c0

可

b180

)78.7

00減小

G(s)

(

1)(

1)(

GC

(s)1020(T2s1)(T3s(Ts1)(Ts (s)

(s)

0(s)0

K010

(T2s1)(T3s(c

C(s

(Ts1)(Ts1)(

1)(

1)(

階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差減??；中頻段

動態(tài)性能得到改G(s)

抗高頻干擾的能力下降。Ks(s3)(s根據(jù)所求得的Ｋ值，求出系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下的調(diào)節(jié)時間ts，以及靜態(tài)速度KV；

20，σ％≤17ts 0.160.4(Mr 0.1610.20.16

由(6-

M

arcsinM

1800

arctan5

arctan9

tg24.60[27c2]c226.21c27