四川大學期末考試試題(閉卷)20162017春微積分

四川大學期末考試一試題（閉卷）（（2016——2017學年第2學期）A卷課程號：201138040課序號：課程名稱：微積分（I）-2任課教師：成績：合用專業(yè)年級：學生人數(shù)：印題份數(shù)：學號：姓名：考生許諾我已仔細閱讀并認識《四川大學考場規(guī)則》和《四川大學本科學生考試違紀舞弊處罰規(guī)定（校訂）》，鄭重許諾：1、已按要求將考試嚴禁攜帶的文具用品或與考試相關的物件擱置在指定地址；2、不帶手機進入考場；3、考試時期恪守以上兩項規(guī)定，如有違規(guī)行為，同意依照相關條款接受辦理。考生署名：注：考試時間120分鐘。請將答案寫在答題紙規(guī)定的方框內(nèi)，不然記0分。一、填空題(每題3分，共21分)1．曲面z2xy上點(1,0,2)處的切平面方程為．20x317y32．limx2y2=．x0y0．設為2222223xyz:(1，則(xyz)dxdydz．4．設L是yx21上從(0,1)到(2,3)的有向曲線，則ydxxdy．L5.設地區(qū)D是由yx2與yx圍成的，則Dxydxdy．6.設曲線L的方程為x2y21，則(x22．7y)ds=L7.微分方程xyyx2知足y(3)4的特解為．二、解答題(每題9分，共36分)1.設曲面為zx2y2(x2y2:(1)，求(20xy17y2)dS．2.設曲面為z1x2y2，方向為上側，求x2dydzy2dzdx5z3dxdy．第1頁，共2頁3.求微分方程y2yy6xex的通解．4.設f(x,y)的二階偏導都連續(xù)，f(0,0)0，fx(0,0)fy(0,0)1，fxx(0,0)2，函數(shù)zz(x,y)由zf(xy,yz)確立，求zx(0,0)、zy(0,0)、zyx(0,0)．三、綜合題(每題9分，共18分)x2y2,(x,y)(0,0)1．討論函數(shù)f(x,y)(2x27y2)3/2在點(0,0)處的以下性質(zhì)：0,(x,y)(0,0)（1）偏導數(shù)的存在性；（2）函數(shù)的連續(xù)性；（3）函數(shù)的可微性．2．設f(x)連續(xù)，f(1)2017，當x0時f(x)0，曲線積分ydxxdy2f(x)2017yLydxxdy在不含原點的單連通地區(qū)上與路徑?jīng)]關，求：（1）f(x)的表達式；（2）f(x)2，L2017y此中L為x22017y21，L的方向規(guī)定為逆時針方向．四、應用題(每題9分，共18分)1.設曲面是由yoz平面上的曲線zy2繞z軸旋轉產(chǎn)生的，曲面與平面xyz12z圍成的立體記為，求：（1）曲面的方程；（2）曲面與平面xy1的交線在xoy2平面上的投影的曲線方程；（3）計算的體積．(提示：利用x1cos、y1sin)zx2y22.在橢圓拋物面與平面z20圍成的空間地區(qū)中內(nèi)置一個長方體，假定該長方204體的一個面位于z20上，長方體的其余面都與某個坐標平面平行，求長方體的體積的最大值．五、證明題(7分)設地區(qū)D為x2y2:(1，Isin(x2y2)5/2dxdy，求證：D10t5sint（1）I21dt；（2）I22/7；（3）I3/4．參照解答及其評分標準一、填空題：（每題3分，共21分）、曲面y上點(1,0,2)處的切平面方程為.1z=2x解：z(1,0)=0，z(1,0)=0，故切平面方程為z-2=0.x20x3+17y3y2、lim=.22x→0+yy→0x解：lim20x3+=limρ(20cos3θ+17sin33θ)=0.x→017yρ→0+·y→0x2+y2?3、設?為x2+y2+z2(x2+y2+z2)dxdydz=.?1，則2ππ1?1422解：原式=′′′·π··=π.′θ0d?0r5drsin?dr=25ydx+xdy=.4、設L是y=x-1上從(0,-1)到(2,3)的有向曲線，則′2L′解：直接代入曲線方程，Lydx+0xdy=、設地區(qū)是由2與y=x圍成的，則?2-1+x·2x)dx=6.Dxydxdy=.5y=x11D11x35D?xydxy=′dx′′?(x-x)dx=.解：0x2xydy=0.6、設曲線L的方程為x2+y2=1，則2(x2+7y2)ds=24??2L解：由曲線L的對稱性2ds=，xydsLL4???ds=8π.∴L(x2+7y2)ds=4L(x2+y2)ds=4L7、微分方程xy，+y=x2知足y(3)=4的特解為.解：∵(xy)，21x3+C，由y(3)=4可得：=x，xy=312312=9+C，于是C=3，∴y=x+.x35二、計算題：（每題9分，共36分）?2+y2（22?、設曲面Σ為），求(20xy+17y2)dS.z=x+y?11?Σ解：由曲面Σ的對稱性xydS=0，............Σ?x2dS=?y2dS，.......................Σ?Σ∴(20xy+17y2)dSΣ217=?(x+)dS2y2Σ(x2+y2)dxdy17√?....................................=22x2+y2?1√′2π′1=173220dθ0ρdρ..............................................1分分2分2分2分17√....................................................................1分=2π4??}1-x2-y2，方向規(guī)定為上側，2dydz2、設曲面為z=求x藝y2dzdx++5z3dxdy.解：增補平面z=0，使得它們與曲面}圍成關閉的立體?，曲面方向都指向外側；............................................................1分明顯在增補的平面上，曲面積分為零，.....................................1分于是由高斯公式可得z3dxdy=?(2x+2y+15z2)dxdydz;?x2dydz+y2dzdx+5...........1分藝?由立體?的對稱性，??ydxdydz=0;.........................2分xdxdydz=?2?1?2?dxdydz=′zdxdy..........................1分用截面法計算三重積分?z0dzDz′2)=2分12·π(1-=0z15?z2dydz+y2dzdx+5z3dxdy=15?2dxdydz=2π..............1分所以，xz藝??z2dxdydz另解：前面解答步驟習題，用球面坐標計算三重積分2ππ/21222?′′′sin?dr...............................................1分=0dθ0d?0rcos?·r2′′dr=π.................................................2分=2ππ/2cos?sin?d?1?04?r22032dydz+ydxdy=15dxdydz=2π..............1分所以，藝xdzdx+5zz?63、求微分方程y，，+2y，+y=6xe-x的通解。解：特點方程為r2+2r+1=0，........................1分r=-1是二重根，..........................1分于是對應齊次方程的通解為(C12-x..................分x+C)e2設z=u(x)e-x是原方程的特解，代入并整理可得u，，...............................................................2分=6x，于是可取u，=3x2，u=x3，.......................................1分進而z=x3e-x是原方程的特解；..................1分所以，原方程的通解為(x312-x................分+Cx+C)e14、設f(x,y)的二階偏導數(shù)都連續(xù)，f(0,0)=0，fx，(0,0)=fy，(0,0)=，，=2，函數(shù)z=z(x,y)由z=f(x+，1，fxx(0,0)y,yz)所確立，求zx(0,0)、，，，zy(0,0)、zyx(0,0).解：zx，(x,y)=f1，(x+y,yz)+yzx，(x,y)f2，(x+y,yz)，.........................2分zy，(x,y)=f1，(x+y,yz)+[z+yzy，(x,y)]f2，(x+y,yz)；........................2分代入x=0、y=0、z(0,0)=0可得：zx，(0,0)=zy，(0,0)=f1，(0,0)=fx，(0,0)=1......................................2分因為zy，(x,0)=f1，(x,0)+z(x,0)f2，(x,0)，再對x求導可得....................1分，，，，，，，，...................1分zyx(x,0)=f11(x,0)+zx(x,0)f2(x,0)+z(x,0)f21(x,0)，代入x=0、z(0,0)=，，=1、f，，0、zx(0,0)=1、f2(x,0)11(0,0)=2，，=3..................................................................................1分可得：zxy(0,0)7三、綜合題：（每題9分，共18分）x2y21、討論f(x,y)(2x2+7y2)3/2,(x,y)/=(0,0)在原點的以下性質(zhì)：=0(x,y)=(0,0)（1）偏導數(shù)的存在性；（2）函數(shù)的連續(xù)性；（3）函數(shù)的可微性。解：（1）∵f(x,0)=0，∴f，(0,0)=df(x,0)|=0；..............1分xdxx=0∵f(0,y)=0，∴yf，(0,0)=df(0,y=0=0；偏導數(shù)都存在。................1分y)|dy（2）令x=ρcosθ，y=ρsinθ，2θ那么limf(x,y)=limcos2θsin..........................................................................................1分ρ·223/2x→0ρ→0+(2cosθ+7sinθ)y→0cos2θsin2θ因為cos2θsin2θ1分(2cos2θ+7sin2?√是有界函數(shù)，.......................22θ)3/2所以limf(x,y)=0=f(0,0)，函數(shù)f(x,y)在點(0,0)處連續(xù)。.......1分x→0y→0（3）因為limf(?x,?y)-f(0,0)-?x·fx，(0,0)-?y·fy，(0,0).......1分?x→0?(?x)2+(?y)2?y→0=lim(?x)2(?y)22...........................................................................................................................1分22x→0[2(?x)+7(?y)]y→0?x→0k2)2.該極限與k相關，所以極限不存在，...............1分=lim(2+?y=k?x7k2進而函數(shù)在原點不能夠微。.....................................................1分8，2、設f(x)連續(xù)，f(1)=2017，當x/=1時f(x)>0，曲線積分（2）ydx-xdy，L為x2+2017y2=1，方向為逆時針。在不含原點的單連通地區(qū)上與路徑?jīng)]關，求：（1）f(x)的表達式；?Lf(x)+2017y2，..........?y2)=f(x)-2017y22解：（1）既然(?-x?yf(x)+2017y(2f(x)+，20172y)f(x)+2017y-xf(x)

ydxxdy′-Lf(x)+2017y21分(-2)=，分?xf(x)+(f(x)+)2..............12017y2017y2由題設可得xf，2f(x)，于是f(x)=Cx2；.................................1分(x)=利用f(1)=2017可得f(x)=2017x2；...............................1分（2）設l為半徑充分小的圓x2+y2=E2，方向為逆時針；L與l之間的地區(qū)記為D，l圍成的地區(qū)記為，1分D，...........................................................那么由格林公式，?ydx-xdy?0dxdy=0....................................1分L-l=x2+y2?ydx-xdy?D=ydx-xdy=12-2dxdy=-2π.............................2分l1x2+y2?ED!)（?ydx-xdy+?ydx-xdy于是原式=1E2l=-2π...................1分2017L-lx2+lx2+2017y2y2四、應用題：（每題9分，共18分）1、設曲面Σ是由yoz平面上的曲線z=y2繞z軸旋轉產(chǎn)生的，曲面Σ與平面x+y+z=1圍成的立體記為?，求：（1）曲面Σ的方程；2z2）曲面Σ與平面x+y+2=1的交線在xoy平面上的投影曲線方程；（3）計算立體?的體積(提示：利用x+1=ρcosθ、y+1=ρsinθ)。解：（1）曲面Σ的方程為z=x2+y2；..........................2分（2）投影曲線為(x+1)2+(y+1)2=4.......2分........z=0Dxy（3）V?(2-2x-2y-x2-y2)dxdy1分=........................=?(4(x+1)2-(y+1)2)dxdy..........................................1分-Dxy21分=?(4ρ)ρdρ.................................................................dθDxy-′23′2π9=0dθ0(4-ρ)dρ..............................................................1分=8π...........................................................................................1分102、在橢圓拋物面zy20=x2與平面z=20圍成的空間地區(qū)中內(nèi)置一個42+長方體，假定該長方體的一個面位于平面z=20上，長方體的其余面都與某個坐標平面平行，求長方體的體積的最大值。zy2解：設第一象限中20=x24上的點(x,y,z)是