多元函數(shù)微分學(xué)習(xí)題課(高數(shù))超經(jīng)典課件

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一、基本概念

二、多元函數(shù)微分法三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)一、基本概念連續(xù)性偏導(dǎo)數(shù)存在方向?qū)?shù)存在可微性1.多元函數(shù)的定義、極限、連續(xù)

定義域及對應(yīng)規(guī)律

判斷極限不存在及求極限的方法

函數(shù)的連續(xù)性及其性質(zhì)2.幾個(gè)基本概念的關(guān)系機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1.討論二重極限解法1解法2令解法3令時(shí),下列算法是否正確?解法3令機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束此法忽略了

的任意性,極限不存在!由以上分析可見,三種解法都不對,因?yàn)槎疾荒鼙ＷC自變量在定義域內(nèi)以任意方式趨于原點(diǎn).特別要注意,在某些情況下可以利用極坐標(biāo)求極限,但要注意在定義域內(nèi)r,

的變化應(yīng)該是任意的.同時(shí)還可看到,本題極限實(shí)際上不存在.提示:利用故f在(0,0)連續(xù);知在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在,但不可微.4.證明:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束而所以f

在點(diǎn)(0,0)不可微!機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、多元函數(shù)微分法顯示結(jié)構(gòu)隱式結(jié)構(gòu)1.分析復(fù)合結(jié)構(gòu)(畫變量關(guān)系圖)自變量個(gè)數(shù)=變量總個(gè)數(shù)–方程總個(gè)數(shù)自變量與因變量由所求對象判定2.正確使用求導(dǎo)法則“分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)”注意正確使用求導(dǎo)符號3.利用一階微分形式不變性機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解法2方程兩邊求微分,得化簡消去即可得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解答提示:第1題機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束P73題12

設(shè)求提示:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束①②利用行列式解出du,dv：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束代入①即得代入②即得有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),及分別由下兩式確定求又函數(shù)答案:(考研）機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.設(shè)三、多元函數(shù)微學(xué)的應(yīng)用1.在幾何中的應(yīng)用求曲線在切線及法平面(關(guān)鍵:抓住切向量)

求曲面的切平面及法線(關(guān)鍵:抓住法向量)

2.極值與最值問題

極值的必要條件與充分條件

求條件極值的方法(消元法,拉格朗日乘數(shù)法)

求解最值問題3.在微分方程變形等中的應(yīng)用

最小二乘法機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.在第一卦限作橢球面的切平面,使其在三坐標(biāo)軸上的截距的平方和最小,并求切點(diǎn).解:設(shè)切點(diǎn)為則切平面的法向量為即切平面方程機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束令由實(shí)際意義可知為所求切點(diǎn).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束唯一駐點(diǎn)例5.求旋轉(zhuǎn)拋物面與平面之間的最短距離.解：設(shè)為拋物面上任一點(diǎn)，則P

的距離為問題歸結(jié)為約束條件:目標(biāo)函數(shù):作拉氏函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束到平面上求一點(diǎn),使該點(diǎn)處的法線垂直于練習(xí)題：1.在曲面并寫出該法線方程.提示:設(shè)所求點(diǎn)為則法線方程為利用得平面法線垂直于平面點(diǎn)在曲面上機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.在第一卦限內(nèi)作橢球面的切平面使與三坐標(biāo)面圍成的四面體體積最小,并求此體積.提示:設(shè)切點(diǎn)為用拉格朗日乘數(shù)法可求出則切平面為所指四面體圍體積V最小等價(jià)于