《應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》教案5.3 多變量?jī)?yōu)化問題

長(zhǎng)沙民政職業(yè)技術(shù)學(xué)院教案長(zhǎng)沙民政職業(yè)技術(shù)學(xué)院教案數(shù)學(xué)應(yīng)用基礎(chǔ)課題多變量?jī)?yōu)化問題授課課時(shí)2課型新授課教案編號(hào)5-3教學(xué)目標(biāo)（知識(shí)、技能、素質(zhì)）：知識(shí)目標(biāo)：掌握?qǐng)D解法的基本步驟和線性（非線性）規(guī)劃問題的EXCEL求解方法2、技能目標(biāo)：分析解決問題的能力和數(shù)學(xué)建模的能力3、素質(zhì)目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生理性的思維方式和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)教學(xué)重點(diǎn)：圖解法和線性（非線性）規(guī)劃問題的EXCEL求解方法教學(xué)難點(diǎn)：利用EXCEL求解線性（非線性）規(guī)劃問題主要教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)式、講授法教學(xué)環(huán)節(jié)與內(nèi)容一、問題引入在日常生活、經(jīng)濟(jì)管理和科學(xué)研究等領(lǐng)域，人們經(jīng)常會(huì)遇到一類決策問題：在一系列客觀或主觀限制條件下，尋求使所關(guān)注的指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)(最大或最小)的決策。例如，資源分配要在有限資源約束下，制定最優(yōu)分配方案，使資源產(chǎn)生的總效益最大；生產(chǎn)計(jì)劃要按照產(chǎn)品生產(chǎn)流程和市場(chǎng)需求，制定原料、零件和部件的最佳訂購時(shí)間點(diǎn)，盡量降低生產(chǎn)成本使利潤(rùn)最高；運(yùn)輸方案要在滿足物資需求和裝載條件下，安排從各供應(yīng)點(diǎn)到需求點(diǎn)的最優(yōu)路線和運(yùn)量，使運(yùn)輸總費(fèi)用最低等。二、新課講授線性規(guī)劃1.線性規(guī)劃問題需要滿足三個(gè)條件：(1)有一組決策變量，它表示要尋求的方案，每一組值對(duì)應(yīng)一個(gè)具體方案。(2)存在一組約束條件，且表示約束條件的數(shù)學(xué)式子都是線性等式或不等式。(3)有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，且目標(biāo)函數(shù)是線性函數(shù)。線性規(guī)劃模型的一般形式為這里()都為常數(shù)。2.圖解法圖解法的基本步驟如下：（1）根據(jù)約束條件畫出可行域；（2）根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式畫出目標(biāo)函數(shù)等值線，并標(biāo)明目標(biāo)函數(shù)值增加的方向；（3）在可行域中，尋求符合要求的等值線與可行域邊界相切的點(diǎn)或點(diǎn)集，并求出最優(yōu)解和最優(yōu)值。案例1求解線性規(guī)劃問題解此題的約束條件同例1，因此，其可行域完全相同。畫出等值線，即，容易看出，等值線與直線BC平行，且等值線離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，目標(biāo)函數(shù)值越大。當(dāng)?shù)戎稻€向右上方移動(dòng)時(shí)，它與可行域邊界相切時(shí)不是一個(gè)點(diǎn)，而是在整個(gè)線段BC上相切，如圖5-2。這時(shí)在B點(diǎn)、C點(diǎn)及BC線段上的任意點(diǎn)都使目標(biāo)函數(shù)值達(dá)到最大，即該線性規(guī)劃問題有無窮多最優(yōu)解，若取最優(yōu)點(diǎn)B，則最優(yōu)解為，最優(yōu)值為16。圖5-2無窮多最優(yōu)解情形案例2求解線性規(guī)劃問題解首先在平面直角坐標(biāo)系中畫出可行域，它是無界區(qū)域，如圖5-3。作等值線，即，容易看出，等值線離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，目標(biāo)函數(shù)值越大。但由于問題可行域無界，等值線可以無限制地向右上方移動(dòng)，即目標(biāo)函數(shù)值可以增大至無窮大。該情況下稱問題具有無界解或無最優(yōu)解。圖5-3無最優(yōu)解情形3.線性規(guī)劃問題解的性質(zhì)含兩個(gè)變量的線性規(guī)劃問題的解有下面四種情況：（1）有可行解且有唯一最優(yōu)解（2）有可行解且有無窮多最優(yōu)解（3）有可行解但無最優(yōu)解（4）無可行解解的情況有：唯一最優(yōu)解、無窮多最優(yōu)解、無界解、無可行解。4.使用EXCEL求解線性規(guī)劃問題當(dāng)變量多于兩個(gè)時(shí)，線性規(guī)劃問題不能用圖解法，此時(shí)，我們一般借助軟件求解。EXCEL的“規(guī)劃求解”工具可以解決最多有200個(gè)變量，100個(gè)外在約束和400個(gè)簡(jiǎn)單約束(決策變量整數(shù)約束的上下邊界)的線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃問題。案例3求解線性規(guī)劃問題：解第一步：輸入數(shù)據(jù)。圖5-5數(shù)據(jù)輸入第二步：描述約束條件左端和目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式。圖5-6描述約束條件左端和目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式第三步：設(shè)置求解參數(shù)第四步：求解模型。圖5-8“規(guī)劃求解結(jié)果”對(duì)話框圖5-9規(guī)劃求解結(jié)果從圖5-9可以很容易看出，當(dāng)變量時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的最大值為．注意：使用“規(guī)劃求解”工具解線性規(guī)劃問題時(shí)，EXCEL只能幫我們判斷最優(yōu)解是否存在并找到一個(gè)最優(yōu)解，并不能確定是否為唯一的最優(yōu)解。非線性規(guī)劃定義1非線性規(guī)劃問題：如果一個(gè)優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件中，至少有一個(gè)表達(dá)式是非線性關(guān)系。案例4某公司生產(chǎn)和銷售兩種產(chǎn)品，已知每生產(chǎn)單位產(chǎn)品的工時(shí)、電力和原材料消耗如表5-2所示。表5-2工時(shí)、電力和原材料的消耗表產(chǎn)品Ⅰ產(chǎn)品Ⅱ日允許消耗量工時(shí)37300（工時(shí)）電力45250（千瓦）原材料94420（千克）兩種產(chǎn)品的單價(jià)與銷量之間存在負(fù)線性關(guān)系，分別為，工時(shí)、用電量和原材料的單位成本分別是10、12和50，總固定成本是10000。該公司怎樣安排生產(chǎn)，所獲利潤(rùn)最大。解(1)建立問題的數(shù)學(xué)模型：設(shè)生產(chǎn)Ⅰ、Ⅱ兩種產(chǎn)品的日產(chǎn)量分別為單位，則銷售收入分別為和，產(chǎn)品Ⅰ的可變成本為，產(chǎn)品Ⅱ的可變成本為，總固定成本是10000，因此利潤(rùn)函數(shù)可表示為由于工時(shí)每天可供使用量不能超過300，而生產(chǎn)1單位產(chǎn)品Ⅰ需要3個(gè)工時(shí)，生產(chǎn)1單位產(chǎn)品Ⅱ需要7個(gè)工時(shí)，故有，同理，因受電力、原材料的限制，可以得到以下兩個(gè)不等式此外，根據(jù)問題的實(shí)際意義，應(yīng)該取非負(fù)數(shù)。綜上所述，建立問題的數(shù)學(xué)模型為：該模型為非線性規(guī)劃模型。(2)使用EXCEL求解該模型：第一步：輸入數(shù)據(jù)圖5-10數(shù)據(jù)輸入第二步：描述目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式和約束條件左端圖5-