信號與系統(tǒng)討論課講稿ssnd課件

優(yōu)秀精品課件文檔資料優(yōu)秀精品課件文檔資料第6章信號的矢量空間分析信號矢量空間的基本概念；信號的正交函數(shù)分解；相關(guān)；能量譜和功率譜；信號通過線性系統(tǒng)的自相關(guān)函數(shù)、能量譜和功率譜分析相關(guān)、正交概念的應(yīng)用：匹配濾波器，CDMA第6章信號的矢量空間分析信號矢量空間的基本概念；§6.1

信號矢量空間的基本概念線性空間范數(shù)內(nèi)積柯西－施瓦茨不等式§6.1信號矢量空間的基本概念線性空間一．線性空間現(xiàn)代信號分析理論要借助于泛函分析等數(shù)學工具；泛函分析中，一個重要概念是函數(shù)空間，即由函數(shù)構(gòu)成的集合，并在集合上賦予各種代數(shù)、拓撲結(jié)構(gòu).線性空間：設(shè)X為一非空集合，若在X中規(guī)定了元素的加法和元素的數(shù)乘運算，并滿足相應(yīng)的結(jié)合律及分配律，則稱X為一線性空間。一．線性空間現(xiàn)代信號分析理論要借助于泛函分析等數(shù)學工具；泛函(1)N維實數(shù)空間R

NRN空間的元素x由N個有序的實數(shù)組成x與元素y=(y1,y2,…,yN)T

相加及與a數(shù)乘定義為如果上述定義中實數(shù)改為復數(shù)，則構(gòu)成復數(shù)空間CN(2)連續(xù)函數(shù)空間L

在區(qū)間[a,b]上全部連續(xù)函數(shù)的集合構(gòu)成該空間。各函數(shù)的相加和倍乘定義為(x+y)(t)=x(t)+y(t),t∈R(ax)(t)=ax(t),t∈R(1)N維實數(shù)空間RNRN空間的元素x由二．范數(shù)、線性賦范空間范數(shù)是矢量長度概念的推廣，是矢量自身的重要的屬性.

設(shè)X為一線性空間，若對于任意x∈X，有一個確定的非負實數(shù)||x||與它對應(yīng)，并滿足(1)x∈X，||x||≥0，當且僅當x=0，||x||=0(2)x∈X及a∈R

，||ax||=|a|·||x||(3)||x+y||≤||x||+||y||則稱||x||為X的范數(shù)，X為線性賦范空間。完備的線性賦范空間稱為Benach空間。二．范數(shù)、線性賦范空間范數(shù)是矢量長度概念的推廣，是矢量自身的1.RN與CN空間的范數(shù)令p為實數(shù)，1≤p＜∞，在RN或CN空間元素x=(x1,x2,…,xN)的p階范數(shù)定義為最常用的范數(shù)為||·||1，||·||2，||·||∞對于x∈C2，給定x=(1,j)，則其范數(shù)為例在R2或R3中，二階范數(shù)的物理意義是矢量的長度；||x||2也稱為歐氏范數(shù)或歐氏距。1.RN與CN空間的范數(shù)令p為實數(shù)，1≤p＜∞，在R2.連續(xù)/離散時間信號空間L/l空間中的范數(shù)(1)連續(xù)時間信號空間L中，元素x的p階范數(shù)||x||p的定義對于定義在閉區(qū)間內(nèi)的信號，sup表示其幅度值。(2)離散時間信號空間l中，元素x的p階范數(shù)||x||p的定義x(t)的上確界2.連續(xù)/離散時間信號空間L/l空間中的范數(shù)(1)連1-范數(shù)表示信號作用的強度1-范數(shù)2-范數(shù)的平方表示信號的能量2-范數(shù)-范數(shù)定義在閉區(qū)間的x，||x||表示信號的峰值,即信號幅度U或I在單位電阻上消耗的能量1-范數(shù)表示1-范數(shù)2-范數(shù)的平方表示信號的能量2-范數(shù)-三．內(nèi)積直角坐標平面內(nèi)兩矢量相對位置關(guān)系

內(nèi)積的概念反映了元素之間的關(guān)系，在時域信號中則反映了信號之間的相互關(guān)系，如正交、相關(guān);

完備的內(nèi)積空間稱為Hilbert空間。先由二維矢量空間引入內(nèi)積的概念或三．內(nèi)積直角坐標平面內(nèi)兩矢量相對位置關(guān)系內(nèi)積的概念反映了推廣之，多維上式表明：給定了的矢量長度，標量乘積式反映了兩矢量之間相對位置的“校準”情況。二維矢量空間的內(nèi)積(點積)運算推廣之，多維上式表明：給定了的矢量長度，標量乘積式反映了二維實內(nèi)積空間設(shè)RN為實線性空間，如果對于RN中的任意x,y∈RN，均有一實數(shù)x,y與之對應(yīng),滿足以下公理則x,y稱為x與y的內(nèi)積，R稱為實內(nèi)積空間(歐氏空間)(2)x,y=y,x，交換律(1)x,x≥0,當且僅當x=0時，x,x=0,自內(nèi)積正定性(3)x,y=x,y，為任意實數(shù)齊性(4)x+y,z=x,z+y,z，zC(R)分配律N維實線性空間，定義為實內(nèi)積空間設(shè)RN為實線性空間，如果對于RN中的任意x,y∈R復內(nèi)積空間設(shè)CN

為復線性空間，如果對于CN中的任意x,y∈CN，均有一復數(shù)x,y與之對應(yīng),滿足以下公理則x,y稱為x與y的內(nèi)積，C稱為復內(nèi)積空間(酉空間)(2)x,y=y,x*，共軛交換律(1)x,x≥0,當且僅當x=0時，x,x=0,自內(nèi)積正定性(3)x,y=x,y，為任意復數(shù)齊性(4)x+y,z=x,z+y,z，zC(R)分配律N維復線性空間，定義為復內(nèi)積空間設(shè)CN為復線性空間，如果對于CN中的任意x,y∈信號空間L/l內(nèi)的兩連續(xù)/離散信號的內(nèi)積對于L/l空間，信號x與其自身的內(nèi)積運算連續(xù)/離散函數(shù)空間的內(nèi)積信號空間L/l內(nèi)的兩連續(xù)/離散信號的內(nèi)積對于L/l四、Cauchy-Schwarz不等式

Cauchy-Schwarz不等式即則有證明:對于二維矢量空間，已知有如下關(guān)系所以對于一般情況的證明見教材p323.四、Cauchy-Schwarz不等式Cauchy-Sch§6.2

信號的正交函數(shù)分解矢量的正交分解正交函數(shù)正交函數(shù)集復變函數(shù)的正交特性§6.2信號的正交函數(shù)分解矢量的正交分解怎樣分解，能得到最小的誤差分量？方式不是唯一的：一．矢量的正交分解考察二維矢量空間的矢量V1和V2,當=0，c12=1,V1、V2

完全重合；隨增大，c12減??；當=90°，c12=0，V1和V2垂直。c12表示V1

和V2互相接近的程度利用二維矢量空間較直觀的概念引出正交函數(shù)和正交函數(shù)族的定義怎樣分解，能得到最小的誤差分量？方式不是唯一的：一．矢量的正正交分解空間中任一矢量可分解為x,y,z三方向矢量。平面中任一矢量可分解為x,y二方向矢量。一個三維空間矢量，必須用三個正交的矢量來表示，如果用二維矢量表示就會出現(xiàn)誤差：三維正交集二維正交集正交分解空間中任一矢量可分解為x,y,z三方向矢量。平面中假設(shè)在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)用函數(shù)f2(t)近似表示f1(t)方均誤差為求得使最小的c12值，需使二、正交函數(shù)分解原則：方均誤差最小，即誤差信號功率(能量)最小交換微分與積分次序假設(shè)在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)用函數(shù)f2(t)近似表示此項為零解得若c12為零，則f1(t)不包含f2(t)的分量，稱f1(t)、f2(t)為正交。正交條件此項為零解得若c12為零，則f1(t)不包含f2(t)的分量試用sint

在區(qū)間

(0,2)近似表示

f(t)，使方均誤差最小。[例6-1]解：即f(t)試用sint在區(qū)間(0,2)近似表示f(t)，使試用正弦信號sint

在(0,2)區(qū)間內(nèi)來表示余弦信號cost所以說明cost

中不包含sint

分量，因此cost

和sint

正交.顯然[例6-2][解]試用正弦信號sint在(0,2)區(qū)間內(nèi)來表示余弦信號co[例6-3]用正弦波逼近三角函數(shù),所以[解][例6-3]用正弦波逼近三角函數(shù),所以[解]n個函數(shù)g1(t),g2(t),…gn(t)構(gòu)成一函數(shù)集，如在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)滿足正交特性，即則此函數(shù)集稱為正交函數(shù)集。歸一化正交函數(shù)集：三、正交函數(shù)集(orthogonalfunctionset)orthonormalsetn個函數(shù)g1(t),g2(t),…gn(t)構(gòu)成一函數(shù)集對于系數(shù)ci，要使最小，需滿足規(guī)格化正交函數(shù)集任意函數(shù)由正交函數(shù)集的線性組合近似方均誤差注意到gi(t)交叉項的積分為零,交換微積分次序,得到分解原則是誤差函數(shù)方均值最小對于系數(shù)ci，要使最小，需滿足規(guī)格化正交函數(shù)集或?qū)i代回表示式，得到最佳近似條件下的方均誤差或?qū)i代回表示式，得到最佳近似條件下的方均誤兩復變函數(shù)在區(qū)間(t1,t2)的正交的條件是使方均誤差最小，c12的最佳值應(yīng)滿足復變函數(shù)集{gr(t)}(i=1,2,…,n)為正交函數(shù)集滿足四、復變函數(shù)的正交特性

(orthogonalityincomplexsignals)兩復變函數(shù)在區(qū)間(t1,t2)的正交的條件是使方均誤差兩周期信號在同一周期(區(qū)間)內(nèi)正交的條件是c12=0，即：總結(jié)

兩個信號不正交，就有相關(guān)關(guān)系，必能分解出另一信號。對一般信號在給定區(qū)間正交，而在其他區(qū)間不一定滿足正交。兩周期信號在同一周期(區(qū)間)內(nèi)正交的條件是c12=0，即：§6.3

完備正交函數(shù)集、

帕塞瓦爾定理完備正交函數(shù)集帕塞瓦爾定理§6.3完備正交函數(shù)集、

帕塞瓦爾定理完備正交函數(shù)集如果用正交函數(shù)集{gi(t)}(i=1,2,…,n)在區(qū)間(t1,t2)近似表示f(t)方均誤差若，此函數(shù)集稱為完備(complete)正交函數(shù)集.稱為廣義傅立葉級數(shù)展開一．完備正交函數(shù)集(generalizedFourierseries）如果用正交函數(shù)集{gi(t)}(i=1,2,…,n)在區(qū)間在正交集{gi(t)}(i=1,2,…,n)之外，不存在函數(shù)x(t)滿足i為任意正整數(shù)。則稱{gi(t)}為完備的正交函數(shù)集。完備的正交函數(shù)集的另一種定義在正交集{gi(t)}(i=1,2,…,n)之外，不存在函數(shù)二．帕塞瓦爾定理(Parseval’stheorem)物理意義：一個信號所含有的能量(功率)恒等于此信號在完備正交函數(shù)集中各分量能量(功率)之和。信號的能量基底信號的能量各信號分量的能量數(shù)學本質(zhì)：矢量空間信號正交變換的范數(shù)不變性。當Kr=1時，二．帕塞瓦爾定理(Parseval’stheorem)物理三角函數(shù)集虛指數(shù)函數(shù)集勒讓德多項式{Pn(x)}(n=0,1,2,…)在(-1,1)內(nèi)構(gòu)成完備的正交函數(shù)集。Walsh函數(shù)完備的正交函數(shù)集二值函數(shù)常用的正交函數(shù)集三角函數(shù)集虛指數(shù)函數(shù)集勒讓德多項式{Pn(x)}(n=0,1信號與系統(tǒng)討論課講稿ssnd課件優(yōu)秀精品課件文檔資料優(yōu)秀精品課件文檔資料第6章信號的矢量空間分析信號矢量空間的基本概念；信號的正交函數(shù)分解；相關(guān)；能量譜和功率譜；信號通過線性系統(tǒng)的自相關(guān)函數(shù)、能量譜和功率譜分析相關(guān)、正交概念的應(yīng)用：匹配濾波器，CDMA第6章信號的矢量空間分析信號矢量空間的基本概念；§6.1

信號矢量空間的基本概念線性空間范數(shù)內(nèi)積柯西－施瓦茨不等式§6.1信號矢量空間的基本概念線性空間一．線性空間現(xiàn)代信號分析理論要借助于泛函分析等數(shù)學工具；泛函分析中，一個重要概念是函數(shù)空間，即由函數(shù)構(gòu)成的集合，并在集合上賦予各種代數(shù)、拓撲結(jié)構(gòu).線性空間：設(shè)X為一非空集合，若在X中規(guī)定了元素的加法和元素的數(shù)乘運算，并滿足相應(yīng)的結(jié)合律及分配律，則稱X為一線性空間。一．線性空間現(xiàn)代信號分析理論要借助于泛函分析等數(shù)學工具；泛函(1)N維實數(shù)空間R

NRN空間的元素x由N個有序的實數(shù)組成x與元素y=(y1,y2,…,yN)T

相加及與a數(shù)乘定義為如果上述定義中實數(shù)改為復數(shù)，則構(gòu)成復數(shù)空間CN(2)連續(xù)函數(shù)空間L

在區(qū)間[a,b]上全部連續(xù)函數(shù)的集合構(gòu)成該空間。各函數(shù)的相加和倍乘定義為(x+y)(t)=x(t)+y(t),t∈R(ax)(t)=ax(t),t∈R(1)N維實數(shù)空間RNRN空間的元素x由二．范數(shù)、線性賦范空間范數(shù)是矢量長度概念的推廣，是矢量自身的重要的屬性.

設(shè)X為一線性空間，若對于任意x∈X，有一個確定的非負實數(shù)||x||與它對應(yīng)，并滿足(1)x∈X，||x||≥0，當且僅當x=0，||x||=0(2)x∈X及a∈R

，||ax||=|a|·||x||(3)||x+y||≤||x||+||y||則稱||x||為X的范數(shù)，X為線性賦范空間。完備的線性賦范空間稱為Benach空間。二．范數(shù)、線性賦范空間范數(shù)是矢量長度概念的推廣，是矢量自身的1.RN與CN空間的范數(shù)令p為實數(shù)，1≤p＜∞，在RN或CN空間元素x=(x1,x2,…,xN)的p階范數(shù)定義為最常用的范數(shù)為||·||1，||·||2，||·||∞對于x∈C2，給定x=(1,j)，則其范數(shù)為例在R2或R3中，二階范數(shù)的物理意義是矢量的長度；||x||2也稱為歐氏范數(shù)或歐氏距。1.RN與CN空間的范數(shù)令p為實數(shù)，1≤p＜∞，在R2.連續(xù)/離散時間信號空間L/l空間中的范數(shù)(1)連續(xù)時間信號空間L中，元素x的p階范數(shù)||x||p的定義對于定義在閉區(qū)間內(nèi)的信號，sup表示其幅度值。(2)離散時間信號空間l中，元素x的p階范數(shù)||x||p的定義x(t)的上確界2.連續(xù)/離散時間信號空間L/l空間中的范數(shù)(1)連1-范數(shù)表示信號作用的強度1-范數(shù)2-范數(shù)的平方表示信號的能量2-范數(shù)-范數(shù)定義在閉區(qū)間的x，||x||表示信號的峰值,即信號幅度U或I在單位電阻上消耗的能量1-范數(shù)表示1-范數(shù)2-范數(shù)的平方表示信號的能量2-范數(shù)-三．內(nèi)積直角坐標平面內(nèi)兩矢量相對位置關(guān)系

內(nèi)積的概念反映了元素之間的關(guān)系，在時域信號中則反映了信號之間的相互關(guān)系，如正交、相關(guān);

完備的內(nèi)積空間稱為Hilbert空間。先由二維矢量空間引入內(nèi)積的概念或三．內(nèi)積直角坐標平面內(nèi)兩矢量相對位置關(guān)系內(nèi)積的概念反映了推廣之，多維上式表明：給定了的矢量長度，標量乘積式反映了兩矢量之間相對位置的“校準”情況。二維矢量空間的內(nèi)積(點積)運算推廣之，多維上式表明：給定了的矢量長度，標量乘積式反映了二維實內(nèi)積空間設(shè)RN為實線性空間，如果對于RN中的任意x,y∈RN，均有一實數(shù)x,y與之對應(yīng),滿足以下公理則x,y稱為x與y的內(nèi)積，R稱為實內(nèi)積空間(歐氏空間)(2)x,y=y,x，交換律(1)x,x≥0,當且僅當x=0時，x,x=0,自內(nèi)積正定性(3)x,y=x,y，為任意實數(shù)齊性(4)x+y,z=x,z+y,z，zC(R)分配律N維實線性空間，定義為實內(nèi)積空間設(shè)RN為實線性空間，如果對于RN中的任意x,y∈R復內(nèi)積空間設(shè)CN

為復線性空間，如果對于CN中的任意x,y∈CN，均有一復數(shù)x,y與之對應(yīng),滿足以下公理則x,y稱為x與y的內(nèi)積，C稱為復內(nèi)積空間(酉空間)(2)x,y=y,x*，共軛交換律(1)x,x≥0,當且僅當x=0時，x,x=0,自內(nèi)積正定性(3)x,y=x,y，為任意復數(shù)齊性(4)x+y,z=x,z+y,z，zC(R)分配律N維復線性空間，定義為復內(nèi)積空間設(shè)CN為復線性空間，如果對于CN中的任意x,y∈信號空間L/l內(nèi)的兩連續(xù)/離散信號的內(nèi)積對于L/l空間，信號x與其自身的內(nèi)積運算連續(xù)/離散函數(shù)空間的內(nèi)積信號空間L/l內(nèi)的兩連續(xù)/離散信號的內(nèi)積對于L/l四、Cauchy-Schwarz不等式

Cauchy-Schwarz不等式即則有證明:對于二維矢量空間，已知有如下關(guān)系所以對于一般情況的證明見教材p323.四、Cauchy-Schwarz不等式Cauchy-Sch§6.2

信號的正交函數(shù)分解矢量的正交分解正交函數(shù)正交函數(shù)集復變函數(shù)的正交特性§6.2信號的正交函數(shù)分解矢量的正交分解怎樣分解，能得到最小的誤差分量？方式不是唯一的：一．矢量的正交分解考察二維矢量空間的矢量V1和V2,當=0，c12=1,V1、V2

完全重合；隨增大，c12減小；當=90°，c12=0，V1和V2垂直。c12表示V1

和V2互相接近的程度利用二維矢量空間較直觀的概念引出正交函數(shù)和正交函數(shù)族的定義怎樣分解，能得到最小的誤差分量？方式不是唯一的：一．矢量的正正交分解空間中任一矢量可分解為x,y,z三方向矢量。平面中任一矢量可分解為x,y二方向矢量。一個三維空間矢量，必須用三個正交的矢量來表示，如果用二維矢量表示就會出現(xiàn)誤差：三維正交集二維正交集正交分解空間中任一矢量可分解為x,y,z三方向矢量。平面中假設(shè)在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)用函數(shù)f2(t)近似表示f1(t)方均誤差為求得使最小的c12值，需使二、正交函數(shù)分解原則：方均誤差最小，即誤差信號功率(能量)最小交換微分與積分次序假設(shè)在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)用函數(shù)f2(t)近似表示此項為零解得若c12為零，則f1(t)不包含f2(t)的分量，稱f1(t)、f2(t)為正交。正交條件此項為零解得若c12為零，則f1(t)不包含f2(t)的分量試用sint

在區(qū)間

(0,2)近似表示

f(t)，使方均誤差最小。[例6-1]解：即f(t)試用sint在區(qū)間(0,2)近似表示f(t)，使試用正弦信號sint

在(0,2)區(qū)間內(nèi)來表示余弦信號cost所以說明cost

中不包含sint

分量，因此cost

和sint

正交.顯然[例6-2][解]試用正弦信號sint在(0,2)區(qū)間內(nèi)來表示余弦信號co[例6-3]用正弦波逼近三角函數(shù),所以[解][例6-3]用正弦波逼近三角函數(shù),所以[解]n個函數(shù)g1(t),g2(t),…gn(t)構(gòu)成一函數(shù)集，如在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)滿足正交特性，即則此函數(shù)集稱為正交函數(shù)集。歸一化正交函數(shù)集：三、正交函數(shù)集(orthogonalfunctionset)orthonormalsetn個函數(shù)g1(t),g2(t),…gn(t)構(gòu)成一函數(shù)集對于系數(shù)ci，要使最小，需滿足規(guī)格化正交函數(shù)集任意函數(shù)由正交函數(shù)集的線性組合近似方均誤差注意到gi(t)交叉項的積分為零,交換微積分次序,得到分解原則是誤差函數(shù)方均值最小對于系數(shù)ci，要使最小，需滿足規(guī)格化正交函數(shù)集或?qū)i代回表示式，得到最佳近似條件下的方均誤差或