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因次分析與π定理因次分析與π定理1第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式

研究任一物理現(xiàn)象,都不可避免地要研究這一種物理現(xiàn)象中變化著的各個(gè)物理量以及這些物理量之間的量值關(guān)系。表征一物理量,除了有量的數(shù)值外,還有量的種類(或類別),如長(zhǎng)度、時(shí)間、質(zhì)量、力等,人們把表征物理量的種類通稱為“因次”(Dimension)或稱為“量綱”。度量各物理量數(shù)值大小的標(biāo)準(zhǔn),稱為單位。這些單位系人為確定。目前世界上大多數(shù)國(guó)家(包括我國(guó))已統(tǒng)一采用國(guó)際單位制。

第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式研究任一物理現(xiàn)2第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式

物理量可分為兩大類:一類是有因次的,如長(zhǎng)度、時(shí)間、速度、加速度、質(zhì)量、力等,這類物理量要以人為的單位來表示,其數(shù)值大小隨著單位的更換而改變;另一類是無因次的,如坡度、佛汝德數(shù)、雷諾數(shù)等,這些量是一個(gè)純數(shù)或比值,其數(shù)值大小不受量度單位更換的影響。

物理量的因次也可分為兩大類:一類是基本因次,它們彼此是相互獨(dú)立的,即它們中的任何一個(gè)因次不能從其它基本因次推導(dǎo)出來。

力學(xué)上通常選擇長(zhǎng)度(以[L]表示)、時(shí)間(以[T]表示)和質(zhì)量(以[M]表示)作為基本因次,顯然它們是相互獨(dú)立的。它們中任一個(gè)不能從另外二個(gè)推導(dǎo)出來(例如[L]不可能由[M]、[T]來組成)。第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式物理量可分為兩大3第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式

另一類因次稱為導(dǎo)出因次,這類因次可由基本因次推導(dǎo)出來,例如速度因次[V]就可由所選定的基本因次推導(dǎo)出來,因?yàn)樗俣仁潜硎締挝粫r(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移,即:若選擇[M、L、T]為基本因次,則速度因次可表示為:

[V]=[L]/[T]=[LT-1]加速度的因次為:[a]=[V]/[T]=[LT-2]力的因次為:[F]=[M][a]=[MLT-2]

可見某一物理量的因次總可以由基本因次推導(dǎo)出來,而且是基本因次冪指數(shù)的乘積,即:(2-1)

該式稱為因式關(guān)系式。

第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式另一類因次稱為4第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式證明式:

令x1,x2,x3為具有因次的基本物理量,y代表任一物理量,它是基本物理量x1,x2,x3的函數(shù),即:y=f(x1,x2,x3

)如有兩個(gè)同名物理量,它們可表示為:y1=f(x11,x21,x31

)y2=f(x12,x22,x32

)……..

(過程略)其結(jié)果是:f=k1xα1,同理:第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式證明式:5第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式y=f(x1,x2,x3

)=kxα1xβ2xγ3

(2-12)式中:k,α,β,γ都是常數(shù)。這樣可以寫出該物理量的因次關(guān)系式:

[y]=[x1]α[x2]β[x3]γ(2-13)若基本量x1取為質(zhì)量,其因次為[M];x2取為長(zhǎng)度,因次為[L];x3取為時(shí)間,因次為[T]。則某一物理量的導(dǎo)出因次:

[y]=[M]α[L]β[T]γ(2-14)第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式y=f(x1,x2,x6第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式

物理量y的性質(zhì)可由指數(shù)αβγ來反映,如均為0,則y為一次無因次純數(shù),指數(shù)αβγ中有一個(gè)不等于0,就可以說y是一個(gè)有因次的物理量。1如為一幾何學(xué)量

2如為一運(yùn)動(dòng)學(xué)量

3如為一動(dòng)力學(xué)量

如面積是由兩個(gè)長(zhǎng)度的乘積組成的,則它們的因次為長(zhǎng)度因次的平方,[A]=[L2]或?qū)懗蒣A]=[M0L2T0]。流速因次為[V]=[LT-1]=[M0LT-1];力的因次為:[F]=[M][a]=[MLT-2]。第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式物理量y的性質(zhì)可由7第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式

如動(dòng)力粘滯系數(shù)μ,由牛頓內(nèi)摩擦定律知

物理量

無因次量

有因次量

基本量導(dǎo)出量

詳見表2-1第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式如動(dòng)力粘滯系數(shù)μ,8第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

凡是正確反映某一物理現(xiàn)象變化規(guī)律的完整的物理方程,其各項(xiàng)因次都必須是一致的,這稱為因次和諧原理。

利用方程因次和諧特征,可以探求物理方程的結(jié)構(gòu)形式,檢驗(yàn)復(fù)雜方程式的正確性,還可以用來導(dǎo)出模型試驗(yàn)中必須遵循的相似準(zhǔn)則。因此,這一原理是因次分析的重要依據(jù)。

因次和諧原理的重要性是:一、因次和諧原理第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法凡是正確反映某一物理9第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

1.一個(gè)物理方程式在因次上是和諧的,則方程的文字結(jié)構(gòu)形式不隨量度單位的更換而變化。因此因次和諧原理可以用以檢驗(yàn)新建方程式或經(jīng)驗(yàn)公式的正確性和完整性。

2.用因次和諧原理確定物理方程中各物理量的指數(shù)。

一、因次和諧原理第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法1.一個(gè)物10第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

用因次和諧原理可以證明即質(zhì)量為M,沿半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)關(guān)系式的正確性:左側(cè)

[F]=[MLT-2]右側(cè)顯然左側(cè)與右側(cè)的因次相同,即可證得:一、因次和諧原理第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法用因次和諧原理可11第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

由因次和諧原理來確定指數(shù)n。選擇基本因次[M,L,T],由表2-1:代入上式得:整理后由因次和諧原理,n-1=3,求得n=4,又如管流中層流流量公式:一、因次和諧原理第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法由因次和諧原理來確定12第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

3.用因次和諧原理建立某些物理方程。

實(shí)際工程中有許多自然現(xiàn)象,直至目前仍尚未找出具體形式的物理方程。通過觀察和試驗(yàn)等只知道有哪些物理量參與作用,那幺,利用因次和諧原理往往可以確定方程式的結(jié)構(gòu)模式。

仍從上例,水平圓管中層流流量,通過試驗(yàn)知道它與圓管半徑、單位管長(zhǎng)的壓差以及流體的動(dòng)力粘制系數(shù)等因素有關(guān),即。

假設(shè):一、因次和諧原理第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法3.用因次和諧原理建立某13第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法其因次式為:根據(jù)因次和諧原理,方程兩側(cè)同類因次的指數(shù)必須相同,即:

聯(lián)解上列3式得:

從而有

寫成函數(shù)關(guān)系式為

一、因次和諧原理第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法其因次式為:根據(jù)因次和諧原14第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

所得結(jié)果與前例完全相同。其中,k為無因次系數(shù),由試驗(yàn)結(jié)果分析得:這與理論分析結(jié)果一致。

于是圓管中層流流量公式為:

一、因次和諧原理第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法所得結(jié)果與前例完全相同15第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

由因次和用因次和諧原理,可以得到:

1、自然界中某一物理現(xiàn)象的變化規(guī)律,可以用一個(gè)完整的物理方程來描述;

2、一個(gè)完整的物理方程式必須符合因次和諧原理;

3、一個(gè)完整的物理方程式其文字結(jié)構(gòu)不隨人為確定的量度單位的更換而改變;

4、因次和諧的條件是方程式中各個(gè)變量的基本因次的指數(shù)在方程式兩側(cè)彼此相等。

二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法由因次和用因次和16第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

因次分析方法就是建立在上述結(jié)論基礎(chǔ)上,是用于探求物理現(xiàn)象的函數(shù)關(guān)系式的一種數(shù)學(xué)分析方法。

因次分析方法有二種:

瑞利(Rayleigh)法——適用于解決較簡(jiǎn)單問題

π定理——應(yīng)用普遍

瑞利方法的實(shí)質(zhì)是應(yīng)用因次和諧原理來建立物理現(xiàn)象的函數(shù)關(guān)系。二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法因次分析方法就是建立17第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

例:一弦長(zhǎng)為L(zhǎng)的單擺,擺端有質(zhì)量為的擺球,要求用瑞利法求單擺的擺動(dòng)周期t的表達(dá)式。

根據(jù)單擺現(xiàn)象觀測(cè),周期t與弦長(zhǎng)l、擺球質(zhì)量m為及重力加速度g有關(guān),即:用冪指數(shù)乘積來表示這一函數(shù)關(guān)系,即:

式中:為待定常數(shù)。將上式寫成因次式得:

二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法例:一弦長(zhǎng)為L(zhǎng)的單18第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

選擇為基本因次,根據(jù)因次和諧原理,則上式可寫成:聯(lián)立求得上列3式求解得:

根據(jù)因次和諧:二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法選擇19第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

由單擺試驗(yàn)得到常數(shù)等于2π,則單擺周期的表達(dá)式為:

這與理論分析結(jié)果完全相同(建議多看例子)。

二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法由單擺試驗(yàn)得到20第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

由上述例子可總結(jié)出應(yīng)用瑞利因次分析法探求物理方程式的步驟如下:

1、找出物理過程的參變量,建立函數(shù)關(guān)系式(一般采用冪指數(shù)乘積形式);

2、寫出函數(shù)的因次關(guān)系式;

3、選定3個(gè)基本因次(一般為:M,L,T),按選定的基本因次整理、歸并得出函數(shù)的因次關(guān)系式;二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法由上述例子可總結(jié)21第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

4、根據(jù)因次和諧原理列出因次和諧方程,聯(lián)立求解出各參變量指數(shù)值;

5、將解得的指數(shù)值回代到原假定的函數(shù)關(guān)系式,并加以整理、化簡(jiǎn);

6、通過模型試驗(yàn)或現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè),驗(yàn)證所得的函數(shù)表達(dá)式的完整性和正確性,并確定表達(dá)式中的待定系數(shù)或指數(shù),最后獲得描述該物理現(xiàn)象的完整的表達(dá)式。

二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法4、根據(jù)因次和諧原理列22第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

用瑞利因次分析法建立物理現(xiàn)象的函數(shù)表達(dá)式,最大的優(yōu)點(diǎn)就是簡(jiǎn)單易行,但有一定局限性:

1、只能假定物理方程式的模式是參變量?jī)缰笖?shù)的乘積;

2、所建立的方程式正確與否,很大程度取決于參變量的選擇是否正確、完整;

3、方程式中的待定系數(shù)或某些指數(shù),一般需由模型試驗(yàn)或理論分析(比較簡(jiǎn)單的物理過程)求得;

4、只有當(dāng)參變量不大于3個(gè)時(shí),方能求解由3個(gè)基本因次構(gòu)成的因次和諧方程組,求得不大于3個(gè)的待定指數(shù),從而建立方程序的具體形式。二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法用瑞利因次分析法建23第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

換言之,當(dāng)待求的物理方程中包含的參變量大于3個(gè)時(shí),瑞利法就無能為力了。這時(shí)需采用因次分析的普遍方法——π定理(又稱Backingham定理),找出復(fù)合無因次項(xiàng),方能建立完整的物理方程式。

二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法換言之,24第三節(jié)π定理及其應(yīng)用一、π定理的基本概念π定理的全部含意:

某一物理進(jìn)程,若有n個(gè)物理量參與作用,基本有m個(gè)具有因次獨(dú)立的基本物理量,則經(jīng)過處理,這一物理過程可由包含n-m個(gè)由物理量組成的無因次準(zhǔn)數(shù)π的函數(shù)關(guān)系式來表示。例如用質(zhì)量m,長(zhǎng)度l,時(shí)間t三個(gè)基本物理量,不管怎樣組合均不可能組成一個(gè)無因次量。

證明過程見書P40。x1,x2,x3——是基本量,則它們是因次獨(dú)立的,故上列因次中的指數(shù)行列式不等于零。第三節(jié)π定理及其應(yīng)用一、π定理的基本概念π定理的全部含意:25第三節(jié)π定理及其應(yīng)用二、π定理在因次分析中的應(yīng)用例1利用π定理建立圓球的粘滯力公式

設(shè)影響圓球在流體中運(yùn)動(dòng)(或流體繞圓球運(yùn)動(dòng))時(shí)引起的粘滯阻力FD與流體的密度ρ,動(dòng)力粘滯系數(shù)μ,球體與流體的相對(duì)速度以及表征球體的特征面積A有關(guān)。于是粘滯阻力的函數(shù)關(guān)系式可寫成:上式可改寫成:第三節(jié)π定理及其應(yīng)用二、π定理在因次分析中的應(yīng)用例1利26第三節(jié)π定理及其應(yīng)用二、π定理在因次分析中的應(yīng)用

上式共5個(gè)變量,選擇d、V、ρ作為基本變量:

基本因次的指數(shù)行列式為

故所選的基本量是因次獨(dú)立的,根據(jù)π定理可得:第三節(jié)π定理及其應(yīng)用二、π定理在因次分析中的應(yīng)用上式共27第三節(jié)π定理及其應(yīng)用二、π定理在因次分析中的應(yīng)用第三節(jié)π定理及其應(yīng)用二、π定理在因次分析中的應(yīng)用28第三節(jié)π定理及其應(yīng)用二、π定理在因次分析中的應(yīng)用第三節(jié)π定理及其應(yīng)用二、π定理在因次分析中的應(yīng)用29第三節(jié)π定理及其應(yīng)用

例2利用π定理確定粘性流體在光滑圓管中均勻流動(dòng)的阻力損失公式。設(shè)流體在圓管中流進(jìn)l距離的壓降為,它的大小與管長(zhǎng)l,管徑d,平均流速v,流體的密度及動(dòng)力粘滯系數(shù)有關(guān),即:

上式共6個(gè)變量,選擇作為基本變量,根據(jù)π定理,可得:二、π定理在因次分析中的應(yīng)用(2-49)(2-50)第三節(jié)π定理及其應(yīng)用例2利用π定理確定粘性流體在光滑30第三節(jié)π定理及其應(yīng)用二、π定理在因次分析中的應(yīng)用(2-51)(2-52)(2-53)第三節(jié)π定理及其應(yīng)用二、π定理在因次分析中的應(yīng)用(2-5131第三節(jié)π定理及其應(yīng)用第三節(jié)π定理及其應(yīng)用32第三節(jié)π定理及其應(yīng)用由以上推導(dǎo)可知π定理的涵義:

1、π定理的主要理論依據(jù)是一個(gè)完整的物理方程式必須遵循因次和諧原理。

2、包含有n個(gè)變量參與作用的某一物理現(xiàn)象,可用一個(gè)由(n-m)個(gè)無因次項(xiàng)組成的函數(shù)關(guān)系式來表達(dá),其中m為n個(gè)參變量中具有因次獨(dú)立的基本參變量();

3、基本參變量可任意從全部參變量中選擇,它們必須是因次獨(dú)立的(因次中的指數(shù)行列式不等于零),而且它們包含的基本因次應(yīng)能包括n個(gè)參變量中所有基本因次。第三節(jié)π定理及其應(yīng)用由以上推導(dǎo)可知π定理的涵義:1、33第三節(jié)π定理及其應(yīng)用

4、每一個(gè)無因次π項(xiàng)均可由m個(gè)基本量指數(shù)乘積與某一個(gè)變量的商或積組合而成,組合的要求是各個(gè)基本量的指數(shù)得到合理的確定,最終使所得的各個(gè)π項(xiàng)均為無因次量。

5、某些無因次物理量,本身也可作為π項(xiàng)。

6、各個(gè)π項(xiàng)的自乘及它們之間相互乘除其物理意義不變。因而在組合π項(xiàng)時(shí),用于和基本量指數(shù)乘積或相除的某一個(gè)變量,其指數(shù)可以任意選擇。第三節(jié)π定理及其應(yīng)用4、每一個(gè)無因次π項(xiàng)均可由m個(gè)34因次分析與π定理因次分析與π定理35第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式

研究任一物理現(xiàn)象,都不可避免地要研究這一種物理現(xiàn)象中變化著的各個(gè)物理量以及這些物理量之間的量值關(guān)系。表征一物理量,除了有量的數(shù)值外,還有量的種類(或類別),如長(zhǎng)度、時(shí)間、質(zhì)量、力等,人們把表征物理量的種類通稱為“因次”(Dimension)或稱為“量綱”。度量各物理量數(shù)值大小的標(biāo)準(zhǔn),稱為單位。這些單位系人為確定。目前世界上大多數(shù)國(guó)家(包括我國(guó))已統(tǒng)一采用國(guó)際單位制。

第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式研究任一物理現(xiàn)36第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式

物理量可分為兩大類:一類是有因次的,如長(zhǎng)度、時(shí)間、速度、加速度、質(zhì)量、力等,這類物理量要以人為的單位來表示,其數(shù)值大小隨著單位的更換而改變;另一類是無因次的,如坡度、佛汝德數(shù)、雷諾數(shù)等,這些量是一個(gè)純數(shù)或比值,其數(shù)值大小不受量度單位更換的影響。

物理量的因次也可分為兩大類:一類是基本因次,它們彼此是相互獨(dú)立的,即它們中的任何一個(gè)因次不能從其它基本因次推導(dǎo)出來。

力學(xué)上通常選擇長(zhǎng)度(以[L]表示)、時(shí)間(以[T]表示)和質(zhì)量(以[M]表示)作為基本因次,顯然它們是相互獨(dú)立的。它們中任一個(gè)不能從另外二個(gè)推導(dǎo)出來(例如[L]不可能由[M]、[T]來組成)。第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式物理量可分為兩大37第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式

另一類因次稱為導(dǎo)出因次,這類因次可由基本因次推導(dǎo)出來,例如速度因次[V]就可由所選定的基本因次推導(dǎo)出來,因?yàn)樗俣仁潜硎締挝粫r(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移,即:若選擇[M、L、T]為基本因次,則速度因次可表示為:

[V]=[L]/[T]=[LT-1]加速度的因次為:[a]=[V]/[T]=[LT-2]力的因次為:[F]=[M][a]=[MLT-2]

可見某一物理量的因次總可以由基本因次推導(dǎo)出來,而且是基本因次冪指數(shù)的乘積,即:(2-1)

該式稱為因式關(guān)系式。

第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式另一類因次稱為38第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式證明式:

令x1,x2,x3為具有因次的基本物理量,y代表任一物理量,它是基本物理量x1,x2,x3的函數(shù),即:y=f(x1,x2,x3

)如有兩個(gè)同名物理量,它們可表示為:y1=f(x11,x21,x31

)y2=f(x12,x22,x32

)……..

(過程略)其結(jié)果是:f=k1xα1,同理:第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式證明式:39第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式y=f(x1,x2,x3

)=kxα1xβ2xγ3

(2-12)式中:k,α,β,γ都是常數(shù)。這樣可以寫出該物理量的因次關(guān)系式:

[y]=[x1]α[x2]β[x3]γ(2-13)若基本量x1取為質(zhì)量,其因次為[M];x2取為長(zhǎng)度,因次為[L];x3取為時(shí)間,因次為[T]。則某一物理量的導(dǎo)出因次:

[y]=[M]α[L]β[T]γ(2-14)第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式y=f(x1,x2,x40第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式

物理量y的性質(zhì)可由指數(shù)αβγ來反映,如均為0,則y為一次無因次純數(shù),指數(shù)αβγ中有一個(gè)不等于0,就可以說y是一個(gè)有因次的物理量。1如為一幾何學(xué)量

2如為一運(yùn)動(dòng)學(xué)量

3如為一動(dòng)力學(xué)量

如面積是由兩個(gè)長(zhǎng)度的乘積組成的,則它們的因次為長(zhǎng)度因次的平方,[A]=[L2]或?qū)懗蒣A]=[M0L2T0]。流速因次為[V]=[LT-1]=[M0LT-1];力的因次為:[F]=[M][a]=[MLT-2]。第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式物理量y的性質(zhì)可由41第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式

如動(dòng)力粘滯系數(shù)μ,由牛頓內(nèi)摩擦定律知

物理量

無因次量

有因次量

基本量導(dǎo)出量

詳見表2-1第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式如動(dòng)力粘滯系數(shù)μ,42第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

凡是正確反映某一物理現(xiàn)象變化規(guī)律的完整的物理方程,其各項(xiàng)因次都必須是一致的,這稱為因次和諧原理。

利用方程因次和諧特征,可以探求物理方程的結(jié)構(gòu)形式,檢驗(yàn)復(fù)雜方程式的正確性,還可以用來導(dǎo)出模型試驗(yàn)中必須遵循的相似準(zhǔn)則。因此,這一原理是因次分析的重要依據(jù)。

因次和諧原理的重要性是:一、因次和諧原理第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法凡是正確反映某一物理43第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

1.一個(gè)物理方程式在因次上是和諧的,則方程的文字結(jié)構(gòu)形式不隨量度單位的更換而變化。因此因次和諧原理可以用以檢驗(yàn)新建方程式或經(jīng)驗(yàn)公式的正確性和完整性。

2.用因次和諧原理確定物理方程中各物理量的指數(shù)。

一、因次和諧原理第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法1.一個(gè)物44第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

用因次和諧原理可以證明即質(zhì)量為M,沿半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)關(guān)系式的正確性:左側(cè)

[F]=[MLT-2]右側(cè)顯然左側(cè)與右側(cè)的因次相同,即可證得:一、因次和諧原理第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法用因次和諧原理可45第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

由因次和諧原理來確定指數(shù)n。選擇基本因次[M,L,T],由表2-1:代入上式得:整理后由因次和諧原理,n-1=3,求得n=4,又如管流中層流流量公式:一、因次和諧原理第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法由因次和諧原理來確定46第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

3.用因次和諧原理建立某些物理方程。

實(shí)際工程中有許多自然現(xiàn)象,直至目前仍尚未找出具體形式的物理方程。通過觀察和試驗(yàn)等只知道有哪些物理量參與作用,那幺,利用因次和諧原理往往可以確定方程式的結(jié)構(gòu)模式。

仍從上例,水平圓管中層流流量,通過試驗(yàn)知道它與圓管半徑、單位管長(zhǎng)的壓差以及流體的動(dòng)力粘制系數(shù)等因素有關(guān),即。

假設(shè):一、因次和諧原理第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法3.用因次和諧原理建立某47第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法其因次式為:根據(jù)因次和諧原理,方程兩側(cè)同類因次的指數(shù)必須相同,即:

聯(lián)解上列3式得:

從而有

寫成函數(shù)關(guān)系式為

一、因次和諧原理第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法其因次式為:根據(jù)因次和諧原48第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

所得結(jié)果與前例完全相同。其中,k為無因次系數(shù),由試驗(yàn)結(jié)果分析得:這與理論分析結(jié)果一致。

于是圓管中層流流量公式為:

一、因次和諧原理第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法所得結(jié)果與前例完全相同49第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

由因次和用因次和諧原理,可以得到:

1、自然界中某一物理現(xiàn)象的變化規(guī)律,可以用一個(gè)完整的物理方程來描述;

2、一個(gè)完整的物理方程式必須符合因次和諧原理;

3、一個(gè)完整的物理方程式其文字結(jié)構(gòu)不隨人為確定的量度單位的更換而改變;

4、因次和諧的條件是方程式中各個(gè)變量的基本因次的指數(shù)在方程式兩側(cè)彼此相等。

二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法由因次和用因次和50第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

因次分析方法就是建立在上述結(jié)論基礎(chǔ)上,是用于探求物理現(xiàn)象的函數(shù)關(guān)系式的一種數(shù)學(xué)分析方法。

因次分析方法有二種:

瑞利(Rayleigh)法——適用于解決較簡(jiǎn)單問題

π定理——應(yīng)用普遍

瑞利方法的實(shí)質(zhì)是應(yīng)用因次和諧原理來建立物理現(xiàn)象的函數(shù)關(guān)系。二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法因次分析方法就是建立51第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

例:一弦長(zhǎng)為L(zhǎng)的單擺,擺端有質(zhì)量為的擺球,要求用瑞利法求單擺的擺動(dòng)周期t的表達(dá)式。

根據(jù)單擺現(xiàn)象觀測(cè),周期t與弦長(zhǎng)l、擺球質(zhì)量m為及重力加速度g有關(guān),即:用冪指數(shù)乘積來表示這一函數(shù)關(guān)系,即:

式中:為待定常數(shù)。將上式寫成因次式得:

二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法例:一弦長(zhǎng)為L(zhǎng)的單52第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

選擇為基本因次,根據(jù)因次和諧原理,則上式可寫成:聯(lián)立求得上列3式求解得:

根據(jù)因次和諧:二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法選擇53第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

由單擺試驗(yàn)得到常數(shù)等于2π,則單擺周期的表達(dá)式為:

這與理論分析結(jié)果完全相同(建議多看例子)。

二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法由單擺試驗(yàn)得到54第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

由上述例子可總結(jié)出應(yīng)用瑞利因次分析法探求物理方程式的步驟如下:

1、找出物理過程的參變量,建立函數(shù)關(guān)系式(一般采用冪指數(shù)乘積形式);

2、寫出函數(shù)的因次關(guān)系式;

3、選定3個(gè)基本因次(一般為:M,L,T),按選定的基本因次整理、歸并得出函數(shù)的因次關(guān)系式;二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法由上述例子可總結(jié)55第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

4、根據(jù)因次和諧原理列出因次和諧方程,聯(lián)立求解出各參變量指數(shù)值;

5、將解得的指數(shù)值回代到原假定的函數(shù)關(guān)系式,并加以整理、化簡(jiǎn);

6、通過模型試驗(yàn)或現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè),驗(yàn)證所得的函數(shù)表達(dá)式的完整性和正確性,并確定表達(dá)式中的待定系數(shù)或指數(shù),最后獲得描述該物理現(xiàn)象的完整的表達(dá)式。

二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法4、根據(jù)因次和諧原理列56第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

用瑞利因次分析法建立物理現(xiàn)象的函數(shù)表達(dá)式,最大的優(yōu)點(diǎn)就是簡(jiǎn)單易行,但有一定局限性:

1、只能假定物理方程式的模式是參變量?jī)缰笖?shù)的乘積;

2、所建立的方程式正確與否,很大程度取決于參變量的選擇是否正確、完整;

3、方程式中的待定系數(shù)或某些指數(shù),一般需由模型試驗(yàn)或理論分析(比較簡(jiǎn)單的物理過程)求得;

4、只有當(dāng)參變量不大于3個(gè)時(shí),方能求解由3個(gè)基本因次構(gòu)成的因次和諧方程組,求得不大于3個(gè)的待定指數(shù),從而建立方程序的具體形式。二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法用瑞利因次分析法建57第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

換言之,當(dāng)待求的物理方程中包含的參變量大于3個(gè)時(shí),瑞利法就無能為力了。這時(shí)需采用因次分析的普遍方法——π定理(又稱Backingham定理),找出復(fù)合無因次項(xiàng),方能建立完整的物理方程式。

二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法換言之,58第三節(jié)π定理及其應(yīng)用一、π定理的基本概念π定理的全部含意:

某一物理進(jìn)程,若有n個(gè)物理量參與作用,基本有m個(gè)具有因次獨(dú)立的基本物理量,則經(jīng)過處理,這一物理過程可由包含n-m個(gè)由物理量組成的無因次準(zhǔn)數(shù)π的函數(shù)關(guān)系式來表示。例如用質(zhì)量m,長(zhǎng)度l,時(shí)間t三個(gè)基本物理量,不管怎樣組合均不可能組成一個(gè)無因次量。

證明過程見書P40。x1,x2,x3——是基本量,則它們是因次獨(dú)立的,故上列因次中的指數(shù)行列式不等于零。第三節(jié)π定理及其應(yīng)用一、π定理的基本概念π定理的全

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