離散型隨機(jī)變量的期望與方差2高品質(zhì)版課件

隨機(jī)變量的期望與方差隨機(jī)變量的期望與方差1若離散型隨機(jī)變量的概率分布是x1x2…xn…

PP1P2…Pn…x1P1x2P2…xnPn++++…=若=a+b則E=a（E）+b則E=np若服從幾何分布，若~B(n,P)則E=1/p含義:隨機(jī)變量取值的平均水平若離散型隨機(jī)變量的概率分布是x1x2…2例:甲、乙兩名射手在同一條件下進(jìn)行射擊，分布列如下:擊中環(huán)數(shù)ξ18910概率P0.20.60.2射手甲射手乙擊中環(huán)數(shù)ξ18910概率P0.20.60.2比較兩名射手的射擊水平Eξ1=8x0.2+9x0.6+10x0.2=9Eξ2=8x0.4+9x0.2+10x0.4=9由上知Eξ1=Eξ2，標(biāo)準(zhǔn):1射擊的平均水平------期望2射擊的穩(wěn)定性---------方差1射擊的平均水平------期望例:甲、乙兩名射手在同一條件下進(jìn)行射擊，分布列如下:擊中環(huán)數(shù)3若離散型隨機(jī)變量的概率分布是x1x2…xn…

PP1P2…Pn…若=a+b則D=a2D若~B(n,P)則D=npq(q=1-p)(x1-E)2P1…++++…=(x2-E)2P2(xn-E)2Pn方差標(biāo)準(zhǔn)差若服從幾何分布，則D=q/p2含義:反映了ξ取值的穩(wěn)定與波動(dòng)，集中與離散程度.

越小,穩(wěn)定性越高,波動(dòng)越小.若離散型隨機(jī)變量的概率分布是x1x2…4差異：一、期望的概念：期望反映了ξ取值的平均水平。ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為二、方差的概念1)意義:方差反映了ξ取值的穩(wěn)定與波動(dòng)，集中與離散程度1)意義:則Eξ=np(2)若ξ~B（n,p）則Dξ=npq,(q=1－p)2)計(jì)算公式：2)計(jì)算公式：(2)若ξ~B（n,p）(3)若服從幾何分布則E=1/p(3)若服從幾何分布則D=q/p2期望值高，平均值大，水平高方差值小，穩(wěn)定性高，水平高差異：一、期望的概念：期望反映了ξ取值的平均水平。ξx15例:甲、乙兩名射手在同一條件下進(jìn)行射擊，分布列如下:擊中環(huán)數(shù)ξ18910概率P0.20.60.2射手甲射手乙擊中環(huán)數(shù)ξ18910概率P0.20.60.2用擊中環(huán)數(shù)的期望與方差分析比較兩名射手的射擊水平Eξ1=8x0.2+9x0.6+10x0.2=9Dξ1=(8－9)2x0.2+(9－9)2x0.6+(10－9)2x0.2=0.4Eξ2=8x0.4+9x0.2+10x0.4=9Dξ2=(8－9)2x0.4+(9－9)2x0.2+(10－9)2x0.4=0.8由上知Eξ1=Eξ2，Dξ1＜Dξ2期望值高，平均值大，水平高方差值小，穩(wěn)定性高，水平高所以選甲例:甲、乙兩名射手在同一條件下進(jìn)行射擊，分布列如下:擊中環(huán)數(shù)61、已知隨機(jī)變量的分布列為-101P

=3+1E=

，D=

.E=

，D=

.1、已知隨機(jī)變量的分布列為-101P72、若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且E=6，D=4,則此二項(xiàng)分布是

。設(shè)二項(xiàng)分布為~B(n,p),則E=np=6D=np(1-p)=4n=18p=1/32、若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，設(shè)二項(xiàng)分布為~B(n,p)8例：已知離散型隨機(jī)變量ξ的分布列：ξ12```nP1/n1/n```1/n求這個(gè)隨機(jī)變量的期望、方差與標(biāo)準(zhǔn)差例：已知離散型隨機(jī)變量ξ的分布列：ξ12```nP1/n1/9例：已知離散型隨機(jī)變量ξ的分布列：ξ12```nP1/n1/n```1/n求這個(gè)隨機(jī)變量的期望、方差與標(biāo)準(zhǔn)差變題:有n把看上去相同的鑰匙,其中只有一把能把大門的鎖打開,每把鑰匙試開后不能放回,求試開次數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望例：已知離散型隨機(jī)變量ξ的分布列：ξ12```nP1/n1/10例2有一批數(shù)量很大的商品的次品率為1%，從中任意地連續(xù)取出200件商品，設(shè)其中次品數(shù)為ξ，求Eξ，Dξ。例2涉及產(chǎn)品數(shù)量很大，而且抽查次數(shù)又相對(duì)較少的產(chǎn)品抽查問(wèn)題．由于產(chǎn)品數(shù)量很大，因而抽樣時(shí)抽出次品與否對(duì)后面的抽樣的次品率影響很小，所以可以認(rèn)為各次抽查的結(jié)果是彼此獨(dú)立的．解答本題，關(guān)鍵是理解清楚：抽200件商品可以看作200次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即ξ~B（200，1%），從而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(這里q=1-p)直接進(jìn)行計(jì)算。解：ξ~B（200，1%）。因?yàn)镋ξ=np，Dξ=npq，這里n=200，p=1%，q=99%Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98例2有一批數(shù)量很大的商品的次品率為1%，從中任意地連續(xù)取11例3設(shè)事件A發(fā)生的概率為p，證明事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生次數(shù)ξ的方差不超過(guò)1/4。關(guān)鍵還是掌握隨機(jī)變量的分布列

因?yàn)棣嗡锌赡苋〉闹禐?，1。且P（ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p,Eξ=0×(1-p)+1×p=p。則Dξ=（0-p）2×(1-p)+(1-p)2×p=p(1-p)Dξ=是關(guān)于P(P≥0)的二次函數(shù)，這里可用配方法，也可用重要不等式證明結(jié)論。例3設(shè)事件A發(fā)生的概率為p，證明事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生次12小結(jié)：一、期望的概念：期望反映了ξ取值的平均水平。ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為二、方差的概念1)意義:方差反映了ξ取值的穩(wěn)定與波動(dòng)，集中與離散程度1)意義:則Eξ=np(2)若ξ~B（n,p）則Dξ=npq,(q=1－p)2)計(jì)算公式：2)計(jì)算公式：(2)若ξ~B（n,p）若服從幾何分布則E=1/p若服從幾何分布則D=q/p2小結(jié)：一、期望的概念：期望反映了ξ取值的平均水平。ξx113隨著年歲的疊加，我們會(huì)漸漸發(fā)現(xiàn)：越是有智慧的人，越是謙虛，因?yàn)榘侯^的只是稗子，低頭的才是稻子；越是富有的人，越是高貴，因?yàn)檎嬲母辉Ｊ庆`魂上的高貴以及精神世界的富足；越是優(yōu)秀的人，越是努力，因?yàn)閮?yōu)秀從來(lái)不是與生俱來(lái)，從來(lái)不是一蹴而就。隨著滄桑的累積，我們也會(huì)慢慢懂得：成功的路，其實(shí)并不擁擠，因?yàn)槟軌驁?jiān)持到底的人實(shí)在太少；所有優(yōu)秀的人，其實(shí)就是活得很努力的人，所謂的勝利，其實(shí)最后就是自身價(jià)值觀的勝利。人到中年，突然間醒悟許多，總算明白：人生，只有將世間的路一一走遍，才能到盡頭；生活，只有將塵世況味種種嘗遍，才能熬出頭。這世間，從來(lái)沒(méi)有最好，只有更好。每天，總想要努力醒得比太陽(yáng)還早，因?yàn)榭傆X(jué)得世間萬(wàn)物，太陽(yáng)是最能賜人力量和能量的。每當(dāng)面對(duì)噴薄的日出，心中的太陽(yáng)隨之冉冉騰起，生命之火熊熊燃燒，生活的熱情就會(huì)光芒四射。我真的難以想象，那些從來(lái)不早起的人，一生到底能夠看到幾回日升？那些從來(lái)沒(méi)有良好習(xí)慣的人，活到最后到底該是多么的遺憾與愧疚？曾國(guó)藩說(shuō)：早晨不起，誤一天的事；幼時(shí)不學(xué)，誤一生的事。尼采也說(shuō)：每一個(gè)不曾起舞的日子，都是對(duì)生命的辜負(fù)。光陰易逝，豈容我待？越是努力的人，越是沒(méi)有時(shí)間抱怨，越是沒(méi)有工夫頹喪。每當(dāng)走在黎明的曙光里，看到那些兢兢業(yè)業(yè)清潔城市的“美容師”，我就會(huì)由衷地欣賞并在心底贊嘆他們，因?yàn)樗麄兓畹煤芘苷J(rèn)真。每當(dāng)看見(jiàn)那些奔跑在朝霞絢爛里的晨練者，我就會(huì)從心里為他們豎起大拇指，因?yàn)樗麄兘o自己力量的同時(shí)，也贈(zèng)予他人能量。我總覺(jué)得：你可以不優(yōu)秀，但你必須有認(rèn)真的態(tài)度；你可以不成功，但你必須努力。這個(gè)世界上，從來(lái)沒(méi)有誰(shuí)比誰(shuí)更優(yōu)秀，只有誰(shuí)比誰(shuí)更努力。我也始終認(rèn)為：一個(gè)活得很努力的人，自帶光芒萬(wàn)丈；一個(gè)人認(rèn)真的樣子，比任何時(shí)候都要美好；一個(gè)能夠自律自控的人，他的人生也就成功了大半。世間每一種的好，從來(lái)都只為懂得努力的人盛裝而來(lái)。有時(shí)候，我真的感覺(jué)，人生的另一個(gè)名字應(yīng)該叫做努力，努力了就會(huì)無(wú)悔，努力了就會(huì)無(wú)愧；生活的另一種說(shuō)法應(yīng)該叫做煎熬，熬過(guò)了漫漫黑夜，天就亮了，熬過(guò)了蕭蕭冬日，春天就來(lái)了。人生不易，越努力越幸運(yùn)；余生不長(zhǎng)，越珍惜越精彩。人生，是一本太倉(cāng)促的書，越認(rèn)真越深刻；生命，是一條無(wú)名的河，越往前越深邃。愿你不要為已逝的年華嘆息，不要為前路的茫茫而裹足不前愿你相信所有的堅(jiān)持總能奏響黎明的號(hào)角，所有的努力總能孕育碩果的盛駕光臨。愿你堅(jiān)信越是成功的人越是不允許自己頹廢散漫，越是優(yōu)秀的人越是努力……生活中很多時(shí)候，我們遇到一些復(fù)雜的情況，會(huì)很容易被眼前的障礙所蒙蔽，找不到解決問(wèn)題的方法。這時(shí)候，如果能從當(dāng)前的環(huán)境脫離出來(lái)，從一個(gè)新角度去解決問(wèn)題，也許就會(huì)柳暗花明。一個(gè)土豪，每次出門都擔(dān)心家中被盜，想買只狼狗栓門前護(hù)院，但又不想雇人喂狗浪費(fèi)銀兩?？嗨剂季煤蠼K得一法：每次出門前把WiFi修改成無(wú)密碼，然后放心出門每次回來(lái)都能看到十幾個(gè)人捧著手機(jī)蹲在自家門口，從此無(wú)憂。護(hù)院，未必一定要養(yǎng)狗換個(gè)角度想問(wèn)題，結(jié)果大不同。一位大爺?shù)讲耸袌?chǎng)買菜，挑了3個(gè)西紅柿到到秤盤，攤主秤了下：“一斤半3塊7?！贝鬆敚骸白鰷挥媚敲炊??！比サ袅俗畲蟮奈骷t柿。攤主:“一斤二兩，3塊?！闭?dāng)身邊人想提醒大爺注意秤時(shí)，大爺從容的掏出了七毛錢，拿起剛剛?cè)サ舻哪莻€(gè)大的西紅柿，瀟灑地?fù)Q種算法，獨(dú)辟蹊徑，你會(huì)發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的另一個(gè)方法。生活中，我們特別容易陷入非A即B的思維死角，但其實(shí)，遭遇兩難困境時(shí)換個(gè)角度思考，也許就會(huì)明白：路的旁邊還有路。一個(gè)魚塘新開張，釣費(fèi)100塊。釣了一整天沒(méi)釣到魚，老板說(shuō)凡是沒(méi)釣到的就送一只雞。很多人都去了，回來(lái)的時(shí)候每人拎著一只雞，大家都很高興！覺(jué)得老板很夠意思。后來(lái)，釣魚場(chǎng)看門大爺告訴大家，老板本來(lái)就是個(gè)養(yǎng)雞專業(yè)戶，這魚塘本來(lái)就沒(méi)魚。巧妙的去庫(kù)存，還讓顧客心甘情愿買單。新時(shí)代，做營(yíng)銷，必須打破傳統(tǒng)思維。孩子不愿意做爸爸留的課外作業(yè)，于是爸爸靈機(jī)一動(dòng)說(shuō)：兒子，我來(lái)做作業(yè)，你來(lái)檢查如何？孩子高興的答應(yīng)了，并且把爸爸的“作業(yè)”認(rèn)真的檢查了一遍，還列出算式給爸爸講解了一遍不過(guò)他可能怎么也不明白為什么爸爸所有作業(yè)都做錯(cuò)了。巧妙轉(zhuǎn)換角色，后退一步，有時(shí)候是另一種前進(jìn)。一個(gè)博士群里有人提問(wèn)：一滴水從很高很高的地方自由落體下來(lái)，砸到人會(huì)不會(huì)砸傷？或砸死？群里一下就熱鬧起來(lái)，各種公式，各種假設(shè)，各種阻力，重力，加速度的計(jì)算，足足討論了近一個(gè)小時(shí)后來(lái)，一個(gè)不小心進(jìn)錯(cuò)群的人默默問(wèn)了一句：你們沒(méi)有淋過(guò)雨嗎人們常常容易被日常思維所禁錮，而忘卻了最簡(jiǎn)單也是最直接的路有兩個(gè)年輕人，大學(xué)畢業(yè)后一起到廣州闖天下。隨著年歲的疊加，我們會(huì)漸漸發(fā)現(xiàn)：越是有智慧的人，越是謙虛，因14隨機(jī)變量的期望與方差隨機(jī)變量的期望與方差15若離散型隨機(jī)變量的概率分布是x1x2…xn…

PP1P2…Pn…x1P1x2P2…xnPn++++…=若=a+b則E=a（E）+b則E=np若服從幾何分布，若~B(n,P)則E=1/p含義:隨機(jī)變量取值的平均水平若離散型隨機(jī)變量的概率分布是x1x2…16例:甲、乙兩名射手在同一條件下進(jìn)行射擊，分布列如下:擊中環(huán)數(shù)ξ18910概率P0.20.60.2射手甲射手乙擊中環(huán)數(shù)ξ18910概率P0.20.60.2比較兩名射手的射擊水平Eξ1=8x0.2+9x0.6+10x0.2=9Eξ2=8x0.4+9x0.2+10x0.4=9由上知Eξ1=Eξ2，標(biāo)準(zhǔn):1射擊的平均水平------期望2射擊的穩(wěn)定性---------方差1射擊的平均水平------期望例:甲、乙兩名射手在同一條件下進(jìn)行射擊，分布列如下:擊中環(huán)數(shù)17若離散型隨機(jī)變量的概率分布是x1x2…xn…

PP1P2…Pn…若=a+b則D=a2D若~B(n,P)則D=npq(q=1-p)(x1-E)2P1…++++…=(x2-E)2P2(xn-E)2Pn方差標(biāo)準(zhǔn)差若服從幾何分布，則D=q/p2含義:反映了ξ取值的穩(wěn)定與波動(dòng)，集中與離散程度.

越小,穩(wěn)定性越高,波動(dòng)越小.若離散型隨機(jī)變量的概率分布是x1x2…18差異：一、期望的概念：期望反映了ξ取值的平均水平。ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為二、方差的概念1)意義:方差反映了ξ取值的穩(wěn)定與波動(dòng)，集中與離散程度1)意義:則Eξ=np(2)若ξ~B（n,p）則Dξ=npq,(q=1－p)2)計(jì)算公式：2)計(jì)算公式：(2)若ξ~B（n,p）(3)若服從幾何分布則E=1/p(3)若服從幾何分布則D=q/p2期望值高，平均值大，水平高方差值小，穩(wěn)定性高，水平高差異：一、期望的概念：期望反映了ξ取值的平均水平。ξx119例:甲、乙兩名射手在同一條件下進(jìn)行射擊，分布列如下:擊中環(huán)數(shù)ξ18910概率P0.20.60.2射手甲射手乙擊中環(huán)數(shù)ξ18910概率P0.20.60.2用擊中環(huán)數(shù)的期望與方差分析比較兩名射手的射擊水平Eξ1=8x0.2+9x0.6+10x0.2=9Dξ1=(8－9)2x0.2+(9－9)2x0.6+(10－9)2x0.2=0.4Eξ2=8x0.4+9x0.2+10x0.4=9Dξ2=(8－9)2x0.4+(9－9)2x0.2+(10－9)2x0.4=0.8由上知Eξ1=Eξ2，Dξ1＜Dξ2期望值高，平均值大，水平高方差值小，穩(wěn)定性高，水平高所以選甲例:甲、乙兩名射手在同一條件下進(jìn)行射擊，分布列如下:擊中環(huán)數(shù)201、已知隨機(jī)變量的分布列為-101P

=3+1E=

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.1、已知隨機(jī)變量的分布列為-101P212、若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且E=6，D=4,則此二項(xiàng)分布是

。設(shè)二項(xiàng)分布為~B(n,p),則E=np=6D=np(1-p)=4n=18p=1/32、若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，設(shè)二項(xiàng)分布為~B(n,p)22例：已知離散型隨機(jī)變量ξ的分布列：ξ12```nP1/n1/n```1/n求這個(gè)隨機(jī)變量的期望、方差與標(biāo)準(zhǔn)差例：已知離散型隨機(jī)變量ξ的分布列：ξ12```nP1/n1/23例：已知離散型隨機(jī)變量ξ的分布列：ξ12```nP1/n1/n```1/n求這個(gè)隨機(jī)變量的期望、方差與標(biāo)準(zhǔn)差變題:有n把看上去相同的鑰匙,其中只有一把能把大門的鎖打開,每把鑰匙試開后不能放回,求試開次數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望例：已知離散型隨機(jī)變量ξ的分布列：ξ12```nP1/n1/24例2有一批數(shù)量很大的商品的次品率為1%，從中任意地連續(xù)取出200件商品，設(shè)其中次品數(shù)為ξ，求Eξ，Dξ。例2涉及產(chǎn)品數(shù)量很大，而且抽查次數(shù)又相對(duì)較少的產(chǎn)品抽查問(wèn)題．由于產(chǎn)品數(shù)量很大，因而抽樣時(shí)抽出次品與否對(duì)后面的抽樣的次品率影響很小，所以可以認(rèn)為各次抽查的結(jié)果是彼此獨(dú)立的．解答本題，關(guān)鍵是理解清楚：抽200件商品可以看作200次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即ξ~B（200，1%），從而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(這里q=1-p)直接進(jìn)行計(jì)算。解：ξ~B（200，1%）。因?yàn)镋ξ=np，Dξ=npq，這里n=200，p=1%，q=99%Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98例2有一批數(shù)量很大的商品的次品率為1%，從中任意地連續(xù)取25例3設(shè)事件A發(fā)生的概率為p，證明事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生次數(shù)ξ的方差不超過(guò)1/4。關(guān)鍵還是掌握隨機(jī)變量的分布列

因?yàn)棣嗡锌赡苋〉闹禐?，1。且P（ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p,Eξ=0×(1-p)+1×p=p。則Dξ=（0-p）2×(1-p)+(1-p)2×p=p(1-p)Dξ=是關(guān)于P(P≥0)的二次函數(shù)，這里可用配方法，也可用重要不等式證明結(jié)論。例3設(shè)事件A發(fā)生的概率為p，證明事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生次26小結(jié)：一、期望的概念：期望反映了ξ取值的平均水平。ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為二、方差的概念1)意義:方差反映了ξ取值的穩(wěn)定與波動(dòng)，集中與離散程度1)意義:則Eξ=np(2)若ξ~B（n,p）則Dξ=npq,(q=1－p)2)計(jì)算公式：2)計(jì)算公式：(2)若ξ~B（n,p）若服從幾何分布則E=1/p若服從幾何分布則D=q/p2小結(jié)：一、期望的概念：期望反映了ξ取值的平均水平。ξx127隨著年歲的疊加，我們會(huì)漸漸發(fā)現(xiàn)：越是有智慧的人，越是謙虛，因?yàn)榘侯^的只是稗子，低頭的才是稻子；越是富有的人，越是高貴，因?yàn)檎嬲母辉Ｊ庆`魂上的高貴以及精神世界的富足；越是優(yōu)秀的人，越是努力，因?yàn)閮?yōu)秀從來(lái)不是與生俱來(lái)，從來(lái)不是一蹴而就。隨著滄桑的累積，我們也會(huì)慢慢懂得：成功的路，其實(shí)并不擁擠，因?yàn)槟軌驁?jiān)持到底的人實(shí)在太少；所有優(yōu)秀的人，其實(shí)就是活得很努力的人，所謂的勝利，其實(shí)最后就是自身價(jià)值觀的勝利。人到中年，突然間醒悟許多，總算明白：人生，只有將世間的路一一走遍，才能到盡頭；生活，只有將塵世況味種種嘗遍，才能熬出頭。這世間，從來(lái)沒(méi)有最好，只有更好。每天，總想要努力醒得比太陽(yáng)還早，因?yàn)榭傆X(jué)得世間萬(wàn)物，太陽(yáng)是最能賜人力量和能量的。每當(dāng)面對(duì)噴薄的日出，心中的太陽(yáng)隨之冉冉騰起，生命之火熊熊燃燒，生活的熱情就會(huì)光芒四射。我真的難以想象，那些從來(lái)不早起的人，一生到底能夠看到幾回日升？那些從來(lái)沒(méi)有良好習(xí)慣的人，活到最后到底該是多么的遺憾與愧疚？曾國(guó)藩說(shuō)：早晨不起，誤一天的事；幼時(shí)不學(xué)，誤一生的事。尼采也說(shuō)：每一個(gè)不曾起舞的日子，都是對(duì)生命的辜負(fù)。光陰易逝，豈容我待？越是努力的人，越是沒(méi)有時(shí)間抱怨，越是沒(méi)有工夫頹喪。每當(dāng)走在黎明的曙光里，看到那些兢兢業(yè)業(yè)清潔城市的“美容師”，我就會(huì)由衷地欣賞并在心底贊嘆他們，因?yàn)樗麄兓畹煤芘苷J(rèn)真。每當(dāng)看見(jiàn)那些奔跑在朝霞絢爛里的晨練者，我就會(huì)從心里為他們豎起大拇指，因?yàn)樗麄兘o自己力量的同時(shí)，也贈(zèng)予他人能量。我總覺(jué)得：你可以不優(yōu)秀，但你必須有認(rèn)真的態(tài)度；你可以不成功，但你必須努力。這個(gè)世界上，從來(lái)沒(méi)有誰(shuí)比誰(shuí)更優(yōu)秀，只有誰(shuí)比誰(shuí)更努力。我也始終認(rèn)為：一個(gè)活得很努力的人，自帶光芒萬(wàn)丈；一個(gè)人認(rèn)真的樣子，比任何時(shí)候都要美好；一個(gè)能夠自律自控的人，他的人生也就成功了大半。世間每一種的好，從來(lái)都只為懂得努力的人盛裝而來(lái)。有時(shí)候，我真的感覺(jué)，人生的另一個(gè)名字應(yīng)該叫做努力，努力了就會(huì)無(wú)悔，努力了就會(huì)無(wú)愧；生活的另一種說(shuō)法應(yīng)該叫做煎熬，熬過(guò)了漫漫黑夜，天就亮了，熬過(guò)了蕭蕭冬日，春天就來(lái)了。人生不易，越努力越幸運(yùn)；余生不長(zhǎng)，越珍惜越精彩。人生，是一本太倉(cāng)促的書，越認(rèn)真越深刻；生命，是一條無(wú)名的河，越往前越深邃。愿你不