關(guān)于幾種特殊矩陣的逆矩陣求法探討Word版

整理為word格式整理為word格式整理為word格式關(guān)于幾種特殊矩陣的逆矩陣求法探討數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)（師范）專業(yè)2008級范佳利指導(dǎo)教師劉學(xué)文摘要：矩陣是高等代數(shù)中非常重要的內(nèi)容之一，而在矩陣理論中較為基礎(chǔ)的就是求矩陣的逆矩陣。本文在階方陣求逆的方法基礎(chǔ)上，歸納了幾類特殊矩陣逆的求法，并從中找出一些初步的、具有應(yīng)用價值的規(guī)律，簡化了類似矩陣求逆問題的計算。關(guān)鍵詞：階矩陣；逆矩陣；伴隨矩陣；線性變換Abstract:Matrixinlinearalgebraisaveryimportantpartofcontent,Andthematrixinversematrixisofmoreimportantpiece,Inthispapertheinversesquarenorderbasedonmethod,Thethreekindsofspecialinversematrixisalsogiven,Andfindoutsomepreliminaryhasapplicationvalueofthelaw,Simplifytheinverseproblemofsimilarmatrixcalculation.Keyword:ordermatrix;inversematrix;adjointmatrix;linearconversion矩陣是高等代數(shù)的一個最基本的概念，其內(nèi)容貫穿于高等代數(shù)的始終，而矩陣問題中的求逆是矩陣內(nèi)容中不可或缺的重要的一部分。本文在矩陣的逆的概念和相關(guān)性質(zhì)、及其求逆矩陣的基本方法的基礎(chǔ)上，歸納總結(jié)出幾類特殊矩陣的逆矩陣的求法。1逆矩陣的基本概念與判定、性質(zhì)逆矩陣的定義定義1[1]對于級方陣，如果存在n級方陣，使得，則稱是可逆矩陣（可逆的），稱為的逆矩陣并記為.注1可逆矩陣必為方陣，其逆必唯一，且與為同階方陣，即.1.2可逆矩陣的判定整理為word格式整理為word格式整理為word格式定理1[1]設(shè)矩陣為階可逆矩陣，矩陣可逆的充要條件是存在階矩陣使得.定理2[1]設(shè)矩陣為可逆矩陣，則以下幾個命題是等價的：矩陣可逆；矩陣的行列式；矩陣的伴隨矩陣可逆；矩陣的伴隨矩陣的行列式；定理3[1]矩陣可逆的充要條件是存在階矩陣使得().定理4[1]矩陣可逆的充要條件是矩陣為滿秩矩陣(即).定理5[1]矩陣可逆的充要條件是矩陣與單位矩陣等價(對矩陣施行初等變換可以使矩陣轉(zhuǎn)化為單位矩陣)定理6[1]矩陣可逆的充要條件是以矩陣為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的解唯一.定理7[1]矩陣可逆的充要條件是矩陣可表示為一些初等矩陣的乘積.定理8[1]矩陣可逆的充要條件是矩陣的特征值均不為0.可逆矩陣的性質(zhì)若可逆，則也可逆且；若可逆，則也可逆且;若可逆，數(shù)，則也可逆且；若，都可逆，則也可逆且.若；若；整理為word格式整理為word格式整理為word格式可推廣為：若均可逆，則可逆且；若可逆，若，若可逆，則；若可逆，則；注2若為同階可逆矩陣，則不一定可逆.如不可逆.注3(4)的逆命題成立，即若可逆，則也可逆.這是因為：由于可逆，,所以也可逆.2逆矩陣的求法2.1定義法利用定義，當條件中有矩陣方程時，通過矩陣運算規(guī)律從矩陣方程中湊出的形式，從而可得.這一方法適用于抽象矩陣求逆.2.2公式法當級方陣可逆時，有.其中是的伴隨矩陣.其中：.整理為word格式整理為word格式整理為word格式2.3初等變換法設(shè)階矩陣，作矩陣，然后對此矩陣施以初等行變換,若把子塊變?yōu)?則子塊將變?yōu)?即同樣也可以作矩陣，然后對此矩陣只施以初等列變換，即2.4高斯-約當法由定義，設(shè)（均為維向量），則，若將改寫成，則。具體方法如下：寫出的矩陣形式=由矩陣乘法寫成方程形式經(jīng)消元后將上式轉(zhuǎn)化為如下形式即所以整理為word格式整理為word格式整理為word格式2.5分塊矩陣法定理1[3]矩陣是一個滿秩矩陣，若中存在階非零主子式，則一定可以分解成一個下三角分塊矩陣與一個上三角分塊矩陣的乘積，并且對于零元素特別多的矩陣，可以考慮用分塊矩陣求逆，為可逆矩陣，則,，.解線性方程組法設(shè)是非奇異矩陣，且令.因為，從而由分塊矩陣性質(zhì)可知，計算的問題等價于求解下列個線性方程組.，求解上述方程組即可求得的個列向量，也就求得.由于這n個方程組的系數(shù)矩陣相同，故可采用三角分解法進行計算以節(jié)省工作量.三角分解法：設(shè)有方程組，并設(shè)，于是，其中于是求解的問題等價于求解兩方程組和整理為word格式整理為word格式整理為word格式3特殊矩陣逆的求法3.1類型一觀察此題有比較明顯的特點，現(xiàn)將矩陣分塊，可根據(jù)分塊矩陣逆矩陣性質(zhì)求矩陣的逆.分塊如下：整理為word格式整理為word格式整理為word格式可利用這個結(jié)論，在解決一些類似問題上可更加簡便，如：則可直接利用以上結(jié)論，可清楚的得知：整理為word格式整理為word格式整理為word格式3.2類型23.2.1已知：觀察矩陣可發(fā)現(xiàn)此矩陣有一定的規(guī)律，如用公式法或者定義法，則計算肯定相對比較復(fù)雜。不妨從線性的角度來解答。先設(shè)線性方程組.其中，將這個方程相加，可得：由第一個方程減去第二個方程得：由些得出整理為word格式整理為word格式整理為word格式從而類似的，從第個方程減去第個方程()可求出：.從第n個方程減去第一個方程，可求出：此線性方程組的解即為矩陣的逆.記分別令得由以上的解答，我們可知，這種類型的求矩陣逆利用線性方程組法比利用初等變換法簡單得多.3.2.1已知：先設(shè)線性方程組則原方程組可寫成：由此得出整理為word格式整理為word格式整理為word格式從而記，從上述一次方程解得于是分別令得：3.3類型3已知矩陣此矩陣為對角線全為0，上三角和下三角全為1的特殊矩陣.當然此題可用一般的初等變換法來求逆矩陣。但仔細觀察，我們可利用此矩陣的特殊特點來解答此題.可分析如下：令，則易算出：整理為word格式整理為word格式整理為word格式，其中讓即可求的逆矩陣.在此令便可求出矩陣，即為的逆矩陣.而此時矩陣即是矩陣,所以現(xiàn)依照以上的分析開始進行計算：==令可解得：代入可得所求逆矩陣為：本題利用逆矩陣的定義，簡便了計算，使題目變得更加容易解答.3.4類型4整理為word格式整理為word格式整理為word格式其中：和分別為兩組互不相同的個數(shù)，且觀察此矩陣，可發(fā)現(xiàn)，若矩陣去任一行和任一列所得到的階矩陣都與原矩陣同型，所以此題可以考慮用求伴隨矩陣的方法來求它的逆.令用第一行乘以（-1）加到其余的每一行得：將每行及每列的公因子提出來，等于整理為word格式整理為word格式整理為word格式將上述行列式的第1行乘以加到第行，得將此行列式按第1列展開降為階行列式，再將該階行列式的所有行和列的公共因子提出即得：所以由數(shù)學(xué)歸納法得由此可得出行列式中第整理為word格式整理為word格式整理為word格式其中：“”表示去掉該字母，于是從本題可以看出，此類題型的計算量是比較大的，利用伴隨矩陣公式法，找尋規(guī)律解答此題.3.5類型5觀察此矩陣，是一個有一定規(guī)律的矩陣，下三角全為0，上三角每一行的數(shù)以等比遞增.則現(xiàn)在可設(shè)一個矩陣H，由表示可得：又因為矩陣的對角線全為0所以于是整理為word格式整理為word格式整理為word格式從而=利用這個結(jié)論，可以比較方便快速的解決填空選擇題，如：就可知上述的,所以直接代入可知：4結(jié)語通過上述歸納總結(jié)可以看出，在求逆矩陣的過程中，必須熟練的運用可逆矩陣相關(guān)的定理以及結(jié)論，利用方法技巧可使得矩陣可逆的計算更加簡便，而可逆矩陣的運用遠遠不止在大學(xué)數(shù)學(xué)中，在其他方面中也有及其廣泛的運用，這就需要我們不斷的去探索和研究。參考文獻:[1]田孝貴.高等代數(shù)[M].首都師范大學(xué)出版社，1994.[2]蘇明珍.陳曉萌.分塊矩陣求逆方法的探討[J].濱州教育學(xué)院學(xué)報，1996,5（2）：49-52.[3]沈劍華.數(shù)值計算基礎(chǔ)（第二版）[M].同濟大學(xué)出版社，2004.整理為word格式整理為word格式整理為word格式[4]陳文燈.線性代數(shù)解題方法與技巧[M].中國財政經(jīng)濟出版社，2004.[5]李帥正.高等代數(shù)解題方法與技巧[M].高等教育出版社，2004.[6]張海濤.逆矩陣的求