2022-2023學(xué)年黑龍江省佳木斯市高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年黑龍江省佳木斯市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，雙曲線上一點(diǎn)與，的距離差的絕對(duì)值等于6，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．C【分析】根據(jù)題意求出a,b即可求得答案.【詳解】由題意，，則，結(jié)合條件可知，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.2．平面內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)、和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，（為常數(shù)）.若表示""，表示“點(diǎn)的軌跡是橢圓”．則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件A【分析】利用橢圓的定義分析若點(diǎn)的軌跡為橢圓所對(duì)應(yīng)的的范圍，再利用充分條件和必要條件的定義判斷即可．【詳解】解：因?yàn)?，且為常?shù)），所以要使點(diǎn)的軌跡為橢圓，則，所以“”是“點(diǎn)的軌跡是橢圓”的充分不必要條件．故選：A．3．兩條平行直線與之間的距離（

）A． B． C． D．7C【分析】首先根據(jù)兩條直線平行求出參數(shù)的值，然后利用平行線間的距離公式求解即可.【詳解】由已知兩條直線平行，得，所以，所以直線可化為，則兩平行線間的距離.故選：C4．若橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)相同，則的值為（

）A．3 B．6 C．9 D．12C【分析】先將雙曲線化成標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)兩曲線焦點(diǎn)相同可得，，即可解出．【詳解】雙曲線化成標(biāo)準(zhǔn)方程，所以，解得．故選：C．5．如圖所示，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，則下列向量中與相等的向量是（

）A． B．C． D．A【分析】根據(jù)平行六面體的特征和空間向量的線性運(yùn)算依次對(duì)選項(xiàng)的式子變形，即可判斷.【詳解】A：，故A正確；B：，故B錯(cuò)誤；C：，故C錯(cuò)誤；D：，故D錯(cuò)誤；故選：A6．一座圓拱橋，當(dāng)水面在如圖所示位置時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬12米，當(dāng)水面下降2米后，水面寬是（

）A．13米 B．14米 C．15米 D．16米D【分析】沿拱頂建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求出圓的方程后可得水面下降2米后的水面寬.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)圓的方程為：，代入，則有，故圓的方程為：，令，則，故，故選：D.7．已知直線l的方向向量為，點(diǎn)在直線l上，則點(diǎn)到直線l的距離為（

）A． B． C． D．D【分析】利用數(shù)量積的幾何意義結(jié)合勾股定理求解即可【詳解】由已知得，因?yàn)橹本€l的方向向量為，所以點(diǎn)到直線l的距離為故選：D8．已知斜率為且不經(jīng)過原點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，且在軸上，則（

）A． B．1 C．2 D．0D【分析】根據(jù)中點(diǎn)弦的問題求解即可.【詳解】解：設(shè)，，，所以，，兩式相減得，所以，．若在軸上，則．因?yàn)椴唤?jīng)過原點(diǎn)，所以，所以，．故選：D二、多選題9．已知曲線（

）A．表示兩條直線 B．表示圓C．表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線 D．表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓BD【分析】根據(jù)圓，雙曲線，橢圓的方程特征，依次分析各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，表示圓心為原點(diǎn)，半徑為的圓，故正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，故錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，方程為，由于，故表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，故正確.故選：BD10．下列說法中，正確的有（

）A．點(diǎn)斜式可以表示任何直線B．直線在y軸上的截距為C．點(diǎn)到直線的的最大距離為D．直線關(guān)于對(duì)稱的直線方程是BC【分析】根據(jù)點(diǎn)斜式的應(yīng)用范圍即可判斷A；，求出，即可判斷B；求出直線所過的定點(diǎn)，再求出定點(diǎn)與點(diǎn)的距離，即可判斷C；求出交點(diǎn)坐標(biāo)，在求出直線直線上的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可判斷D.【詳解】解：對(duì)于，點(diǎn)斜式不能表示斜率不存在得直線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則，所以直線在y軸上的截距為，故B正確；對(duì)于C，直線化為，令，解得，所以直線過定點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的的最大距離為，故C正確；對(duì)于D，聯(lián)立，解得，即直線與直線的交點(diǎn)為，設(shè)直線上的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，則，解得，即，所以所求直線方程為，即，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11．已知橢圓分別為它的左右焦點(diǎn)，A，B分別為它的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（

）A．離心率 B．的周長為15C．若，則的面積為9 D．直線與直線斜率乘積為定值A(chǔ)CD【分析】求出橢圓的離心率可以判斷A；根據(jù)橢圓的定義可判斷B；根據(jù)橢圓的定義和勾股定理可以求出三角形的面積，進(jìn)而判斷C；設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，得到斜率，進(jìn)而結(jié)合點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足橢圓方程求出答案，進(jìn)而判斷D.【詳解】由，可知，對(duì)于A：，故A正確；對(duì)于B：記，則，的周長為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，，所以，故C正確；對(duì)于D：設(shè)，則，，于是，故D正確.故選：ACD.12．“臉譜”是戲曲舞臺(tái)演出時(shí)的化妝造型藝術(shù)，更是中國傳統(tǒng)戲曲文化的重要載體如圖，“臉譜”圖形可近似看作由半圓和半橢圓組成的曲線C，其方程為．則下列說法正確的是（

）A．曲線C包含的封閉圖形內(nèi)部(不含邊界)有11個(gè)整數(shù)點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù))B．曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值與最小值之和為5C．若A(0，－)、B(0，)，P是曲線C下半部分中半橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則cos∠APB的最小值為－D．畫法幾何的創(chuàng)始人加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓中任意兩條互相垂直的切線，其交點(diǎn)都在與橢圓同中心的圓上，稱該圓為橢圓的蒙日?qǐng)A；那么曲線C中下半部分半橢圓擴(kuò)充為整個(gè)橢圓C'：后，橢圓C'的蒙日?qǐng)A方程為：BCD【分析】選項(xiàng)A需要對(duì)曲線C中x分5類討論，由x判斷對(duì)應(yīng)y的范圍，從而得到整數(shù)點(diǎn)個(gè)數(shù)；選項(xiàng)B借助參數(shù)方程求解橢圓中兩點(diǎn)間距離問題；選項(xiàng)C由橢圓定義可得到|PA|、|PB|之和為定值，由基本不等式可以得到、|PB|乘積的最大值，結(jié)合余弦定理即可求出cos∠APB的最小值；選項(xiàng)D中分析蒙日?qǐng)A的關(guān)鍵信息，圓心是原點(diǎn)，找兩條特殊的切線，切線交點(diǎn)在圓上，求得圓半徑得圓方程．【詳解】對(duì)于A：曲線中，，當(dāng)時(shí)，分5類討論：，分別代入曲線方程，可得：整數(shù)點(diǎn)為(－1，1)，(－1，0)，(－1，－1)．(－1，－2)，(0，0)，(1，1)，(1，0)、(1，－1)，(1，－2)，所以：整數(shù)點(diǎn)有9個(gè)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B：曲線C中，當(dāng)時(shí)，此時(shí)與原點(diǎn)距離為2，當(dāng)，時(shí)，設(shè)半橢圓上動(dòng)點(diǎn)P坐標(biāo)為(2cosθ，3sinθ)，則，最大值與最小值之和為5，選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：又A(0，－)、B(0，)恰為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．那么，當(dāng)且僅當(dāng)，即P在x軸上時(shí)，等號(hào)成立，在△PAB中，，由余弦定理知：，選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：由題意知：蒙日?qǐng)A的圓心O坐標(biāo)為原點(diǎn)(0，0)，在橢圓：中取兩條切線：和，它們交點(diǎn)為(2，3)，該點(diǎn)在蒙日?qǐng)A上，半徑為此時(shí)蒙日?qǐng)A方程為：，選項(xiàng)D正確．故選：BCD．三、填空題13．已知點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則直線的方程為______________________________【分析】求出線段的中垂線方程即可．【詳解】，其中垂線的斜率為，又中點(diǎn)為，∴直線方程為，即．故．本題考查點(diǎn)的對(duì)稱性，考查求兩點(diǎn)的對(duì)稱軸方程．掌握對(duì)稱的性質(zhì)即可求解．14．若點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離依次為1和2，則這樣的直線有______條．3【分析】分別以A，B為圓心，1，2為半徑作圓，結(jié)合圖形，轉(zhuǎn)化為公切線問題即可求解.【詳解】如圖1，分別以A，B為圓心，1，2為半徑作圓，依題意知，直線l是圓A的切線，A到l的距離為1，直線l也是圓B的切線，B到l的距離為2，所以直線l是兩圓的公切線，共3條（2條外公切線，1條內(nèi)公切線）．故滿足題意的直線有3條．故答案為:3.15．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，分別為的左，右頂點(diǎn)．為上一點(diǎn)，且軸．直線與軸交于點(diǎn)，若直線經(jīng)過的中點(diǎn)，則的離心率為______【分析】求出，進(jìn)而得到直線方程，從而求出，求出直線方程，得到直線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線經(jīng)過的中點(diǎn)，得到方程，求出，得到曲線的離心率.【詳解】由題意得：，，，將代入橢圓方程，，解得：，不妨設(shè)，則直線方程為，令得：，故，直線方程為，令得：，故，由題意得：，解得：，所以.故答案為.16．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn),的距離之比為（，且），那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓．若平面內(nèi)兩定點(diǎn),間的距離為，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最大值為______##【分析】先建立平面直角坐標(biāo)系，寫出，，的坐標(biāo)，然后求出的軌跡方程，然后利用坐標(biāo)表示出，利用點(diǎn)的軌跡方程消元求解即可.【詳解】由題可知,不妨設(shè)：所以有，因?yàn)榈茫淼?，得，顯然，得，解得：有=因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有最大值為故四、解答題17．平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為．求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．【分析】先設(shè)，然后利用距離公式根據(jù)題意計(jì)算化簡即可.【詳解】設(shè)得，點(diǎn)到直線的距離由題可知：化簡得：所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為18．已知的三頂點(diǎn)坐標(biāo)為，求(1)的外接圓的方程;(2)過點(diǎn)作圓的切線，求切線方程.(1)(2)或【分析】（1）設(shè)外接圓的一般方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)即得解；（2）分不存在，存在兩種情況討論，利用圓心到直線距離等于半徑，求解即可.【詳解】（1）不妨設(shè)外接圓的一般方程為故解得：即的外接圓的方程為：（2）由題意，故圓心為，半徑，若切線的斜率不存在，則，此時(shí)圓心到直線的距離，成立，故為圓C的切線；若切線的斜率存在，不妨設(shè)切線為：，圓心到直線的距離：，解得故切線方程為：綜上，過點(diǎn)的圓的切線方程為：或19．已知的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，邊上的中線所在的直線方程為，的角平分線所在的直線方程為．求頂點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，設(shè)出，然后計(jì)算的中點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入上的中線的直線方程求解即可.【詳解】由題可知點(diǎn)在直線上，設(shè)所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為又因?yàn)檫叺闹芯€方程為故有，解得所以的坐標(biāo)為20．已知橢圓的焦距為，短軸長為2，直線過點(diǎn)且與橢圓C交于A、B兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)若直線的斜率為1，求三角形的面積.(1)(2)【分析】（1）由已知求得后得橢圓方程；（2）寫出直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組求得交點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算，求出原點(diǎn)到直線的距離后可得面積．【詳解】（1）橢圓焦點(diǎn)為，則，，又，，所以，橢圓方程為；（2）直線方程為，即，由，解得，，即，，，到直線的距離為，所以．21．如圖所示，在直三棱柱中，，，點(diǎn)分別為棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)（不包括兩個(gè)端點(diǎn)）．(1)當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離；(2)是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由．(1)點(diǎn)到平面的距離為(2)存在，則【分析】（1）利用等體積法求解即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解．【詳解】（1）解：因?yàn)椋?，平面，平面，，所以平面，又平面所以，又，所以，在△中，，在△中，，在△中，，在△中，，則，所以，所以，，因?yàn)槠矫?，，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離即為垂線段的長，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，即，解得，即點(diǎn)到平面的距離為.（2）解：設(shè)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,2,，,0,，,0,，所以，設(shè),,為平面的法向量，則即，令，則，因?yàn)槠矫鏋樽鴺?biāo)平面，所以,1,為其法向量，依題意，解之得或（舍，所以．22．已知,分別是橢圓的左右頂點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),,點(diǎn)在橢圓上.過點(diǎn),且與坐標(biāo)軸不垂直的直線交橢圓于、兩個(gè)不同的點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)當(dāng)直線的傾斜角為銳角時(shí),設(shè)直線,分別交軸于點(diǎn)、,記,,求的取值范圍.(1)(2)【分析】(1)根據(jù)長軸長求出,再代入,求出,得到橢圓方程;(2)設(shè)出直線的方程,,,聯(lián)立橢圓方程,先根據(jù)根的判別式求出的取值范圍.再設(shè)出直線的方程,求出點(diǎn)S坐標(biāo),同