2022-2023學(xué)年江蘇省南通市海安高級中學(xué)高一年級上冊學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省南通市海安高一上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若集合，實(shí)數(shù)a滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．D【分析】根據(jù)題意得，再根據(jù)元素與集合，集合與集合關(guān)系求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，解得，因?yàn)?，所?所以，，均為錯誤表述.故選：D2．已知，，，則的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．B【分析】根據(jù)已知條件及指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由題意可知，，因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)遞增，且，所以，即，由題意可知，，因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)遞增，且，所以，即，所以.故選:B.3．已知，且，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5D【分析】利用換元法求出函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)值即可求解.【詳解】令則所以，所以函數(shù)的解析式為，又因?yàn)?，所以，解?故選：D.4．?dāng)?shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休，這就是數(shù)形結(jié)合的思想.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常利用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常利用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象的特征，如函數(shù)的圖像大致是（

）A． B．C． D．B【分析】利用排除法及函數(shù)的奇偶性的定義，結(jié)合基本不等式及函數(shù)的最值即可求解.【詳解】由題意可知，函數(shù)定義域?yàn)?，所以，所以為偶函?shù)，排除選項(xiàng)A和C；當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，排除選項(xiàng)D.故選：B.5．已知，則的值為（

）A．2 B．－2 C． D．±2D【分析】利用與的關(guān)系求解即可.【詳解】，所以故選：D6．函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．C【分析】根據(jù)給定的函數(shù)式，列出不等式組求解作答.【詳解】函數(shù)有意義，則有，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C7．將函數(shù)的圖像向左平移2個單位長度，所得函數(shù)在單調(diào)遞增，則a的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4C【分析】函數(shù)的圖像可由對勾函數(shù)圖像平移得到,由對號函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到的單調(diào)區(qū)間，可解出a的最大值.【詳解】，顯然的圖像是函數(shù)的圖像向右移動了個單位，是對勾函數(shù)，任取，，，，當(dāng)時，，，，當(dāng)時，，，，得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由函數(shù)的圖像向左平移2個單位長度，所得函數(shù)在單調(diào)遞增，得在單調(diào)遞增，∴，，則a的最大值為3,故選：C8．已知函數(shù)（），若存在，使，則稱點(diǎn)是函數(shù)的一個“H點(diǎn)”.則函數(shù)“H點(diǎn)”的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．4 D．6C【分析】根據(jù)“H點(diǎn)”的特征，利用數(shù)形結(jié)合判斷存在的個數(shù).【詳解】由，若是函數(shù)的一個“H點(diǎn)”，則其關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，即，所以“H點(diǎn)”關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)也在函數(shù)圖像上，所以要判斷函數(shù)“H點(diǎn)”的個數(shù)，需要知道函數(shù)圖像上關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)有多少個，作函數(shù)在上的部分圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖像，如圖所示，與在上的部分圖像有兩個交點(diǎn)，所以函數(shù)“H點(diǎn)”的個數(shù)為4.故選：C二、多選題9．給出以下四個命題，其中正確的命題是（

）A．已知集合，，若，則，B．函數(shù)與為同一個函數(shù)C．圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱D．命題“，”的否定為“，”AC【分析】利用集合相等求出、的值，可判斷A選項(xiàng)；利用函數(shù)相等的定義可判斷B選項(xiàng)；利用函數(shù)對稱性的定義可判斷C選項(xiàng)；利用全稱量詞命題的否定可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)椋瑒t，即，所以，，解得，A對；對于B選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，所以，函?shù)與不是同一函數(shù)，B錯；對于C選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，對任意的，，所以，函?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，C對；對于D選項(xiàng)，由全稱量詞命題的否定可知，命題“，”的否定為“，”，D錯.故選：AC.10．函數(shù)滿足對定義域內(nèi)任意兩個實(shí)數(shù)、，都有成立，則該函數(shù)稱為函數(shù)，下列函數(shù)為函數(shù)的是（

）A． B． C． D．ABC【分析】利用函數(shù)的定義逐項(xiàng)判斷可出合適的選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，對任意的、，，函?shù)為函數(shù)，A滿足條件；對于B選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，任取、，，函?shù)為函數(shù)，B滿足條件；對于C選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，對任意的、，，所以，，則函數(shù)為函數(shù)，C滿足條件；對于D選項(xiàng)，取，，則，，此時，故函數(shù)不是函數(shù)，D不滿足條件.故選：ABC.11．若實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．BC【詳解】選項(xiàng)A：當(dāng)時，得或，顯然不滿足，故A錯誤；選項(xiàng)B：因?yàn)椋驗(yàn)?，，所以有得，所以有，?dāng)或時等號成立.所以，得，所以，當(dāng)時等號成立；選項(xiàng)C：由選項(xiàng)B，得選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：由選項(xiàng)B，得選項(xiàng)D錯誤.故選：BC12．已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)時，,下列敘述正確的是（

）A．存在實(shí)數(shù)k，使關(guān)于x的方程有7個不相等的實(shí)數(shù)根B．當(dāng)時，有C．當(dāng)時，的最小值為1，則D．若關(guān)于x的方程和的所有實(shí)數(shù)根之和為零，則ABC【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到在R上的解析式，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)時，與的圖象有7個交點(diǎn)，即方程有7個不相等的實(shí)數(shù)根，A正確；由圖象可得時，單調(diào)遞減，從而得到B正確；由，令，解得：，數(shù)形結(jié)合得到，C正確；求出的所有實(shí)數(shù)根之和為，進(jìn)而當(dāng)時，，再結(jié)合對稱性得到時，方程和的所有實(shí)數(shù)根之和為零，從而或，D錯誤.【詳解】因?yàn)闉槎x域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)時，，故，當(dāng)時，，故，當(dāng)時，，綜上：，畫出函數(shù)的圖象，如下：存在實(shí)數(shù)k，使關(guān)于x的方程有7個不相等的實(shí)數(shù)根，理由如下：如圖1，當(dāng)時，直線與的圖象有5個交點(diǎn)，聯(lián)立與，，由且得：，且此時與聯(lián)立，，其中，故時，直線與兩拋物線剛好相切，故有5個交點(diǎn)，則當(dāng)時，與的圖象有7個交點(diǎn)，即關(guān)于x的方程有7個不相等的實(shí)數(shù)根，A正確；當(dāng)時，單調(diào)遞減，故當(dāng)時，有，B正確；由圖象可知：，令，解得：，當(dāng)時，的最小值為1，則，C正確；令，當(dāng)時，，設(shè)兩根為，則，當(dāng)時，，解得：，故的所有實(shí)數(shù)根之和為，當(dāng)時，，故當(dāng)時，方程和的所有實(shí)數(shù)根之和為零，由對稱性可知時，方程和的所有實(shí)數(shù)根之和為零，綜上：或，D錯誤.故選：ABC數(shù)形結(jié)合在研究函數(shù)與方程方面具有重要作用，通常函數(shù)零點(diǎn)，方程的根及兩函數(shù)的交點(diǎn)可互相轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解，本題中實(shí)數(shù)根個數(shù)問題，要轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)與的交點(diǎn)個數(shù)問題，再同一平面直角坐標(biāo)系中畫出與的圖象，用數(shù)形結(jié)合的思想求解.三、填空題13．除函數(shù)y＝x，外，再寫出一個定義域和值域均為的函數(shù)______.（答案不唯一）【分析】由定義域與值域的概念求解，【詳解】令，滿足定義域和值域均為，故（答案不唯一）14．計算=__________．19【詳解】主要考查分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念及其運(yùn)算性質(zhì)．解：=－49＋64－＋1=19.15．已知在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，則a的取值范圍為______.【分析】已知在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，根據(jù)單調(diào)遞增的條件，列不等式組求a的取值范圍.【詳解】由在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，有，解得，則a的取值范圍為.故16．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，都有.若，，則______.【分析】根據(jù)題意可得是以6為周期的函數(shù)，即可求出.【詳解】因?yàn)椋加兴?，所以，所以是?為周期的函數(shù)，所以，因?yàn)?，所以，?故答案為.四、解答題17．設(shè)，命題p：，，命題q：，.(1)若命題p是真命題，求a的取值范圍；(2)若命題?p與命題q都是真命題，求a的取值范圍.(1)或(2)【分析】（1）由題可由求解；（2）求出命題和命題對應(yīng)的的范圍即可求出.【詳解】（1）若命題p是真命題，則，解得或.（2）若是真命題，則在恒成立，則，所以，因?yàn)槊}?p與命題q都是真命題，所以，解得.18．已知集合，，.(1)當(dāng)時，求集合；(2)已知是的必要不充分條件，求m的取值范圍.(1)(2)【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式和分式不等式的解法分別求出集合，再根據(jù)并集的定義即可得解；（2）由是的必要不充分條件，可得集合C是集合A的真子集，列出不等式組，解之即可.【詳解】（1）解：，當(dāng)時，，所以；（2）解：，因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，所以集合C是集合A的真子集，則（不同時取等號），解得，所以m的取值范圍為.19．已知冪函數(shù)為奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)求函數(shù)（）的最小值.(1)2；(2)1.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用冪函數(shù)的定義及性質(zhì)計算作答.（2）由（1）的結(jié)論，求出函數(shù)的解析式，再借助均值不等式求解作答.【詳解】（1）因函數(shù)是冪函數(shù)，則，解得或，有或又函數(shù)是奇函數(shù)，則是奇數(shù)，即有，所以實(shí)數(shù)m的值是.（2）由（1）知，當(dāng)時，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以函數(shù)的最小值是1.20．某服裝廠生產(chǎn)一種服裝，每件服裝的成本為40元，出廠單價定為60元，該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當(dāng)一次訂購量超過100件時，每多訂購一件，訂購的全部服裝的出廠單價就降低0.02元，根據(jù)市場調(diào)查，銷售商一次訂購量不會超過600件．（1）設(shè)一次訂購件，服裝的實(shí)際出廠單價為元，寫出函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)銷售商一次訂購多少件服裝時，該廠獲得的利潤最大？其最大利潤是多少？（1）（2）當(dāng)一次訂購550件服裝時，該廠獲得的利潤最大，最大利潤為6050元【詳解】本題考查分段函數(shù)，考查函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是正確寫出分段函數(shù)的解析式，屬于中檔題．（1）根據(jù)題意，函數(shù)為分段函數(shù)，當(dāng)0＜x≤100時，p=60；當(dāng)100＜x≤600時，p=60-（x-100）×0.02=62-0.02x．（2）設(shè)利潤為y元，則當(dāng)0＜x≤100時，y=60x-40x=20x；當(dāng)100＜x≤600時，y=（62-0.02x）x-40x=22x-0.02x2，分別求出各段上的最大值，比較即可得到結(jié)論．解：(1)當(dāng)0<x≤100時，p＝60；當(dāng)100<x≤600時，p＝60－(x－100)×0.02＝62－0.02x.∴p＝(2)設(shè)利潤為y元，則當(dāng)0<x≤100時，y＝60x－40x＝20x；當(dāng)100<x≤600時，y＝(62－0.02x)x－40x＝22x－0.02x2.∴y＝當(dāng)0<x≤100時，y＝20x是單調(diào)增函數(shù)，當(dāng)x＝100時，y最大，此時y＝20×100＝2000；當(dāng)100<x≤600時，y＝22x－0.02x2＝－0.02(x－550)2＋6050，∴當(dāng)x＝550時，y最大，此時y＝6050.顯然6050>2000.所以當(dāng)一次訂購550件時，利潤最大，最大利潤為6050元．21．設(shè)函數(shù)，.(1)若函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a值及相應(yīng)的零點(diǎn)；(2)當(dāng)a＝1時，若，總，使得成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.(1)答案見解析(2)【分析】（1）討論和兩種情況求解可得出；（2）根據(jù)題意的值域是的值域的子集，討論的范圍根據(jù)單調(diào)性求出的值域即可列出不等式求解.【詳解】（1）函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，所以方程有且僅有一個根，當(dāng)時，，即，滿足題設(shè)；當(dāng)時，，即，此時，滿足題設(shè)；綜上，時，零點(diǎn)為2；，零點(diǎn)為4.(2)因?yàn)閷θ我獾?，總，使得成立，所以的值域是的值域的子集，可得時，在上單調(diào)遞增，且，所以的值域?yàn)?當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，故，即，所以可得

解得；當(dāng)時，，不滿足題意；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，故，即，所以可得，解得；綜上，m的取值范圍為.22．函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足以下4個條件：①對任意，都存在m，，使得且；②若m，且，都有；③當(dāng)且a為常數(shù)時，；④當(dāng)時，.(1)證明：函數(shù)是奇函數(shù)；(2)證明：函數(shù)是周期函數(shù)，并求出周期；(3)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并說明理由.(1)證明見解析(2)證明見解析，周期為(3)在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)性質(zhì)結(jié)合奇偶性的定義即可證明；（2）根據(jù)周期性的定義分別討論和兩種情況即可求解；（3）根