蒙特卡羅方法3由巳知分布的隨機(jī)抽樣課件

第三章由已知分布的隨機(jī)抽樣隨機(jī)抽樣及其特點(diǎn)直接抽樣方法挑選抽樣方法復(fù)合抽樣方法復(fù)合挑選抽樣方法替換抽樣方法隨機(jī)抽樣的一般方法隨機(jī)抽樣的其它方法作業(yè)12/3/2022蒙特卡羅方法第三章由已知分布的隨機(jī)抽樣隨機(jī)抽樣及其特點(diǎn)12/1/201第三章由已知分布的隨機(jī)抽樣本章敘述由己知分布抽樣的各主要方法，并給出在粒子輸運(yùn)問題中經(jīng)常用到的具體實(shí)例。12/3/2022蒙特卡羅方法第三章由已知分布的隨機(jī)抽樣本2隨機(jī)抽樣及其特點(diǎn)

由巳知分布的隨機(jī)抽樣指的是由己知分布的總體中抽取簡(jiǎn)單子樣。隨機(jī)數(shù)序列是由單位均勻分布的總體中抽取的簡(jiǎn)單子樣，屬于一種特殊的由已知分布的隨機(jī)抽樣問題。本章所敘述的由任意已知分布中抽取簡(jiǎn)單子樣，是在假設(shè)隨機(jī)數(shù)為已知量的前提下，使用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生的。為方便起見，用XF表示由己知分布F(x)中產(chǎn)生的簡(jiǎn)單子樣的個(gè)體。對(duì)于連續(xù)型分布，常用分布密度函數(shù)f(x)表示總體的己知分布，用Xf表示由己知分布密度函數(shù)f(x)產(chǎn)生的簡(jiǎn)單子樣的個(gè)體。另外，在抽樣過程中用到的偽隨機(jī)數(shù)均稱隨機(jī)數(shù)。12/3/2022蒙特卡羅方法隨機(jī)抽樣及其特點(diǎn)由巳知分布的隨機(jī)抽3直接抽樣方法

對(duì)于任意給定的分布函數(shù)F(x)，直接抽樣方法如下：其中，ξ1，ξ2，…，ξN為隨機(jī)數(shù)序列。為方便起見，將上式簡(jiǎn)化為：若不加特殊說明，今后將總用這種類似的簡(jiǎn)化形式表示，ξ總表示隨機(jī)數(shù)。12/3/2022蒙特卡羅方法直接抽樣方法對(duì)于任意給定的分布4證明

下面證明用前面介紹的方法所確定的隨機(jī)變量序列X1，X2，…，XN具有相同分布F(x)。對(duì)于任意的n成立，因此隨機(jī)變量序列X1，X2，…，XN具有相同分布F(x)。另外，由于隨機(jī)數(shù)序列ξ1，ξ2，…，ξN是相互獨(dú)立的，而直接抽樣公式所確定的函數(shù)是波雷爾（Borel）可測(cè)的，因此，由它所確定的X1，X2，…，XN也是相互獨(dú)立的（[P.R.Halmos,Measuretheory,N.Y.VonNosrtand,1950]§45定理2）。12/3/2022蒙特卡羅方法證明下面證明用前面介紹的方法所確定5離散型分布的直接抽樣方法對(duì)于任意離散型分布：其中x1，x2，…為離散型分布函數(shù)的跳躍點(diǎn)，P1，P2，…為相應(yīng)的概率，根據(jù)前述直接抽樣法，有離散型分布的直接抽樣方法如下：該結(jié)果表明，為了實(shí)現(xiàn)由任意離散型分布的隨機(jī)抽樣，直接抽樣方法是非常理想的。12/3/2022蒙特卡羅方法離散型分布的直接抽樣方法對(duì)于任6例1.二項(xiàng)分布的抽樣二項(xiàng)分布為離散型分布，其概率函數(shù)為：其中，P為概率。對(duì)該分布的直接抽樣方法如下：12/3/2022蒙特卡羅方法例1.二項(xiàng)分布的抽樣二項(xiàng)分布為離散型分布7例2.泊松(Possion)分布的抽樣泊松(Possion)分布為離散型分布，其概率函數(shù)為：其中，λ>0。對(duì)該分布的直接抽樣方法如下：12/3/2022蒙特卡羅方法例2.泊松(Possion)分布的抽樣泊8例3.擲骰子點(diǎn)數(shù)的抽樣擲骰子點(diǎn)數(shù)X=n的概率為：選取隨機(jī)數(shù)ξ，如則在等概率的情況下，可使用如下更簡(jiǎn)單的方法：其中［］表示取整數(shù)。12/3/2022蒙特卡羅方法例3.擲骰子點(diǎn)數(shù)的抽樣擲骰子點(diǎn)數(shù)X=n9例4.碰撞核種類的確定中子或光子在介質(zhì)中發(fā)生碰撞時(shí)，如介質(zhì)是由多種元素組成，需要確定碰撞核的種類。假定介質(zhì)中每種核的宏觀總截面分別為Σ1，Σ2，…，Σn，則中子或光子與每種核碰撞的概率分別為：其中Σt＝Σ1＋Σ2＋…＋Σn。碰撞核種類的確定方法為：產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)ξ，如果則中子或光子與第I種核發(fā)生碰撞。12/3/2022蒙特卡羅方法例4.碰撞核種類的確定中子10例5.中子與核的反應(yīng)類型的確定假設(shè)中子與核的反應(yīng)類型有如下幾種:彈性散射，非彈性散射，裂變，吸收，相應(yīng)的反應(yīng)截面分別為Σel，Σin，Σf，Σa。則發(fā)生每一種反應(yīng)類型的概率依次為：其中反應(yīng)總截面Σt＝Σel＋Σin＋Σf＋Σa。12/3/2022蒙特卡羅方法例5.中子與核的反應(yīng)類型的確定11反應(yīng)類型的確定方法為：產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)ξ

12/3/2022蒙特卡羅方法反應(yīng)類型的確定方法為：產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)12連續(xù)型分布的直接抽樣方法

對(duì)于連續(xù)型分布，如果分布函數(shù)F(x)的反函數(shù)F－1(x)存在，則直接抽樣方法是：12/3/2022蒙特卡羅方法連續(xù)型分布的直接抽樣方法對(duì)于連續(xù)13例6.在［a，b］上均勻分布的抽樣在［a，b］上均勻分布的分布函數(shù)為：則12/3/2022蒙特卡羅方法例6.在［a，b］上均勻分布的抽樣14例7.β分布β分布為連續(xù)型分布，作為它的一個(gè)特例是：其分布函數(shù)為：

則12/3/2022蒙特卡羅方法例7.β分布β分布為連續(xù)型分布15例8.指數(shù)分布指數(shù)分布為連續(xù)型分布，其一般形式如下：其分布函數(shù)為：

則因?yàn)?－ξ也是隨機(jī)數(shù)，可將上式簡(jiǎn)化為12/3/2022蒙特卡羅方法例8.指數(shù)分布指數(shù)分布為連續(xù)型16連續(xù)性分布函數(shù)的直接抽樣方法對(duì)于分布函數(shù)的反函數(shù)存在且容易實(shí)現(xiàn)的情況，使用起來是很方便的。但是對(duì)于以下幾種情況，直接抽樣法是不合適的。分布函數(shù)無(wú)法用解析形式給出，因而其反函數(shù)也無(wú)法給出。分布函數(shù)可以給出其解析形式，但是反函數(shù)給不出來。分布函數(shù)即使能夠給出反函數(shù)，但運(yùn)算量很大。下面敘述的挑選抽樣方法是克服這些困難的比較好的方法。12/3/2022蒙特卡羅方法連續(xù)性分布函數(shù)的直接抽樣方法對(duì)于17挑選抽樣方法

為了實(shí)現(xiàn)從己知分布密度函數(shù)f(x)抽樣，選取與f(x)取值范圍相同的分布密度函數(shù)h(x)，如果則挑選抽樣方法為：>12/3/2022蒙特卡羅方法挑選抽樣方法為了實(shí)現(xiàn)從己知分布18即從h(x)中抽樣xh，以的概率接受它。下面證明xf

服從分布密度函數(shù)f(x)。證明：對(duì)于任意x

12/3/2022蒙特卡羅方法12/1/2022蒙特卡羅方法1912/3/2022蒙特卡羅方法12/1/2022蒙特卡羅方法20使用挑選抽樣方法時(shí)，要注意以下兩點(diǎn)：選取h(x)時(shí)要使得h(x)容易抽樣且M的值要盡量小。因?yàn)镸小能提高抽樣效率。抽樣效率是指在挑選抽樣方法中進(jìn)行挑選時(shí)被選中的概率。按此定義，該方法的抽樣效率E為：所以，M越小，抽樣效率越高。12/3/2022蒙特卡羅方法12/1/2022蒙特卡羅方法21

當(dāng)f(x)在［0，1］上定義時(shí)，取h(x)=1，Xh=ξ，此時(shí)挑選抽樣方法為>12/3/2022蒙特卡羅方法>12/1/2022蒙特卡羅方法22例9.圓內(nèi)均勻分布抽樣令圓半徑為R0，點(diǎn)到圓心的距離為r，則r的分布密度函數(shù)為分布函數(shù)為容易知道，該分布的直接抽樣方法是12/3/2022蒙特卡羅方法例9.圓內(nèi)均勻分布抽樣令圓半23由于開方運(yùn)算在計(jì)算機(jī)上很費(fèi)時(shí)間，該方法不是好方法。下面使用挑選抽樣方法：取則抽樣框圖為＞≤12/3/2022蒙特卡羅方法＞≤12/1/2022蒙特卡羅方法24顯然，沒有必要舍棄ξ1＞ξ2的情況，此時(shí)，只需取就可以了，亦即另一方面，也可證明與具有相同的分布。12/3/2022蒙特卡羅方法12/1/2022蒙特卡羅方法25復(fù)合抽樣方法

在實(shí)際問題中，經(jīng)常有這樣的隨機(jī)變量，它服從的分布與一個(gè)參數(shù)有關(guān)，而該參數(shù)也是一個(gè)服從確定分布的隨機(jī)變量，稱這樣的隨機(jī)變量服從復(fù)合分布。例如，分布密度函數(shù)是一個(gè)復(fù)合分布。其中Pn≥0，n=1，2，…，且fn(x)為與參數(shù)n有關(guān)的分布密度函數(shù)，n=1，2，…，參數(shù)n服從如下分布12/3/2022蒙特卡羅方法復(fù)合抽樣方法在實(shí)際問題中，經(jīng)常26復(fù)合分布的一般形式為：其中f2(x/y)表示與參數(shù)y有關(guān)的條件分布密度函數(shù)，F(xiàn)1(y)表示分布函數(shù)。 復(fù)合分布的抽樣方法為:首先由分布函數(shù)F1(y)或分布密度函數(shù)f1(y)中抽樣YF1或Yf1，然后再由分布密度函數(shù)f2(x/YF1)中抽樣確定Xf2(x/YF)證明：所以，Xf所服從的分布為f

(x)。12/3/2022蒙特卡羅方法復(fù)合分布的一般形式為：12/1/2022蒙特卡羅方27例10.指數(shù)函數(shù)分布的抽樣指數(shù)函數(shù)分布的一般形式為：引入如下兩個(gè)分布密度函數(shù)：12/3/2022蒙特卡羅方法例10.指數(shù)函數(shù)分布的抽樣指數(shù)函數(shù)分布的一般28則使用復(fù)合抽樣方法，首先從f1(y)中抽取y

再由f2(x/YF1)中抽取x

12/3/2022蒙特卡羅方法則12/1/2022蒙特卡羅方法29復(fù)合挑選抽樣方法

考慮另一種形式的復(fù)合分布如下：其中0≤H(x,y)≤M，f2(x/y)表示與參數(shù)y有關(guān)的條件分布密度函數(shù)，F(xiàn)1(y)表示分布函數(shù)。抽樣方法如下：>12/3/2022蒙特卡羅方法復(fù)合挑選抽樣方法考慮另一種形式30證明：抽樣效率為：E=1/M12/3/2022蒙特卡羅方法證明：12/1/2022蒙特卡羅方法31 為了實(shí)現(xiàn)某個(gè)復(fù)雜的隨機(jī)變量y的抽樣，將其表示成若干個(gè)簡(jiǎn)單的隨機(jī)變量x1，x2，…，xn的函數(shù) 得到x1，x2，…，xn的抽樣后，即可確定y的抽樣，這種方法叫作替換法抽樣。即替換抽樣方法12/3/2022蒙特卡羅方法 為了實(shí)現(xiàn)某個(gè)復(fù)雜的隨機(jī)變量y的抽樣，將32例11.散射方位角余弦分布的抽樣 散射方位角φ在［0,2π］上均勻分布，則其正弦和余弦sinφ和cosφ服從如下分布： 直接抽樣方法為：12/3/2022蒙特卡羅方法例11.散射方位角余弦分布的抽樣 散射方33 令φ=2θ，則θ在［0,π］上均勻分布，作變換 其中0≤ρ≤1，0≤ρ≤π，則 (x,y)表示上半個(gè)單位圓內(nèi)的點(diǎn)。如果(x,y)在上半個(gè)單位圓內(nèi)均勻分布，則θ在［0,π］上均勻分布，由于12/3/2022蒙特卡羅方法 令φ=2θ，則θ在［0,π］上均勻分布，作變換12/1/234 因此抽樣sinφ和cosφ的問題就變成在上半個(gè)單位圓內(nèi)均勻抽樣(x,y)的問題。 為獲得上半個(gè)單位圓內(nèi) 的均勻點(diǎn)，采用挑選法，在 上半個(gè)單位圓的外切矩形內(nèi) 均勻投點(diǎn)（如圖）。 舍棄圓外的點(diǎn)，余下的就是所要求的點(diǎn)。 抽樣方法為： 抽樣效率

E=π/4≈0.785>12/3/2022蒙特卡羅方法 因此抽樣sinφ和cosφ的問題就變成在上35 為實(shí)現(xiàn)散射方位角余弦分布抽樣，最重要的是在上半個(gè)單位圓內(nèi)產(chǎn)生均勻分布點(diǎn)。下面這種方法，首先在單位圓的半個(gè)外切正六邊形內(nèi)產(chǎn)生均勻分布點(diǎn)，如圖所示。12/3/2022蒙特卡羅方法 為實(shí)現(xiàn)散射方位角余弦分布抽樣，最重要的是在36 于是便有了抽樣效率更高的抽樣方法： 抽樣效率>≤12/3/2022蒙特卡羅方法 于是便有了抽樣效率更高的抽樣方法：>≤1237例12.正態(tài)分布的抽樣 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)為： 引入一個(gè)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量X獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量Y，則（X,Y）的聯(lián)合分布密度為： 作變換12/3/2022蒙特卡羅方法例12.正態(tài)分布的抽樣 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度38 則（ρ,φ）的聯(lián)合分布密度函數(shù)為： 由此可知，ρ與φ相互獨(dú)立，其分布密度函數(shù)分別為 分別抽取ρ，φ：12/3/2022蒙特卡羅方法 則（ρ,φ）的聯(lián)合分布密度函數(shù)為：12/1/2022蒙特卡39 從而得到一對(duì)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量X和Y： 對(duì)于一般的正態(tài)分布密度函數(shù)N(μ,σ2)的抽樣，其抽樣結(jié)果為：12/3/2022蒙特卡羅方法 從而得到一對(duì)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量X和Y：12/1/240例13.β分布的抽樣

β分布密度函數(shù)的一般形式為： 其中n，k為整數(shù)。為了實(shí)現(xiàn)β分布的抽樣，將其看作一組簡(jiǎn)單的相互獨(dú)立隨機(jī)變量的函數(shù)，通過這些簡(jiǎn)單隨機(jī)變量的抽樣，實(shí)現(xiàn)β分布的抽樣。設(shè)x1，x2，…，xn

為一組相互獨(dú)立、具有相同分布F(x)的隨機(jī)變量，ζk為x1，x2，…，xn

按大小順序排列后的第k個(gè)，記為：12/3/2022蒙特卡羅方法例13.β分布的抽樣 β分布密度函數(shù)的一般41 則ζk的分布函數(shù)為： 當(dāng)F(x)=x時(shí)， 不難驗(yàn)證，ζk的分布密度函數(shù)為β分布。因此，β分布的抽樣可用如下方法實(shí)現(xiàn)： 選取n個(gè)隨機(jī)數(shù)，按大小順序排列后取第k個(gè)，即12/3/2022蒙特卡羅方法 則ζk的分布函數(shù)為：12/1/2022蒙特卡羅方法42隨機(jī)抽樣的一般方法

加抽樣方法

減抽樣方法乘抽樣方法乘加抽樣方法乘減抽樣方法對(duì)稱抽樣方法積分抽樣方法12/3/2022蒙特卡羅方法隨機(jī)抽樣的一般方法加抽樣方法12/1/2022蒙特卡羅方43加抽樣方法加抽樣方法是對(duì)如下加分布給出的一種抽樣方法：其中Pn≥0，

，且fn(x)為與參數(shù)n有關(guān)的分布密度函數(shù)，n=1，2，…。 由復(fù)合分布抽樣方法可知，加分布的抽樣方法為:首先抽樣確定n’，然后由fn’(x)中抽樣x，即：12/3/2022蒙特卡羅方法加抽樣方法加抽樣方法是對(duì)如下加分布44例14.多項(xiàng)式分布抽樣多項(xiàng)式分布密度函數(shù)的一般形式為：將f(x)改寫成如下形式：則該分布的抽樣方法為：12/3/2022蒙特卡羅方法例14.多項(xiàng)式分布抽樣多項(xiàng)式45例15.球殼內(nèi)均勻分布抽樣設(shè)球殼內(nèi)半徑為R0，外半徑為R1，點(diǎn)到球心的距離為r，則r的分布密度函數(shù)為分布函數(shù)為 該分布的直接抽樣方法是12/3/2022蒙特卡羅方法例15.球殼內(nèi)均勻分布抽樣設(shè)46 為避免開立方根運(yùn)算，作變換： 則x∈[0,1]，其分布密度函數(shù)為： 其中12/3/2022蒙特卡羅方法12/1/2022蒙特卡羅方法47 則x及r的抽樣方法為：≤≤>>12/3/2022蒙特卡羅方法 則x及r的抽樣方法為：≤≤>>12/1/2022蒙特卡羅方48減抽樣方法減抽樣方法是對(duì)如下形式的分布密度所給出的一種抽樣方法：其中A1、A2為非負(fù)實(shí)數(shù)，f1(x)

、f2(x)均為分布密度函數(shù)。 減抽樣方法分為以下兩種形式：以上兩種形式的抽樣方法，究竟選擇哪種好，要看f1(x)

、f2(x)哪一個(gè)容易抽樣，如相差不多，選用第一種方法抽樣效率高。12/3/2022蒙特卡羅方法減抽樣方法減抽樣方法是對(duì)如下形式的49（1）將f

(x)表示為令m表示f2(x)／f1(x)的下界，使用挑選法，從f1(x)中抽取Xf1

抽樣效率為：>12/3/2022蒙特卡羅方法（1）將f(x)表示為>12/1/2022蒙特卡羅方50（2）將f

(x)表示為使用挑選法，從f2(x)中抽取Xf2

抽樣效率為：>12/3/2022蒙特卡羅方法（2）將f(x)表示為>12/1/2022蒙特卡羅方51例16.β分布抽樣 β分布的一個(gè)特例： 取A1＝2，A2＝1，f1(x)＝1，f2(x)＝2x，此時(shí)m＝0，則根據(jù)第一種形式的減抽樣方法，有 或＞≤＞≤12/3/2022蒙特卡羅方法例16.β分布抽樣 β分布的一個(gè)特例：＞≤＞≤12/1/52 由于1－ξ1可用ξ1代替，該抽樣方法可簡(jiǎn)化為： 對(duì)于ξ2＞ξ1的情況，可取Xf＝ξ1，因此 與β分布的推論相同。＞≤12/3/2022蒙特卡羅方法＞≤12/1/2022蒙特卡羅方法53如下形式的分布稱為乘分布：其中H(x)為非負(fù)函數(shù)，f1(x)為任意分布密度函數(shù)。 令M為H(x)的上界，乘抽樣方法如下：抽樣效率為：乘抽樣方法≤＞12/3/2022蒙特卡羅方法如下形式的分布稱為乘分布：乘抽樣方54例17.倒數(shù)分布抽樣 倒數(shù)分布密度函數(shù)為： 其直接抽樣方法為： 下面采用乘抽樣方法，考慮如下分布族： 其中i=1，2，…，該分布的直接抽樣方法為：12/3/2022蒙特卡羅方法例17.倒數(shù)分布抽樣 倒數(shù)分布密度函數(shù)為：12/1/2055 利用這一分布族，將倒數(shù)分布f(x)表示成: 其中， 乘法分布的抽樣方法如下: 該分布的抽樣效率為：＞≤12/3/2022蒙特卡羅方法＞≤12/1/2022蒙特卡羅方法56例18.麥克斯韋(Maxwell)分布抽樣 麥克斯韋分布密度函數(shù)的一般形式為： 使用乘抽樣方法，令 該分布的直接抽樣方法為：12/3/2022蒙特卡羅方法例18.麥克斯韋(Maxwell)分布抽樣 麥克斯韋分布57 此時(shí) 則麥克斯韋分布的抽樣方法為: 該分布的抽樣效率為：＞≤12/3/2022蒙特卡羅方法 此時(shí)＞≤12/1/2022蒙特卡羅方法58在實(shí)際問題中，經(jīng)常會(huì)遇到如下形式的分布：其中Hn(x)為非負(fù)函數(shù)，fn(x)為任意分布密度函數(shù)，n=1，2，…。不失一般性，只考慮n=2的情況：

將f(x)改寫成如下的加分布形式：乘加抽樣方法12/3/2022蒙特卡羅方法在實(shí)際問題中，經(jīng)常會(huì)遇到如下形式的59其中12/3/2022蒙特卡羅方法其中12/1/2022蒙特卡羅方法60乘加抽樣方法為：該方法的抽樣效率為：>>>≤12/3/2022蒙特卡羅方法乘加抽樣方法為：>>>≤12/1/2022蒙特卡羅方61這種方法需要知道P1的值(P2=1－P1），這對(duì)有些分布是很困難的。下面的方法可以不用計(jì)算P1：對(duì)于任意小于1的正數(shù)P1，令P2=1－P1；則采用復(fù)合挑選抽樣方法，有：12/3/2022蒙特卡羅方法這種方法需要知道P1的值(P2=162當(dāng)取時(shí)，抽樣效率最高這時(shí)，乘加抽樣方法為：>>>≤12/3/2022蒙特卡羅方法當(dāng)取>>>≤12/1/2022蒙特卡羅方法63由于可知第一種方法比第二種方法的抽樣效率高。12/3/2022蒙特卡羅方法由于12/1/2022蒙特卡羅方法64例19.光子散射后能量分布的抽樣 令光子散射前后的能量分別為

和（以m0c2為單位，m0為電子靜止質(zhì)量，c為光速），， 則x的分布密度函數(shù)為： 該分布即為光子散射能量分布，它是由著名的Klin－Nishina公式確定的。其中K(α)為歸一因子：12/3/2022蒙特卡羅方法例19.光子散射后能量分布的抽樣 令光子散射前后的能量分65 把光子散射能量分布改寫成如下形式： 在［1,1+2α］上定義如下函數(shù):12/3/2022蒙特卡羅方法 把光子散射能量分布改寫成如下形式：12/1/2022蒙特卡66 則有 使用乘加抽樣方法：12/3/2022蒙特卡羅方法 則有12/1/2022蒙特卡羅方法67 光子散射能量分布的抽樣方法為： 該方法的抽樣效率為：＞＞＞≤≤≤12/3/2022蒙特卡羅方法 光子散射能量分布的抽樣方法為：＞＞＞≤≤≤12/1/20268乘減分布的形式為： 其中H1(x)、H2(x)為非負(fù)函數(shù)，f1(x)、f2(x)為任意分布密度函數(shù)。 與減抽樣方法類似，乘減分布的抽樣方法也分為兩種。乘減抽樣方法12/3/2022蒙特卡羅方法乘減分布的形式為：乘減抽樣方法1269（1）將f

(x)表示為 令H1(x)的上界為M1，的下界為m，使用乘抽 樣方法得到如下乘減抽樣方法：>12/3/2022蒙特卡羅方法（1）將f(x)表示為>12/1/2022蒙特卡70（2）將f

(x)表示為 令H2(x)的上界為M2，使用乘抽樣方法，得到另一種乘減抽樣方法：>12/3/2022蒙特卡羅方法（2）將f(x)表示為>12/1/2022蒙特卡71例20.裂變中子譜分布抽樣 裂變中子譜分布的一般形式為： 其中A，B，C，Emin，Emax均為與元素有關(guān)的量。令 其中λ為歸一因子，γ為任意參數(shù)。12/3/2022蒙特卡羅方法例20.裂變中子譜分布抽樣 裂變中子譜分布的一般形式為：72 相應(yīng)的H1(E)，H2(E)為： 于是裂變中子譜分布可以表示成乘減分布形式: 容易確定H1(E)的上界為： 為提高抽樣效率，應(yīng)取γ使得M1達(dá)到最小，此時(shí)12/3/2022蒙特卡羅方法 相應(yīng)的H1(E)，H2(E)為：12/1/2022蒙特73 取m＝0，令 則裂變中子譜分布的抽樣方法為: 抽樣效率＞≤12/3/2022蒙特卡羅方法 取m＝0，令＞≤12/1/2022蒙特卡羅方法74對(duì)稱分布的一般形式為： 其中f1(x)為任意分布密度函數(shù)，滿足偶函數(shù)對(duì)稱條件，H(x)為任意奇函數(shù)，即對(duì)任意x滿足： 對(duì)稱分布的抽樣方法如下：取η=2ξ－1對(duì)稱抽樣方法>≤12/3/2022蒙特卡羅方法對(duì)稱分布的一般形式為：對(duì)稱抽樣方法75 證明： 因?yàn)棣?2ξ－1，η≤x相當(dāng)于ξ≤，因此12/3/2022蒙特卡羅方法 證明：12/1/2022蒙特卡羅方法76例21.質(zhì)心系各向同性散射角余弦分布抽樣 在質(zhì)心系各向同性散射的假設(shè)下，為得到實(shí)驗(yàn)室系散射角余弦，需首先抽樣確定質(zhì)心條散射角余弦： 再利用下面轉(zhuǎn)換公式: 得到實(shí)驗(yàn)室系散射角余弦μL。其中A為碰撞核質(zhì)量，θC、θL分別為質(zhì)心系和實(shí)驗(yàn)室系散射角。12/3/2022蒙特卡羅方法例21.質(zhì)心系各向同性散射角余弦分布抽樣 77 為避免開方運(yùn)算，可以使用對(duì)稱分布抽樣。 根據(jù)轉(zhuǎn)換公式可得： 依照質(zhì)心系散射各向同性的假定，可得到實(shí)驗(yàn)室系散射角余弦μL的分布如下： 該密度函數(shù)中的第一項(xiàng)為偶函數(shù)，第二項(xiàng)為奇函數(shù)，因而是對(duì)稱分布。其中12/3/2022蒙特卡羅方法12/1/2022蒙特卡羅方法78 從f1(μL)的抽樣可使用挑選法 然后再以 的概率決定接受或取負(fù)值。 上述公式涉及開方運(yùn)算，需要進(jìn)一步簡(jiǎn)化。＞≤12/3/2022蒙特卡羅方法 從f1(μL)的抽樣可使用挑選法＞≤12/1/202279 注意以下事實(shí)：對(duì)于任意0≤a≤1 令 則上述挑選抽樣中的挑選條件簡(jiǎn)化為： 另一方面，在即的條件下，η2/a在［－1,1］上均勻分布，故可令η＝η2/a，則最終決定取正負(fù)值的條件簡(jiǎn)化為：12/3/2022蒙特卡羅方法 注意以下事實(shí)：對(duì)于任意0≤a≤112/1/2022蒙特卡羅80 于是，得到質(zhì)心系各向同性散射角余弦分布的抽樣方法為：＞≤＞≤12/3/2022蒙特卡羅方法＞≤＞≤12/1/2022蒙特卡羅方法81 如下形式的分布密度函數(shù) 稱為積分分布密度函數(shù)，其中f0(x，y)為任意二維分布密度函數(shù)，H(x)為任意函數(shù)。該分布密度函數(shù)的抽樣方法為：積分抽樣方法>12/3/2022蒙特卡羅方法 如下形式的分布密度函數(shù)積分抽樣方法>12/82 證明：對(duì)于任意x

12/3/2022蒙特卡羅方法12/1/2022蒙特卡羅方法83例22.各向同性散射方向的抽樣 為了確定各向同性散射方向，根據(jù)公式： 對(duì)于各向同性散射，cosθ在［－1,1］上均勻分布，φ在［0,2π］上均勻分布。由于 直接抽樣需要計(jì)算三角函數(shù)和開方。12/3/2022蒙特卡羅方法例22.各向同性散射方向的抽樣 為了確定各84 定義兩個(gè)隨機(jī)變量： 可以證明，當(dāng)時(shí)，隨機(jī)變量x和y服從如下分布: 定義區(qū)域?yàn)椋?2/3/2022蒙特卡羅方法 定義兩個(gè)隨機(jī)變量：12/1/2022蒙特卡羅方法85 則w＝cosθ的分布可以用上述分布表示成積分分布的形式： 令，則屬于上述積分限內(nèi)的y一定滿足 條件。12/3/2022蒙特卡羅方法 則w＝cosθ的分布可以用上述分布表示成積分分布的形式86 各向同性散射方向的抽樣方法為： 抽樣效率為：＞≤12/3/2022蒙特卡羅方法 各向同性散射方向的抽樣方法為：＞≤12/1/2022蒙特卡87隨機(jī)抽樣的其它方法

偏倚抽樣方法近似抽樣方法近似-修正抽樣方法多維分布抽樣方法指數(shù)分布的抽樣12/3/2022蒙特卡羅方法隨機(jī)抽樣的其它方法偏倚抽樣方法12/1/2022蒙特卡羅方88 使用蒙特卡羅方法計(jì)算積分 時(shí)，可考慮將積分I改寫為 其中f*(x)為一個(gè)與f(x)有相同定義域的新的分布密度函數(shù)。于是可以這樣計(jì)算積分I： 這里Xi是從f*(x)中抽取的第i個(gè)子樣。偏移抽樣方法12/3/2022蒙特卡羅方法 使用蒙特卡羅方法計(jì)算積分偏移抽樣方法12/89 由此可以看出，原來由f(x)抽樣，現(xiàn)改為由另一個(gè)分布密度函數(shù)f*(x)抽樣，并附帶一個(gè)權(quán)重糾偏因子 這種方法稱為偏倚抽樣方法。 從f(x)中抽取的Xf，滿足 而對(duì)于偏倚抽樣，有 一般情況下，Xf是具有分布f(x)總體的簡(jiǎn)單子樣的個(gè)體，只代表一個(gè)。Xf*是具有分布f*(x)總體的簡(jiǎn)單子樣的個(gè)體，但不代表一個(gè)，而是代表W(Xf*)個(gè)，這時(shí)Xf*是帶權(quán)W(Xf*)服從分布f(x)。12/3/2022蒙特卡羅方法 由此可以看出，原來由f(x)抽樣，現(xiàn)90 在實(shí)際問題中，分布密度函數(shù)的形式有時(shí)是非常復(fù)雜的，有些甚至不能用解析形式給出，只能用數(shù)據(jù)或曲線形式給出。如中子散射角余弦分布多數(shù)是以曲線形式給出的。對(duì)于這樣的分布，需要用近似分布密度函數(shù)代替原來的分布密度函數(shù)，用近似分布密度函數(shù)的抽樣代替原分布密度函數(shù)的抽樣，這種方法稱為近似抽樣方法。近似抽樣方法12/3/2022蒙特卡羅方法 在實(shí)際問題中，分布密度函數(shù)的形式有時(shí)是非常91 設(shè)fa(x)≈f(x)，即fa(x)是f(x)的一個(gè)近似分布密度函數(shù)。對(duì)于階梯近似，有 其中，x0，x1，…，xn為任意分點(diǎn)。在此情況下，近似抽樣方法為：或階梯近似12/3/2022蒙特卡羅方法 設(shè)fa(x)≈f(x)，即fa(92 對(duì)于梯形近似，有 其中，c為歸一因子，fi

＝f(xi)，x0，x1，…，xn為任意分點(diǎn)。根據(jù)對(duì)稱抽樣方法，梯形近似抽樣方法為：梯形近似＞≤12/3/2022蒙特卡羅方法 對(duì)于梯形近似，有梯形近似＞≤12/1/2093 除了上述這種近似外，近似抽樣方法還包括對(duì)直接抽樣方法中分布函數(shù)反函數(shù)的近似處理，以及用具有近似分布的隨機(jī)變量代替原分布的隨機(jī)變量。12/3/2022蒙特卡羅方法 除了上述這種近似外，近似抽樣方法還包括對(duì)直接抽樣方法中分94例23.正態(tài)分布的近似抽樣 我們知道，隨機(jī)數(shù)ξ的期望值為1/2，方差為1/12，則隨機(jī)變量 漸近正態(tài)分布，因此，當(dāng)n足夠大時(shí)便可用Xn作為正態(tài)分布的近似抽樣。特別是n＝12時(shí)，有12/3/2022蒙特卡羅方法例23.正態(tài)分布的近似抽樣 我們知道，隨機(jī)數(shù)ξ的期望值為95 對(duì)于任意分布密度函數(shù)f(x)，設(shè)fa(x)是f(x)的一個(gè)近似分布密度函數(shù)，它的特點(diǎn)是抽樣簡(jiǎn)單，運(yùn)算量小。令 則分布密度函數(shù)f(x)可以表示為乘加分布形式： 其中H1(x)為非負(fù)函數(shù)，f1(x)為一分布密度函數(shù)。 對(duì)f(x)而言，fa(x)是它的近似分布密度函數(shù)，而H1(x)f1(x)正好是這種近似的修正。近似-修正抽樣方法12/3/2022蒙特卡羅方法 對(duì)于任意分布密度函數(shù)f(x)，設(shè)f96 近似-修正抽樣方法如下： 抽樣效率 由上述近似-修正抽樣方法可以看出，如果近似分布密度函數(shù)fa(x)選得好，m接近1，這時(shí)有很大可能直接從fa(x)中抽取Xfa，而只有很少的情況需要計(jì)算與f

(x)有關(guān)的函數(shù)H1(Xf1)。在乘抽樣方法中，每一次都要計(jì)算H(Xfa)＝f

(Xfa)／fa(Xfa)。因此，當(dāng)f

(x)比較復(fù)雜時(shí)，近似-修正抽樣方法有很大好處。≤≤＞＞12/3/2022蒙特卡羅方法 近似-修正抽樣方法如下：≤≤＞＞12/1/2022蒙特卡羅97例24.裂變中子譜分布的近似-修正抽樣 裂變中子譜分布的一般形式為： 其中A，B，C，Emin，Emax均為與元素有關(guān)的量。 對(duì)于鈾-235， A=0.965，B=2.29，C=0.453，Emin=0，Emax=∞。 若采用乘減抽樣方法，其抽樣效率約為0.5。12/3/2022蒙特卡羅方法例24.裂變中子譜分布的近似-修正抽樣 裂變中子譜分布的98 令 相應(yīng)的 則 從fa(x)的抽樣為 從f1(x)的抽樣為12/3/2022蒙特卡羅方法 令12/1/2022蒙特卡羅方法99 參數(shù)λ的確定，使1－Aλ＞0，且使H1(E)的上界M1最小。裂變中子譜的近似修正抽樣方法為 對(duì)于鈾-235，m≈0.8746，M≈0.2678，λ≈0.5543，抽樣效率E≈0.9333。而且近似修正抽樣方法有0.8746的概率直接用近似分布抽樣，只計(jì)算一次對(duì)數(shù)。因此，較之乘減抽樣方法大大節(jié)省了計(jì)算時(shí)間，提高了抽樣效率?！堋埽荆?2/3/2022蒙特卡羅方法 參數(shù)λ的確定，使1－Aλ＞0，且使H1(E)的上界M100 為方便起見，這里僅討論二維分布的情況，對(duì)于更高維數(shù)的分布，可用類似的方法處理。 對(duì)于任意二維分布密度函數(shù)，總可以用其邊緣分布密度函數(shù)和條件分布密度函數(shù)的乘積表示: 其中fl(x)，f2(y|x)分別為分布f(x,y)的邊緣分布密度函數(shù)和條件分布密度函數(shù)，即多維分布抽樣方法12/3/2022蒙特卡羅方法 為方便起見，這里僅討論二維分布的情況，對(duì)于更高維數(shù)的分布101 二維分布密度函數(shù)的抽樣方法是: 首先由fl(x)中抽取Xf1，再由f2(y|Xf1)中抽樣確定Yf2。 對(duì)于多維分布密度函數(shù)，也可直接采用類似于一維分布密度函數(shù)的抽樣方法。例如，對(duì)如下形式的二維分布密度函數(shù)： 其中H(x,y)為非負(fù)函數(shù)，f1(x,y)為任意二維分布密度函數(shù)。設(shè)M為H(x,y)的上界，則有二維分布的乘抽樣方法如下：≤＞12/3/2022蒙特卡羅方法 二維分布密度函數(shù)的抽樣方法是:≤＞12/1/2022蒙特卡102例25.下面二維分布密度函數(shù)的抽樣 將f

(x,y)寫為 其中 用直接抽樣方法分別從fl(x)和f2(y|Xf1)中抽樣，得到

12/3/2022蒙特卡羅方法例25.下面二維分布密度函數(shù)的抽樣12/1/2022蒙特103 前面已經(jīng)介紹了，指數(shù)分布 的直接抽樣為： 這不僅需要計(jì)算對(duì)數(shù)，而且由于要使用偽隨機(jī)數(shù)，受精度的限制，該抽樣值在小概率處即數(shù)值較大處呈現(xiàn)明顯得離散性。 下面介紹兩種抽樣方法可以避免這些問題。指數(shù)分布的抽樣12/3/2022蒙特卡羅方法 前面已經(jīng)介紹了，指數(shù)分布指數(shù)分布的抽樣12/1/2022104 所用隨機(jī)數(shù)的平均個(gè)數(shù)N＝e2/(e－1)≈4.3方法一＞≤NY12/3/2022蒙特卡羅方法方法一＞≤NY12/1/2022蒙特卡羅方法105

方法二＞≤NY12/3/2022蒙特卡羅方法方法二＞≤NY12/1/2022蒙特卡羅方法106作業(yè)

光子散射后能量分布的抽樣 把光子散射能量分布改寫成如下形式進(jìn)行抽樣：12/3/2022蒙特卡羅方法作業(yè)光子散射后能量分布的抽樣12/1/2022蒙特卡羅方107 在［1,1+2α］上定義如下函數(shù):12/3/2022蒙特卡羅方法 在［1,1+2α］上定義如下函數(shù):12/1/2022蒙108＞≤12/3/2022蒙特卡羅方法＞≤12/1/2022蒙特卡羅方法109第三章由已知分布的隨機(jī)抽樣隨機(jī)抽樣及其特點(diǎn)直接抽樣方法挑選抽樣方法復(fù)合抽樣方法復(fù)合挑選抽樣方法替換抽樣方法隨機(jī)抽樣的一般方法隨機(jī)抽樣的其它方法作業(yè)12/3/2022蒙特卡羅方法第三章由已知分布的隨機(jī)抽樣隨機(jī)抽樣及其特點(diǎn)12/1/20110第三章由已知分布的隨機(jī)抽樣本章敘述由己知分布抽樣的各主要方法，并給出在粒子輸運(yùn)問題中經(jīng)常用到的具體實(shí)例。12/3/2022蒙特卡羅方法第三章由已知分布的隨機(jī)抽樣本111隨機(jī)抽樣及其特點(diǎn)

由巳知分布的隨機(jī)抽樣指的是由己知分布的總體中抽取簡(jiǎn)單子樣。隨機(jī)數(shù)序列是由單位均勻分布的總體中抽取的簡(jiǎn)單子樣，屬于一種特殊的由已知分布的隨機(jī)抽樣問題。本章所敘述的由任意已知分布中抽取簡(jiǎn)單子樣，是在假設(shè)隨機(jī)數(shù)為已知量的前提下，使用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生的。為方便起見，用XF表示由己知分布F(x)中產(chǎn)生的簡(jiǎn)單子樣的個(gè)體。對(duì)于連續(xù)型分布，常用分布密度函數(shù)f(x)表示總體的己知分布，用Xf表示由己知分布密度函數(shù)f(x)產(chǎn)生的簡(jiǎn)單子樣的個(gè)體。另外，在抽樣過程中用到的偽隨機(jī)數(shù)均稱隨機(jī)數(shù)。12/3/2022蒙特卡羅方法隨機(jī)抽樣及其特點(diǎn)由巳知分布的隨機(jī)抽112直接抽樣方法

對(duì)于任意給定的分布函數(shù)F(x)，直接抽樣方法如下：其中，ξ1，ξ2，…，ξN為隨機(jī)數(shù)序列。為方便起見，將上式簡(jiǎn)化為：若不加特殊說明，今后將總用這種類似的簡(jiǎn)化形式表示，ξ總表示隨機(jī)數(shù)。12/3/2022蒙特卡羅方法直接抽樣方法對(duì)于任意給定的分布113證明

下面證明用前面介紹的方法所確定的隨機(jī)變量序列X1，X2，…，XN具有相同分布F(x)。對(duì)于任意的n成立，因此隨機(jī)變量序列X1，X2，…，XN具有相同分布F(x)。另外，由于隨機(jī)數(shù)序列ξ1，ξ2，…，ξN是相互獨(dú)立的，而直接抽樣公式所確定的函數(shù)是波雷爾（Borel）可測(cè)的，因此，由它所確定的X1，X2，…，XN也是相互獨(dú)立的（[P.R.Halmos,Measuretheory,N.Y.VonNosrtand,1950]§45定理2）。12/3/2022蒙特卡羅方法證明下面證明用前面介紹的方法所確定114離散型分布的直接抽樣方法對(duì)于任意離散型分布：其中x1，x2，…為離散型分布函數(shù)的跳躍點(diǎn)，P1，P2，…為相應(yīng)的概率，根據(jù)前述直接抽樣法，有離散型分布的直接抽樣方法如下：該結(jié)果表明，為了實(shí)現(xiàn)由任意離散型分布的隨機(jī)抽樣，直接抽樣方法是非常理想的。12/3/2022蒙特卡羅方法離散型分布的直接抽樣方法對(duì)于任115例1.二項(xiàng)分布的抽樣二項(xiàng)分布為離散型分布，其概率函數(shù)為：其中，P為概率。對(duì)該分布的直接抽樣方法如下：12/3/2022蒙特卡羅方法例1.二項(xiàng)分布的抽樣二項(xiàng)分布為離散型分布116例2.泊松(Possion)分布的抽樣泊松(Possion)分布為離散型分布，其概率函數(shù)為：其中，λ>0。對(duì)該分布的直接抽樣方法如下：12/3/2022蒙特卡羅方法例2.泊松(Possion)分布的抽樣泊117例3.擲骰子點(diǎn)數(shù)的抽樣擲骰子點(diǎn)數(shù)X=n的概率為：選取隨機(jī)數(shù)ξ，如則在等概率的情況下，可使用如下更簡(jiǎn)單的方法：其中［］表示取整數(shù)。12/3/2022蒙特卡羅方法例3.擲骰子點(diǎn)數(shù)的抽樣擲骰子點(diǎn)數(shù)X=n118例4.碰撞核種類的確定中子或光子在介質(zhì)中發(fā)生碰撞時(shí)，如介質(zhì)是由多種元素組成，需要確定碰撞核的種類。假定介質(zhì)中每種核的宏觀總截面分別為Σ1，Σ2，…，Σn，則中子或光子與每種核碰撞的概率分別為：其中Σt＝Σ1＋Σ2＋…＋Σn。碰撞核種類的確定方法為：產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)ξ，如果則中子或光子與第I種核發(fā)生碰撞。12/3/2022蒙特卡羅方法例4.碰撞核種類的確定中子119例5.中子與核的反應(yīng)類型的確定假設(shè)中子與核的反應(yīng)類型有如下幾種:彈性散射，非彈性散射，裂變，吸收，相應(yīng)的反應(yīng)截面分別為Σel，Σin，Σf，Σa。則發(fā)生每一種反應(yīng)類型的概率依次為：其中反應(yīng)總截面Σt＝Σel＋Σin＋Σf＋Σa。12/3/2022蒙特卡羅方法例5.中子與核的反應(yīng)類型的確定120反應(yīng)類型的確定方法為：產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)ξ

12/3/2022蒙特卡羅方法反應(yīng)類型的確定方法為：產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)121連續(xù)型分布的直接抽樣方法

對(duì)于連續(xù)型分布，如果分布函數(shù)F(x)的反函數(shù)F－1(x)存在，則直接抽樣方法是：12/3/2022蒙特卡羅方法連續(xù)型分布的直接抽樣方法對(duì)于連續(xù)122例6.在［a，b］上均勻分布的抽樣在［a，b］上均勻分布的分布函數(shù)為：則12/3/2022蒙特卡羅方法例6.在［a，b］上均勻分布的抽樣123例7.β分布β分布為連續(xù)型分布，作為它的一個(gè)特例是：其分布函數(shù)為：

則12/3/2022蒙特卡羅方法例7.β分布β分布為連續(xù)型分布124例8.指數(shù)分布指數(shù)分布為連續(xù)型分布，其一般形式如下：其分布函數(shù)為：

則因?yàn)?－ξ也是隨機(jī)數(shù)，可將上式簡(jiǎn)化為12/3/2022蒙特卡羅方法例8.指數(shù)分布指數(shù)分布為連續(xù)型125連續(xù)性分布函數(shù)的直接抽樣方法對(duì)于分布函數(shù)的反函數(shù)存在且容易實(shí)現(xiàn)的情況，使用起來是很方便的。但是對(duì)于以下幾種情況，直接抽樣法是不合適的。分布函數(shù)無(wú)法用解析形式給出，因而其反函數(shù)也無(wú)法給出。分布函數(shù)可以給出其解析形式，但是反函數(shù)給不出來。分布函數(shù)即使能夠給出反函數(shù)，但運(yùn)算量很大。下面敘述的挑選抽樣方法是克服這些困難的比較好的方法。12/3/2022蒙特卡羅方法連續(xù)性分布函數(shù)的直接抽樣方法對(duì)于126挑選抽樣方法

為了實(shí)現(xiàn)從己知分布密度函數(shù)f(x)抽樣，選取與f(x)取值范圍相同的分布密度函數(shù)h(x)，如果則挑選抽樣方法為：>12/3/2022蒙特卡羅方法挑選抽樣方法為了實(shí)現(xiàn)從己知分布127即從h(x)中抽樣xh，以的概率接受它。下面證明xf

服從分布密度函數(shù)f(x)。證明：對(duì)于任意x

12/3/2022蒙特卡羅方法12/1/2022蒙特卡羅方法12812/3/2022蒙特卡羅方法12/1/2022蒙特卡羅方法129使用挑選抽樣方法時(shí)，要注意以下兩點(diǎn)：選取h(x)時(shí)要使得h(x)容易抽樣且M的值要盡量小。因?yàn)镸小能提高抽樣效率。抽樣效率是指在挑選抽樣方法中進(jìn)行挑選時(shí)被選中的概率。按此定義，該方法的抽樣效率E為：所以，M越小，抽樣效率越高。12/3/2022蒙特卡羅方法12/1/2022蒙特卡羅方法130

當(dāng)f(x)在［0，1］上定義時(shí)，取h(x)=1，Xh=ξ，此時(shí)挑選抽樣方法為>12/3/2022蒙特卡羅方法>12/1/2022蒙特卡羅方法131例9.圓內(nèi)均勻分布抽樣令圓半徑為R0，點(diǎn)到圓心的距離為r，則r的分布密度函數(shù)為分布函數(shù)為容易知道，該分布的直接抽樣方法是12/3/2022蒙特卡羅方法例9.圓內(nèi)均勻分布抽樣令圓半132由于開方運(yùn)算在計(jì)算機(jī)上很費(fèi)時(shí)間，該方法不是好方法。下面使用挑選抽樣方法：取則抽樣框圖為＞≤12/3/2022蒙特卡羅方法＞≤12/1/2022蒙特卡羅方法133顯然，沒有必要舍棄ξ1＞ξ2的情況，此時(shí)，只需取就可以了，亦即另一方面，也可證明與具有相同的分布。12/3/2022蒙特卡羅方法12/1/2022蒙特卡羅方法134復(fù)合抽樣方法

在實(shí)際問題中，經(jīng)常有這樣的隨機(jī)變量，它服從的分布與一個(gè)參數(shù)有關(guān)，而該參數(shù)也是一個(gè)服從確定分布的隨機(jī)變量，稱這樣的隨機(jī)變量服從復(fù)合分布。例如，分布密度函數(shù)是一個(gè)復(fù)合分布。其中Pn≥0，n=1，2，…，且fn(x)為與參數(shù)n有關(guān)的分布密度函數(shù)，n=1，2，…，參數(shù)n服從如下分布12/3/2022蒙特卡羅方法復(fù)合抽樣方法在實(shí)際問題中，經(jīng)常135復(fù)合分布的一般形式為：其中f2(x/y)表示與參數(shù)y有關(guān)的條件分布密度函數(shù)，F(xiàn)1(y)表示分布函數(shù)。 復(fù)合分布的抽樣方法為:首先由分布函數(shù)F1(y)或分布密度函數(shù)f1(y)中抽樣YF1或Yf1，然后再由分布密度函數(shù)f2(x/YF1)中抽樣確定Xf2(x/YF)證明：所以，Xf所服從的分布為f

(x)。12/3/2022蒙特卡羅方法復(fù)合分布的一般形式為：12/1/2022蒙特卡羅方136例10.指數(shù)函數(shù)分布的抽樣指數(shù)函數(shù)分布的一般形式為：引入如下兩個(gè)分布密度函數(shù)：12/3/2022蒙特卡羅方法例10.指數(shù)函數(shù)分布的抽樣指數(shù)函數(shù)分布的一般137則使用復(fù)合抽樣方法，首先從f1(y)中抽取y

再由f2(x/YF1)中抽取x

12/3/2022蒙特卡羅方法則12/1/2022蒙特卡羅方法138復(fù)合挑選抽樣方法

考慮另一種形式的復(fù)合分布如下：其中0≤H(x,y)≤M，f2(x/y)表示與參數(shù)y有關(guān)的條件分布密度函數(shù)，F(xiàn)1(y)表示分布函數(shù)。抽樣方法如下：>12/3/2022蒙特卡羅方法復(fù)合挑選抽樣方法考慮另一種形式139證明：抽樣效率為：E=1/M12/3/2022蒙特卡羅方法證明：12/1/2022蒙特卡羅方法140 為了實(shí)現(xiàn)某個(gè)復(fù)雜的隨機(jī)變量y的抽樣，將其表示成若干個(gè)簡(jiǎn)單的隨機(jī)變量x1，x2，…，xn的函數(shù) 得到x1，x2，…，xn的抽樣后，即可確定y的抽樣，這種方法叫作替換法抽樣。即替換抽樣方法12/3/2022蒙特卡羅方法 為了實(shí)現(xiàn)某個(gè)復(fù)雜的隨機(jī)變量y的抽樣，將141例11.散射方位角余弦分布的抽樣 散射方位角φ在［0,2π］上均勻分布，則其正弦和余弦sinφ和cosφ服從如下分布： 直接抽樣方法為：12/3/2022蒙特卡羅方法例11.散射方位角余弦分布的抽樣 散射方142 令φ=2θ，則θ在［0,π］上均勻分布，作變換 其中0≤ρ≤1，0≤ρ≤π，則 (x,y)表示上半個(gè)單位圓內(nèi)的點(diǎn)。如果(x,y)在上半個(gè)單位圓內(nèi)均勻分布，則θ在［0,π］上均勻分布，由于12/3/2022蒙特卡羅方法 令φ=2θ，則θ在［0,π］上均勻分布，作變換12/1/2143 因此抽樣sinφ和cosφ的問題就變成在上半個(gè)單位圓內(nèi)均勻抽樣(x,y)的問題。 為獲得上半個(gè)單位圓內(nèi) 的均勻點(diǎn)，采用挑選法，在 上半個(gè)單位圓的外切矩形內(nèi) 均勻投點(diǎn)（如圖）。 舍棄圓外的點(diǎn)，余下的就是所要求的點(diǎn)。 抽樣方法為： 抽樣效率

E=π/4≈0.785>12/3/2022蒙特卡羅方法 因此抽樣sinφ和cosφ的問題就變成在上144 為實(shí)現(xiàn)散射方位角余弦分布抽樣，最重要的是在上半個(gè)單位圓內(nèi)產(chǎn)生均勻分布點(diǎn)。下面這種方法，首先在單位圓的半個(gè)外切正六邊形內(nèi)產(chǎn)生均勻分布點(diǎn)，如圖所示。12/3/2022蒙特卡羅方法 為實(shí)現(xiàn)散射方位角余弦分布抽樣，最重要的是在145 于是便有了抽樣效率更高的抽樣方法： 抽樣效率>≤12/3/2022蒙特卡羅方法 于是便有了抽樣效率更高的抽樣方法：>≤12146例12.正態(tài)分布的抽樣 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)為： 引入一個(gè)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量X獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量Y，則（X,Y）的聯(lián)合分布密度為： 作變換12/3/2022蒙特卡羅方法例12.正態(tài)分布的抽樣 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度147 則（ρ,φ）的聯(lián)合分布密度函數(shù)為： 由此可知，ρ與φ相互獨(dú)立，其分布密度函數(shù)分別為 分別抽取ρ，φ：12/3/2022蒙特卡羅方法 則（ρ,φ）的聯(lián)合分布密度函數(shù)為：12/1/2022蒙特卡148 從而得到一對(duì)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量X和Y： 對(duì)于一般的正態(tài)分布密度函數(shù)N(μ,σ2)的抽樣，其抽樣結(jié)果為：12/3/2022蒙特卡羅方法 從而得到一對(duì)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量X和Y：12/1/2149例13.β分布的抽樣

β分布密度函數(shù)的一般形式為： 其中n，k為整數(shù)。為了實(shí)現(xiàn)β分布的抽樣，將其看作一組簡(jiǎn)單的相互獨(dú)立隨機(jī)變量的函數(shù)，通過這些簡(jiǎn)單隨機(jī)變量的抽樣，實(shí)現(xiàn)β分布的抽樣。設(shè)x1，x2，…，xn

為一組相互獨(dú)立、具有相同分布F(x)的隨機(jī)變量，ζk為x1，x2，…，xn

按大小順序排列后的第k個(gè)，記為：12/3/2022蒙特卡羅方法例13.β分布的抽樣 β分布密度函數(shù)的一般150 則ζk的分布函數(shù)為： 當(dāng)F(x)=x時(shí)， 不難驗(yàn)證，ζk的分布密度函數(shù)為β分布。因此，β分布的抽樣可用如下方法實(shí)現(xiàn)： 選取n個(gè)隨機(jī)數(shù)，按大小順序排列后取第k個(gè)，即12/3/2022蒙特卡羅方法 則ζk的分布函數(shù)為：12/1/2022蒙特卡羅方法151隨機(jī)抽樣的一般方法

加抽樣方法

減抽樣方法乘抽樣方法乘加抽樣方法乘減抽樣方法對(duì)稱抽樣方法積分抽樣方法12/3/2022蒙特卡羅方法隨機(jī)抽樣的一般方法加抽樣方法12/1/2022蒙特卡羅方152加抽樣方法加抽樣方法是對(duì)如下加分布給出的一種抽樣方法：其中Pn≥0，

，且fn(x)為與參數(shù)n有關(guān)的分布密度函數(shù)，n=1，2，…。 由復(fù)合分布抽樣方法可知，加分布的抽樣方法為:首先抽樣確定n’，然后由fn’(x)中抽樣x，即：12/3/2022蒙特卡羅方法加抽樣方法加抽樣方法是對(duì)如下加分布153例14.多項(xiàng)式分布抽樣多項(xiàng)式分布密度函數(shù)的一般形式為：將f(x)改寫成如下形式：則該分布的抽樣方法為：12/3/2022蒙特卡羅方法例14.多項(xiàng)式分布抽樣多項(xiàng)式154例15.球殼內(nèi)均勻分布抽樣設(shè)球殼內(nèi)半徑為R0，外半徑為R1，點(diǎn)到球心的距離為r，則r的分布密度函數(shù)為分布函數(shù)為 該分布的直接抽樣方法是12/3/2022蒙特卡羅方法例15.球殼內(nèi)均勻分布抽樣設(shè)155 為避免開立方根運(yùn)算，作變換： 則x∈[0,1]，其分布密度函數(shù)為： 其中12/3/2022蒙特卡羅方法12/1/2022蒙特卡羅方法156 則x及r的抽樣方法為：≤≤>>12/3/2022蒙特卡羅方法 則x及r的抽樣方法為：≤≤>>12/1/2022蒙特卡羅方157減抽樣方法減抽樣方法是對(duì)如下形式的分布密度所給出的一種抽樣方法：其中A1、A2為非負(fù)實(shí)數(shù)，f1(x)

、f2(x)均為分布密度函數(shù)。 減抽樣方法分為以下兩種形式：以上兩種形式的抽樣方法，究竟選擇哪種好，要看f1(x)

、f2(x)哪一個(gè)容易抽樣，如相差不多，選用第一種方法抽樣效率高。12/3/2022蒙特卡羅方法減抽樣方法減抽樣方法是對(duì)如下形式的158（1）將f

(x)表示為令m表示f2(x)／f1(x)的下界，使用挑選法，從f1(x)中抽取Xf1

抽樣效率為：>12/3/2022蒙特卡羅方法（1）將f(x)表示為>12/1/2022蒙特卡羅方159（2）將f

(x)表示為使用挑選法，從f2(x)中抽取Xf2

抽樣效率為：>12/3/2022蒙特卡羅方法（2）將f(x)表示為>12/1/2022蒙特卡羅方160例16.β分布抽樣 β分布的一個(gè)特例： 取A1＝2，A2＝1，f1(x)＝1，f2(x)＝2x，此時(shí)m＝0，則根據(jù)第一種形式的減抽樣方法，有 或＞≤＞≤12/3/2022蒙特卡羅方法例16.β分布抽樣 β分布的一個(gè)特例：＞≤＞≤12/1/161 由于1－ξ1可用ξ1代替，該抽樣方法可簡(jiǎn)化為： 對(duì)于ξ2＞ξ1的情況，可取Xf＝ξ1，因此 與β分布的推論相同。＞≤12/3/2022蒙特卡羅方法＞≤12/1/2022蒙特卡羅方法162如下形式的分布稱為乘分布：其中H(x)為非負(fù)函數(shù)，f1(x)為任意分布密度函數(shù)。 令M為H(x)的上界，乘抽樣方法如下：抽樣效率為：乘抽樣方法≤＞12/3/2022蒙特卡羅方法如下形式的分布稱為乘分布：乘抽樣方163例17.倒數(shù)分布抽樣 倒數(shù)分布密度函數(shù)為： 其直接抽樣方法為： 下面采用乘抽樣方法，考慮如下分布族： 其中i=1，2，…，該分布的直接抽樣方法為：12/3/2022蒙特卡羅方法例17.倒數(shù)分布抽樣 倒數(shù)分布密度函數(shù)為：12/1/20164 利用這一分布族，將倒數(shù)分布f(x)表示成: 其中， 乘法分布的抽樣方法如下: 該分布的抽樣效率為：＞≤12/3/2022蒙特卡羅方法＞≤12/1/2022蒙特卡羅方法165例18.麥克斯韋(Maxwell)分布抽樣 麥克斯韋分布密度函數(shù)的一般形式為： 使用乘抽樣方法，令 該分布的直接抽樣方法為：12/3/2022蒙特卡羅方法例18.麥克斯韋(Maxwell)分布抽樣 麥克斯韋分布166 此時(shí) 則麥克斯韋分布的抽樣方法為: 該分布的抽樣效率為：＞≤12/3/2022蒙特卡羅方法 此時(shí)＞≤12/1/2022蒙特卡羅方法167在實(shí)際問題中，經(jīng)常會(huì)遇到如下形式的分布：其中Hn(x)為非負(fù)函數(shù)，fn(x)為任意分布密度函數(shù)，n=1，2，…。不失一般性，只考慮n=2的情況：

將f(x)改寫成如下的加分布形式：乘加抽樣方法12/3/2022蒙特卡羅方法在實(shí)際問題中，經(jīng)常會(huì)遇到如下形式的168其中12/3/2022蒙特卡羅方法其中12/1/2022蒙特卡羅方法169乘加抽樣方法為：該方法的抽樣效率為：>>>≤12/3/2022蒙特卡羅方法乘加抽樣方法為：>>>≤12/1/2022蒙特卡羅方170這種方法需要知道P1的值(P2=1－P1），這對(duì)有些分布是很困難的。下面的方法可以不用計(jì)算P1：對(duì)于任意小于1的正數(shù)P1，令P2=1－P1；則采用復(fù)合挑選抽樣方法，有：12/3/2022蒙特卡羅方法這種方法需要知道P1的值(P2=1171當(dāng)取時(shí)，抽樣效率最高這時(shí)，乘加抽樣方法為：>>>≤12/3/2022蒙特卡羅方法當(dāng)取>>>≤12/1/2022蒙特卡羅方法172由于可知第一種方法比第二種方法的抽樣效率高。12/3/2022蒙特卡羅方法由于12/1/2022蒙特卡羅方法173例19.光子散射后能量分布的抽樣 令光子散射前后的能量分別為

和