有窮無窮遞增遞減數(shù)列知識點+練習(xí)題

有窮無窮遞增遞減數(shù)列知識點+練習(xí)題有窮無窮遞增遞減數(shù)列知識點+練習(xí)題有窮無窮遞增遞減數(shù)列知識點+練習(xí)題xxx公司有窮無窮遞增遞減數(shù)列知識點+練習(xí)題文件編號：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準審核制定方案設(shè)計，管理制度數(shù)列的分類按項數(shù)分：可以分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列，即如果項數(shù)是有限的那么就是有窮數(shù)列，如果項數(shù)是無限的那么就是無窮數(shù)列：

（2）按增減分：可以分為遞增數(shù)列和遞減數(shù)列，即如果數(shù)列的項是隨著項數(shù)的增加而增加的就是遞增數(shù)列，如果數(shù)列的項是隨著項數(shù)的增加而減小的就是遞減數(shù)列；

（3）按項的特點分：可以分為搖擺數(shù)列和常數(shù)列，即如果數(shù)列的項是在某個或某幾個數(shù)之間來回搖擺就是搖擺數(shù)列，如果數(shù)列的每一項都相等而且都是一個常數(shù)那么就是常數(shù)列。有窮數(shù)列的定義：項數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列；無窮數(shù)列的定義：項數(shù)無限的數(shù)列叫做無窮數(shù)列；遞增數(shù)列的定義：一般地，一個數(shù)列{an}，如果從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列叫做遞增數(shù)列。遞減數(shù)列的定義：如果從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列叫做遞減數(shù)列。單調(diào)數(shù)列：遞增數(shù)列和遞減數(shù)列通稱為單調(diào)數(shù)列.

數(shù)列的單調(diào)性:1.對單調(diào)數(shù)列的理解:數(shù)列是特殊的函數(shù),特殊在于其定義域為正整數(shù)集或它的子集.有些數(shù)列不存在單調(diào)性.有些數(shù)列在正整數(shù)集上有多個單調(diào)情況,有些數(shù)列在正整數(shù)集上單調(diào)性一定;

2.單調(diào)數(shù)列的判定方法:已知數(shù)列{an}的通項公式，要討論這個數(shù)列的單調(diào)性，即比較an與an+1的大小關(guān)系，可以作差比較；也可以作商比較，前提條件是數(shù)列各項為正。擺動數(shù)列的定義：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列叫做擺動數(shù)列。巧用(-1)n求擺動數(shù)列的通項：在數(shù)列中，我們經(jīng)常會碰到求形如：1，-1,1，-1，…，或-1,1，-1,1，…，等數(shù)列的通項，很顯然，我們只要利用(-1)n進行符號的調(diào)整，就能很快求出數(shù)列的通項公式，我們在其它搖擺數(shù)列中也可以巧妙地利用(-1)n求出通項公式。例題1.有窮數(shù)列1，23，26，29，…，23n+6的項數(shù)是（

）A．3n+7

B．3n+6

C．n+3

D．n+2答案：C例題2.已知{an}是遞增的數(shù)列，且對于任意n∈N*，都有an=n2+λn成立，求實數(shù)λ的取值范圍解：∵{an}是遞增的數(shù)列，

∴an≤an+1對任意的n∈N*恒成立，

即n2+λn≤(n+1)2+λ(n+1)，解得λ≥-2n-1，

∵-2n-1≤-3，

∴λ≥-3例題3.共有10項的數(shù)列{an}的通項an=，則該數(shù)列中最大項、最小項的情況是（

）A.最大項為a1，最小項為a10

B.最大項為a10，最小項為a1

C.最大項為a6，最小項為a5

D.最大項為a4，最小項為a3答案：D例題4*.在單調(diào)遞增數(shù)列{an}中，a1=2，不等式(n+1)an≥na2n對任意n∈N*都成立，

（Ⅰ）求a2的取值范圍；

（Ⅱ）判斷數(shù)列{an}能否為等比數(shù)列說明理由；

（Ⅲ）設(shè)，求證：對任意的n∈N*，（Ⅰ）解：因為{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，所以，

令n=1，，所以。

（Ⅱ）證明：數(shù)列{an}不能為等比數(shù)列。

用反證法證明：假設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，，

因為{an}單調(diào)遞增，所以q＞1，

因為n∈N*，(n+1)an≥na2n都成立，

所以n∈N*，，①

因為q＞1，所以，使得當時，，

因為（n∈N*），

所以，當時，，與①矛盾，故假設(shè)不成立。

（Ⅲ）證明：觀察：，，…，

猜想：；

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（1）當n=1時，成立；

（2）假設(shè)當n=k時，成立；

當n=k+1時，

，

所以，

根據(jù)（1）（2）可知，對任意n∈N*，都有，即，

由已知得，

所以，

所以當n≥2時，，

因為，

所以對任意n∈N*，，

對任意n∈N*，存在m∈N*，使得，

因為數(shù)列{an}單調(diào)遞增，所以，，

因為，

所以。例題5.已知下列數(shù)列：

(1)2000，2004，2008，2012；

(2)0，；

(3)1，；

(4)1，；

(5)1，0，-1，…，sin，…；

(6)3，3，3，3，3，3

其中，有窮數(shù)列是（

），無窮數(shù)列是（

），遞增數(shù)列是（

），遞減數(shù)列是（

），常數(shù)列是（

），擺動數(shù)列是（

），周期數(shù)列是（

）。（將合理的序號填在橫線上）答案：(1)(6)；(2)(3)(4)(5)；(1)(2)；(3)；(6)；(4)(5)；(5)例題6.下列敘述中正確的個數(shù)為（

）

①數(shù)列{an}，an=2是常數(shù)列；

②數(shù)列是擺動數(shù)列；

③數(shù)列是遞增數(shù)列；

④若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則數(shù)列{an·an+1}也是遞增數(shù)列；A．1

B．2

C．3

D．4答案：C例題7.已知Sk表示數(shù)列{ak}的前k項和，且Sk+Sk+1=ak+1(k∈N*），那么此數(shù)列是（

）A．遞增數(shù)列

B．遞減數(shù)列

C．常數(shù)列

D．擺動數(shù)列例題8.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和（n=1，2，3，……）。按如下方式定義數(shù)列{an}：a1=m（m∈N*），對任意k∈N*，k＞1，設(shè)ak為滿足0≤ak≤k-1的整數(shù)，且k整除Sk，

（Ⅰ）當m=9時，試給出{an}的前6項；

（Ⅱ）證明：k∈N*，有；

（Ⅲ）證明：對任意的m，數(shù)列{an}必從某項起成為常數(shù)列。解：（Ⅰ）m=9時，數(shù)列為9，1，2，0，3，3，3，3，

即前六項為9，1，2，0，3，3。

（Ⅱ）；

（Ⅲ）有，

由（Ⅱ）可得，

為定值且單調(diào)不增，

∴數(shù)列必將從某項起變?yōu)槌?shù)，

不妨設(shè)從l項起為常數(shù)，則，

于是，

所以，

所以{an}當n≥l+1時成為常數(shù)列。例題9*.數(shù)列{an}滿足：an+1=3an-3an2，n=1，2，3，…。

（Ⅰ）若數(shù)列{an}為常數(shù)列，求a1的值；

（Ⅱ）若a1=，求證：；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求證：數(shù)列{a2n}單調(diào)遞減。（Ⅰ）解：因為數(shù)列為常數(shù)列，

所以，，

，

由n的任意性知，或。

（Ⅱ）證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明，

①當n=1時，，符合上式；

②假設(shè)當n=k（k≥1）時，，

因為，所以，即，

從而，即，

因為，

所以，當n=k+1時，成立，

由①，②知，。

（Ⅲ）證明：因為

（n≥2），

所以只要證明，

由（Ⅱ）知，，

所以只要證明，

即證明，

令，

，

所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增；

因為，

所以，，即成立，

故，所以數(shù)列單調(diào)遞減。例題10*.已知An（an，bn）（n∈N*）是曲線y=ex上的點，a1=a，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且滿足：

，n=2，3，4，…

（Ⅰ）證明數(shù)列是常數(shù)數(shù)列；

（Ⅱ）確定a的取值集合M，使a∈M時，數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列；

（Ⅲ）證明當a∈M時，弦AnAn+1（n∈N*）的斜率隨n單調(diào)遞增。解：（Ⅰ）當n≥2時，由已知得，

因為，…………①

于是，…………②

由②-①得，…………③

于是，…………④

由④-③得，…………⑤

所以(n≥2)是常數(shù)列。

（Ⅱ）由①有，

由③有，

而⑤表明：數(shù)列分別是以a2、a