小學(xué)奧數(shù) 知識(shí)點(diǎn)及公式總匯

小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)及公式總匯（必背）1．和差倍問題32．年齡問題的三個(gè)基本特征：33．歸一問題的基本特點(diǎn)：34．植樹問題35．雞兔同籠問題46．盈虧問題47．牛吃草問題58．周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律59．平均數(shù)510．抽屜原理511．定義新運(yùn)算612．?dāng)?shù)列求和613．二進(jìn)制及其應(yīng)用714．加法乘法原理和幾何計(jì)數(shù)715．質(zhì)數(shù)與合數(shù)816．約數(shù)與倍數(shù)817．?dāng)?shù)的整除918.余數(shù)及其應(yīng)用1019．余數(shù)、同余與周期1020．分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用1021．分?jǐn)?shù)大小的比較1122.分?jǐn)?shù)拆分1223．完全平方數(shù)1224．比和比例1225．綜合行程1326．工程問題1327．邏輯推理1328．幾何面積1429．立體圖形1430．時(shí)鐘問題—快慢表問題1531．時(shí)鐘問題—鐘面追及1532．濃度與配比1533．經(jīng)濟(jì)問題1634．簡單方程1635．不定方程1736．循環(huán)小數(shù)17***1至30的平方17***世界上最神奇的數(shù)字是1除以7的循環(huán)節(jié)：14285718***數(shù)學(xué)小故事：神奇美妙的“9”18九，在代數(shù)的世界里留有神奇的足跡……20***缺8數(shù)12345679實(shí)際上與循環(huán)小數(shù)是一根藤上的瓜，因?yàn)椋?2缺8數(shù)的精細(xì)結(jié)構(gòu)引起研究者的濃厚興趣，人們偶然注意到：23差等于9的算術(shù)級(jí)數(shù)時(shí)，出現(xiàn)“走馬燈”的現(xiàn)象。例如：23一以貫之23輪流休息24三位一體24清一色24速算公式261．和差倍問題和差問題和倍問題差倍問題已知條件幾個(gè)數(shù)的和與差幾個(gè)數(shù)的和與倍數(shù)幾個(gè)數(shù)的差與倍數(shù)公式適用范圍已知兩個(gè)數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系公式①(和－差)÷2=較小數(shù)較小數(shù)＋差=較大數(shù)和－較小數(shù)=較大數(shù)②(和＋差)÷2=較大數(shù)較大數(shù)－差=較小數(shù)和－較大數(shù)=較小數(shù)和÷(倍數(shù)＋1)=小數(shù)小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)和－小數(shù)=大數(shù)差÷(倍數(shù)-1)=小數(shù)小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)小數(shù)＋差=大數(shù)關(guān)鍵問題求出同一條件下的和與差和與倍數(shù)差與倍數(shù)2．年齡問題的三個(gè)基本特征：①兩個(gè)人的年齡差是不變的；②兩個(gè)人的年齡是同時(shí)增加或者同時(shí)減少的；③兩個(gè)人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的；3．歸一問題的基本特點(diǎn)：問題中有一個(gè)不變的量，一般是那個(gè)“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”……等詞語來表示。關(guān)鍵問題：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量；4．植樹問題基本類型在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹封閉曲線上植樹基本公式棵數(shù)=段數(shù)＋1棵距×段數(shù)=總長棵數(shù)=段數(shù)－1棵距×段數(shù)=總長棵數(shù)=段數(shù)棵距×段數(shù)=總長關(guān)鍵問題確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系5．雞兔同籠問題基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設(shè)問題，就是把假設(shè)錯(cuò)的那部分置換出來；基本思路：①假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：②假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個(gè)差是多少；③每個(gè)事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個(gè)差的原因；④再根據(jù)這兩個(gè)差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差?；竟剑孩侔阉须u假設(shè)成兔子：雞數(shù)＝（兔腳數(shù)×總頭數(shù)－總腳數(shù)）÷（兔腳數(shù)－雞腳數(shù)）②把所有兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)＝（總腳數(shù)一雞腳數(shù)×總頭數(shù)）÷（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）關(guān)鍵問題：找出總量的差與單位量的差。6．盈虧問題基本概念：一定量的對(duì)象，按照某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標(biāo)準(zhǔn)分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標(biāo)準(zhǔn)不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對(duì)象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭浚舅悸罚合葘煞N分配方案進(jìn)行比較，分析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的變化，根據(jù)這個(gè)關(guān)系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對(duì)象的總量．基本題型：①一次有余數(shù)，另一次不足；基本公式：總份數(shù)＝（余數(shù)＋不足數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差②當(dāng)兩次都有余數(shù)；基本公式：總份數(shù)＝（較大余數(shù)一較小余數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差③當(dāng)兩次都不足；基本公式：總份數(shù)＝（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差基本特點(diǎn)：對(duì)象總量和總的組數(shù)是不變的。關(guān)鍵問題：確定對(duì)象總量和總的組數(shù)。7．牛吃草問題基本思路：假設(shè)每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量?；咎攸c(diǎn)：原草量和新草生長速度是不變的；關(guān)鍵問題：確定兩個(gè)不變的量。基本公式：生長量=（較長時(shí)間×長時(shí)間牛頭數(shù)-較短時(shí)間×短時(shí)間牛頭數(shù)）÷（長時(shí)間-短時(shí)間）；總草量=較長時(shí)間×長時(shí)間牛頭數(shù)-較長時(shí)間×生長量；8．周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律周期現(xiàn)象：事物在運(yùn)動(dòng)變化的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時(shí)間叫周期。關(guān)鍵問題：確定循環(huán)周期。閏年：一年有366天；①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除；平年：一年有365天。①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；9．平均數(shù)基本公式：①平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)總數(shù)量=平均數(shù)×總份數(shù)總份數(shù)=總數(shù)量÷平均數(shù)②平均數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)＋每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)差的和÷總份數(shù)基本算法：①求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式①進(jìn)行計(jì)算.②基準(zhǔn)數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)；一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準(zhǔn)數(shù)；以基準(zhǔn)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求所有給出數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差；再求出所有差的和；再求出這些差的平均數(shù)；最后求這個(gè)差的平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，具體關(guān)系見基本公式②10．抽屜原理抽屜原則一：如果把（n+1）個(gè)物體放在n個(gè)抽屜里，那么必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。例：把4個(gè)物體放在3個(gè)抽屜里，也就是把4分解成三個(gè)整數(shù)的和，那么就有以下四種情況：①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1觀察上面四種放物體的方式，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同特點(diǎn)：總有那么一個(gè)抽屜里有2個(gè)或多于2個(gè)物體，也就是說必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。抽屜原則二：如果把n個(gè)物體放在m個(gè)抽屜里，其中n>m，那么必有一個(gè)抽屜至少有:①k=[n/m]+1個(gè)物體：當(dāng)n不能被m整除時(shí)。②k=n/m個(gè)物體：當(dāng)n能被m整除時(shí)。理解知識(shí)點(diǎn)：[X]表示不超過X的最大整數(shù)。例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；關(guān)鍵問題：構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進(jìn)行運(yùn)算。11．定義新運(yùn)算基本概念：定義一種新的運(yùn)算符號(hào)，這個(gè)新的運(yùn)算符號(hào)包含有多種基本（混合）運(yùn)算?；舅悸罚簢?yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算，然后按照基本運(yùn)算過程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。關(guān)鍵問題：正確理解定義的運(yùn)算符號(hào)的意義。注意事項(xiàng)：①新的運(yùn)算不一定符合運(yùn)算規(guī)律，特別注意運(yùn)算順序。②每個(gè)新定義的運(yùn)算符號(hào)只能在本題中使用。12．?dāng)?shù)列求和等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列?；靖拍睿菏醉?xiàng)：等差數(shù)列的第一個(gè)數(shù)，一般用a1表示；項(xiàng)數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個(gè)數(shù)，一般用n表示；公差：數(shù)列中任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差，一般用d表示；通項(xiàng)：表示數(shù)列中每一個(gè)數(shù)的公式，一般用an表示；數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示．基本思路：等差數(shù)列中涉及五個(gè)量：a1,an,d,n,sn,,通項(xiàng)公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可求出第四個(gè)；求和公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可以求這第四個(gè)。基本公式：通項(xiàng)公式：an=a1+（n－1）d；通項(xiàng)＝首項(xiàng)＋（項(xiàng)數(shù)一1)×公差；數(shù)列和公式：sn,=(a1+an)×n÷2；數(shù)列和＝（首項(xiàng)＋末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2；項(xiàng)數(shù)公式：n=(an+a1)÷d＋1；項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差＋1；公差公式：d=（an－a1））÷（n－1）；公差=（末項(xiàng)－首項(xiàng)）÷（項(xiàng)數(shù)－1）；關(guān)鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式；13．二進(jìn)制及其應(yīng)用十進(jìn)制：用0～9十個(gè)數(shù)字表示，逢10進(jìn)1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100注意：N0=１；N１=N（其中N是任意自然數(shù)）二進(jìn)制：用0～1兩個(gè)數(shù)字表示，逢2進(jìn)1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。（2）=An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7+……+A3×22+A2×21+A1×20注意：An不是0就是1。十進(jìn)制化成二進(jìn)制：①根據(jù)二進(jìn)制滿2進(jìn)1的特點(diǎn)，用2連續(xù)去除這個(gè)數(shù)，直到商為0，然后把每次所得的余數(shù)按自下而上依次寫出即可。②先找出不大于該數(shù)的2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個(gè)差的2的n次方，依此方法一直找到差為0，按照二進(jìn)制展開式特點(diǎn)即可寫出。14．加法乘法原理和幾何計(jì)數(shù)加法原理：如果完成一件任務(wù)有n類方法，在第一類方法中有m1種不同方法，在第二類方法中有m2種不同方法……，在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1+m2+mn種不同的方法。關(guān)鍵問題：確定工作的分類方法?；咎卣鳎好恳环N方法都可完成任務(wù)。乘法原理：如果完成一件任務(wù)需要分成n個(gè)步驟進(jìn)行，做第1步有m1種方法，不管第1步用哪一種方法，第2步總有m2種方法……不管前面n-1步用哪種方法，第n步總有mn種方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1×m2×mn種不同的方法。關(guān)鍵問題：確定工作的完成步驟?；咎卣鳎好恳徊街荒芡瓿扇蝿?wù)的一部分。直線：一點(diǎn)在直線或空間沿一定方向或相反方向運(yùn)動(dòng)，形成的軌跡。直線特點(diǎn)：沒有端點(diǎn)，沒有長度。線段：直線上任意兩點(diǎn)間的距離。這兩點(diǎn)叫端點(diǎn)。線段特點(diǎn)：有兩個(gè)端點(diǎn)，有長度。射線：把直線的一端無限延長。射線特點(diǎn)：只有一個(gè)端點(diǎn)；沒有長度。①數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)＝1+2+3+…+（點(diǎn)數(shù)一1）；②數(shù)角規(guī)律=1+2+3+…+（射線數(shù)一1）；③數(shù)長方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=長的線段數(shù)×寬的線段數(shù)：④數(shù)長方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=1×1+2×2+3×3+…+行數(shù)×列數(shù)15．質(zhì)數(shù)與合數(shù)質(zhì)數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，沒有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素?cái)?shù)。合數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。質(zhì)因數(shù)：如果某個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分解質(zhì)因數(shù)。任何一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示形式：N=，其中a1、a2、a3……an都是合數(shù)N的質(zhì)因數(shù)，且a1<a2<a3<……<an。求約數(shù)個(gè)數(shù)的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)互質(zhì)數(shù)：如果兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1，這兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。16．約數(shù)與倍數(shù)約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。公約數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。最大公約數(shù)的性質(zhì)：1、幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)。2、幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個(gè)數(shù)的約數(shù)。3、幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。4、幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)m，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)乘以m。例如：12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12；18的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18；那么12和18的公約數(shù)有：1、2、3、6；那么12和18最大的公約數(shù)是：6，記作（12，18）=6；求最大公約數(shù)基本方法：1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來。2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)。公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。12的倍數(shù)有：12、24、36、48……；18的倍數(shù)有：18、36、54、72……；那么12和18的公倍數(shù)有：36、72、108……；那么12和18最小的公倍數(shù)是36，記作[12，18]=36；最小公倍數(shù)的性質(zhì)：1、兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。2、兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。求最小公倍數(shù)基本方法：1、短除法求最小公倍數(shù)；2、分解質(zhì)因數(shù)的方法17．?dāng)?shù)的整除一、基本概念和符號(hào)：1、整除：如果一個(gè)整數(shù)a，除以一個(gè)自然數(shù)b，得到一個(gè)整數(shù)商c，而且沒有余數(shù)，那么叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。2、常用符號(hào)：整除符號(hào)“|”，不能整除符號(hào)“”；因?yàn)榉?hào)“∵”，所以的符號(hào)“∴”；二、整除判斷方法：1.能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。2.能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。3.能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。4.能被3、9整除：各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。5.能被7整除：①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。6.能被11整除：①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。②奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。③逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。7.能被13整除：①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。三、整除的性質(zhì)：1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-b）也能被c整除。2.如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。18.余數(shù)及其應(yīng)用基本概念：對(duì)任意自然數(shù)a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0<r<b,那么r叫做a除以b的余數(shù)，q叫做a除以b的不完全商。余數(shù)的性質(zhì)：①余數(shù)小于除數(shù)。②若a、b除以c的余數(shù)相同，則c|a-b或c|b-a。③a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。④a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。19．余數(shù)、同余與周期一、同余的定義：①若兩個(gè)整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同，則稱a、b對(duì)于模m同余。②已知三個(gè)整數(shù)a、b、m，如果m|a-b，就稱a、b對(duì)于模m同余，記作a≡b(mod

m)，讀作a同余于b模m。二、同余的性質(zhì)：①自身性：a≡a(modm)；②對(duì)稱性：若a≡b(modm)，則b≡a(modm)；③傳遞性：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，則a≡c(modm)；④和差性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，則a+c≡b+d(modm)，a-c≡b-d(modm)；⑤相乘性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，則a×c≡b×d(modm)；⑥乘方性：若a≡b(modm)，則an≡bn(modm)；⑦同倍性:若a≡b(modm)，整數(shù)c，則a×c≡b×c(modm×c)；三、關(guān)于乘方的預(yù)備知識(shí)：①若A=a×b，則MA=Ma×b=（Ma）b②若B=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md四、被3、9、11除后的余數(shù)特征：①一個(gè)自然數(shù)M，n表示M的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和，則M≡n(mod9)或（mod3）；②一個(gè)自然數(shù)M，X表示M的各個(gè)奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y表示M的各個(gè)偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，則M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod11)；五、費(fèi)爾馬小定理：如果p是質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)），a是自然數(shù)，且a不能被p整除，則ap-1≡1(modp)。20．分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用基本概念與性質(zhì)：分?jǐn)?shù)：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。分?jǐn)?shù)單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。百分?jǐn)?shù)：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)百分之幾的數(shù)。常用方法：①逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結(jié)果）進(jìn)行思考。②對(duì)應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對(duì)應(yīng)關(guān)系。③轉(zhuǎn)化思維方法：把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進(jìn)行解答。最常見的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系；把不同的標(biāo)準(zhǔn)（在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍量）下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。④假設(shè)思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某種情況成立，計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進(jìn)行調(diào)整，求出最后結(jié)果。⑤量不變思維方法：在變化的各個(gè)量當(dāng)中，總有一個(gè)量是不變的，不論其他量如何變化，而這個(gè)量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發(fā)生變化，總量不變。B、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。⑦同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進(jìn)行處理。⑧濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。21．分?jǐn)?shù)大小的比較基本方法：①通分分子法：使所有分?jǐn)?shù)的分子相同，根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比較。②通分分母法：使所有分?jǐn)?shù)的分母相同，根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比較。③基準(zhǔn)數(shù)法：確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，使所有的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行比較。④分子和分母大小比較法：當(dāng)分子和分母的差一定時(shí)，分子或分母越大的分?jǐn)?shù)值越大。⑤倍率比較法：當(dāng)比較兩個(gè)分子或分母同時(shí)變化時(shí)分?jǐn)?shù)的大小，除了運(yùn)用以上方法外，可以用同倍率的變化關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的大小。（具體運(yùn)用見同倍率變化規(guī)律）⑥轉(zhuǎn)化比較方法：把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分?jǐn)?shù)的值）后進(jìn)行比較。⑦倍數(shù)比較法：用一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，結(jié)果得數(shù)和1進(jìn)行比較。⑧大小比較法：用一個(gè)分?jǐn)?shù)減去另一個(gè)分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和0比較。⑨倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。⑩基準(zhǔn)數(shù)比較法：確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)，每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)比較。22.分?jǐn)?shù)拆分將一個(gè)分?jǐn)?shù)單位分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之和的公式：第一題你要拆1/12（也就是1/A）先列出12的約（因）數(shù)：1、2、3、4、6、12

隨便選兩個(gè)約數(shù)分為a1a2這里我選3、4

公式：1/A=A÷a1×（a1+a2）/1+A÷a2×（a1+a2）/1

套入公式：1/12=12÷3×（3+4）/1+12÷4×（3+4）/1

最后等于：1/12=1/28+1/21

第二題就像上面的一樣套入公式計(jì)算，要把第一題的其中一個(gè)答案再拆分就可以了。

答案是：1/21+1/84+1/4223．完全平方數(shù)完全平方數(shù)特征：1.末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。2.除以3余0或余1；反之不成立。3.除以4余0或余1；反之不成立。4.約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)；反之成立。5.奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立。6.奇數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)。7.兩個(gè)相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y224．比和比例比：兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比。比號(hào)前面的數(shù)叫比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù)叫比的后項(xiàng)。比值：比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)的商，叫做比值。比的性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（零除外），比值不變。比例：表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或比例的性質(zhì)：兩個(gè)外項(xiàng)積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)積(交叉相乘)，ad=bc。正比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也擴(kuò)大或縮小幾倍（AB的商不變時(shí)），則A與B成正比。反比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也縮小或擴(kuò)大幾倍（AB的積不變時(shí)），則A與B成反比。比例尺：圖上距離與實(shí)際距離的比叫做比例尺。按比例分配：把幾個(gè)數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。25．綜合行程基本概念：行程問題是研究物體運(yùn)動(dòng)的，它研究的是物體速度、時(shí)間、路程三者之間的關(guān)系.基本公式：路程=速度×?xí)r間；路程÷時(shí)間=速度；路程÷速度=時(shí)間關(guān)鍵問題：確定運(yùn)動(dòng)過程中的位置和方向。相遇問題：速度和×相遇時(shí)間=相遇路程（請(qǐng)寫出其他公式）追及問題：追及時(shí)間＝路程差÷速度差（寫出其他公式）流水問題：順?biāo)谐?（船速+水速）×順?biāo)畷r(shí)間逆水行程=（船速-水速）×逆水時(shí)間順?biāo)俣?船速+水速逆水速度=船速-水速靜水速度=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2水速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2流水問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的速度，參照以上公式。過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的路程，參照以上公式。主要方法：畫線段圖法基本題型：已知路程（相遇路程、追及路程）、時(shí)間（相遇時(shí)間、追及時(shí)間）、速度（速度和、速度差）中任意兩個(gè)量，求第三個(gè)量。26．工程問題基本公式：①工作總量=工作效率×工作時(shí)間②工作效率=工作總量÷工作時(shí)間③工作時(shí)間=工作總量÷工作效率基本思路：①假設(shè)工作總量為“1”（和總工作量無關(guān)）；②假設(shè)一個(gè)方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時(shí)間的最小公倍數(shù)），利用上述三個(gè)基本關(guān)系，可以簡單地表示出工作效率及工作時(shí)間.關(guān)鍵問題：確定工作量、工作時(shí)間、工作效率間的兩兩對(duì)應(yīng)關(guān)系。經(jīng)驗(yàn)簡評(píng)：合久必分，分久必合。27．邏輯推理基本方法簡介：①條件分析—假設(shè)法：假設(shè)可能情況中的一種成立，然后按照這個(gè)假設(shè)去判斷，如果有與題設(shè)條件矛盾的情況，說明該假設(shè)情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設(shè)a是偶數(shù)成立，在判斷過程中出現(xiàn)了矛盾，那么a一定是奇數(shù)。②條件分析—列表法：當(dāng)題設(shè)條件比較多，需要多次假設(shè)才能完成時(shí)，就需要進(jìn)行列表來輔助分析。列表法就是把題設(shè)的條件全部表示在一個(gè)長方形表格中，表格的行、列分別表示不同的對(duì)象與情況，觀察表格內(nèi)的題設(shè)情況，運(yùn)用邏輯規(guī)律進(jìn)行判斷。③條件分析——圖表法：當(dāng)兩個(gè)對(duì)象之間只有兩種關(guān)系時(shí)，就可用連線表示兩個(gè)對(duì)象之間的關(guān)系，有連線則表示“是，有”等肯定的狀態(tài)，沒有連線則表示否定的狀態(tài)。例如A和B兩人之間有認(rèn)識(shí)或不認(rèn)識(shí)兩種狀態(tài)，有連線表示認(rèn)識(shí)，沒有表示不認(rèn)識(shí)。④邏輯計(jì)算：在推理的過程中除了要進(jìn)行條件分析的推理之外，還要進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算，根據(jù)計(jì)算的結(jié)果為推理提供一個(gè)新的判斷篩選條件。⑤簡單歸納與推理：根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù)，分析其中存在的規(guī)律和方法，并從特殊情況推廣到一般情況，并遞推出相關(guān)的關(guān)系式，從而得到問題的解決。28．幾何面積基本思路：在一些面積的計(jì)算上，不能直接運(yùn)用公式的情況下，一般需要對(duì)圖形進(jìn)行割補(bǔ)，平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、分解、變形、重疊等，使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進(jìn)行計(jì)算；另外需要掌握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律。常用方法：1.連輔助線方法2.利用等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。3.大膽假設(shè)（有些點(diǎn)的設(shè)置題目中說的是任意點(diǎn)，解題時(shí)可把任意點(diǎn)設(shè)置在特殊位置上）。4.利用特殊規(guī)律①等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。（斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形的面積）②梯形對(duì)角線連線后，兩腰部分面積相等。③圓的面積占外接正方形面積的78.5%。29．立體圖形名稱圖形特征表面積體積長方體8個(gè)頂點(diǎn)；6個(gè)面；相對(duì)的面相等；12條棱；相對(duì)的棱相等；S=2(ab+ah+bh)V=abh=Sh正方體8個(gè)頂點(diǎn)；6個(gè)面；所有面相等；12條棱；所有棱相等；S=6a2V=a3圓柱體上下兩底是平行且相等的圓；側(cè)面展開后是長方形；S=S側(cè)+2S底S側(cè)=ChV=Sh圓錐體下底是圓；只有一個(gè)頂點(diǎn)；l:母線，頂點(diǎn)到底圓周上任意一點(diǎn)的距離；S=S側(cè)+S底S側(cè)=rlV=Sh球體圓心到圓周上任意一點(diǎn)的距離是球的半徑。S=4r2V=r330．時(shí)鐘問題—快慢表問題基本思路：1、按照行程問題中的思維方法解題；2、不同的表當(dāng)成速度不同的運(yùn)動(dòng)物體；3、路程的單位是分格（表一周為60分格）；4、時(shí)間是標(biāo)準(zhǔn)表所經(jīng)過的時(shí)間；5、合理利用行程問題中的比例關(guān)系；31．時(shí)鐘問題—鐘面追及基本思路：封閉曲線上的追及問題。關(guān)鍵問題：①確定分針與時(shí)針的初始位置；②確定分針與時(shí)針的路程差；基本方法：①分格方法：時(shí)鐘的鐘面圓周被均勻分成60小格，每小格我們稱為1分格。分針每小時(shí)走60分格，即一周；而時(shí)針只走5分格，故分針每分鐘走1分格，時(shí)針每分鐘走1／12分格。②度數(shù)方法：從角度觀點(diǎn)看，鐘面圓周一周是360°，分針每分鐘轉(zhuǎn)360/60度，即6°，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)360/12*60度，即1/2度。32．濃度與配比經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：在配比的過程中存在這樣的一個(gè)反比例關(guān)系，進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。溶質(zhì)：溶解在其它物質(zhì)里的物質(zhì)（例如糖、鹽、酒精等）叫溶質(zhì)。溶劑：溶解其它物質(zhì)的物質(zhì)（例如水、汽油等）叫溶劑。溶液：溶質(zhì)和溶劑混合成的液體（例如鹽水、糖水等）叫溶液?；竟剑喝芤褐亓?溶質(zhì)重量+溶劑重量；溶質(zhì)重量=溶液重量×濃度；濃度=（溶質(zhì)／溶液）×100%溶劑=溶液×（1-濃度）理論部分小練習(xí)：試推出溶質(zhì)、溶液、溶劑三者的其它公式。經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：在配比的過程中存在這樣的一個(gè)反比例關(guān)系，進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。33．經(jīng)濟(jì)問題利潤的百分?jǐn)?shù)=（賣價(jià)-成本）÷成本×100%；賣價(jià)=成本×（1+利潤的百分?jǐn)?shù)）；成本=賣價(jià)÷（1+利潤的百分?jǐn)?shù)）；商品的定價(jià)按照期望的利潤來確定；定價(jià)=成本×（1+期望利潤的百分?jǐn)?shù)）；本金：儲(chǔ)蓄的金額；利率：利息和本金的比；利息=本金×利率×期數(shù)；含稅價(jià)格=不含稅價(jià)格×（1+增值稅稅率）；34．簡單方程代數(shù)式：用運(yùn)算符號(hào)（加減乘除）連接起來的字母或者數(shù)字。方程：含有未知數(shù)的等式叫方程。列方程：把兩個(gè)或幾個(gè)相等的代數(shù)式用等號(hào)連起來。列方程關(guān)鍵問題：用兩個(gè)以上的不同代數(shù)式表示同一個(gè)數(shù)。等式性質(zhì)：等式兩邊同時(shí)加上或減去一個(gè)數(shù)，等式不變；等式兩邊同時(shí)乘以或除以一個(gè)數(shù)（除0），等式不變。移項(xiàng)：把數(shù)或式子改變符號(hào)后從方程等號(hào)的一邊移到另一邊；移項(xiàng)規(guī)則：先移加減，后變乘除；先去大括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去小括號(hào)。加去括號(hào)規(guī)則：在只有加減運(yùn)算的算式里，如果括號(hào)前面是“+”號(hào)，則添、去括號(hào)，括號(hào)里面的運(yùn)算符號(hào)都不變；如果括號(hào)前面是“－”號(hào)，添、去括號(hào)，括號(hào)里面的運(yùn)算符號(hào)都要改變；括號(hào)里面的數(shù)前沒有“+”或“－”的，都按有“+”處理。移項(xiàng)關(guān)鍵問題：運(yùn)用等式的性質(zhì)，移項(xiàng)規(guī)則，加、去括號(hào)規(guī)則。乘法分配率：a(b+c)=ab+ac解方程步驟：①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤求解；方程組：幾個(gè)二元一次方程組成的一組方程。解方程組的步驟：①消元；②按一元一次方程步驟。消元的方法：①加減消元；②代入消元。35．不定方程一次不定方程：含有兩個(gè)未知數(shù)的一個(gè)方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；常規(guī)方法：觀察法、試驗(yàn)法、枚舉法；多元不定方程：含有三個(gè)未知數(shù)的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；多元不定方程解法：根據(jù)已知條件確定一個(gè)未知數(shù)的值，或者消去一個(gè)未知數(shù)，這樣就把三元一次方程變成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可；涉及知識(shí)點(diǎn)：列方程、數(shù)的整除、大小比較；解不定方程的步驟：1、列方程；2、消元；3、寫出表達(dá)式；4、確定范圍；5、確定特征；6、確定答案；技巧總結(jié)：A、寫出表達(dá)式的技巧：用特征不明顯的未知數(shù)表示特征明顯的未知數(shù)，同時(shí)考慮用范圍小的未知數(shù)表示范圍大的未知數(shù)；B、消元技巧：消掉范圍大的未知數(shù)；36．循環(huán)小數(shù)一、把循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)的規(guī)則①純循環(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)：將一個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)作為分子，分母的各位都是9，9的個(gè)數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，最后能約分的再約分。②混循環(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)：分子是第二個(gè)循環(huán)節(jié)以前的小數(shù)部分的數(shù)字組成的數(shù)與不循環(huán)部分的數(shù)字所組成的數(shù)之差，分母的頭幾位數(shù)字是9，9的個(gè)數(shù)與一個(gè)循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，末幾位是0，0的個(gè)數(shù)與不循環(huán)部分的位數(shù)相同。二、分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成循環(huán)小數(shù)的判斷方法：①一個(gè)最簡分?jǐn)?shù)，如果分母中既含有質(zhì)因數(shù)2和5，又含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)化成的小數(shù)必定是混循環(huán)小數(shù)。②一個(gè)最簡分?jǐn)?shù)，如果分母中只含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)化成的小數(shù)必定是純循環(huán)小數(shù)。***1至30的平方1*1=12*2=43*3=94*4=165*5=256*6=367*7=498*8=649*9=8110*10=10011*11=12112*12=14413*13=16914*14=19615*15=22516*16=25617*17=28918*18=32419*19=36120*20=40021*21=44122*22=48423*23=52924*24=57625*25=62526*26=67627*27=72928*28=78429*29=84130*30=900***世界上最神奇的數(shù)字是1除以7的循環(huán)節(jié)：1428571/7=0.142857142857142857它神奇在哪里呢？1、我們把它從1乘到6看看142857X1=1428571→4→2→8→5→7142857X2=2857142→8→5→7→1→4142857X3=4285714→2→8→5→7→1142857X4=5714285→7→1→4→2→8142857X5=7142857→1→4→2→8→5142857X6=8571428→5→7→1→4→2同樣的6個(gè)數(shù)字，只是依此調(diào)換了位置，反復(fù)出現(xiàn)。2、我們從1乘到6除以7看看1/7=0.142857...2/7=0.285714...3/7=0.428571...4/7=0.571428...5/7=0.714285...6/7=0.857142.1，3，5分別除以7所得商的規(guī)律是循環(huán)節(jié)的最高位后移，后面的前移。2，4，6分別除以7所得商的規(guī)律是循環(huán)節(jié)的前兩位后移，后面的前移。3、那么把它乘以7是多少呢？我們會(huì)驚人的發(fā)現(xiàn)是9999994、142+857=99914+28+57=991+4+2+8+5+7=9+9+95、我們用142857乘以142857=20408122449前五位+上后六位的得數(shù)是多少呢？20408+122449=142857“142857”發(fā)現(xiàn)于埃及金字塔內(nèi)，它確實(shí)是一組神奇的數(shù)字。***數(shù)學(xué)小故事：神奇美妙的“9”九，是我們中華民族所崇拜的數(shù)字，在中國古代人們的觀念中，將天稱為“九天”、“九重”、“九霄”;將地劃為“九州”、“九域

”;將宗廟稱為“九廟”;道路謂之“九陌”;山有“九崇”;水曰“九河”;地有“九泉”;人分“九級(jí)”;官為“九品”。在古樂古詩中有九辯、九喜、九歌、九章等。九在中國人的心中竟擁有如此神奇的地位;作為一個(gè)數(shù)學(xué)愛好者，應(yīng)該去深入探索它的本質(zhì)及其它美妙的蘊(yùn)意。《易經(jīng)》上說，九數(shù)含有吉祥的意思，如果按照“陰陽”來說，奇數(shù)為陽，偶數(shù)為陰，而九是陽數(shù)中最大的，稱為“極陽數(shù)”。十是一個(gè)完美的數(shù)字，而九接近十而不到十，具有很強(qiáng)的傾向性，一位數(shù)字只有十個(gè)，而九是最大的一個(gè)，故為數(shù)字之極，寓義崇高。也許，就是這個(gè)原因，九有其最多的奇妙特點(diǎn)，最多的趣味性質(zhì)。九有一個(gè)非常奇妙的性質(zhì)，是其它數(shù)字所沒有的。如果要求一個(gè)自然數(shù)除以九的余數(shù)，則只要將這個(gè)數(shù)各位數(shù)字相加，其和如果仍是兩位以上的數(shù)，則再將這個(gè)和的各位數(shù)字相加，最后所得的一位數(shù)，就是這個(gè)自然數(shù)除以九的余數(shù)。九的這一奇妙特點(diǎn)，總使數(shù)學(xué)愛好者十分著迷，許多趣味數(shù)學(xué)游戲，都與九的這一規(guī)律有關(guān)。數(shù)學(xué)老師常用“湊九”法驗(yàn)算學(xué)生的算式是否有誤，而“湊九”法就是采納了這一原理。九的倍數(shù)的各位數(shù)字之和也一定是九的倍數(shù)，可知九的倍數(shù)是一個(gè)非常和諧圓滿的數(shù)系。八位數(shù)12345679，如果將它同九相乘，奇怪的很，其積竟是全由1組成的數(shù)字111111111;如再乘18(九的2倍)，可得九個(gè)2，乘27(九的3倍)，可得九個(gè)3……，直到乘81，就可以得到九個(gè)9.這種整齊統(tǒng)一的特點(diǎn)，給人以多么美妙的印象啊!也許有人要問為什么把8去掉，填上會(huì)有規(guī)律嗎?若把7、8都去掉，或把6、7、8都去掉，仍用九去乘，還有規(guī)律嗎?答案是肯定的。九這個(gè)數(shù)字就是這么神奇，我們來看下列算式：縱觀上面九個(gè)算式，不僅算式的結(jié)果很有規(guī)律，且積的數(shù)字之和都為九。第一個(gè)算式到第九個(gè)算式的變化，更能顯示出奇妙無比的秩序美。如果你隨便找來一個(gè)兩位以上的自然數(shù)，比如是317，將此數(shù)打亂，變成173、731、713吧，我們現(xiàn)在求出新數(shù)與原數(shù)的差，你猜會(huì)有什么結(jié)論?這些差144、414、396竟然全是九的倍數(shù)。在這里，無論是定數(shù)字，還是打亂所找數(shù)字的順序，都是多么的隨心所欲啊!可是在這種繁亂中竟能出現(xiàn)規(guī)律，這種規(guī)律的主宰者卻是九。假如再隨意找一個(gè)兩位以上的數(shù)，比方418，①先將它的各位數(shù)字之和求出;②用原數(shù)減去其數(shù)字之和(418-18)，其差405也是九的倍數(shù)。下列算式的確是種簡明的公式：100a+10b+c-(a+b+c)=99a+9b，公式的結(jié)果竟然是一個(gè)常數(shù)，且還是九的倍數(shù)，如所選的數(shù)是4位、5位，是否還有規(guī)律呢?我們敢于肯定地說，九的奇妙一定處處再現(xiàn)，無論是多少位，九的統(tǒng)一美的光芒定會(huì)時(shí)時(shí)閃耀。九是一個(gè)神奇的反序數(shù)，在算式1089×9=9801中可知，九乘某一個(gè)數(shù)字，能使其順序正好顛倒過來。從算式123456789×8+9=987654321中也可知，九加某數(shù)也竟能使其順序顛倒;九也是一個(gè)神圣的自補(bǔ)數(shù)，因?yàn)?2=81，1+9=10;992=9801，1+99=102;9992=998001，1+999=103;……又99×47=4658，而53+47=102，999×321=320679，而670+321=103，九又是一個(gè)神秘的自生數(shù)，93=729，993=970299，9993=997002999;九也是一個(gè)奇妙的再植數(shù)，從算式109890×9=989010中看出，9竟然將這個(gè)數(shù)的最高兩位變成最低兩位。九還是有趣的勾股數(shù)中不可缺少的成員：2+402=412、92+122=152、而40+41=92、12+15=33=3×9.啊!九的奇特，操縱著無數(shù)數(shù)學(xué)運(yùn)算和游戲，它不愧為一位偉大的魔術(shù)師。在除法中，九的奇異也使人迷戀?？聪铝械仁剑?/9=0.111……，2/9=0.222……，8/9=0.888……，多有規(guī)律啊!在化循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)時(shí)，九又是大顯神手，10是完美的數(shù)字，對(duì)于10，9和11是對(duì)稱的，這種對(duì)稱下也隱藏著許多秘密：1/11=0.09，2/11=0.18，3/11=0.27，…，9/11=0.81，10/11=0.90，真巧，分母含11的倍數(shù)，化成循環(huán)小數(shù)，其循環(huán)節(jié)的兩個(gè)數(shù)竟然也是九的倍數(shù)。九，在代數(shù)的世界里留有神奇的足跡……九的有趣性質(zhì)簡直是太多啦!實(shí)在是舉不勝舉。這么獨(dú)特的數(shù)字，難怪人們特別喜歡它，非常崇拜它。正值冬天時(shí)，人們不數(shù)3，也不數(shù)10，偏偏數(shù)九：“頭九不算九;二九凍死狗;三九、四九掩門喚狗;五九、六九水走頭;七九、八九河邊看柳;九九又一九，犁牛遍地走”。重陽節(jié)是雙九，人們十分重視這個(gè)節(jié)日，因?yàn)椤熬旁戮拧奔壹矣校藭r(shí)正是收獲的季節(jié)。唐代詩人孟浩然寫出“待到重陽日，還來就菊花”的詩句，至今一直被文人墨客所稱道。用九來起名的我國古代數(shù)學(xué)家泰九韶，所著的書名是《算術(shù)九章》，而書中共分九大類，每類又有九道題，他簡直是九的又一個(gè)崇拜者。過去北京的許多建筑都和“九”這個(gè)數(shù)目有關(guān)。例如，北京城內(nèi)最早是九個(gè)城門，天安門的城樓是九重樓，故宮四個(gè)角樓的結(jié)構(gòu)是九梁十八柱，皇家建筑物大門上的釘數(shù)是縱九橫九，北海和故宮的九龍壁，都是九只龍，更有趣的是天壇有個(gè)歷代皇帝祭天的地方，無論是潔白的石欄桿，或是圓臺(tái)上磨平的石塊，其數(shù)目都和九字有關(guān)。在改革之年，我相信人們將會(huì)以九牛二虎之力，去九天

、到九州探寶，朝著九千九百九十九的通天大路奮勇向前。九，這個(gè)數(shù)字王國中的明珠，它太神奇，太美妙啦!得到人們最高的崇尚，最好的贊揚(yáng)，最多的欣賞，最有情感的偏愛。看起來，它是一個(gè)很普通的數(shù)，只不過與完美的數(shù)字10差1，只不過是一個(gè)完全平方數(shù)，只不過是一個(gè)最大的個(gè)位數(shù)，但恰恰就這點(diǎn)原因，竟蘊(yùn)藏著變幻無窮的秘密，在你隨時(shí)隨地的數(shù)字運(yùn)算過程中，也許就會(huì)突然發(fā)現(xiàn)九之規(guī)律所在，你會(huì)為此興奮不已，感嘆不盡?？赡阋溃氵@也僅僅是在九的奇妙獨(dú)特性質(zhì)的海岸上，拾到的一塊小小的貝殼而已!要真正地全面了解九的神奇，九的美妙，無論是那個(gè)數(shù)學(xué)愛好者，都必須進(jìn)行艱苦的探索和頑強(qiáng)的鉆研。1x8+1=912x8+2=98123x8+3=9871234x8+4=987612345x8+5=98765123456x8+6=9876541234567x8+7=987654312345678x8+8=98765432123456789x8+9=9876543211x9+2=1112x9+3=111123x9+4=11111234x9+5=1111112345x9+6=111111123456x9+7=11111111234567x9+8=1111111112345678x9+9=111111111123456789x9+10=1111111111很炫，是不是？1x1=111x11=121111x111=123211111x1111=123432111111x11111=123454321111111x111111=123456543211111111x1111111=123456765432111111111x11111111=123456787654321111111111x111111111=12345678987654321再看看這個(gè)對(duì)稱式9x9+7=8898x9+6=888987x9+5=88889876x9+4=8888898765x9+3=888888987654x9+2=88888889876543x9+1=8888888898765432x9+0=888888888***缺8數(shù)12345679實(shí)際上與循環(huán)小數(shù)是一根藤上的瓜，因?yàn)椋?/81＝0.012345679012345679012345679……，缺8數(shù)和1/81的循環(huán)節(jié)有關(guān)。

在以上小數(shù)中，為什么別的數(shù)碼都不缺，而唯獨(dú)缺少8呢？

我們看到，1/81＝1/9×1/9，把1/9化成循環(huán)小數(shù)，其循環(huán)節(jié)只有一位，即1/9＝0.111111111……

1/9×1/9，即無窮個(gè)1的自乘。不妨先從有限個(gè)1的平方來看：

很明顯，11的平方＝121，111的平方＝12321，……，直到111111111的平方12345678987654321。

但現(xiàn)在是無窮個(gè)1的平方，長長的隊(duì)伍看不到盡頭，怎么辦呢？缺8數(shù)隱藏在循環(huán)小數(shù)里

利用數(shù)學(xué)歸納法，不難證明，在所有的層次，8都被一一跳過。

那么，缺8數(shù)乘以9的倍數(shù)得到“清一色”就很好理解了，因?yàn)椋?/p>

1/81×9＝1/9＝0.111111111……

缺8數(shù)乘以3的倍數(shù)得到“三位一體”也不難理解，因?yàn)椋?/p>

1/81×3＝1/27＝0.037037037……，一開始就出現(xiàn)了三位的循環(huán)節(jié)。

缺8數(shù)乘以公差為9的等差數(shù)列時(shí)相當(dāng)于在原有基礎(chǔ)上每位數(shù)加1，自然就出現(xiàn)“走馬燈”了。

循環(huán)小數(shù)與循環(huán)群、周期現(xiàn)象的研究方興未艾，缺8數(shù)已引起人們的濃厚興趣與密切關(guān)注。由于計(jì)算機(jī)科學(xué)的蓬勃發(fā)展，人們?cè)絹碓讲粷M足于泛泛的幾條性質(zhì)，而更著眼于探索其精微的結(jié)構(gòu)。缺8數(shù)的精細(xì)結(jié)構(gòu)引起研究者的濃厚興趣，人們偶然注意到：12345679×4＝49382716

12345679×5＝61728395

前一式的數(shù)顛倒過來讀，正好就是后一式的積數(shù)。（雖有微小的差異，即5代以4，而根據(jù)“輪休學(xué)說”，這正是題中應(yīng)有之義）

這樣的“回文結(jié)對(duì)，攜手并進(jìn)”現(xiàn)象，對(duì)（13、14）（22、23）（31、32）（40、41）等各對(duì)乘數(shù)（每相鄰兩對(duì)乘數(shù)的對(duì)應(yīng)公差均等于9）也應(yīng)如此。例如：

12345679×22＝271604938

12345679×23＝283950617

前一式的數(shù)顛倒過來讀，正好是后一式的積數(shù)。（后一式的2移到后面，并5代以4）走馬燈

當(dāng)缺8數(shù)乘以19時(shí)，其乘數(shù)將是234567901，像走馬燈一樣，原先居第二位的數(shù)2卻成了開路先鋒。例如：

12345679×19＝234567901

12345679×28＝345679012

12345679×37＝456790123

深入的研究顯示，當(dāng)乘數(shù)為一個(gè)公差等于9的算術(shù)級(jí)數(shù)時(shí)，出現(xiàn)“走馬燈”的現(xiàn)象。例如：12345679×8＝098765432

12345679×17＝209876543

12345679×26＝320987654

12345679×35＝432098765一以貫之當(dāng)乘數(shù)超過81時(shí)，乘積將至少是十位數(shù)，但上述的各種現(xiàn)象依然存在，真是“吾道一以貫之”。例如：

乘數(shù)為9的倍數(shù)

12345679×243＝2999999997

只要把乘積中最左邊的一個(gè)數(shù)2加到最右邊的7上，仍呈現(xiàn)“清一色”。

乘數(shù)為3的倍數(shù)，但不是9的倍數(shù)

12345679×84＝1037037036

只要把乘積中最左邊的一個(gè)數(shù)1加到最右邊的6上，又出現(xiàn)“三位一體”。

乘數(shù)為3K＋1或3K＋2型

12345679×98＝1209876542

表面上看來，乘積中出現(xiàn)雷同的2，但只要把乘積中最左邊的數(shù)1加到最右邊的2上去之后，所得數(shù)為209876543，是“缺1”數(shù)，仍是輪流“休息”。輪流休息當(dāng)乘數(shù)不是9或3的倍數(shù)時(shí)，此時(shí)雖然沒有清一色或三位一體的現(xiàn)象，但仍可以看到一種奇異性質(zhì)：乘積的各位數(shù)字均無雷同，缺少1個(gè)數(shù)字，而且存在著明確的規(guī)律。另外，在乘積中缺3、缺6、缺9的情況肯定不存在。例如乘數(shù)在區(qū)間［10，17］的情況（其中12和15因是3的倍數(shù)，予以排除）：

12345679×10＝123456790（缺8）

12345679×11＝135802469（缺7）

12345679×13＝160493827（缺5）

12345679×14＝172839506（缺4）

12345679×16＝197530864（缺2）

12345679×17＝209876543（缺1）

乘數(shù)在［19，26］及其他區(qū)間（區(qū)間長度等于7）的情況與此完全類似。乘積中缺什么數(shù)，就像工廠或商店中職工“輪休”，人人有份，既不多也不少，實(shí)在有趣。三位一體缺8數(shù)乘以3的倍數(shù)但不是9的倍數(shù)，可以得到“三位一體”，例如：

12345679×12＝148148148

12345679×15＝185185185

12345679×33＝407407407

12345679×57＝703703703

12345679×78＝962962962清一色缺8數(shù)乘以9的倍數(shù)可以得到“清一色”，例如：

12345679×9＝111111111

12345679×18＝222222222

12345679×27＝333333333

12345679×36＝444444444

12345679×45＝555555555

12345679×54＝666666666

12345679×63＝777777777

12345679×72＝888888888

12345679×81＝999999999速算公式【首同末合十的兩位數(shù)相乘公式】若兩個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字都是a，個(gè)位上的數(shù)分別為b和c，且b+c=10，則這樣的兩個(gè)數(shù)便是“首同末合十”的兩個(gè)兩位數(shù)，它們的積為（10a+b）（10a+c）=（10a）2+10ab+10ac+bc=102a2+=100a2+100a+bc＝a（a+1）×100+bc。根據(jù)這一公式，兩個(gè)“首同末合十”的兩位數(shù)相乘，可以先把首位數(shù)乘以比它大1的數(shù)的積的100倍，然后在所得的結(jié)果后面，添上兩個(gè)末位數(shù)的積。例如，72×78=（7×8）×100+2×8=561645×45=（4×5）×100+5×5=2025首同末合十的計(jì)算公式，也可以推廣到兩個(gè)三位數(shù)、兩個(gè)四位數(shù)相乘的速算中去。例如256×254可取a=25，b=6，c=4，再運(yùn)用公式計(jì)算，得256×254=[25×（25+1）]×100+6×4=[25×26]×100+24=65024又如，155×155=（15×16）×100+5×5=24025【末同首合十的兩位數(shù)相乘公式】若兩個(gè)兩位數(shù)十位上的數(shù)字分別是a和b，且a+b=10，個(gè)位上的數(shù)字都是c，則這樣的兩個(gè)數(shù)便是“末同首合十”的兩個(gè)兩位數(shù)，它們的積為（10a+c）（10b+c）=102ab+10ac+10bc+c2＝100ab+10c（a+b）+c2=100ab+100c+c2=（ab+c）×100+c2。根據(jù)這一公式，兩個(gè)“末同首合十”的兩位數(shù)相乘，可以先把兩個(gè)首位數(shù)字的乘積加上一個(gè)末位數(shù)，再乘100然后再在所得的結(jié)果后面，添上末位數(shù)自乘的積（末位數(shù)的平方）。例如，34×74=（3×7+4）×100+42=25×100+16=2516【兩個(gè)末位是1的兩位數(shù)相乘公式】設(shè)兩個(gè)末位都是1的兩位數(shù)，十位上的數(shù)字分別是a和b，則它們的積是（10a+1）（10b+1）＝100ab+10a+10b+12＝10a×10b+（a+b）×10+1由這一公式可知，兩個(gè)末位是1的兩位數(shù)相乘，可以先把兩個(gè)首位數(shù)值相乘，然后在所得的結(jié)果后面添上兩個(gè)首位數(shù)的和（和滿十時(shí)要進(jìn)位）的10倍，最后在后面添上1。例如，51×71=50×70+（5+7）×10+1=3500+12091=3621。這樣的題目，口算的方法可以是：【兩個(gè)首位是1的兩位數(shù)相乘公式】設(shè)兩個(gè)首位為1的兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字分別是a和b，則它們的積是：（10+a）（10+b）＝100+10a+10b+ab=（10+a+b）×10+ab。由這一公式可知，兩個(gè)首位是1的兩位數(shù)相乘，可以把一個(gè)數(shù)加上另一個(gè)數(shù)的末位數(shù)，所得的結(jié)果乘以10以后，再加上兩個(gè)末位數(shù)的乘積。例如，17×16=（17+6）×10+7×6=230+42=272?！窘咏?00的兩個(gè)數(shù)相乘公式】接近100的兩個(gè)數(shù)相乘，可以分三種情況來尋找它的速算方法。（1）兩個(gè)超過100的數(shù)相乘。設(shè)兩個(gè)超過100的數(shù)分別為a和b，它們與100的差分別為h和k，則a=100+h，b=100+k。它們的積是a·b＝（100+h）（