浙江省新課改協(xié)作校2021-2022學(xué)年高三一診考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恰有1個整數(shù)解，則實數(shù)的最大值為（）A．2 B．3 C．5 D．82．由實數(shù)組成的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則“a1>0”是“S9>S8”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．設(shè)拋物線的焦點為F,拋物線C與圓交于M,N兩點,若,則的面積為()A． B． C． D．4．已知函數(shù)的值域為，函數(shù)，則的圖象的對稱中心為（）A． B．C． D．5．設(shè)則以線段為直徑的圓的方程是（）A． B．C． D．6．將一塊邊長為的正方形薄鐵皮按如圖（1）所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器，將該容器按如圖（2）放置，若其正視圖為等腰直角三角形，且該容器的容積為，則的值為（）A．6 B．8 C．10 D．127．已知與之間的一組數(shù)據(jù)：12343.24.87.5若關(guān)于的線性回歸方程為，則的值為（）A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.58．已知，則“m⊥n”是“m⊥l”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．在正方體中，，分別為，的中點，則異面直線，所成角的余弦值為（）A． B． C． D．10．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．11．若2m＞2n＞1，則（）A． B．πm﹣n＞1C．ln（m﹣n）＞0 D．12．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有蒲生一日，長三尺莞生一日，長一尺蒲生日自半，莞生日自倍.問幾何日而長倍？”意思是：“今有蒲草第天長高尺，蕪草第天長高尺以后，蒲草每天長高前一天的一半，蕪草每天長高前一天的倍.問第幾天莞草是蒲草的二倍？”你認為莞草是蒲草的二倍長所需要的天數(shù)是（）（結(jié)果采取“只入不舍”的原則取整數(shù)，相關(guān)數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，，，，則繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積為______________.14．某種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，且．某用戶購買了件這種產(chǎn)品，則這件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間之外的產(chǎn)品件數(shù)為_________．15．已知，則的值為______.16．驗證碼就是將一串隨機產(chǎn)生的數(shù)字或符號，生成一幅圖片，圖片里加上一些干擾象素（防止），由用戶肉眼識別其中的驗證碼信息，輸入表單提交網(wǎng)站驗證，驗證成功后才能使用某項功能.很多網(wǎng)站利用驗證碼技術(shù)來防止惡意登錄，以提升網(wǎng)絡(luò)安全.在抗疫期間，某居民小區(qū)電子出入證的登錄驗證碼由0，1，2，…，9中的五個數(shù)字隨機組成.將中間數(shù)字最大，然后向兩邊對稱遞減的驗證碼稱為“鐘型驗證碼”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一個“鐘型驗證碼”，則該驗證碼的中間數(shù)字是7的概率為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為了保障全國第四次經(jīng)濟普查順利進行，國家統(tǒng)計局從東部選擇江蘇，從中部選擇河北、湖北，從西部選擇寧夏，從直轄市中選擇重慶作為國家綜合試點地區(qū)，然后再逐級確定普查區(qū)域，直到基層的普查小區(qū)，在普查過程中首先要進行宣傳培訓(xùn)，然后確定對象，最后入戶登記，由于種種情況可能會導(dǎo)致入戶登記不夠順利，這為正式普查提供了寶貴的試點經(jīng)驗，在某普查小區(qū)，共有50家企事業(yè)單位，150家個體經(jīng)營戶，普查情況如下表所示：普查對象類別順利不順利合計企事業(yè)單位401050個體經(jīng)營戶10050150合計14060200（1）寫出選擇5個國家綜合試點地區(qū)采用的抽樣方法；（2）根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認為“此普查小區(qū)的入戶登記是否順利與普查對象的類別有關(guān)”；（3）以該小區(qū)的個體經(jīng)營戶為樣本，頻率作為概率，從全國個體經(jīng)營戶中隨機選擇3家作為普查對象，入戶登記順利的對象數(shù)記為，寫出的分布列，并求的期望值．附：0.100.0100.0012.7066.63510.82818．（12分）設(shè)函數(shù)（）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若關(guān)于x的方程有唯一的實數(shù)解，求a的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時.①求函數(shù)在處的切線方程；②定義其中，求；（2）當(dāng)時，設(shè)，(為自然對數(shù)的底數(shù))，若對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使得成立，求的取值范圍.20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)把的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程：(2)求與交點的極坐標(biāo).21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線：.過點的直線：（為參數(shù)）與曲線相交于，兩點.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；（2）若，求實數(shù)的值.22．（10分）已知函數(shù)，.（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上的零點的個數(shù)；（2）記函數(shù)在區(qū)間上的兩個極值點分別為、，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

畫出函數(shù)的圖象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用數(shù)形結(jié)合即可得出.【詳解】解：函數(shù)，如圖所示當(dāng)時，，由于關(guān)于的不等式恰有1個整數(shù)解因此其整數(shù)解為3，又∴，，則當(dāng)時，，則不滿足題意；當(dāng)時，當(dāng)時，，沒有整數(shù)解當(dāng)時，，至少有兩個整數(shù)解綜上，實數(shù)的最大值為故選：D【點睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍，屬于較難題.2．C【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】解：若{an}是等比數(shù)列，則，

若，則，即成立，

若成立，則，即，

故“”是“”的充要條件，

故選：C.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用等比數(shù)列的通項公式是解決本題的關(guān)鍵.3．B【解析】

由圓過原點，知中有一點與原點重合，作出圖形，由，，得，從而直線傾斜角為，寫出點坐標(biāo)，代入拋物線方程求出參數(shù)，可得點坐標(biāo)，從而得三角形面積．【詳解】由題意圓過原點，所以原點是圓與拋物線的一個交點，不妨設(shè)為，如圖，由于，，∴，∴，，∴點坐標(biāo)為，代入拋物線方程得，，∴，．故選：B.【點睛】本題考查拋物線與圓相交問題，解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)原點是其中一個交點，從而是等腰直角三角形，于是可得點坐標(biāo)，問題可解，如果僅從方程組角度研究兩曲線交點，恐怕難度會大大增加，甚至沒法求解．4．B【解析】

由值域為確定的值，得，利用對稱中心列方程求解即可【詳解】因為，又依題意知的值域為，所以得，，所以，令，得，則的圖象的對稱中心為.故選：B【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)，考查函數(shù)的對稱中心，重點考查值域的求解，易錯點是對稱中心縱坐標(biāo)錯寫為05．A【解析】

計算的中點坐標(biāo)為，圓半徑為，得到圓方程.【詳解】的中點坐標(biāo)為：，圓半徑為，圓方程為.故選：.【點睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，意在考查學(xué)生的計算能力.6．D【解析】

推導(dǎo)出，且，，，設(shè)中點為，則平面，由此能表示出該容器的體積，從而求出參數(shù)的值．【詳解】解：如圖（4），為該四棱錐的正視圖，由圖（3）可知，，且，由為等腰直角三角形可知，，設(shè)中點為，則平面，∴，∴，解得.故選：D【點睛】本題考查三視圖和錐體的體積計算公式的應(yīng)用，屬于中檔題.7．D【解析】

利用表格中的數(shù)據(jù)，可求解得到代入回歸方程，可得，再結(jié)合表格數(shù)據(jù)，即得解.【詳解】利用表格中數(shù)據(jù)，可得又，．解得故選：D【點睛】本題考查了線性回歸方程過樣本中心點的性質(zhì)，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)據(jù)處理，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.8．B【解析】

構(gòu)造長方體ABCD﹣A1B1C1D1，令平面α為面ADD1A1，底面ABCD為β，然后再在這兩個面中根據(jù)題意恰當(dāng)?shù)倪x取直線為m，n即可進行判斷．【詳解】如圖，取長方體ABCD﹣A1B1C1D1，令平面α為面ADD1A1，底面ABCD為β，直線=直線。若令A(yù)D1＝m，AB＝n，則m⊥n，但m不垂直于若m⊥，由平面平面可知，直線m垂直于平面β，所以m垂直于平面β內(nèi)的任意一條直線∴m⊥n是m⊥的必要不充分條件．故選：B．【點睛】本題考點有兩個：①考查了充分必要條件的判斷，在確定好大前提的條件下，從m⊥n?m⊥？和m⊥?m⊥n？兩方面進行判斷；②是空間的垂直關(guān)系，一般利用長方體為載體進行分析．9．D【解析】

連接，，因為，所以為異面直線與所成的角（或補角），不妨設(shè)正方體的棱長為2，取的中點為，連接，在等腰中，求出，在利用二倍角公式，求出，即可得出答案.【詳解】連接，，因為，所以為異面直線與所成的角（或補角），不妨設(shè)正方體的棱長為2，則，，在等腰中，取的中點為，連接，則，，所以，即：，所以異面直線，所成角的余弦值為.故選：D.【點睛】本題考查空間異面直線的夾角余弦值，利用了正方體的性質(zhì)和二倍角公式，還考查空間思維和計算能力.10．D【解析】

利用輔助角公式,化簡函數(shù)的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性,并采用整體法,可得結(jié)果.【詳解】因為，由，解得，即函數(shù)的增區(qū)間為，所以當(dāng)時，增區(qū)間的一個子集為.故選D.【點睛】本題考查了輔助角公式,考查正弦型函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,重點在于把握正弦函數(shù)的單調(diào)性，同時對于整體法的應(yīng)用,使問題化繁為簡,難度較易.11．B【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合特殊值進行辨析.【詳解】若2m＞2n＞1＝20，∴m＞n＞0，∴πm﹣n＞π0＝1，故B正確；而當(dāng)m，n時，檢驗可得，A、C、D都不正確，故選：B．【點睛】此題考查根據(jù)指數(shù)冪的大小關(guān)系判斷參數(shù)的大小，根據(jù)參數(shù)的大小判定指數(shù)冪或?qū)?shù)的大小關(guān)系，需要熟練掌握指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合特值法得出選項.12．C【解析】

由題意可利用等比數(shù)列的求和公式得莞草與蒲草n天后長度，進而可得：，解出即可得出．【詳解】由題意可得莞草與蒲草第n天的長度分別為據(jù)題意得：，解得2n＝12，∴n21．故選：C．【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由題知該旋轉(zhuǎn)體為兩個倒立的圓錐底對底組合在一起，根據(jù)圓錐側(cè)面積計算公式可得.【詳解】解：由題知該旋轉(zhuǎn)體為兩個倒立的圓錐底對底組合在一起，在中，，，，如下圖所示，底面圓的半徑為，則所形成的幾何體的表面積為.故答案為：.【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)體的表面積計算問題，屬于基礎(chǔ)題.14．【解析】

直接計算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：則質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間之外的產(chǎn)品件數(shù)：故答案為：【點睛】本題考查正太分布中原則，審清題意，簡單計算，屬基礎(chǔ)題.15．【解析】

先求，再根據(jù)的范圍求出即可.【詳解】由題可知，故.故答案為：.【點睛】本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的求解，涉及對數(shù)的運算，屬基礎(chǔ)題.16．【解析】

首先判斷出中間號碼的所有可能取值，由此求得基本事件的總數(shù)以及中間數(shù)字是的事件數(shù)，根據(jù)古典概型概率計算公式計算出所求概率.【詳解】根據(jù)“鐘型驗證碼”中間數(shù)字最大，然后向兩邊對稱遞減，所以中間的數(shù)字可能是.當(dāng)中間是時，其它個數(shù)字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時，其它個數(shù)字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時，其它個數(shù)字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時，其它個數(shù)字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時，其它個數(shù)字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時，其它個數(shù)字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.所以該驗證碼的中間數(shù)字是7的概率為.故答案為：【點睛】本小題主要考查古典概型概率計算，考查分類加法計數(shù)原理、分類乘法計數(shù)原理的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）分層抽樣，簡單隨機抽樣（抽簽亦可）（2）有（3）分布列見解析，【解析】

（1）根據(jù)題意可以選用分層抽樣法，或者簡單隨機抽樣法.（2）由已知條件代入公式計算出結(jié)果，進而可以得到結(jié)果.（3）由已知條件計算出的分布列，進而求出的數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）分層抽樣，簡單隨機抽樣（抽簽亦可）．（2）將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算得所以有的把握認為“此普查小區(qū)的入戶登記是否順利與普查對象的類別有關(guān)”．（3）以頻率作為概率，隨機選擇1家個體經(jīng)營戶作為普查對象，入戶登記順利的概率為．可取0，1，2，3，計算可得的分布列為：0123【點睛】本題考查了運用數(shù)學(xué)模型解答實際生活問題，運用合理的抽樣方法，計算以及數(shù)據(jù)的分布列和數(shù)學(xué)期望，需要正確運用公式進行求解，本題屬于?？碱}型，需要掌握解題方法.18．（1）當(dāng)時，遞增區(qū)間時，無遞減區(qū)間，當(dāng)時，遞增區(qū)間時，遞減區(qū)間時；（2）或.【解析】

（1）求出，對分類討論，先考慮（或）恒成立的范圍，并以此作為的分類標(biāo)準(zhǔn)，若不恒成立，求解，即可得出結(jié)論；（2）有解，即，令，轉(zhuǎn)化求函數(shù)只有一個實數(shù)解，根據(jù)（1）中的結(jié)論，即可求解.【詳解】（1），當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，，綜上，當(dāng)時，遞增區(qū)間時，無遞減區(qū)間，當(dāng)時，遞增區(qū)間時，遞減區(qū)間時；（2），令，原方程只有一個解，只需只有一個解，即求只有一個零點時，的取值范圍，由（1）得當(dāng)時，在單調(diào)遞增，且，函數(shù)只有一個零點，原方程只有一個解，當(dāng)時，由（1）得在出取得極小值，也是最小值，當(dāng)時，，此時函數(shù)只有一個零點，原方程只有一個解，當(dāng)且遞增區(qū)間時，遞減區(qū)間時；，當(dāng)，有兩個零點，即原方程有兩個解，不合題意，所以的取值范圍是或.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到單調(diào)性、零點、極值最值，考查分類討論和等價轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.19．（1）①；②8079；（2）.【解析】

（1）①時，，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出函數(shù)在處的切線方程．②由，得，由此能求出的值．（2）根據(jù)若對任意給定的，，在區(qū)間，上總存在兩個不同的，使得成立，得到函數(shù)在區(qū)間，上不單調(diào)，從而求得的取值范圍．【詳解】（1）①∵，∴∴，∴，∵，所以切線方程為.②，.令，則,.因為①,所以②,由①+②得,所以.所以.（2），當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減∵，，所以，函數(shù)在上的值域為.因為，，故，，①此時，當(dāng)變化時、的變化情況如下：—0+單調(diào)減最小值單調(diào)增∵，，∴對任意給定的，在區(qū)間上總存在兩個不同的，使得成立，當(dāng)且僅當(dāng)滿足下列條件，即令，，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減所以，對任意，有，即②對任意恒成立.由③式解得：④綜合①④可知，當(dāng)時，對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使成立.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)最值問題，會利用導(dǎo)函數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)性，會根據(jù)函數(shù)的增減性求出閉區(qū)間上函數(shù)的最值，掌握不等式恒成立時所滿足的條件．不等式恒成立常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決．20．（1）（2）與交點的極坐標(biāo)為，和【解析】

（1）先把曲線化成直角坐標(biāo)方程，再化簡成極坐標(biāo)方程；（2）聯(lián)立曲線和