高等代數(shù)課件(北大三版) 第三章 行列式

第三章行列式3.1線性方程組和行列式

3.2排列3.3n階行列式3.4子式和代數(shù)余子式行列式依行(列)展開(kāi)

3.5克拉默法則

課外學(xué)習(xí)6：行列式計(jì)算方法課外學(xué)習(xí)7：q_行列式及其性質(zhì)第三章行列式3.1線性方程組和行列式3.2排列3.1能夠作出數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的人，是具有感受數(shù)學(xué)中的秩序、和諧、對(duì)稱、整齊和神秘美等能力的人，而且只限于這種人。――龐加萊(Poincare，1854－1921)一個(gè)數(shù)學(xué)家，如果他不在某種程度上成為一個(gè)詩(shī)人，那么他就永遠(yuǎn)不可能成為一個(gè)完美的數(shù)學(xué)家。－－外爾斯特拉斯（Weierstrass，1815－1897）能夠作出數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的人，是具有感受數(shù)學(xué)中的秩序、和諧、對(duì)稱、整23.1線性方程組和行列式一、內(nèi)容分布

3.1.1二階、三階行列式的計(jì)算(對(duì)角線法則)3.1.2行列式在線性方程組中的應(yīng)用二、教學(xué)目的：1.了解二階、三階行列式的定義。2.會(huì)利用對(duì)角線法則計(jì)算二階、三階行列式。三、重點(diǎn)難點(diǎn)：利用對(duì)角線法則計(jì)算二階、三階行列式3.1線性方程組和行列式一、內(nèi)容分布33.1.1二階、三階行列式的計(jì)算(對(duì)角線法則)二階行列式我們用記號(hào)表示代數(shù)和

稱為二階行列式,即

3.1.1二階、三階行列式的計(jì)算(對(duì)角線法則)二階行列式4三階行列式我們用記號(hào)表示代數(shù)和稱為三階行列式,即主對(duì)角線法‘—’三元素乘積取“+”號(hào)；‘—’三元素乘積取“-”號(hào).三階行列式我們用記號(hào)表示代數(shù)和稱為三階行列式,即主對(duì)角線法53.1.2行列式在線性方程組中的應(yīng)用(1)如果含有兩個(gè)未知量?jī)蓚€(gè)方程的線性方程組(1)

它的系數(shù)作成的二階行列式

,那么方程組(1)有解

(2)如果含有三個(gè)未知量三個(gè)方程的線性方程組(2)

他的系數(shù)作成的三階行列式

,那么方程組(2)有解

3.1.2行列式在線性方程組中的應(yīng)用(1)如果含有兩6這里

我們的目的是要把二階和三階行列式推廣到n階行列式,然后利用這一工具來(lái)解答含有n個(gè)未知量n個(gè)方程的線性方程組.例題選講

解:由階行列式的定義有:這里我們的目的是要把二階和三階行列式推廣到n階行列式,然后73.2排列一、內(nèi)容分布

3.2.1排列、反序與對(duì)換3.2.2奇、偶排列的定義及性質(zhì)二、教學(xué)目的

了解排列、反序、對(duì)換的定義三、重點(diǎn)難點(diǎn)

求反序數(shù)3.2排列一、內(nèi)容分布83.2.1排列、反序與對(duì)換

例如:1234，2314都是四個(gè)數(shù)碼的排列。定義1n個(gè)數(shù)碼

的一個(gè)排列指的是由這n個(gè)數(shù)碼組成的一個(gè)有序組.

n個(gè)數(shù)碼的不同排列共有n！個(gè)

例如：1，2，3這三個(gè)數(shù)碼的全體不同的排列一共有3！=6個(gè)，它們是：123，132，231，213，312，321。定義2在一個(gè)排列里，如果某一個(gè)較大的數(shù)碼排在某一個(gè)較小的數(shù)碼前面，就說(shuō)這兩個(gè)數(shù)碼構(gòu)成一個(gè)反序。計(jì)算反序數(shù)的方法：看有多少個(gè)數(shù)碼排在1的前面，設(shè)為個(gè)，那么就有個(gè)數(shù)碼與1構(gòu)成反序；然后把1劃去，再看有多少個(gè)數(shù)碼排在2的前面，設(shè)為個(gè)，那么就有個(gè)數(shù)碼與2構(gòu)成反序；然后把2劃去，計(jì)算有多少個(gè)數(shù)碼在3前面，設(shè)為個(gè)，……，如此繼續(xù)下去，最后設(shè)在n前面有個(gè)3.2.1排列、反序與對(duì)換例如:1234，2314都9數(shù)碼（顯然），那么這個(gè)排列的反序數(shù)等于。

例如：在排列451362里，所以這個(gè)排列有8個(gè)序。一個(gè)排列的反序數(shù)可能是偶數(shù)也可能是奇數(shù)。有偶數(shù)個(gè)反序的排列叫做一個(gè)偶排列；有奇數(shù)個(gè)反序的排列叫做奇排列。數(shù)碼（顯然），那么這個(gè)排列的反序數(shù)等于。例如：在排列4103.2.2奇、偶排列的定義及性質(zhì)

定義3看n個(gè)數(shù)碼的一個(gè)排列，如果把這個(gè)排列里的任意兩個(gè)數(shù)碼i與j交換一下，而其余數(shù)碼保持不動(dòng)，那么就得到一個(gè)新的排列，對(duì)于排列所施行的這樣一個(gè)變換叫做一個(gè)對(duì)換，并且用符號(hào)（i，j）來(lái)表示。

定理3.2.1

是n個(gè)數(shù)碼的任意兩個(gè)排列，那么總可以通過(guò)一系列對(duì)換由證明:

我們已經(jīng)知道，通過(guò)一系列對(duì)換可以由我們只需證明，通過(guò)一系列對(duì)換可由，3.2.2奇、偶排列的定義及性質(zhì)定義3看n個(gè)數(shù)碼的11而通過(guò)一系列對(duì)換可以由，按照相反的次序施行這些對(duì)換，就可由。定理3.2.2任意一個(gè)排列經(jīng)過(guò)一個(gè)對(duì)換后的奇偶性改變.其中A與B都代表若干個(gè)數(shù)碼.施行對(duì)換得證明:我們首先看一個(gè)特殊的情形，就是被對(duì)

換的兩個(gè)數(shù)碼是相鄰的。設(shè)給定的排列為

AB

而通過(guò)一系列對(duì)換可以由，按照相反的次序施行這些對(duì)換，就可由12我們比較這兩個(gè)排列的反序數(shù).顯然經(jīng)過(guò)這個(gè)對(duì)換后,屬于A或B的數(shù)碼的位置沒(méi)有改變,因此這些數(shù)碼所構(gòu)成的反序數(shù)沒(méi)有改變.同時(shí)i，j與A或B中的數(shù)碼所構(gòu)成的反序數(shù)也沒(méi)有改變。若在給定的排列中，那么經(jīng)過(guò)對(duì)換后，i與j就構(gòu)成一個(gè)反序。因面后一排列的反序比前一排列的反序數(shù)增多一個(gè)。若在給定的排列中，那么經(jīng)過(guò)對(duì)換后，排列的反序數(shù)減少一個(gè)。不論是哪一種情形，排列的奇偶性都有改變。

AB

我們比較這兩個(gè)排列的反序數(shù).顯然經(jīng)過(guò)這個(gè)對(duì)換后,屬于A或B的13現(xiàn)在來(lái)看一般的情形。假定i與j之間有s個(gè)數(shù)碼，我們用來(lái)代表。這時(shí)給定的排列為（1）

先讓i向右移動(dòng)，依次與

交換。這樣，經(jīng)過(guò)s次相鄰的兩個(gè)數(shù)碼的對(duì)換后（1）變?yōu)樵僮宩向左移動(dòng)，依次與

交換。經(jīng)過(guò)s+1次相鄰的兩個(gè)數(shù)碼的對(duì)換后，排列變?yōu)?/p>

（2）

但（2）正是對(duì)（1）施行對(duì)換而得到的排列。因此，對(duì)（1）施行對(duì)換相當(dāng)于連續(xù)施行2s+1次相鄰數(shù)碼的對(duì)換。由1。，每經(jīng)過(guò)一次相鄰兩數(shù)碼的對(duì)換，排列都改變奇偶性。由于2s+1是一個(gè)奇數(shù)，所以（1）與（2）的奇偶性相反。現(xiàn)在來(lái)看一般的情形。假定i與j之間有s個(gè)數(shù)碼，我14定理3.2.3在n個(gè)數(shù)碼(n>1)的所有n！個(gè)排列，其中奇偶排列各占一半.即各為個(gè)。證明：設(shè)n個(gè)數(shù)碼的奇排列共有p個(gè)，而偶排列共有q個(gè)，對(duì)這p個(gè)奇排列施行同一個(gè)對(duì)換那么由定理3.2.2,我們得到p個(gè)偶排列.由于對(duì)這p個(gè)偶排列各不相等.又可以得到原來(lái)的p個(gè)奇排列,所以這p個(gè)偶排列各不相等.但我們一共只有q個(gè)偶排列,所以同樣可得因此例題選講定理3.2.3在n個(gè)數(shù)碼(n>1)的所有n！個(gè)排列，其中153.3n階行列式一、內(nèi)容分布3.3.1n階行列式的定義3.3.2行列式的性質(zhì)二、教學(xué)目的：1.掌握和理解n階行列式的定義。2.會(huì)利用定義計(jì)算一些特殊的行列式。3.掌握和理解行列式的性質(zhì)。4.熟練掌握利用性質(zhì)計(jì)算及證明行列式的技巧。三、重點(diǎn)難點(diǎn)：利用定義計(jì)算行列式利用性質(zhì)熟練計(jì)算及證明行列式3.3n階行列式一、內(nèi)容分布163.3.1n階行列式的定義定義1

組成的記號(hào)

稱為n階行列式,其中：橫排列稱為行，縱排列稱為列.任意取

個(gè)數(shù)

排成以下形式:

(1)3.3.1n階行列式的定義定義1組成的記號(hào)稱為n階行列17考察位于(1)的不同的行與不同的列上的n個(gè)元素的乘積.這種乘積可以寫成下面的形式:(2)

是1,2,…,n這n個(gè)數(shù)碼的一個(gè)這里下標(biāo)排列.反過(guò)來(lái),給了n個(gè)數(shù)碼的任意一個(gè)排列,我們也能得出這樣的一個(gè)乘積.因此,一切位于(1)的不同的行與不同的列上的n個(gè)元素的乘積一共有n！個(gè).我們用符號(hào)表示排列的反序數(shù).考察位于(1)的不同的行與不同的列上的n個(gè)元素的乘積.這種乘18定義2用符號(hào)表示的n階行列式指的是n!項(xiàng)的代數(shù)和,這些項(xiàng)是一切可能的取自(1)的不同的行與不同的列上的n個(gè)元素的乘積項(xiàng)的符號(hào)為也就是說(shuō),當(dāng)是偶排列時(shí),這一項(xiàng)的符號(hào)為正,當(dāng)是奇排列時(shí),這一項(xiàng)的符號(hào)為負(fù).定義2用符號(hào)表示的n階行列式指的是n!項(xiàng)的代數(shù)和,這些19例1我們看一個(gè)四階行列式根據(jù)定義,D是一個(gè)4!=24項(xiàng)的代數(shù)和。然而在這個(gè)行列式里，除了acfh,adeh,bdeg,bcfg這四項(xiàng)外，其余的項(xiàng)都至少含有一個(gè)因子0，因而等于0，與上面四項(xiàng)對(duì)應(yīng)的排列依次是1234,1324,4321,4231.其中第一個(gè)和第三個(gè)是偶排列,第二個(gè)和第四個(gè)是奇排列.因此例1我們看一個(gè)四階行列式根據(jù)定義,D是一個(gè)4!=2420轉(zhuǎn)置一個(gè)n階行列式如果把D的行變?yōu)榱?就得到一個(gè)新的行列式叫D的轉(zhuǎn)置行列式。轉(zhuǎn)置一個(gè)n階行列式如果把D的行變?yōu)榱?就得到一個(gè)新的行列式21引理3.3.1從n階行列式的

取出元素作乘積

（3）

這里

都是1，2，…，n這n個(gè)數(shù)碼的排列。那么這一項(xiàng)在行列式中的符號(hào)是證:如果交換乘積(3)中某兩個(gè)因子的位置,那么(3)的元素的第一個(gè)下標(biāo)和第二個(gè)下標(biāo)所成的排列同時(shí)經(jīng)過(guò)一次對(duì)換,假定經(jīng)過(guò)這樣一次對(duì)換后所得的兩個(gè)排列的反序數(shù)分別為

,那么由定理3.2.2，

都是奇數(shù)。因?yàn)閮蓚€(gè)奇數(shù)的和是一個(gè)偶數(shù)，所以

是一個(gè)偶數(shù)。因此

同時(shí)是偶數(shù)或同時(shí)是奇數(shù)，從而引理3.3.1從n階行列式的取出元素作乘積（3）這里22另一方面，由定理3.2.1，排列總可以經(jīng)過(guò)若干次對(duì)換變?yōu)?，因此，?jīng)過(guò)若干次交換因子的次序，乘積（3）可以變?yōu)椋?）

這里是n個(gè)數(shù)碼的一個(gè)排列。根據(jù)行列式的定義，乘積（4），因而乘積（3）的符號(hào)是。然而。由上面的討論可知引理被證明。另一方面，由定理3.2.1，排列總可以經(jīng)過(guò)若干次對(duì)換變?yōu)?33.3.2行列式的性質(zhì)項(xiàng)。這一項(xiàng)的元素位于D的不同的行和不同的列，所以位于D的轉(zhuǎn)置行列式行，因而也是D里和在的兩項(xiàng)顯然也是項(xiàng)的代數(shù)和，即現(xiàn)在設(shè)是n階行列式D的任意一的不同的列和不同的的一項(xiàng)，由引理3.3.1，這一項(xiàng)在里的符號(hào)都是，并且D中不同中不同的兩項(xiàng)，因?yàn)镈與的項(xiàng)數(shù)都是n！，所以D與是帶有相同符號(hào)的相同。于是有

命題3.3.2

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即3.3.2行列式的性質(zhì)項(xiàng)。這一項(xiàng)的元素位于D的不同的行和不24命題3.3.3交換一個(gè)行列式的兩行（或兩列），行列式改變符號(hào)。證設(shè)給定行列式交換D的第i行與第j行得（旁邊的i和j表示行的序數(shù)）命題3.3.3交換一個(gè)行列式的兩行（或兩列），行列25D的每一項(xiàng)可以寫成

（5）

因?yàn)檫@一項(xiàng)的元素位于的不同的行與不同的列，所以它也是的一項(xiàng)，反過(guò)來(lái)，的每一項(xiàng)也是D的一項(xiàng)，并且D的不同項(xiàng)對(duì)應(yīng)著的不同項(xiàng)，因此D與含有相同的項(xiàng)。

交換行列式兩列的情形，可以利用命題3.3.2歸結(jié)到交換兩行的情形。式的第i行變成第j行，第j行變成第i行，而列的次序并沒(méi)有改變。所以由引理3.3.1，并注意到

是一奇數(shù)，因此（5）在D的在中的符號(hào)相反，所以D與的符號(hào)相反。，然而在D1中，原行列（5）在D中的符號(hào)是

（5）在中的符號(hào)是由命題3.3.2推知，凡是行列式的對(duì)于行成立的性質(zhì)對(duì)于列也成立，反過(guò)來(lái)也是如此。D的每一項(xiàng)可以寫成（5）因?yàn)檫@一項(xiàng)的元素位于的不26推論3.3.4如果一個(gè)行列式有兩行（列）完全相同，那么這個(gè)行列式等于零。證設(shè)行列式D的第i行與第j行(i≠j)相同，由命題3.3.3，交換這兩行后，行列式改變符號(hào)，所以新的行列式等于－D，但另一方面，交換相同的兩行，行列式并沒(méi)有改變由此得D=－D或2D=0，所以D=0。命題3.3.5用數(shù)k乘行列式的某一行（列），等于以數(shù)k乘此行列式。即如果設(shè)，則推論3.3.4如果一個(gè)行列式有兩行（列）完全相同，那么這27證設(shè)把行列式D的第i行的元素乘以k而得到的行列式，那么的第i行的元素是D的每一項(xiàng)可以寫作（6）

中對(duì)應(yīng)的項(xiàng)可以寫作（7）

（6）在D中的符號(hào)與（7）在中的符號(hào)都是因此，推論3.3.6如果行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外邊。證設(shè)把行列式D的第i行的元素乘以k而得到的行列式28推論3.3.7如果行列式的某一行（列）的元素全部是零，那么這個(gè)行列式等于零。推論3.3.8如果行列式有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素成比例，則行列式的值等于零。證設(shè)行列式D的第i行與第j行的對(duì)應(yīng)元素成比例，那么這兩行的對(duì)應(yīng)元素只差一個(gè)因子k，即因此由推論3.3.6，可以把公因子k提到行列式符號(hào)的外邊，于是得到一個(gè)有兩行完全相同的行列式；由推論3.3.4，這個(gè)行列式等于零。推論3.3.7如果行列式的某一行（列）的元素全部是零，29命題3.3.9如果將行列式中的某一行（列）的每一個(gè)元素都寫成兩個(gè)數(shù)的和，則此行列式可以寫成兩個(gè)行列式的和，這兩個(gè)行列式分別以這兩個(gè)數(shù)為所在行（列）對(duì)應(yīng)位置的元素，其它位置的元素與原行列式相同。即如果,則

。命題3.3.9如果將行列式中的某一行（列）的每一個(gè)元30證D的每一項(xiàng)可以寫成式，它的符號(hào)是的形。去掉括弧，得但一切項(xiàng)附以原有符號(hào)后的和等于行列式一切項(xiàng)附以原有符號(hào)后的和等于行列式因此

推論如果將行列式的某一行（列）的每個(gè)元素都寫成m個(gè)數(shù)（m為大于2的整數(shù)）的和，則此行列式可以寫成m個(gè)行列式的和。證D的每一項(xiàng)可以寫成式，它的符號(hào)是的形。去掉括弧，31命題3.3.10將行列式的某一行（列）的所有元素同乘以數(shù)k后加于另一行（列）對(duì)應(yīng)位置的元素上，行列式的值不變。證設(shè)給定行列式把D的第j行的元素乘以同一個(gè)數(shù)k后,加到第i行的對(duì)應(yīng)元素上,我們得到行列式:命題3.3.10將行列式的某一行（列）的所有元素同乘以數(shù)32由命題3.3.9，此處的第i行與第j列成比例；所以由推論3.3.8，由命題3.3.9，此處的第i行與第j列成比例；所33例2計(jì)算行列式解：根據(jù)例題3.3.10,從D的第二列和第三列的元素減去第一列的對(duì)應(yīng)元素(即把D的第一列的元素同乘以－１后,加到第二列和第三列的對(duì)應(yīng)元素上),得這個(gè)行列式有兩列成比例,所以根據(jù)推論3.3.8,D=0.例2計(jì)算行列式解：根據(jù)例題3.3.10,從D的第二34例3計(jì)算n階行列式解:我們看到,D的每一列的元素的和都是n－１．把第二，第三，…，第n行都加到第一行上，得例3計(jì)算n階行列式解:我們看到,D的每一列的元素的35根據(jù)推論３.３.６,提出第一行的公因子n－１,得由第二,第三,…,第n行減去第一行,得由行列式定義,易見(jiàn)后一行列式等于對(duì)角線上元素的乘積所以

根據(jù)推論３.３.６,提出第一行的公因子n－１,得由第二,第三36練習(xí)選講：練習(xí)選講：37高等代數(shù)課件(北大三版)第三章行列式38高等代數(shù)課件(北大三版)第三章行列式393.4子式和代數(shù)余子式行列式依行(列)展開(kāi)一、內(nèi)容分布

3.4.1子式和代數(shù)余子式3.4.2行列式的依行依列展開(kāi)定理3.4.3拉普拉斯定理二、教學(xué)目的：1.掌握和理解子式和代數(shù)余子式的定義2.熟練掌握利用行列式的依行依列展開(kāi)定理計(jì)算及證明行列式的技巧。三、重點(diǎn)難點(diǎn)：利用行列式的依行依列展開(kāi)定理熟練計(jì)算及證明行列式3.4子式和代數(shù)余子式行列式依行(列)展開(kāi)一、內(nèi)容分布403.4.1．余子式與代數(shù)余子式定義1在一個(gè)n階行列式D中任意取定k行和k列.位于這些行列相交處的元素所構(gòu)成的k階行列式叫做行列式D的一個(gè)k階子式.例1在四階行列式中,取定第二行和第三行,第一列和第四列.那么位于這些行列的相交處的元素就構(gòu)成D的一個(gè)二階子式3.4.1．余子式與代數(shù)余子式定義1在一個(gè)n階行列式D中41定義2n(n>1)階行列式的某一元素的余子式指的是在D中劃去所在行和列后所余下的n－1階子式.例2例1的四階行列式的元素的余子式是定義2n(n>1)階行列式的某一元素的余子式42定義3n階行列式D的元素的余子式附以符號(hào)后,叫做元素的代數(shù)余子式.元素的代數(shù)余子式用符號(hào)來(lái)表示:例3例1中的四階行列式D的元素的代數(shù)余子式定義3n階行列式D的元素的余子式43定理3.4.1若在一個(gè)n階行列式中,第i行(或第j列)的元素除外都是零,那么這個(gè)行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積:證我們只對(duì)行來(lái)證明這個(gè)定理1)先假定D和第一行的元素除外都是0，這時(shí)定理3.4.1若在一個(gè)n階行列式中,第i行(或第j列)44我們要證明：也就是說(shuō)：子式的每一項(xiàng)都可以寫作（1）我們要證明：也就是說(shuō)：子式的每一項(xiàng)都可以寫作45此處是2，3，…，n這n－１個(gè)數(shù)碼的一個(gè)排列，我們看項(xiàng)（1）與元素的乘積（2）這一乘積的元素位在D的不同的行與不同的列上，因此它是D的一項(xiàng)，反過(guò)來(lái)，由于行列式D的每一項(xiàng)都含有第一行的一個(gè)元素，而第一行的元素除外都是零，因此D的每一項(xiàng)都可以寫成（2）的形式。這就是說(shuō)，D的每一項(xiàng)都是與它的子式的某一項(xiàng)的乘積，又的不同項(xiàng)是D的不同項(xiàng)，因此D與有相同的項(xiàng)。乘積（2）在D中的符號(hào)是此處是2，3，…，n這n－46另一方面，乘積（2）在的符號(hào)就是（1）在中的符號(hào)。乘積（1）在元素既然位在D的第2，3，…，n行與在第列，因此它位在的第1，2，…，n－１行與列，所以（1）在

中的符號(hào)應(yīng)該是。顯然，，這樣，乘積（2）在

中的符號(hào)與在D中的符號(hào)一致。所以2)現(xiàn)在我們來(lái)看一般的情形，設(shè)另一方面，乘積（2）在的符號(hào)就是（1）47我們變動(dòng)行列式D的行列，使位于第一行與第一列，并且保持的余子式不變。

為了達(dá)到這一目的，我們把D的第i行依次與第i－1，i－2，…，2，1行交換，這樣，一共經(jīng)過(guò)了i－1次交換兩行的步驟，我們就把D的第i行換到第一行的位置。然后再把第j列依次與第j－1，j－2，…，2，1列交換，一共經(jīng)過(guò)了j－1次交換兩列的步驟，就被交換到第一行與第一列的位置上，這時(shí)，D變?yōu)橄旅嫘问降男辛惺剑何覀冏儎?dòng)行列式D的行列，使位于第一48是由D經(jīng)過(guò)（i－1）+(j－1)次換行換列的步驟而得到的。由命題3.3.3，交換行列式的兩行或兩列，行列式改變符號(hào)，因此這樣，定理得到證明。是由D經(jīng)過(guò)（i－1）+(j－1)次換行換列的步驟而493.4.2行列式的依行依列展開(kāi)定理3.4.2n階行列式等于它的任意一行(列)的各元素與其對(duì)應(yīng)代數(shù)余子式乘積的和,即證我們只對(duì)行來(lái)證明，即證明（3），先把行列式D寫成以下形式：3.4.2行列式的依行依列展開(kāi)定理3.4.2n階行列式50也就是說(shuō)，把D的第i行的每一元素寫成n項(xiàng)的和。根據(jù)命題3.3.9，D等于n個(gè)行列式的和：在這n個(gè)行列式的每一個(gè)中，除了第i行外，其余的行都與D的相應(yīng)行相同。因此，每一行列式的第i行的元素的代數(shù)余子式與D的第i行的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式相同。這樣，由定理3.4.1，也就是說(shuō)，把D的第i行的每一元素寫成n項(xiàng)的和。根據(jù)命題3.351定理3.4.3n階行列式的某一行(列)的元素與另一行(列)對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積的和等于零,即（5）

（6）

證我們只證明等式（5）?？葱辛惺蕉ɡ?.4.3n階行列式的某一52的第i行與第j行完全相同，所以=0。另一方面，與D僅有第j行不同，因此的第j行的元素的代數(shù)余子式與D的第j行的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式相同，把依第j行展開(kāi)，得因而的第i行與第j行完全相同，所以=0。另一方面53例4計(jì)算四階行列式在這個(gè)行列式里，第三行已有一個(gè)元素是零，由第一列減去第三列的二倍，再把第三列加到第四列上，得：例4計(jì)算四階行列式在這個(gè)行列式里，第三行已有一個(gè)元素是零54根據(jù)定理3.4.1把所得的三階行列式的第一行加到第二行，得：所以D=40根據(jù)定理3.4.1把所得的三階行列式的第一行加到第二行，得55例5計(jì)算n階行列式按第一行展開(kāi)，得：例5計(jì)算n階行列式按第一行展開(kāi)，得：56這里的第一個(gè)n－1階行列式與有相同的形式，把它們記作；第二個(gè)n－1階行列式等于。所以這個(gè)式子對(duì)于任何都成立，因此有但,所以這里的第一個(gè)n－1階行列式與有相同的形式，把它們57例6計(jì)算四階行列式這個(gè)行列式叫做一個(gè)n階范德蒙德(Vandermonde)行列式.由最后一行開(kāi)始，每一行減去它的相鄰的前一行乘以，得例6計(jì)算四階行列式這個(gè)行列式叫做一個(gè)n階范德蒙德(Va58由定理3.4.1

提取每列的公因子后，得由定理3.4.1提取每列的公因子后，得59最后的因子是一個(gè)n-1階的范德蒙德行列式。我們用代表它：同樣得此處是一個(gè)n-2階的范德蒙德行列式。如此繼續(xù)下去，最后得最后的因子是一個(gè)n-1階的范德蒙德行列式。我們用60練習(xí)題：

練習(xí)題：61高等代數(shù)課件(北大三版)第三章行列式62高等代數(shù)課件(北大三版)第三章行列式633.5克拉默法則一、內(nèi)容分布

3.5.1齊次與非齊次線性方程組的概念3.5.2克萊姆法則3.5.3齊次線性方程組解的定理二、教學(xué)目的：1.掌握和理解齊次與非齊次線性方程組的概念。2.熟練掌握克萊姆法則。3熟練掌握齊次線性方程組解的定理三、重點(diǎn)難點(diǎn)：利用克萊姆法則求線性方程組的解及證明一些相關(guān)問(wèn)題。3.5克拉默法則一、內(nèi)容分布643.5.1.齊次與非齊次線性方程組的概念含有n個(gè)方程的n元線性方程組的一般形式為（1.9）

它的系數(shù)構(gòu)成的行列式（1.10）

稱為方程組（1.9）的系數(shù)行列式。3.5.1.齊次與非齊次線性方程組的概念含有n個(gè)方程的n65如果線性方程組（1.9）的常數(shù)項(xiàng)為零，即稱為齊次線性方程組。如果線性方程組（1.9）的常數(shù)項(xiàng)為零，即稱為齊次線性方程組。663.5.2．克萊姆法則定理3.5.1(克萊姆法則)線性方程組(1.9)當(dāng)其系數(shù)行列式時(shí),有且僅有唯一解此處是將系數(shù)行列式中第j列的元素對(duì)應(yīng)地?fù)Q為方程組的常數(shù)項(xiàng)后得到的n階行列式.證時(shí)是顯然的.設(shè).令是整數(shù)1，2，…，中的任意一個(gè).分別以乘方程組（1）的第一，第二，…，第個(gè)方程，然后相加，得3.5.2．克萊姆法則定理3.5.1(克萊姆法則)線性67由定理3.4.2和3.4.3，的系數(shù)等于D而的系數(shù)都是零；因此等式左端等于，而等式右端剛好是階行列式由定理3.4.2和3.4.3，的系數(shù)等于D而68這樣，我們得到令我們得到方程組（3）

方程組（1）的每一解都是方程組（3）的解.事實(shí)上，設(shè)是方程組（1）的一個(gè)解。那么在（1）中把代以，就得到一組等式。對(duì)于這一組等式施以由方程組（1）到方程組（3）的變換，顯然得到下面的一組等式：這就是說(shuō)，也是方程組（3）的一解。這樣，我們得到令我69當(dāng)時(shí)，方程組（3）有唯一解，就是（2）。因此方程組（1）也最多有這一個(gè)解。我們證明（2）是（1）的解。為此，把（2）代入方程組（1），那么（1）的第個(gè)方程的左端變?yōu)槎?jì)算出來(lái)，我們得到當(dāng)時(shí)，方程組（3）有唯一解，70這里我們應(yīng)用了定理3.4.2和3.4.3。這就是說(shuō)，（2）是方程組（1）得解。因此，當(dāng)時(shí)，方程組（1）有且僅有一個(gè)解，這個(gè)解由公式（2）給出。這里我們應(yīng)用了定理3.4.2和3.4.3。這就是說(shuō)，（2）71例解線性方程組解：這個(gè)方程組的行列式因?yàn)椋覀兛梢詰?yīng)用克拉默規(guī)則。再計(jì)算以下的行列式：例解線性方程組解：這個(gè)方程組的行列式因?yàn)?2由克拉默規(guī)則，得方程組的解是注意：克拉默規(guī)則只有在時(shí)才能應(yīng)用。由克拉默規(guī)則，得方程組的解是注意：克拉默規(guī)則只有在733.5.3．齊次線性方程組解的定理定理3.5.2如果齊次線性方程組(1.13)的系數(shù)行列式,則它僅有零解.練習(xí)選講：3.5.3．齊次線性方程組解的定理定理3.5.2如果齊次74第三章行列式3.1線性方程組和行列式

3.2排列3.3n階行列式3.4子式和代數(shù)余子式行列式依行(列)展開(kāi)

3.5克拉默法則

課外學(xué)習(xí)6：行列式計(jì)算方法課外學(xué)習(xí)7：q_行列式及其性質(zhì)第三章行列式3.1線性方程組和行列式3.2排列3.75能夠作出數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的人，是具有感受數(shù)學(xué)中的秩序、和諧、對(duì)稱、整齊和神秘美等能力的人，而且只限于這種人。――龐加萊(Poincare，1854－1921)一個(gè)數(shù)學(xué)家，如果他不在某種程度上成為一個(gè)詩(shī)人，那么他就永遠(yuǎn)不可能成為一個(gè)完美的數(shù)學(xué)家。－－外爾斯特拉斯（Weierstrass，1815－1897）能夠作出數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的人，是具有感受數(shù)學(xué)中的秩序、和諧、對(duì)稱、整763.1線性方程組和行列式一、內(nèi)容分布

3.1.1二階、三階行列式的計(jì)算(對(duì)角線法則)3.1.2行列式在線性方程組中的應(yīng)用二、教學(xué)目的：1.了解二階、三階行列式的定義。2.會(huì)利用對(duì)角線法則計(jì)算二階、三階行列式。三、重點(diǎn)難點(diǎn)：利用對(duì)角線法則計(jì)算二階、三階行列式3.1線性方程組和行列式一、內(nèi)容分布773.1.1二階、三階行列式的計(jì)算(對(duì)角線法則)二階行列式我們用記號(hào)表示代數(shù)和

稱為二階行列式,即

3.1.1二階、三階行列式的計(jì)算(對(duì)角線法則)二階行列式78三階行列式我們用記號(hào)表示代數(shù)和稱為三階行列式,即主對(duì)角線法‘—’三元素乘積取“+”號(hào)；‘—’三元素乘積取“-”號(hào).三階行列式我們用記號(hào)表示代數(shù)和稱為三階行列式,即主對(duì)角線法793.1.2行列式在線性方程組中的應(yīng)用(1)如果含有兩個(gè)未知量?jī)蓚€(gè)方程的線性方程組(1)

它的系數(shù)作成的二階行列式

,那么方程組(1)有解

(2)如果含有三個(gè)未知量三個(gè)方程的線性方程組(2)

他的系數(shù)作成的三階行列式

,那么方程組(2)有解

3.1.2行列式在線性方程組中的應(yīng)用(1)如果含有兩80這里

我們的目的是要把二階和三階行列式推廣到n階行列式,然后利用這一工具來(lái)解答含有n個(gè)未知量n個(gè)方程的線性方程組.例題選講

解:由階行列式的定義有:這里我們的目的是要把二階和三階行列式推廣到n階行列式,然后813.2排列一、內(nèi)容分布

3.2.1排列、反序與對(duì)換3.2.2奇、偶排列的定義及性質(zhì)二、教學(xué)目的

了解排列、反序、對(duì)換的定義三、重點(diǎn)難點(diǎn)

求反序數(shù)3.2排列一、內(nèi)容分布823.2.1排列、反序與對(duì)換

例如:1234，2314都是四個(gè)數(shù)碼的排列。定義1n個(gè)數(shù)碼

的一個(gè)排列指的是由這n個(gè)數(shù)碼組成的一個(gè)有序組.

n個(gè)數(shù)碼的不同排列共有n！個(gè)

例如：1，2，3這三個(gè)數(shù)碼的全體不同的排列一共有3！=6個(gè)，它們是：123，132，231，213，312，321。定義2在一個(gè)排列里，如果某一個(gè)較大的數(shù)碼排在某一個(gè)較小的數(shù)碼前面，就說(shuō)這兩個(gè)數(shù)碼構(gòu)成一個(gè)反序。計(jì)算反序數(shù)的方法：看有多少個(gè)數(shù)碼排在1的前面，設(shè)為個(gè)，那么就有個(gè)數(shù)碼與1構(gòu)成反序；然后把1劃去，再看有多少個(gè)數(shù)碼排在2的前面，設(shè)為個(gè)，那么就有個(gè)數(shù)碼與2構(gòu)成反序；然后把2劃去，計(jì)算有多少個(gè)數(shù)碼在3前面，設(shè)為個(gè)，……，如此繼續(xù)下去，最后設(shè)在n前面有個(gè)3.2.1排列、反序與對(duì)換例如:1234，2314都83數(shù)碼（顯然），那么這個(gè)排列的反序數(shù)等于。

例如：在排列451362里，所以這個(gè)排列有8個(gè)序。一個(gè)排列的反序數(shù)可能是偶數(shù)也可能是奇數(shù)。有偶數(shù)個(gè)反序的排列叫做一個(gè)偶排列；有奇數(shù)個(gè)反序的排列叫做奇排列。數(shù)碼（顯然），那么這個(gè)排列的反序數(shù)等于。例如：在排列4843.2.2奇、偶排列的定義及性質(zhì)

定義3看n個(gè)數(shù)碼的一個(gè)排列，如果把這個(gè)排列里的任意兩個(gè)數(shù)碼i與j交換一下，而其余數(shù)碼保持不動(dòng)，那么就得到一個(gè)新的排列，對(duì)于排列所施行的這樣一個(gè)變換叫做一個(gè)對(duì)換，并且用符號(hào)（i，j）來(lái)表示。

定理3.2.1

是n個(gè)數(shù)碼的任意兩個(gè)排列，那么總可以通過(guò)一系列對(duì)換由證明:

我們已經(jīng)知道，通過(guò)一系列對(duì)換可以由我們只需證明，通過(guò)一系列對(duì)換可由，3.2.2奇、偶排列的定義及性質(zhì)定義3看n個(gè)數(shù)碼的85而通過(guò)一系列對(duì)換可以由，按照相反的次序施行這些對(duì)換，就可由。定理3.2.2任意一個(gè)排列經(jīng)過(guò)一個(gè)對(duì)換后的奇偶性改變.其中A與B都代表若干個(gè)數(shù)碼.施行對(duì)換得證明:我們首先看一個(gè)特殊的情形，就是被對(duì)

換的兩個(gè)數(shù)碼是相鄰的。設(shè)給定的排列為

AB

而通過(guò)一系列對(duì)換可以由，按照相反的次序施行這些對(duì)換，就可由86我們比較這兩個(gè)排列的反序數(shù).顯然經(jīng)過(guò)這個(gè)對(duì)換后,屬于A或B的數(shù)碼的位置沒(méi)有改變,因此這些數(shù)碼所構(gòu)成的反序數(shù)沒(méi)有改變.同時(shí)i，j與A或B中的數(shù)碼所構(gòu)成的反序數(shù)也沒(méi)有改變。若在給定的排列中，那么經(jīng)過(guò)對(duì)換后，i與j就構(gòu)成一個(gè)反序。因面后一排列的反序比前一排列的反序數(shù)增多一個(gè)。若在給定的排列中，那么經(jīng)過(guò)對(duì)換后，排列的反序數(shù)減少一個(gè)。不論是哪一種情形，排列的奇偶性都有改變。

AB

我們比較這兩個(gè)排列的反序數(shù).顯然經(jīng)過(guò)這個(gè)對(duì)換后,屬于A或B的87現(xiàn)在來(lái)看一般的情形。假定i與j之間有s個(gè)數(shù)碼，我們用來(lái)代表。這時(shí)給定的排列為（1）

先讓i向右移動(dòng)，依次與

交換。這樣，經(jīng)過(guò)s次相鄰的兩個(gè)數(shù)碼的對(duì)換后（1）變?yōu)樵僮宩向左移動(dòng)，依次與

交換。經(jīng)過(guò)s+1次相鄰的兩個(gè)數(shù)碼的對(duì)換后，排列變?yōu)?/p>

（2）

但（2）正是對(duì)（1）施行對(duì)換而得到的排列。因此，對(duì)（1）施行對(duì)換相當(dāng)于連續(xù)施行2s+1次相鄰數(shù)碼的對(duì)換。由1。，每經(jīng)過(guò)一次相鄰兩數(shù)碼的對(duì)換，排列都改變奇偶性。由于2s+1是一個(gè)奇數(shù)，所以（1）與（2）的奇偶性相反?，F(xiàn)在來(lái)看一般的情形。假定i與j之間有s個(gè)數(shù)碼，我88定理3.2.3在n個(gè)數(shù)碼(n>1)的所有n！個(gè)排列，其中奇偶排列各占一半.即各為個(gè)。證明：設(shè)n個(gè)數(shù)碼的奇排列共有p個(gè)，而偶排列共有q個(gè)，對(duì)這p個(gè)奇排列施行同一個(gè)對(duì)換那么由定理3.2.2,我們得到p個(gè)偶排列.由于對(duì)這p個(gè)偶排列各不相等.又可以得到原來(lái)的p個(gè)奇排列,所以這p個(gè)偶排列各不相等.但我們一共只有q個(gè)偶排列,所以同樣可得因此例題選講定理3.2.3在n個(gè)數(shù)碼(n>1)的所有n！個(gè)排列，其中893.3n階行列式一、內(nèi)容分布3.3.1n階行列式的定義3.3.2行列式的性質(zhì)二、教學(xué)目的：1.掌握和理解n階行列式的定義。2.會(huì)利用定義計(jì)算一些特殊的行列式。3.掌握和理解行列式的性質(zhì)。4.熟練掌握利用性質(zhì)計(jì)算及證明行列式的技巧。三、重點(diǎn)難點(diǎn)：利用定義計(jì)算行列式利用性質(zhì)熟練計(jì)算及證明行列式3.3n階行列式一、內(nèi)容分布903.3.1n階行列式的定義定義1

組成的記號(hào)

稱為n階行列式,其中：橫排列稱為行，縱排列稱為列.任意取

個(gè)數(shù)

排成以下形式:

(1)3.3.1n階行列式的定義定義1組成的記號(hào)稱為n階行列91考察位于(1)的不同的行與不同的列上的n個(gè)元素的乘積.這種乘積可以寫成下面的形式:(2)

是1,2,…,n這n個(gè)數(shù)碼的一個(gè)這里下標(biāo)排列.反過(guò)來(lái),給了n個(gè)數(shù)碼的任意一個(gè)排列,我們也能得出這樣的一個(gè)乘積.因此,一切位于(1)的不同的行與不同的列上的n個(gè)元素的乘積一共有n！個(gè).我們用符號(hào)表示排列的反序數(shù).考察位于(1)的不同的行與不同的列上的n個(gè)元素的乘積.這種乘92定義2用符號(hào)表示的n階行列式指的是n!項(xiàng)的代數(shù)和,這些項(xiàng)是一切可能的取自(1)的不同的行與不同的列上的n個(gè)元素的乘積項(xiàng)的符號(hào)為也就是說(shuō),當(dāng)是偶排列時(shí),這一項(xiàng)的符號(hào)為正,當(dāng)是奇排列時(shí),這一項(xiàng)的符號(hào)為負(fù).定義2用符號(hào)表示的n階行列式指的是n!項(xiàng)的代數(shù)和,這些93例1我們看一個(gè)四階行列式根據(jù)定義,D是一個(gè)4!=24項(xiàng)的代數(shù)和。然而在這個(gè)行列式里，除了acfh,adeh,bdeg,bcfg這四項(xiàng)外，其余的項(xiàng)都至少含有一個(gè)因子0，因而等于0，與上面四項(xiàng)對(duì)應(yīng)的排列依次是1234,1324,4321,4231.其中第一個(gè)和第三個(gè)是偶排列,第二個(gè)和第四個(gè)是奇排列.因此例1我們看一個(gè)四階行列式根據(jù)定義,D是一個(gè)4!=2494轉(zhuǎn)置一個(gè)n階行列式如果把D的行變?yōu)榱?就得到一個(gè)新的行列式叫D的轉(zhuǎn)置行列式。轉(zhuǎn)置一個(gè)n階行列式如果把D的行變?yōu)榱?就得到一個(gè)新的行列式95引理3.3.1從n階行列式的

取出元素作乘積

（3）

這里

都是1，2，…，n這n個(gè)數(shù)碼的排列。那么這一項(xiàng)在行列式中的符號(hào)是證:如果交換乘積(3)中某兩個(gè)因子的位置,那么(3)的元素的第一個(gè)下標(biāo)和第二個(gè)下標(biāo)所成的排列同時(shí)經(jīng)過(guò)一次對(duì)換,假定經(jīng)過(guò)這樣一次對(duì)換后所得的兩個(gè)排列的反序數(shù)分別為

,那么由定理3.2.2，

都是奇數(shù)。因?yàn)閮蓚€(gè)奇數(shù)的和是一個(gè)偶數(shù)，所以

是一個(gè)偶數(shù)。因此

同時(shí)是偶數(shù)或同時(shí)是奇數(shù)，從而引理3.3.1從n階行列式的取出元素作乘積（3）這里96另一方面，由定理3.2.1，排列總可以經(jīng)過(guò)若干次對(duì)換變?yōu)椋虼?，?jīng)過(guò)若干次交換因子的次序，乘積（3）可以變?yōu)椋?）

這里是n個(gè)數(shù)碼的一個(gè)排列。根據(jù)行列式的定義，乘積（4），因而乘積（3）的符號(hào)是。然而。由上面的討論可知引理被證明。另一方面，由定理3.2.1，排列總可以經(jīng)過(guò)若干次對(duì)換變?yōu)?73.3.2行列式的性質(zhì)項(xiàng)。這一項(xiàng)的元素位于D的不同的行和不同的列，所以位于D的轉(zhuǎn)置行列式行，因而也是D里和在的兩項(xiàng)顯然也是項(xiàng)的代數(shù)和，即現(xiàn)在設(shè)是n階行列式D的任意一的不同的列和不同的的一項(xiàng)，由引理3.3.1，這一項(xiàng)在里的符號(hào)都是，并且D中不同中不同的兩項(xiàng)，因?yàn)镈與的項(xiàng)數(shù)都是n！，所以D與是帶有相同符號(hào)的相同。于是有

命題3.3.2

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即3.3.2行列式的性質(zhì)項(xiàng)。這一項(xiàng)的元素位于D的不同的行和不98命題3.3.3交換一個(gè)行列式的兩行（或兩列），行列式改變符號(hào)。證設(shè)給定行列式交換D的第i行與第j行得（旁邊的i和j表示行的序數(shù)）命題3.3.3交換一個(gè)行列式的兩行（或兩列），行列99D的每一項(xiàng)可以寫成

（5）

因?yàn)檫@一項(xiàng)的元素位于的不同的行與不同的列，所以它也是的一項(xiàng)，反過(guò)來(lái)，的每一項(xiàng)也是D的一項(xiàng)，并且D的不同項(xiàng)對(duì)應(yīng)著的不同項(xiàng)，因此D與含有相同的項(xiàng)。

交換行列式兩列的情形，可以利用命題3.3.2歸結(jié)到交換兩行的情形。式的第i行變成第j行，第j行變成第i行，而列的次序并沒(méi)有改變。所以由引理3.3.1，并注意到

是一奇數(shù)，因此（5）在D的在中的符號(hào)相反，所以D與的符號(hào)相反。，然而在D1中，原行列（5）在D中的符號(hào)是

（5）在中的符號(hào)是由命題3.3.2推知，凡是行列式的對(duì)于行成立的性質(zhì)對(duì)于列也成立，反過(guò)來(lái)也是如此。D的每一項(xiàng)可以寫成（5）因?yàn)檫@一項(xiàng)的元素位于的不100推論3.3.4如果一個(gè)行列式有兩行（列）完全相同，那么這個(gè)行列式等于零。證設(shè)行列式D的第i行與第j行(i≠j)相同，由命題3.3.3，交換這兩行后，行列式改變符號(hào)，所以新的行列式等于－D，但另一方面，交換相同的兩行，行列式并沒(méi)有改變由此得D=－D或2D=0，所以D=0。命題3.3.5用數(shù)k乘行列式的某一行（列），等于以數(shù)k乘此行列式。即如果設(shè)，則推論3.3.4如果一個(gè)行列式有兩行（列）完全相同，那么這101證設(shè)把行列式D的第i行的元素乘以k而得到的行列式，那么的第i行的元素是D的每一項(xiàng)可以寫作（6）

中對(duì)應(yīng)的項(xiàng)可以寫作（7）

（6）在D中的符號(hào)與（7）在中的符號(hào)都是因此，推論3.3.6如果行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外邊。證設(shè)把行列式D的第i行的元素乘以k而得到的行列式102推論3.3.7如果行列式的某一行（列）的元素全部是零，那么這個(gè)行列式等于零。推論3.3.8如果行列式有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素成比例，則行列式的值等于零。證設(shè)行列式D的第i行與第j行的對(duì)應(yīng)元素成比例，那么這兩行的對(duì)應(yīng)元素只差一個(gè)因子k，即因此由推論3.3.6，可以把公因子k提到行列式符號(hào)的外邊，于是得到一個(gè)有兩行完全相同的行列式；由推論3.3.4，這個(gè)行列式等于零。推論3.3.7如果行列式的某一行（列）的元素全部是零，103命題3.3.9如果將行列式中的某一行（列）的每一個(gè)元素都寫成兩個(gè)數(shù)的和，則此行列式可以寫成兩個(gè)行列式的和，這兩個(gè)行列式分別以這兩個(gè)數(shù)為所在行（列）對(duì)應(yīng)位置的元素，其它位置的元素與原行列式相同。即如果,則

。命題3.3.9如果將行列式中的某一行（列）的每一個(gè)元104證D的每一項(xiàng)可以寫成式，它的符號(hào)是的形。去掉括弧，得但一切項(xiàng)附以原有符號(hào)后的和等于行列式一切項(xiàng)附以原有符號(hào)后的和等于行列式因此

推論如果將行列式的某一行（列）的每個(gè)元素都寫成m個(gè)數(shù)（m為大于2的整數(shù)）的和，則此行列式可以寫成m個(gè)行列式的和。證D的每一項(xiàng)可以寫成式，它的符號(hào)是的形。去掉括弧，105命題3.3.10將行列式的某一行（列）的所有元素同乘以數(shù)k后加于另一行（列）對(duì)應(yīng)位置的元素上，行列式的值不變。證設(shè)給定行列式把D的第j行的元素乘以同一個(gè)數(shù)k后,加到第i行的對(duì)應(yīng)元素上,我們得到行列式:命題3.3.10將行列式的某一行（列）的所有元素同乘以數(shù)106由命題3.3.9，此處的第i行與第j列成比例；所以由推論3.3.8，由命題3.3.9，此處的第i行與第j列成比例；所107例2計(jì)算行列式解：根據(jù)例題3.3.10,從D的第二列和第三列的元素減去第一列的對(duì)應(yīng)元素(即把D的第一列的元素同乘以－１后,加到第二列和第三列的對(duì)應(yīng)元素上),得這個(gè)行列式有兩列成比例,所以根據(jù)推論3.3.8,D=0.例2計(jì)算行列式解：根據(jù)例題3.3.10,從D的第二108例3計(jì)算n階行列式解:我們看到,D的每一列的元素的和都是n－１．把第二，第三，…，第n行都加到第一行上，得例3計(jì)算n階行列式解:我們看到,D的每一列的元素的109根據(jù)推論３.３.６,提出第一行的公因子n－１,得由第二,第三,…,第n行減去第一行,得由行列式定義,易見(jiàn)后一行列式等于對(duì)角線上元素的乘積所以

根據(jù)推論３.３.６,提出第一行的公因子n－１,得由第二,第三110練習(xí)選講：練習(xí)選講：111高等代數(shù)課件(北大三版)第三章行列式112高等代數(shù)課件(北大三版)第三章行列式1133.4子式和代數(shù)余子式行列式依行(列)展開(kāi)一、內(nèi)容分布

3.4.1子式和代數(shù)余子式3.4.2行列式的依行依列展開(kāi)定理3.4.3拉普拉斯定理二、教學(xué)目的：1.掌握和理解子式和代數(shù)余子式的定義2.熟練掌握利用行列式的依行依列展開(kāi)定理計(jì)算及證明行列式的技巧。三、重點(diǎn)難點(diǎn)：利用行列式的依行依列展開(kāi)定理熟練計(jì)算及證明行列式3.4子式和代數(shù)余子式行列式依行(列)展開(kāi)一、內(nèi)容分布1143.4.1．余子式與代數(shù)余子式定義1在一個(gè)n階行列式D中任意取定k行和k列.位于這些行列相交處的元素所構(gòu)成的k階行列式叫做行列式D的一個(gè)k階子式.例1在四階行列式中,取定第二行和第三行,第一列和第四列.那么位于這些行列的相交處的元素就構(gòu)成D的一個(gè)二階子式3.4.1．余子式與代數(shù)余子式定義1在一個(gè)n階行列式D中115定義2n(n>1)階行列式的某一元素的余子式指的是在D中劃去所在行和列后所余下的n－1階子式.例2例1的四階行列式的元素的余子式是定義2n(n>1)階行列式的某一元素的余子式116定義3n階行列式D的元素的余子式附以符號(hào)后,叫做元素的代數(shù)余子式.元素的代數(shù)余子式用符號(hào)來(lái)表示:例3例1中的四階行列式D的元素的代數(shù)余子式定義3n階行列式D的元素的余子式117定理3.4.1若在一個(gè)n階行列式中,第i行(或第j列)的元素除外都是零,那么這個(gè)行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積:證我們只對(duì)行來(lái)證明這個(gè)定理1)先假定D和第一行的元素除外都是0，這時(shí)定理3.4.1若在一個(gè)n階行列式中,第i行(或第j列)118我們要證明：也就是說(shuō)：子式的每一項(xiàng)都可以寫作（1）我們要證明：也就是說(shuō)：子式的每一項(xiàng)都可以寫作119此處是2，3，…，n這n－１個(gè)數(shù)碼的一個(gè)排列，我們看項(xiàng)（1）與元素的乘積（2）這一乘積的元素位在D的不同的行與不同的列上，因此它是D的一項(xiàng)，反過(guò)來(lái)，由于行列式D的每一項(xiàng)都含有第一行的一個(gè)元素，而第一行的元素除外都是零，因此D的每一項(xiàng)都可以寫成（2）的形式。這就是說(shuō)，D的每一項(xiàng)都是與它的子式的某一項(xiàng)的乘積，又的不同項(xiàng)是D的不同項(xiàng)，因此D與有相同的項(xiàng)。乘積（2）在D中的符號(hào)是此處是2，3，…，n這n－120另一方面，乘積（2）在的符號(hào)就是（1）在中的符號(hào)。乘積（1）在元素既然位在D的第2，3，…，n行與在第列，因此它位在的第1，2，…，n－１行與列，所以（1）在

中的符號(hào)應(yīng)該是。顯然，，這樣，乘積（2）在

中的符號(hào)與在D中的符號(hào)一致。所以2)現(xiàn)在我們來(lái)看一般的情形，設(shè)另一方面，乘積（2）在的符號(hào)就是（1）121我們變動(dòng)行列式D的行列，使位于第一行與第一列，并且保持的余子式不變。

為了達(dá)到這一目的，我們把D的第i行依次與第i－1，i－2，…，2，1行交換，這樣，一共經(jīng)過(guò)了i－1次交換兩行的步驟，我們就把D的第i行換到第一行的位置。然后再把第j列依次與第j－1，j－2，…，2，1列交換，一共經(jīng)過(guò)了j－1次交換兩列的步驟，就被交換到第一行與第一列的位置上，這時(shí)，D變?yōu)橄旅嫘问降男辛惺剑何覀冏儎?dòng)行列式D的行列，使位于第一122是由D經(jīng)過(guò)（i－1）+(j－1)次換行換列的步驟而得到的。由命題3.3.3，交換行列式的兩行或兩列，行列式改變符號(hào)，因此這樣，定理得到證明。是由D經(jīng)過(guò)（i－1）+(j－1)次換行換列的步驟而1233.4.2行列式的依行依列展開(kāi)定理3.4.2n階行列式等于它的任意一行(列)的各元素與其對(duì)應(yīng)代數(shù)余子式乘積的和,即證我們只對(duì)行來(lái)證明，即證明（3），先把行列式D寫成以下形式：3.4.2行列式的依行依列展開(kāi)定理3.4.2n階行列式124也就是說(shuō)，把D的第i行的每一元素寫成n項(xiàng)的和。根據(jù)命題3.3.9，D等于n個(gè)行列式的和：在這n個(gè)行列式的每一個(gè)中，除了第i行外，其余的行都與D的相應(yīng)行相同。因此，每一行列式的第i行的元素的代數(shù)余子式與D的第i行的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式相同。這樣，由定理3.4.1，也就是說(shuō)，把D的第i行的每一元素寫成n項(xiàng)的和。根據(jù)命題3.3125定理3.4.3n階行列式的某一行(列)的元素與另一行(列)對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積的和等于零,即（5）

（6）

證我們只證明等式（5）?？葱辛惺蕉ɡ?.4.3n階行列式的某一126的第i行與第j行完全相同，所以=0。另一方面，與D僅有第j行不同，因此的第j行的元素的代數(shù)余子式與D的第j行的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式相同，把依第j行展開(kāi)，得因而的第i行與第j行完全相同，所以=0。另一方面127例4計(jì)算四階行列式在這個(gè)行列式里，第三行已有一個(gè)元素是零，由第一列減去第三列的二倍，再把第三列加到第四列上，得：例4計(jì)算四階行列式在這個(gè)行列式里，第三行已有一個(gè)元素是零128根據(jù)定理3.4.