中學物理習題中輔助圓

11v習題研究11v

巧構(gòu)輔助圓

妙解物理題浙江海鹽元濟高級中學（）王建峰浙江海鹽高級中學（）馬永芬解物理習題時，若能巧借輔助圓，將會產(chǎn)生意想不到的效果。輔助圓按其作用與功能可分為“量圓、等時圓、等勢圓、動態(tài)圓、諧振圓文試想通過幾例來闡述輔助圓在解題中的妙用。1矢量圓矢量即有大小，又有方向，且運算時滿足平行四邊行法則。在矢量的合成與分解中若能借助“量圓”能有效地化繁為簡，并能加深對矢量概念的理解。例一寬為L的河流，水流速為，船在靜水中劃行的度為v，v＜。要使船到達對岸的位移最短，船的航向如何？

D解析水速u船在靜水中的速度v與的合速度v構(gòu)成一矢量三角形，且船在靜水中的速度v大小不變，方向不定，構(gòu)建如圖1所示的矢量圓。顯然，當AD與量圓相切時，船航行的位移最短。由圖可

L

vA得船的航向與河岸的夾角

vu

。

圖12

等時圓如圖2所，豎直放置的圓環(huán)，若物體從最高點沿各光滑弦加速下滑，其下滑的時間相等，且時間

4g

（為環(huán)的半徑為力加速度樣圓環(huán)稱

R之為“等時圓解有關(guān)動學問題時，恰當?shù)貥?gòu)建等時圓不但能化解難點，而且能激發(fā)學生的解題思維。

圖例兩滑斜面的高度都為h、兩面的總長度都為l，只是OD斜由兩部組成，如圖3所示，將甲、乙兩個相同的小球從面的頂端同時由靜止釋放，不計拐角處的能量損失，問哪一球先到達斜面底端？解析（法O）本題往往采用甲v-t圖求解，作乙

V

vC

O

甲乙

A出物體分別沿OC斜運動

B的v-t圖（如圖所示圖可得乙球先到達

圖

D

C

圖4

t

乙

t

甲t

圖

D

C斜面底端。（解法）構(gòu)建如圖5所示的等時圓，交OC于A點交OD于B點由“等時圓”可知t

0B

。由機械能守恒定律可知BA

D

v

BD

為斜面的總長度相等

s

BD

，根據(jù)

v

st

得，

tBDAC

，所以有

t甲

，即乙球先到達斜面底端。3等勢圓點電荷的等勢面是以點電荷為圓心的圓面組成，這樣的圓面稱之為“等勢圓勢圓來解題化難為易。例（年江蘇等省理綜第題圖6所直角三角的斜邊傾角為°邊BC長2L，/

22CDCC處在水平位置斜邊AC是滑絕緣的在底邊中點處放置一正電荷Q一個質(zhì)量為，電量為的負電的質(zhì)點從斜面頂端A沿斜邊滑下滑斜邊上的垂足D時度為v則該質(zhì)22CDCC

A

ADD點運動到非常挨近斜邊底端點時速度v為少？沒斜面向下的加速度a為多少？B解析點荷沿斜面AC下滑時，電場力在不斷變化利動能定理及能量守恒關(guān)系直接列式求解，從而使解題陷入困境。

。O圖

CQ圖由幾何關(guān)系可引入圖示的等勢圓由C二位于同一等勢圓上電從D運動到C電力做功為零，只有重力做功，所以電荷在D點機能與點機械能相等，即：11mvmgCD30vgl22對電荷在C點力（如圖示牛第二定律得：

Nsin30

Qq

，解得：

13ag2ml2

。

圖4動帶電粒子進入勻強磁場，若帶電粒子的速度大小、方向不定，則粒子在磁場中作一系列圓心、半徑在時刻變化的“動態(tài)圓系列動態(tài)圓

y能化俗為奇。

例半徑為的形勻強磁場域界y軸切于坐標原點，磁感應(yīng)強度，方向垂直紙面向里在原點O處一放射

x源可沿紙面向個方向射出速率均為

v3.2

6

m/

的粒

α知已知粒子的質(zhì)量為

6.64

，電量

c

，試確定α粒子通過磁場的最大偏向角。解析α粒子在磁場中作半徑為r的速圓周運動，可得：

圖mv6.643.2r0.332

6

cm從而可構(gòu)建一系列半徑為并交于點旋轉(zhuǎn)動態(tài)圓（如圖所各態(tài)圓不難得到要使α粒子的偏向角最大，必α粒子在磁場區(qū)域內(nèi)的弦最長。所以α粒子的最大偏向角

2

Rr

60

0例核變反應(yīng)需要幾百萬度以上的高溫把高溫條件下高速運動的離子約束在小范圍內(nèi)（否則不可能發(fā)生核反應(yīng)常采用磁約束的方法（托卡馬克裝置圖10所示，環(huán)狀勻強磁場圍成中空區(qū)域，中空區(qū)域中的電粒子只要速度不是很大，都不會穿出磁場的外邊緣而被約束在該區(qū)域內(nèi)。設(shè)環(huán)狀磁場的內(nèi)半徑為

R

1

r1

R

2=0.5m，半徑=1.0m磁場的磁感強度，被束縛帶電粒子的荷質(zhì)比12為q/m=4×

7

C/㎏，中空區(qū)域內(nèi)帶電粒子具有個方向的速度。試計算

圖10（1粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場的最大速度。（2所有粒子不能穿越磁場的最大速度。解析（1粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場，在磁場區(qū)域中作圓周運動，由于粒子的速度大小不定，/

12ACCD構(gòu)建如圖10所的半徑不同的動態(tài)圓，要使粒子不能穿越磁場，從各動態(tài)圓中不難得到粒子臨界動態(tài)圓必須與外圓相切。12ACCD由圖中知

r21

21

R2

2

，解得

rmVBqr由BqVm1得V1/rm所以粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場的最大速度為

O

O2

11

7

/

。

圖11（2所有粒子在磁場中作半徑不定，圓心也不定的動態(tài)圓，在所有動態(tài)圓中粒子以的速度沿與內(nèi)2圓相切方向射入磁場且動態(tài)圓與外圓相切時速度沿各方向射入磁場區(qū)的粒子都不能穿出磁場邊界2（如圖示圖中知

r2

Bqr210.25算出對應(yīng)的速度1.07m/

，這一速度即為所有粒子不能穿越磁場的最大速度。5諧當一個物體（質(zhì)點）在一平面上做勻速圓周運動時，它的投影點的運動是簡諧運動，這個圓通稱為“諧振圓用振圓，可以振動這部分知識融為一體，而且它利用學生相對熟悉的圓周運動為起點，降低了學生的認知難度。利用諧振圓，能使問題直觀明了，在求解振動的時間問題時尤顯優(yōu)勢例題如圖所示，一只橢球形的雞蛋長軸6cm，短軸是4cm雞蛋在x軸做簡諧運動，運動過程中橢球的焦點在x軸上，雞蛋的端點正好不碰到AB兩，即在A、B間往復運動，現(xiàn)有一支槍固定在支v

B架上直x軸的向射出子彈正好瞄準處子彈可看成質(zhì)點，子彈的速度比雞蛋的速度大得多，現(xiàn)有一個瞎子扣動扳機，那么他擊中雞蛋的概率是多大？

01224x/cm圖解析雞蛋中心在

cm到x21cm

之間作簡C諧運動，但只有在

cm到xcm

之間時能被擊中。構(gòu)建如圖所

D示的諧振圓，要擊中雞蛋相