《利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值》教學(xué)設(shè)計

PAGEPAGE10教學(xué)設(shè)計方案課程利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（復(fù)習(xí)課）課程標準1.了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)．2．了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)。3.會利用導(dǎo)數(shù)解決某些實際問題。教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)出自人教版理科數(shù)學(xué)《2-2第一章1.3》的內(nèi)容。函數(shù)的極值是每年高考的必考內(nèi)容，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度適中，為中高檔題，且主要有以下幾個命題角度：角度一：求函數(shù)的極值；角度二：已知極值求參數(shù)；角度三：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值。教學(xué)目標1．幫助學(xué)生熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的一般步驟；2．幫助學(xué)生在利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的過程中，能根據(jù)題目的要求，準確分類。培養(yǎng)分類討論、轉(zhuǎn)化等的數(shù)學(xué)思想。3.培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)乃季S習(xí)慣，讓學(xué)生通過獲得成功感來培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣學(xué)習(xí)目標1．熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的一般步驟；2．在利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的過程中，能根據(jù)題目的要求，準確分類。培養(yǎng)分類討論的數(shù)學(xué)思想。學(xué)情分析通過高二的學(xué)習(xí)，學(xué)生對利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值有初步的認識，但不熟練。對含參數(shù)的問題不知如何分類討論，什么時候需要分類討論，分類的標準是什么。重點、難點教學(xué)重點：掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的一般步驟。教學(xué)難點:在利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的過程中，能準確進行分類討論.教與學(xué)的媒體選擇PPT課程實施類型偏教師課堂講授類√偏自主、合作、探究學(xué)習(xí)類備注教學(xué)活動步驟序號教學(xué)活動11.熱身練習(xí)；小結(jié)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的一般方法；22.典型例題、變式訓(xùn)練；(不含參數(shù)的一般情況)33.鞏固提高、變式訓(xùn)練；44.更上一層樓，變式訓(xùn)練；(含參數(shù)的問題)55.本課小結(jié)。66.布置作業(yè)教學(xué)活動詳情教學(xué)活動1：一般的利用導(dǎo)數(shù)求最值的問題1.熱身練習(xí)：(1)使函數(shù)f(x)＝x＋2cosx在[0，eq\f(π,2)]上取得最大值的x為________．解析：f′(x)＝1－2sinx＝0時，sinx＝eq\f(1,2)，x＝eq\f(π,6).答案：eq\f(π,6)2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的一般方法：教師提問學(xué)生：運用求導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)最值的步驟有哪些？學(xué)生回答，教師在黑板板書學(xué)生的回答要點，同時進行點評。在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，可以這樣求最值：①求導(dǎo),求單調(diào)性,求出函數(shù)在內(nèi)的可能極值點（即方程在內(nèi)的根）；②比較函數(shù)值，與，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.3.典型例題：(1)已知函數(shù)f(x)＝x3－4x2－3x.求f(x)在x∈[1，4]上的最小值和最大值．解：f′(x)＝3x2－8x－3.令f′(x)＝0，得x1＝－eq\f(1,3)，x2＝3.當x變化時，f′(x)、f(x)的變化情況如下表：x1(1，3)3(3，4)4f′(x)－0＋f(x)-6極小值f(3)＝－18-12于是，當x∈[1,4]時，f(x)在x＝3時取得最小值f(x)min＝f(3)＝－18；∴f(x)max＝f(1)＝－6.變式訓(xùn)練：(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝sinx－cosx＋x＋1，0≤x≤2π，求函數(shù)f(x)的最值．解：由f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0≤x≤2π，知f′(x)＝cosx＋sinx＋1，于是f′(x)＝1＋eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))．令f′(x)＝0，從而sin(x＋eq\f(π,4))＝－eq\f(\r(2),2)，得x＝π，或x＝eq\f(3π,2).當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x0(0，π)Π(π，eq\f(3π,2))eq\f(3π,2)(eq\f(3π,2)，2π)2πf′(x)＋0－0＋f(x)0單調(diào)遞增極大值π＋2單調(diào)遞減極小值eq\f(3,2)π單調(diào)遞增2π顯然>π＋2,所以f(x)的最大值是；f(x)的最小值是0?；顒幽繕嘶仡櫴炀毨们髮?dǎo)來求函數(shù)最值的方法解決問題對那些不能直接判斷函數(shù)的性質(zhì)（特別是單調(diào)性）的函數(shù)，一般會通過求導(dǎo)，明確函數(shù)單調(diào)性，再了解函數(shù)的圖象的特點，來判斷函數(shù)的最值所在。這就是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的最突出的優(yōu)勢。技術(shù)資源PPT常規(guī)資源學(xué)案活動概述教師提問學(xué)生：運用求導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)最值的步驟有哪些？學(xué)生回答，教師在黑板板書學(xué)生的回答要點，同時進行點評。教師活動和學(xué)生練習(xí)，教師巡視，對答案。教與學(xué)的策略學(xué)生先思考練習(xí)，教師巡視解疑點評。反饋評價學(xué)生能積極參與練習(xí)，基本了解與掌握利用求導(dǎo)求函數(shù)最值的一般步驟。教學(xué)活動2：含參數(shù)問題的討論4.鞏固提高：(3)已知函數(shù)f(x)＝,求f(x)在區(qū)間[－1,2]上的最大值．解：①當－1≤x<1時，f′(x)＝－3x2＋2x＝－3x(x－eq\f(2,3))，令f′(x)＝0得x＝0或x＝eq\f(2,3).當x變化時，f′(x)、f(x)的變化情況如下表：x-1(－1,0)0(0，eq\f(2,3))eq\f(2,3)(eq\f(2,3)，1)f′(x)－0＋0－f(x)2單調(diào)遞減極小值f(0)＝0單調(diào)遞增極大值f(eq\f(2,3))＝eq\f(4,27)單調(diào)遞減∴f(x)在[－1,1)上的最大值為2.②當1≤x≤2時，f(x)＝alnx.當a≤0時，f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減，∴f(x)的最大值為f(1)=0；當a>0時，f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增，∴f(x)在[1,2]上的最大值為aln2.綜上所述，當aln2≤2，即a≤eq\f(2,ln2)時，f(x)在[－1,2]上的最大值為2；當aln2>2，即a>eq\f(2,ln2)時，f(x)在[－1,2]上的最大值為aln2.小結(jié)：分段函數(shù)求最值，要分段討論，分別求導(dǎo)求最值，再比較所有段中最大值為該函數(shù)的最大值；比較所有段最小的值作為該函數(shù)的最小值。5.更上一層樓：(4)已知函數(shù)f(x)＝x2－(2a＋1)x＋alnx.求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，e]解：f′(x)＝2x－(2a＋1)＋eq\f(a,x)＝eq\f(2x2－2a＋1x＋a,x)＝eq\f(2x－1x－a,x)，令f′(x)＝0，得x＝a或x＝eq\f(1,2).當a≤eq\f(1,2)時，f(x)在[eq\f(1,2)，＋∞)上單調(diào)增，所以f(x)在區(qū)間[1，e]上單調(diào)增；當a≤1時，f(x)min＝f(1)＝－2a當eq\f(1,2)<a≤1時，f(x)在(0，eq\f(1,2)]，[a，＋∞)上單調(diào)增，所以f(x)在區(qū)間[1，e]上單調(diào)增．當a≤1時，f(x)min＝f(1)＝－2a綜上，當a≤1時，f(x)min＝f(1)＝－2a當1<a<e時，x(1，a)a(a，e)f′(x)－0＋f(x)a(lna－a－1)所以f(x)min＝f(a)＝a(lna－a－1)；當a≥e時，f(x)在(0，eq\f(1,2)]，[a，＋∞)上單調(diào)增，在(eq\f(1,2)，a)上單調(diào)減，所以在[1，e]上單調(diào)減．所以f(x)min＝f(e)＝e2－(2a＋1)e＋a小結(jié)：1.當判斷函數(shù)的單調(diào)性需要確定兩數(shù)大小時，如果不能確定，就需要分類討論，對其大小關(guān)系的不同分別進行比較說明；2．當自變量給定范圍時，要討論極值點與給定范圍的關(guān)系，此時要進行分類討論；此時注意分類討論的類別要完整，做到不重不漏。變式訓(xùn)練2：已知函數(shù)．求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．解：因為，所以．由（1）知．因為，所以．當時，；當時，．所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．①當時，在上單調(diào)遞增，所以．②當即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以．③當，即時，在上單調(diào)遞減，所以．綜上所述：當時，函數(shù)在上的最大值是；當時，函數(shù)在上的最大值是；當時，函數(shù)在上的最大值是．活動目標讓學(xué)生掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值中含參數(shù)問題的分類討論的方法解決問題幫助學(xué)生準確分類，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法。技術(shù)資源PPT常規(guī)資源學(xué)案活動概述學(xué)生練習(xí)，上黑板書寫解題過程，教師巡視，點拔與解疑。教與學(xué)的策略先練后講教學(xué)活動3：小結(jié)活動目標1．熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的一般步驟；2．在利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的過程中，能根據(jù)題目的要求，準確分類。培養(yǎng)分類討論的數(shù)學(xué)思想。解決問題回顧本課的學(xué)習(xí)目標和思維方法。技術(shù)資源PPT常規(guī)資源學(xué)案活動概述學(xué)生回顧小結(jié)后，教師打出PPT總結(jié)。教與學(xué)的策略6.本課小結(jié)：(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的一般方法是：①求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)單調(diào)性，了解圖形發(fā)展趨勢，求極值;②如果是閉區(qū)間，再求端點值；③比較極值與端點值的大小，確定所求最值。(2)對含參數(shù)的函數(shù)求最值時，常要分類討論。當遇到數(shù)值大小不明確影響判斷時，要自覺對相應(yīng)數(shù)值的大小關(guān)系進行分類討論,分類要做到不重不漏。反饋評價學(xué)生積極參與，效果好反饋評價學(xué)生能積極參與練習(xí)，基本掌握分類討論的依據(jù)和步驟。參考書《創(chuàng)新方案》高三一輪復(fù)習(xí)用書五．課后鞏固練習(xí)：1．上有最大值3，那么在上的最小值是（C）2．當∈[0，2]時，函數(shù)在時取得最大值，則a的取值范圍是（D）A、[B、[C、[D、[3．設(shè)函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰好有兩個相異的實根，求實數(shù)的取值范圍。解析：依題意知，又因為（1）令或x>0，所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為（－2，－1）和（0，+∞）；…（3分）令的單調(diào)減區(qū)間（－1，0）和（－∞，－2）?！?分）（2）令（舍），由（1）知，f(x)連續(xù)，因此可得：f(x)<m恒成立時，m>e2－2（9分）（3）原題可轉(zhuǎn)化為：方程a=(1+x)－ln(1+x)2在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個相異的實根。且2－ln4<3－ln9<1，∴的最大值是1，的最小值是2－ln4。所以在區(qū)間[0，2]上原方程恰有兩個相異的實根時實數(shù)a的取值范圍是：2－ln4<a≤3－ln9…（14分）4．已知函數(shù)圖像上點處的切線與直線平行（其中），（I）求函數(shù)的解析式；（II）求函數(shù)上的最小值；（III）對一切恒成立，求實數(shù)t的取值范圍。4．解：（I）由點處的切線方程與直線平行，得該切線斜率為2，即又所以 …………4分（II）由（I）知，顯然當所以函數(shù)上單調(diào)遞減.當時，所以函數(shù)上單調(diào)遞增，①②時，函數(shù)上單調(diào)遞增，因此 …………7分所以…………