解三角形知識點(diǎn)歸納(附三角函數(shù)公式)

高中數(shù)學(xué)必修五

第一章

解三角形知識點(diǎn)歸納1、三角形三角關(guān)系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三邊關(guān)系：a+b>c;

a-b<c3、三角形中的基本關(guān)系：4、正弦定理：在中，、、分別為角、、的對邊，為的外接圓的半徑，則有．5、正弦定理的變形公式：①化角為邊：，，；②化邊為角：，，；③；④．6、兩類正弦定理解三角形的問題：①已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.②已知兩角和其中一邊的對角，求其他邊角.(對于已知兩邊和其中一邊所對的角的題型要注意解的情況（一解、兩解、三解）)7、余弦定理：在中，有等，變形：等，8、余弦定理主要解決的問題：①已知兩邊和夾角，求其余的量。②已知三邊求角）9、三角形面積公式：．=2R2sinAsinBsinC===10、如何判斷三角形的形狀：判定三角形形狀時，可利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式設(shè)、、是的角、、的對邊，則：①若，則；②若，則；③若，則．11、三角形的四心：垂心——三角形的三邊上的高相交于一點(diǎn)重心——三角形三條中線的相交于一點(diǎn)（重心到頂點(diǎn)距離與到對邊距離之比為2:1）外心——三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn)（外心到三頂點(diǎn)距離相等）內(nèi)心——三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn)（內(nèi)心到三邊距離相等）12同角的三角函數(shù)之間的關(guān)系（１）平方關(guān)系：ｓｉｎ2α＋ｃｏｓ2α＝１（２）倒數(shù)關(guān)系：ｔａｎα·ｃｏｔα＝１（３）商的關(guān)系：特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù)值01100１不存在三角函數(shù)誘導(dǎo)公式：“（）”記憶口訣:“奇變偶不變，符號看象限”，是指（），k∈Z的三角函數(shù)值，當(dāng)k為奇數(shù)時，正弦變余弦，余弦變正弦（正切，余切;正割、余割也同樣）;當(dāng)k為偶數(shù)時，函數(shù)名不變。然后符號與‘將α看成銳角時原三角函數(shù)值的正負(fù)號’一致。三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)：定義域RR值域R周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性上為增函數(shù)；上為減函數(shù)（）；上為增函數(shù)上為減函數(shù)（）上為增函數(shù)（）有關(guān)函數(shù)最大值是，最小值是，周期是，頻率是，相位是，初相是；其圖象的對稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點(diǎn)都是該圖象的對稱中心。函數(shù)y＝sin(ωx＋)的圖象與函數(shù)y＝sinx的圖象的關(guān)系:由y＝sinx的圖象變換出y＝sin(ωx＋)的圖象一般有兩個途徑，只有區(qū)別開這兩個途徑，才能靈活進(jìn)行圖象變換。途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換)先將y＝sinx的圖象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜個單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的圖象。（先相位變換，再周期變換）途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換。先將y＝sinx的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?ω＞0)，再沿x軸向左(＞0)或向右(＜0＝平移個單位，便得y＝sin(ωx＋)的圖象。（先周期變換，再相位變換）對稱軸與對稱中心：的對稱軸為，對稱中心為；的對稱軸為，對稱中心為；y=tanx

圖像的對稱中心是（，0），無對稱軸?！镎T導(dǎo)公式★(以下k∈Z)公式一：設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanα公式二：設(shè)α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα公式三：任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（－α）＝－sinα

cos（－α）＝cosα

tan（－α）＝－tanα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα公式六：π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinα

tan（3π/2＋α）＝－cotα

cot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosα

cos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα

同角三角函數(shù)基本關(guān)系同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式商的關(guān)系：sinα/cosα＝tanα平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1兩角和差公式兩角和與差的三角函數(shù)公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtan（α＋β）＝(tanα+tanβ)／(1-tanαtanβ)tan（α－β）＝(tanα－tanβ)／(1＋tanα·tanβ)二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（升冪縮角公式）sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)tan2α＝2tanα/[1－tan^2(α)]半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（降冪擴(kuò)角公式）sin2(α/2)＝(1－cosα)／2

cos2(α/2)＝(1＋cosα)／2tan2(α/2)＝(1－cosα)／(1＋cosα)另也有tan(α/2)=(1－cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)萬能公式萬能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)]cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan2(α/2)]三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosαtan3α＝（3tanα－tan3α）／（1－3tan2α）和差化積公式三角函數(shù)的和差化積公式sinα＋sinβ＝2sin[(α＋β)/2]·cos[(α－β)/2]sinα－sinβ＝2cos[(α＋β)/2]·sin[(α－β)/2]cosα＋cosβ＝2cos[(α＋β)/2]·cos[(α－β)/2]cosα－cosβ＝－2sin[(α＋β)/2]·sin[(α－β)/2]積化和差公式三角函