九年級數學上冊第一講你能證明它們嗎知識點分析北師大版

你能證明它們嗎?一、知識概述1、全等三角形的判定公理及其推論（1）SSS（2）SAS（3）ASA（4）AAS2、全等三角形的性質定理全等三角形的對應邊相等，對應角相等。3、等腰三角形的性質定理及判定定理（1）等腰三角形的兩個底角相等.（2）等腰三角形頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合.（3）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.（4）在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.（5）有兩個角相等的三角形是等腰三角形.4、反證法的證題步驟先假設命題的結論不成立，然后推導出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾，從而證明命題的結論一定成立。二、重點知識講解例1、如圖，△ABC中，∠ABC=45°，H是高AD和高BE的交點.求證：BH=AC.證明：∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠2＋∠3=90°.同理：∠1＋∠3=90°，∴∠1=∠2.∵AD⊥BC，∠ABC=45°，∴∠BAD=∠ABD∴AD=BD∵∠ADB=∠ADC=90°，∴△BDH≌△ADC，∴BH=AC例2、已知：如圖，△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它們相交于點H，且AE=BE.求證：AH=2BD.證明：∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠1＋∠C=90°.同理：∠2＋∠C=90°，∴∠1=∠2.∵BE⊥AC，∴∠3=90°，∴∠3=∠4∵AE=BE，∴△AEH≌△BEC，∴AH=BC∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC∴BC=2BD，∴AH=2BD.三、難點知識剖析例3、已知，如圖,P為等邊△ABC的BC邊上一點，過P點分別作AB、AC的垂線PE和PD，垂足為E、D.求證：△AED的周長與四邊形EBCD的周長相等.證明：設△ABC的邊長為a.∵正△ABC，∴∠B=60°，∵PE⊥BE，∴.同理：，∴，∴又AE＋AD＝(AB＋AC)－(EB＋CD)＝2a－＝,∴AE＋AD＝EB＋BC＋CD，∴△AED的周長與四邊形EBCD的周長相等例4、求證：一個三角形中不能有兩個角是鈍角。解:已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三個內角。求證：∠A，∠B，∠C中不能有兩個銳角。證明：假設∠A，∠B，∠C中有兩個角是鈍角，不妨設∠A，∠B是鈍角，即∠A＞90°，∠B＞90°，則∠A+∠B+∠C＞180°，這與三角形內角和定理相矛盾，所以假設不成立。所以一個三角形中不能有兩個角是鈍角。反證法的證題具體步驟：第一步假設命題的結論不成立;第二步從假設出發(fā)，經過推理論證，得出矛盾，這個矛盾可以是和已知矛盾，也可以和定義、公理、定理、性質等矛盾;第三步否定假設，從而肯定原命題正確。四、課外拓展例5、如圖，在等腰△ABC中，底邊BC上有一點P，則P點到兩腰的距離之和等于定長，即PD＋PE=PF.若P點在BC的延長線上，那么PD、PE和CF存在什么等式關系？寫出你的猜想并加以證明.提示：方法一：過點C作CG⊥PD于G，易知：CF=DG.又易證：△PCG≌△PCE，可得PG=PE.故PD=PE＋CF.方法二：連AP，S△ABP=S△ABC＋S△ACP∴PD=PE＋CF例6、如圖，△ACB、△ECD都是等腰直角三角形，且C在AD上，AE的延長線與BD交于F，請你在圖中找出一對全等三角形，并寫出證明過程.提示：△ACE≌△BCD（SAS）.五、中考解析例7、（湖南?。┤鐖D，△ABC中，AB=AC，D、E、F分別為AB、BC、CA上的點，且BD=CE，∠DEF=∠B.求證：△DEF是等腰三角形.證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C∵∠DEC=∠DEF＋∠FEC=∠B＋∠BDE且∠DEF=∠B∴∠BDE=∠FEC又∵BD=CE∴△BDE≌△CEF∴DE=EF∴△DEF是等腰三角形.例8、（2010廣西南寧）如圖10，已知，,與相交于點，連接．（1）圖中還有幾對全等三角形，請你一一列舉；（2）求證：．【答案】（1）,2分（2）證法一：連接3分∵∴4分∴5分又∵∴6分∴即7分∴8分證法二：∵∴,∴即3分∴4分∴5分又∵∴6分又∵∴7分∴8分證法三：連接3分∵∴又∵∴5分∴6分又∵∴7分即8分例9、（2010內蒙古包頭）如圖，已知中，厘米，厘米，點為的中點．（1）如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經過1秒后，與是否全等，請說明理由；②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使與全等？（2）若點Q以②中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿三邊運動，求經過多長時間點P與點Q第一次在的哪條邊上相遇？AAQCDBP【答案】AQCDBAQCDBP∴厘米，∵厘米，點為的中點，∴厘米．又∵厘米，∴厘米，∴．又∵，∴，∴． （4分）②∵，∴，又∵，，則，∴點，點運動的時間秒，∴厘米/秒． （7分）（2）設經過秒后點與點第一次相遇，由題意，得，解得秒．∴點共運動了厘米．∵，∴點、點在邊上相遇，∴經過秒點與點第一次在邊上相遇． （12分）課堂檢測一、選擇題1、如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=α，且AE=AD，則∠EDC=（）A．B．C．D．2、若等腰三角形一個底角為30°，那么頂角是（）A．60°B．150°C．120°D．75°3、已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD是BC邊上的中線，則下列結論中，正確的是（）A．AD=BDB．C．D．4、等腰三角形一腰上的高與底邊夾角為45°，則這個三角形是（）A．銳角三角形B．鈍角三角形C．等邊三角形D．等腰直角三角形5、如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，則∠A的度數為（）A．30°B．45°C．36°D．72°6、已知等腰三角形的一個角為75°，則其頂角為（）A．30°B．75°C．105°D．30°或75°7、若△ABC的邊長為a、b、c，且滿足a2＋b2＋c2=ab＋bc＋ca，則△ABC是（）A．等邊三角形B．等腰直角三角形C．鈍角三角形D．有一個銳角為30°的直角三角形8、已知△ABC是等邊三角形，D是BC邊上的一點，連AD并作等邊△ADE，若DE⊥AB，則的值是（）A．B．C．1D．9、等腰三角形底邊上的高與底邊的比是1∶2，則它的頂角等于（）A．90°B．60°C．120°D．150°10、如圖，OA=OB，點C在OA上，點D在OB上，OC=OD，AD和BC相交于點E，則圖中全等三角形共有（）A．2對B．3對C．4對D．5對二、解答題11、已知如圖，△ABC中，AB=AC，∠1=∠2.證明：（1）△ADB≌△ADC.（2）AD⊥BC.（1）由∠1=∠2可證BD=CD，再由AB=AC可得∠ABC=∠ACB.又由∠1=∠2可知∠ABD=∠ACD，易證△ADB≌△ADC.（2）由（1）知AD為∠BAC的角平分線，由等腰三角形頂角的平分線是底邊上的高可證AD⊥BC.12、已知：如圖，△ABC中，AB=AC，CD、BE是△ABC的角平分線，求證：AD=AE.由AB=AC可得∠ABC=∠