(完整版)北師大版數(shù)學八年級上冊知識點總結(jié)

北師大版《數(shù)學》（八年級上冊）知識點總結(jié)

第一章勾股定理第十八章勾股定理1勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2。2.勾股定理逆定理：如果三角形三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2。，那么這個三角形是直角三角形。勾股數(shù)：滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。3.3.經(jīng)過證明被確認正確的命題叫做3.3.經(jīng)過證明被確認正確的命題叫做定理。我們把題設、結(jié)論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）4■直角三角形的性質(zhì)（1）、直角三角形的兩個銳角互余?？杀硎救缦拢篫C=90°=ZA+ZB=90°（2）、在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。ZA=30°、可表示如下:_1二?BC=ABAB=CD7AD=BCAD=C!OBCkDOZC=90°J（3）、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半ZACB=90°\可表示如下:=Cd=AB=BD=ADD為AB的中點丿5、攝影定理在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中項，每條直角邊是它們在斜邊上的攝影和斜邊的比例中項ZACB=90°nCDC2=AD?AB-BC=可表示如下:=Cd=AB=BD=ADD為AB的中點丿5、攝影定理在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中項，每條直角邊是它們在斜邊上的攝影和斜邊的比例中項ZACB=90°nCDC2=AD?AB-BC=AD?BDCD丄AB6、常用關(guān)系式由三角形面積公式可得：AB?CD=AC?BC7、直角三角形的判定1、有一個角是直角的三角形是直角三角形。2、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三是直角三角形。3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c有關(guān)a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。第二章實數(shù)=BD?AB角形一、實數(shù)的概念及分類1、實數(shù)的分類實數(shù)理數(shù)理數(shù)小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)'無理數(shù)理數(shù)理數(shù)不循環(huán)小數(shù)理數(shù)-2、無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。在理解無理數(shù)時，要抓住“無限不循環(huán)”這一時之，歸納起來有四類:（1）開方開不盡的數(shù)，如□，邁等；（2）有特定意義的數(shù)，如圓周率n或化簡后含有n的數(shù)，如n3+8等；（3）有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…等；（4）某些三角函數(shù)值，如sin60°等二、實數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對值1、相反數(shù)實數(shù)與它的相反數(shù)時一對數(shù)（只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零），從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應的點關(guān)于原點對稱，如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0,a=—b，反之亦成立。2、絕對值在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應的點與原點的距離，叫做該數(shù)的絕對值。（laA0）。零的絕對值是它本身，也可看成它的相反數(shù)，若lal=a，則a>0；若lal=-a，則a<0o3、倒數(shù)如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=1，反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1o零沒有倒數(shù)。4、數(shù)軸規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時，要注意上述規(guī)定的三要素缺一不可）解題時要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實數(shù)與數(shù)軸的點是一一對應的，并能靈活運用。5、估算三、平方根、算數(shù)平方根和立方根1、算術(shù)平方根：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根。特別地，0的算術(shù)平方根是0。表示方法：記作“』a”，讀作根號ao性質(zhì)：正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個，零的算術(shù)平方根是零。2、平方根：一般地，如果一個數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個數(shù)x就叫做a的平方根（或二次方根）表示方法：正數(shù)a的平方根記做“土3”，讀作“正、負根號a”性質(zhì)：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負數(shù)沒有平方根。開平方：求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方。0注意Ia的雙重非負性：Yan03、立方根一般地，如果一個數(shù)x的立方等于a，即X3=a那么這個數(shù)x就叫做a的立方根（或三次方根）表示方法：記作?a性質(zhì)：一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負數(shù)有一個負的立方根；零的立方根是零。注意：乂-a，這說明三次根號內(nèi)的負號可以移到根號外面。四、實數(shù)大小的比較1、實數(shù)比較大?。赫龜?shù)大于零，負數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負數(shù)；數(shù)軸上的兩個點所表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大；兩個負數(shù)，絕對值大的反而小。2、實數(shù)大小比較的幾種常用方法（1）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。（2）求差比較：設a、b是實數(shù)，a-b>0oa>b,a-b=0oa=b,a-b<0oa<b

(3)求商比較法：設a(3)求商比較法：設a、b是兩正實數(shù),b>1oa>b;b=1oa=b;<1oa<b;b(4)絕對值比較法：設a、b是兩負實數(shù)，則|a|>|b|oa<b。(5)平方法：設a、b是兩負實數(shù)，則a2>b2oa<b。五、算術(shù)平方根有關(guān)計算(二次根式)1、含有二次根號“「；被開方數(shù)a必須是非負數(shù)。2、性質(zhì)：(1)(、：a)2=a(a>0)a>0)亠a(a<0)⑶tab⑶tab=xa?-Jb(a>0,b>0)(v'a?ob=-jab(a>0,b>0))⑷“⑷“b七(a>0,b>0)(詩b(a>o,b>0))3、運算結(jié)果若含有“*a”形式，必須滿足：(1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式六、實數(shù)的運算六種運算：力口、減、乘、除、乘方、開方實數(shù)的運算順序先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的。運算律加法交換律a+b=b+a加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)乘法交換律ab=ba乘法結(jié)合律(ab)c=a(bc)乘法對加法的分配律a(b+c)=ab+ac第三章位置極坐標知識點一：有序數(shù)對一比如教室中座位的位置，常用“幾排幾列”來表示，而排數(shù)和列數(shù)的先后順序影響座位的位置，因此用有順序的兩個數(shù)a與b組成有序數(shù)時，記作(a，b)，表示一個物體的位置。我們把這種有順序的兩個數(shù)a與b組成的數(shù)對叫做有序數(shù)對，記作：(a,b).要點詮釋：j“對“有序”要準確理解，即兩個數(shù)的位置不能隨意交換，(a，b)與(b，a)順序不同，含義就不同，表示不同位置。知識點二：平面直角坐標系以及坐標的概念'妃：

1?平面直角坐標系在平面內(nèi)畫兩條互相垂直、原點重合的數(shù)軸就組成平面直角坐標系。水平的數(shù)軸稱為X軸或橫軸，習慣上取向右為正方向；豎直的數(shù)軸稱為y軸或縱軸，取向上方向為正方向，兩坐標軸的交點為平面直角坐標系的原點（如圖1）。注：我們在畫直角坐標系時，要注意兩坐標軸是互相垂直的，且有公共原點，通常取向右與向上的方向分別為兩坐標軸的正方向。平面直角坐標系是由兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸組成的。點的坐標點的坐標是在平面直角坐標系中確定點的位置的主要表示方法，是今后研究函數(shù)的基礎。在平面直角坐標系中，要想表示一個點的具體位置，就要用它的坐標來表示，要想寫出一個點的坐標，應過這個點A分別向x軸和y軸作垂線，垂足M在x軸上的坐標是a，垂足N在y軸上的坐標是b，我們說點A的橫坐標是a，縱坐標是b，那么有序數(shù)對（a,b）叫做點A的坐標.記作:A（a,b）.用（a，b）來表示，需要注意的是必須把橫坐標寫在縱坐標前面，所以這是一對有序數(shù)。注：①寫點的坐標時，橫坐標寫在前面，縱坐標寫在后面。橫、縱坐標的位置不能顛倒。②由點的坐標的意義可知：點P（a，b）中，|a|表示點到y(tǒng)軸的距離；|b|表示點到x軸的距離。知識點三：點坐標的特征j"四個象限內(nèi)點坐標的特征：兩條坐標軸將平面分成4個區(qū)域稱為象限，按逆時針順序分別叫做第一、二、三、四象限，如圖2?這四個象限的點的坐標符號分別是（+，+），（-，+），（-，-），（+，-）?1"-4<-2'^31"-4<-2'^3T"-r-40數(shù)軸上點坐標的特征：x軸上的點的縱坐標為0，可表示為（a,0）；y軸上的點的橫坐標為0，可表示為（0,b）.注意：X軸，y軸上的點不在任何一個象限內(nèi)，對于坐標平面內(nèi)任意一個點，不在這四個象限內(nèi)，就在坐標軸上。坐標軸上的點不屬于任何一個象限，這一點要特別注意。象限的角平分線上點坐標的特征：第一、三象限角平分線上點的橫、縱坐標相等，可表示為（a,a）；第二、四象限角平分線上點的橫、縱坐標互為相反數(shù)，可表示為（a,-a）.注：若點P（a，b）在第一、三象限的角平分線上，則a=b；若點P（a，b）在第二、四象限的角平分線上，則a=—b。4.4.對稱點坐標的特征：P（a，b）關(guān)于x軸對稱的點的坐標為（a,-b）；P（a，b）關(guān)于y軸對稱的點的坐標為（-a,b）；P（a，b）關(guān)于原點對稱的點的坐標為（-a,-b）.平行于坐標軸的直線上的點：平行于x軸的直線上的點的縱坐標相同；平行于y軸的直線上的點的橫坐標相同。各個象限內(nèi)和坐標軸上點的坐標符號規(guī)律：象限橫縱坐標符號（a，b）圖象第一象限（+，+）a〉0，b〉01Y第二象限（—，+）aVO，b〉0第三象限（—，—）aVO，bVO（-1omk第四象限（+，—）a〉0，bVOx軸上正半軸（+，0）負半軸（一，0）y軸上正半軸（0，+）負半軸（0，—）原點（0,0）知識點四：簡單應用用坐標表示地理位置根據(jù)已知條件，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，是確定點的位置的必經(jīng)過程，一般地只有建立了適當?shù)闹苯亲鴺讼?，點的位置才能得以確定，才能使數(shù)與形有機地結(jié)合在一起。利用平面直角坐標系繪制區(qū)域內(nèi)一些地點分布情況，也就是繪制平面圖的過程：（1）建立坐標系，選擇一個適當?shù)膮⒄拯c為原點，確定x軸，y軸的正方向；（2）根據(jù)具體問題確定適當?shù)谋壤撸谧鴺溯S上標出單位長度；（3）在坐標平面內(nèi)畫出這些點，寫出各點的坐標和各個地點的名稱.要點詮釋：一在建立平面直角坐標系時，我們一般選擇那些使點的位置比較容易確定的方法，例如借助于圖形的某邊所在直線為坐標軸等。在具體問題中要注意分析題目，靈活運用。而建立平面直角坐標系的方法是不唯一的。2.用坐標表示平移1）點的平移：在平面直角坐標系中，將點（x，y）向右或向左平移a個單位長度，可以得到對應點（x+a，y）或（x—a，y）;將點（x,y）向上或向下平移b個單位長度，可以得到對應點（x,y+b）或（x,y—b）。由上可歸納為：①在坐標系內(nèi)，左右平移的點的坐標規(guī)律：右加左減；②在坐標系內(nèi)，上下平移的點的坐標規(guī)律：上加下減；③在坐標系內(nèi)，平移的點的坐標規(guī)律：沿x軸平移縱坐標不變，沿y軸平移橫坐標不變．（2）圖形的平移：在平面直角坐標系內(nèi)，如果把一個圖形各個點的橫坐標都加上或減去一個正數(shù)a,相應的新圖形就是把原圖形向右或向左平移a個單位長度；如果把各個點的縱坐標都加上或減去一個正數(shù)a，相應的新圖形就是把原圖形向上或向下平移了a個單位長度。注：平移是圖形的整體位置的移動，圖形上各點都發(fā)生相同性質(zhì)的變化，因此圖形的平移問題可以轉(zhuǎn)化為點的平移問題來解決。注意平移只改變圖形的位置，圖形的大小和形狀不發(fā)生變化.第四章一次函數(shù)一、函數(shù)：一般地，在某一變化過程中有兩個變量x與y，如果給定一個x值，相應地就確定了一個y值，那么我們稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量。二、自變量取值范圍使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。一般從整式（取全體實數(shù)），分式（分母不為0）、二次根式（被開方數(shù)為非負數(shù)）、實際意義幾方面考慮。三、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點（1）關(guān)系式（解析）法兩個變量間的函數(shù)關(guān)系，有時可以用一個含有這兩個變量及數(shù)字運算符號的等式表示，這種表示法叫做關(guān)系式（解析）法。（2）列表法把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對應值列成一個表來表示函數(shù)關(guān)系，這種表示法叫做列表法。（3）圖象法用圖象表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖象法。四、由函數(shù)關(guān)系式畫其圖像的一般步驟（1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應值（2）描點：以表中每對對應值為坐標，在坐標平面內(nèi)描出相應的點（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。五、正比例函數(shù)和一次函數(shù)1、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念一般地，若兩個變量x，y間的關(guān)系可以表示成y=kx+b（k,b為常數(shù),k豐0）的形式，則稱y是x的一次函數(shù)（x為自變量，y為因變量）。特別地，當一次函數(shù)y=kx+b中的b=0時（即y=kx）（k為常數(shù)，k工0）,稱y是x的正比例函數(shù)。2、一次函數(shù)的圖像:所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線3、一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的主要特征：一次函數(shù)y=kx+b的圖像是經(jīng)過點（0,b）的直線；正比例函數(shù)歹=kx的圖像是經(jīng)過原點（0,0）的直線。k的符號b的符號函數(shù)圖像圖像特征k>0b>0y/1/圖像經(jīng)過一、二、三象限，y隨x的增大而增大。/?

0xb<0y/?圖像經(jīng)過一、三、四象限，y隨x的增大而增大。0/xK<0b>0yI.圖像經(jīng)過一、二、四象限，y隨x的增大而減小0b<0I圖像經(jīng)過二、三、四象限，y隨x的增大而減小。X注：當b=0時，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例4、正比例函數(shù)的性質(zhì)一般地，正比例函數(shù)y=kx有下列性質(zhì)：（1）當k>0時，圖像經(jīng)過第一、三象限,y隨x的增大而增大；（2）當k<0時，圖像經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減小。5、一次函數(shù)的性質(zhì)一般地，一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì)：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減小6、正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定確定一個正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式y(tǒng)=kx（k豐0）中的常數(shù)k。確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k豐0）中的常數(shù)k和b。解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法。7、一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系：任何一個一元一次方程都可轉(zhuǎn)化為：kx+b=O（k、b為常數(shù)，k#0）的形式?而一次函數(shù)解析式形式正是y=kx+b（k、b為常數(shù)，kMO）.當函數(shù)值為0時，?即kx+b=0就與一元一次方程完全相同.結(jié)論：由于任何一元一次方程都可轉(zhuǎn)化為kx+b=O（k、b為常數(shù)，kMO）的形式?所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當一次函數(shù)值為0時，求相應的自變量的值．從圖象上看，這相當于已知直線y=kx+b確定它與x軸交點的橫坐標值.第五章二元一次方程組一、基本概念1方程、方程的解（根）、方程組的解、解方程（組）2?分類：二、解方程的依據(jù)—等式性質(zhì)1?a=b^a+c=b+c2a=--c=bc（cM）三、解法1?一元一次方程的解法：去分母一去括號一移項一合并同類項一系數(shù)化成1?一元一次方程的解法：去分母一去括號一移項一合并同類項一系數(shù)化成1一解。2?元一次方程組的解法：（1）基本思想：“消元”⑵方法：①代入法②加減法注意特征⑵配方法（注意步驟一推倒求根公式）⑶公式法：⑷因式分解法（特征：左邊03?根的判別式：4?根與系數(shù)頂?shù)年P(guān)系：逆定理：若―，則以一為根的一元二次方程是：一。5?常用等式：五、可化為一元二次方程的方程1?分式方程⑴定義⑵基本思想：⑶基本解法：①去分母法②換元法（如，）⑷驗根及方法2?無理方程⑴定義⑵基本思想：⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！?、趽Q元法（例，）⑷驗根及方法3?簡單的二元二次方程組由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的二元二次方程組都可用代入法解。六、列方程（組）解應用題一概述列方程（組）解應用題是中學數(shù)學聯(lián)系實際的一個重要方面。其具體步驟是：⑴審題。理解題意。弄清問題中已知量是什么，未知量是什么，問題給出和涉及的相等關(guān)系是什么。⑵設元（未知數(shù)）①直接未知數(shù)⑵I間接未知數(shù)往往二者兼用）。-般來說，未知數(shù)越多，方程越易列，但越難解。⑶用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)的量。⑷尋找相等關(guān)系（有的由題目給出，有的由該問題所涉及的等量關(guān)系給出），列方程。一般地，未知數(shù)個數(shù)與方程個數(shù)是相同的。⑸解方程及檢驗。⑹答案。綜上所述，列方程（組）解應用題實質(zhì)是先把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題（設元、列方程）在由數(shù)學問題的解決而導致實際問題的解決（列方程、寫出答案）。在這個過程中，列方程起著承前啟后的作用。因此，列方程是解應用題的關(guān)鍵。二常用的相等關(guān)系?行程問題（勻速運動）基本關(guān)系：s=vt⑴相遇問題（同時出發(fā)⑵追及問題（同時出發(fā)）：若甲出發(fā)t小時后，乙才出發(fā)，而后在B處追上甲，則⑶水中航行：；?配料問題：溶質(zhì)=溶液X溶液=溶質(zhì)+溶劑增長率問題：4/r