數(shù)學(xué)分析課件-平面點(diǎn)集與多元函數(shù)

數(shù)學(xué)分析課件平面點(diǎn)集與多元函數(shù)數(shù)學(xué)分析課件平面點(diǎn)集與多元函數(shù)例如：

(2)(3)例如：(2)(3)圖16–1

(a)

圓C

(b)矩形S

圖16–2

(a)

圓鄰域

(b)

方鄰域

圖16–1(a)圓C(b)矩形S由于點(diǎn)

A的任意圓鄰域可以包含在點(diǎn)

A的某一方鄰域之內(nèi)(反之亦然),因此通常用“點(diǎn)A的鄰用記號(hào)或來(lái)表示.

點(diǎn)

A的空心鄰域是指:或并用記號(hào)

來(lái)表示.域”或“點(diǎn)A的鄰域”泛指這兩種形狀的鄰域,并由于點(diǎn)A的任意圓鄰域可以包含在點(diǎn)A的某一方鄰域之內(nèi)(注意:不要把上面的空心方鄰域錯(cuò)寫(xiě)成

:(請(qǐng)指出※

點(diǎn)和點(diǎn)集之間的關(guān)系以下三種關(guān)系之一

:任意一點(diǎn)

與任意一個(gè)點(diǎn)集

之間必有是E的內(nèi)點(diǎn);由E的全體內(nèi)點(diǎn)所構(gòu)成的集合稱為(i)內(nèi)點(diǎn)——若則稱點(diǎn)

AE的內(nèi)部,記作intE.

錯(cuò)在何處?)注意:不要把上面的空心方鄰域錯(cuò)寫(xiě)成:(請(qǐng)指出※點(diǎn)和(ii)外點(diǎn)——若則稱點(diǎn)A是

E的外點(diǎn)；由

E的全體外點(diǎn)所構(gòu)成的集合(iii)

界點(diǎn)——若

恒有(

其中

),則稱點(diǎn)A是E的界點(diǎn);由E的全體界點(diǎn)所構(gòu)成的集合稱為E的邊界;記作注

E的內(nèi)點(diǎn)必定屬于E;E的外點(diǎn)必定不屬于E;

E的界點(diǎn)可能屬于E,也可能不屬于E.并請(qǐng)注意:稱為E的外部.

(ii)外點(diǎn)——若則稱點(diǎn)A是E的外點(diǎn)；由E只有當(dāng)時(shí),E的外部與

才是兩個(gè)相同的集合.圖16–3例1

設(shè)平面點(diǎn)集（見(jiàn)圖16–3）于D;滿足的一切點(diǎn)也是D的內(nèi)點(diǎn);滿足的一切點(diǎn)是D的界點(diǎn),它們都屬滿足的一切點(diǎn)都是D的界點(diǎn),但它們都不屬于D.只有當(dāng)時(shí),E的外部與才是兩個(gè)相同的集合.圖點(diǎn)A與點(diǎn)集E的上述關(guān)系是按“內(nèi)-外”來(lái)區(qū)分的.此外，還可按“疏-密”來(lái)區(qū)分，即在點(diǎn)A的近旁是否密集著E中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)而構(gòu)成另一類關(guān)系:(i)

聚點(diǎn)——若在點(diǎn)A的任何空心鄰域內(nèi)都含有E中的點(diǎn)，則稱點(diǎn)A是點(diǎn)集E的聚點(diǎn)．注1聚點(diǎn)本身可能屬于E，也可能不屬于E.注2聚點(diǎn)的上述定義等同于:“在點(diǎn)A的任何鄰域內(nèi)都含有E中的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)”.注3

E的全體聚點(diǎn)所構(gòu)成的集合稱為E的導(dǎo)集,記點(diǎn)A與點(diǎn)集E的上述關(guān)系是按“內(nèi)-外”來(lái)區(qū)分的.作

又稱為E

的閉包,記作例如,對(duì)于例1中的點(diǎn)集D,它的導(dǎo)集與閉包同為其中滿足

的那些聚點(diǎn)不屬于D,而其余

所有聚點(diǎn)都屬于D.(ii)

孤立點(diǎn)——若點(diǎn)

,但不是E的聚點(diǎn)（即有某δ

>

0,使得

則稱點(diǎn)A是

E的孤立點(diǎn).注孤立點(diǎn)必為界點(diǎn);內(nèi)點(diǎn)和不是孤立點(diǎn)的界點(diǎn)必作又稱為E的閉包,記作例如,對(duì)于例1中為聚點(diǎn);既非聚點(diǎn),又非孤立點(diǎn),則必為外點(diǎn).例2

設(shè)點(diǎn)集

顯然,E中所有點(diǎn)(p,q)全為E的孤立點(diǎn);并有※

一些重要的平面點(diǎn)集根據(jù)點(diǎn)集所屬的點(diǎn)所具有的特殊性質(zhì),可來(lái)定義一些重要的點(diǎn)集.開(kāi)集——若E所屬的每一點(diǎn)都是E的內(nèi)點(diǎn)(即E=

intE),則稱E為開(kāi)集.為聚點(diǎn);既非聚點(diǎn),又非孤立點(diǎn),則必為外點(diǎn).例2E為閉集.例如前面列舉的點(diǎn)集中,(2)式所示的C是開(kāi)集;(3)式所示的S是閉集;(4)式所示的D既非開(kāi)集,又

非閉集;而(1)式所示的R2

既是開(kāi)集又是閉集.在平面點(diǎn)集中,只有R2

與

是既開(kāi)又閉的.開(kāi)域——若非空開(kāi)集E具有連通性,即E中任意兩點(diǎn)之間都可用一條完全含于E的有限折線相連接,閉集——若E的所有聚點(diǎn)都屬于E

則稱E為閉集.若E沒(méi)有聚點(diǎn)這時(shí)也稱

E為閉集.則稱E為開(kāi)域.簡(jiǎn)單地說(shuō),開(kāi)域就是非空連通開(kāi)集.

閉域——開(kāi)域連同其邊界所成的集合稱為閉域.區(qū)域——開(kāi)域、閉域、開(kāi)域連同其一部分界點(diǎn)所成的集合,統(tǒng)稱為區(qū)域.不難證明:閉域必為閉集;而閉集不一定為閉域.在前述諸例中,(2)式的C是開(kāi)域,(3)式的S

是閉域,(1)式的R2既是開(kāi)域又是閉域,(4)式的D是區(qū)域(但既不是開(kāi)域又不是閉域).又如則稱E為開(kāi)域.簡(jiǎn)單地說(shuō),開(kāi)域就是非空連通開(kāi)集.它是I、III兩象限之并集.雖然它是開(kāi)集,但因不具有連通性,所以它既不是開(kāi)域,也不是區(qū)域.有界點(diǎn)集——對(duì)于平面點(diǎn)集E,若使得其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)(也可以是其他固定點(diǎn)),則稱E

為有界點(diǎn)集.否則就為無(wú)界點(diǎn)集(請(qǐng)具體寫(xiě)出定義).

前面(2),(3),(4)都是有界集,(1)與(5)是無(wú)界集.E為有界點(diǎn)集的另一等價(jià)說(shuō)法是:存在矩形區(qū)域它是I、III兩象限之并集.雖然它是開(kāi)集,但因此外，點(diǎn)集的有界性還可以用點(diǎn)集的直徑來(lái)反映,

所謂點(diǎn)集E的直徑,就是其中ρ(P1,P2)是P1(x1,y1)

與P2(x2,y2)之間的距

離,即

于是,當(dāng)且僅當(dāng)d(E)為有限值時(shí),E為有界點(diǎn)集.根據(jù)距離的定義,不難證明如下三角形不等式:

此外，點(diǎn)集的有界性還可以用點(diǎn)集的直徑來(lái)反映,所謂點(diǎn)集※

舉例討論上述點(diǎn)集的性質(zhì)例3

證明:對(duì)任何恒為閉集.證如圖16–4所示,設(shè)的任一聚點(diǎn)，欲證（即亦為的界點(diǎn)）.為此由聚點(diǎn)定義，存在圖

16–４

再由為界點(diǎn)的定義,

在

※舉例討論上述點(diǎn)集的性質(zhì)例3證明:對(duì)任何恒為閉集.的點(diǎn).由此推知在內(nèi)既有的點(diǎn),又有非的任意性,

為的界點(diǎn),即,也就證得為閉集．注類似地可以證明:對(duì)任何點(diǎn)集

亦恒為閉集.(

留作習(xí)題

)例4設(shè)

試證

E

為閉集的充要條件是：

內(nèi)既有的點(diǎn),又有非的點(diǎn).所以,由的點(diǎn).由此推知在內(nèi)既有的點(diǎn),又有非的任意性,為的界證下面按循環(huán)流程圖16–5來(lái)分別作出證明.

已知為閉集(

即),欲證

反之顯然有

①

②

③圖16–5

證下面按循環(huán)流程圖16–5來(lái)分別作出證明.綜合起來(lái),便證得②已知欲證為此

外點(diǎn),反之顯然

③綜合起來(lái),便證得②已知欲證為此外點(diǎn),反注此例指出了如下兩個(gè)重要結(jié)論:

(i)閉集也可用“”來(lái)定義

(只是使用

起來(lái)一般不如“”方便,因?yàn)橛嘘P(guān)聚點(diǎn)

有許多便于應(yīng)用的性質(zhì))．(ii)閉集與開(kāi)集具有對(duì)偶性質(zhì)——閉集的余集為開(kāi)

集;開(kāi)集的余集為閉集.利用此性質(zhì),有時(shí)可以通

過(guò)討論

來(lái)認(rèn)識(shí)E.注此例指出了如下兩個(gè)重要結(jié)論:例5

以下兩種說(shuō)法在一般情形下為什么是錯(cuò)的?(i)

既然說(shuō)開(kāi)域是“非空連通開(kāi)集”，那么閉域就是

“非空連通閉集”；(ii)

要判別一個(gè)點(diǎn)集是否是閉域,只要看其去除邊界后所得的是否為一開(kāi)域,即答(i)例如取

這是一個(gè)非空連

通閉集.但因它是前面(5)式所示的集合G與其邊界(二坐標(biāo)軸)的并集(即),而G不是例5以下兩種說(shuō)法在一般情形下為什么是錯(cuò)的?(i)開(kāi)域,故S

不是閉域(不符合閉域的定義).(a)(b)(c)

圖16–6

(ii)如圖16–6所示,集為

(c)

中的點(diǎn)集為易見(jiàn)E為一開(kāi)域,據(jù)定義F則為閉域；然而

(a)中的點(diǎn)集為D;(b)中的點(diǎn)開(kāi)域,故S不是閉域(不符合閉域的定義).顯然不符合它為閉域的定義.由此又可見(jiàn)到:二、R2上的完備性定理

※

平面點(diǎn)列的收斂性定義及柯西準(zhǔn)則反映實(shí)數(shù)系完備性的幾個(gè)等價(jià)定理,構(gòu)成了一元函數(shù)極限理論的基礎(chǔ).現(xiàn)在把這些定理推廣到R2,它們同樣是二元函數(shù)極限理論的基礎(chǔ).

顯然不符合它為閉域的定義.定義1

設(shè)

為一列點(diǎn),為一固定點(diǎn).則稱點(diǎn)列{Pn}收斂于點(diǎn)P0,

記作同樣地有定義1設(shè)為一列點(diǎn),為一固定點(diǎn).則稱點(diǎn)列{Pn由于點(diǎn)列極限的這兩種等價(jià)形式都是數(shù)列極限,因

此立即得到下述關(guān)于平面點(diǎn)列的收斂原理.

定理16.1(柯西準(zhǔn)則)收斂的充要條件是:證（必要性）由于點(diǎn)列極限的這兩種等價(jià)形式都是數(shù)列極限,因此立即得應(yīng)用三角形不等式,立刻得到(充分性)

當(dāng)(6)式成立時(shí),同時(shí)有這說(shuō)明{xn}和{yn}都滿足關(guān)于數(shù)列的柯西準(zhǔn)則,

所以它們都收斂.

由點(diǎn)列收斂概念,推知

{

Pn

}

收斂于點(diǎn)P0(x0,y0).

應(yīng)用三角形不等式,立刻得到(充分性)當(dāng)(6)式成

(這是一個(gè)重要命題,證明留作習(xí)題.)※

下述區(qū)域套定理,是區(qū)間套定理在R2

上的推廣.定理16.2(閉域套定理)

設(shè){Dn

}是R2中的一列閉

域,它滿足：(這是一個(gè)重要命題,證明留作習(xí)題.)※下述區(qū)域套注孤立點(diǎn)必為界點(diǎn);內(nèi)點(diǎn)和不是孤立點(diǎn)的界點(diǎn)必),則稱點(diǎn)A是E的界點(diǎn);由E例11是定義在R2上的函數(shù),值域有界點(diǎn)集——對(duì)于平面點(diǎn)集E,若此立即得到下述關(guān)于平面點(diǎn)列的收斂原理.注2聚點(diǎn)的上述定義等同于:“在點(diǎn)A的任何鄰域有界,由聚點(diǎn)定理,由于點(diǎn)A的任意圓鄰域可以包含在點(diǎn)A的某一顯然不符合它為閉域的定義.單位圓域,值域?yàn)閰^(qū)間[0,1],4(有限覆蓋定理)設(shè)圖16–7

則存在惟一的點(diǎn)證如圖16–7所示,任取點(diǎn)列從而有

由柯西準(zhǔn)則知道存在注孤立點(diǎn)必為界點(diǎn);內(nèi)點(diǎn)和不是孤立點(diǎn)的界點(diǎn)必圖16–任意取定n,對(duì)任何正整數(shù)p,有再令由于Dn是閉域,故必定是閉集,

因此

Dn的聚點(diǎn)必定屬于Dn

,則得最后證明

的惟一性.若還有則由任意取定n,對(duì)任何正整數(shù)p,有再令由于Dn推論對(duì)上述閉域套{Dn},

注把{Dn

}改為閉集套時(shí),上面的命題同樣成立.定理16.3(聚點(diǎn)定理)

若為有界無(wú)限點(diǎn)集,則

E在R2中至少有一個(gè)聚點(diǎn).

證現(xiàn)用閉域套定理來(lái)證明.由于E有界,因此存在一個(gè)閉正方形.如圖16–8所示,把D1分成四個(gè)相同的小正方形,則在其中至少有一小閉

正方形含有E中無(wú)限多個(gè)點(diǎn),把它記為D2.再對(duì)

推論對(duì)上述閉域套{Dn},注把{Dn圖16–8

D2如上法分成四個(gè)更小

的正方形,其中又至少有一個(gè)小閉正方形含有E

的無(wú)限多個(gè)點(diǎn).如此下去,

得到一個(gè)閉正方形序列：很顯然,

{

Dn

}

的邊長(zhǎng)隨著而趨于零.

于是由閉域套定理,存在一點(diǎn)圖16–8D2如上法分成四個(gè)更小的最后,由區(qū)域套定理的推論,又由Dn的取法,知道含有E的無(wú)限多個(gè)點(diǎn),這就證得了M0是E的聚點(diǎn).推論任一有界無(wú)限點(diǎn)列

必存在收斂子定理16.4(有限覆蓋定理)

設(shè)為一有界閉域

,為一族開(kāi)域

,它覆蓋了D

中必存在有限個(gè)開(kāi)域

它們

同樣覆蓋了D,

即

(

證明可仿照R中的相應(yīng)命題去進(jìn)行.

)

列最后,由區(qū)域套定理的推論,又由Dn的取法,知道含本定理的證明與R中的有限覆蓋定理(定理7.3)相仿,在此從略.

注

將本定理中的D改設(shè)為有界閉集,而將改設(shè)為一族開(kāi)集,此時(shí)定理結(jié)論依然成立.

例7

設(shè)試證E為有界閉集的充要條件

是:E的任一無(wú)窮子集Eq必有聚點(diǎn),且聚點(diǎn)恒屬本定理的證明與R中的有限覆蓋定理(定理7.3)證(必要性)E有界

有界,由聚點(diǎn)定理

,必有聚點(diǎn).又因的聚點(diǎn)亦為E的聚點(diǎn),而E是閉集,所以該聚點(diǎn)必屬于

E．(充分性)

先證E為有界集.倘若E為無(wú)界集,則

存在各項(xiàng)互異的點(diǎn)列易見(jiàn)這個(gè)子集無(wú)聚點(diǎn),

這與已知條件相矛盾.再證

E為閉集.為此設(shè)P0為E

的任一聚點(diǎn),由聚

點(diǎn)的等價(jià)定義,存在各項(xiàng)互異的點(diǎn)列

使證(必要性)E有界有界,由聚點(diǎn)定理,必有聚點(diǎn)現(xiàn)把看作,由條件的聚點(diǎn)(即)必屬于

E,

所以E為閉集.

三、二元函數(shù)

※

函數(shù)(或映射)是兩個(gè)集合之間的一種確定的對(duì)

應(yīng)關(guān)系.R到R的映射是一元函數(shù),R2到R的映射則是二元函數(shù).

現(xiàn)把看作,由條件定義2

設(shè)平面點(diǎn)集,若按照某對(duì)應(yīng)法則f,

D中每一點(diǎn)P(x,y)都有惟一確定的實(shí)數(shù)z與之對(duì)應(yīng),則稱f為定義在D上的二元函數(shù)(或稱f為

D到R的一個(gè)映射),記作也記作或點(diǎn)函數(shù)形式定義2設(shè)平面點(diǎn)集,若按照某對(duì)與一元函數(shù)相類似,稱D為f的定義域;而稱

為f在點(diǎn)P的函數(shù)值;全體函數(shù)值的集合為f的

值域,記作.通常把P的坐標(biāo)x與y稱為f的自變量,而把z稱為因變量.

當(dāng)把和它所對(duì)應(yīng)的

一起組成

三維數(shù)組(x,y,z)時(shí),三維點(diǎn)集便是二元函數(shù)f的圖象.通常該圖象是一空間曲

與一元函數(shù)相類似,稱D為f的定義域;而稱面,f的定義域D是該曲面在xOy平面上的投影.

例8

函數(shù)的圖象是R3

中的一個(gè)平面,其定義域是R2,值域是R.例9的定義域是xOy平面上的

單位圓域,值域?yàn)閰^(qū)間[0,1],

它的圖象是以原點(diǎn)為中心的單位球面的上半部分

(圖16–9).

例10是定義在R2上的函數(shù),它的圖象是過(guò)原點(diǎn)的雙曲拋物面(圖16–10).面,f的定義域D是該曲面在xOy平面上的投影圖16–9

圖16–10

圖16–11

圖16–9圖16–10圖16–11例11

是定義在R2上的函數(shù),值域是全體非負(fù)整數(shù),它的圖象示于圖16–11.

※若二元函數(shù)的值域是有界數(shù)集,則稱函數(shù)在D上為一有界函數(shù)(如例9中的函數(shù)).否則,

若是無(wú)界數(shù)集,則稱函數(shù)在D上為一無(wú)界

函數(shù)(如例8、10、11中的函數(shù)).與一元函數(shù)類似地,設(shè)則有例11是例12設(shè)函數(shù)(

此函數(shù)在以后還有特殊用處

)試用等高線法討論曲面

的形狀.解用為一系列常數(shù)

)去截曲面得等高線方程例12設(shè)函數(shù)(此函數(shù)在以后還有特殊用處)試用當(dāng)時(shí),得平面上的四條直線當(dāng)時(shí),由等高線的直角坐標(biāo)方程難以看出它

的形狀.若把它化為極坐標(biāo)方程,即令得到如圖16–12所示,為所對(duì)應(yīng)的一

族等高線.

當(dāng)時(shí),得平面上的四條直線圖16–12

圖16–12圖16–13由此便可想象曲面的大致形狀如圖16–13所示,

坐標(biāo)原點(diǎn)是曲面的一個(gè)鞍點(diǎn),四道“山谷”與四道

“山脊”在鞍點(diǎn)處相匯.圖16–13由此便可想象曲面的大致形狀如圖16–四、n元函數(shù)所有n個(gè)有序?qū)崝?shù)組的全體稱為n

維向量空間,簡(jiǎn)稱n維空間,記作Rn.其中每個(gè)有

序?qū)崝?shù)組稱為Rn中的一個(gè)點(diǎn);n個(gè)

實(shí)數(shù)是這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).設(shè)E為Rn中的點(diǎn)集,若有某個(gè)對(duì)應(yīng)法則f,使E

中每一點(diǎn)都有惟一的一個(gè)實(shí)數(shù)y

與之對(duì)應(yīng),則稱f為定義在E上的n元函數(shù),記作

四、n元函數(shù)所有n個(gè)有序?qū)崝?shù)組的全身體健康，學(xué)習(xí)進(jìn)步！身體健康，學(xué)習(xí)進(jìn)步！數(shù)學(xué)分析課件平面點(diǎn)集與多元函數(shù)數(shù)學(xué)分析課件平面點(diǎn)集與多元函數(shù)例如：

(2)(3)例如：(2)(3)圖16–1

(a)

圓C

(b)矩形S

圖16–2

(a)

圓鄰域

(b)

方鄰域

圖16–1(a)圓C(b)矩形S由于點(diǎn)

A的任意圓鄰域可以包含在點(diǎn)

A的某一方鄰域之內(nèi)(反之亦然),因此通常用“點(diǎn)A的鄰用記號(hào)或來(lái)表示.

點(diǎn)

A的空心鄰域是指:或并用記號(hào)

來(lái)表示.域”或“點(diǎn)A的鄰域”泛指這兩種形狀的鄰域,并由于點(diǎn)A的任意圓鄰域可以包含在點(diǎn)A的某一方鄰域之內(nèi)(注意:不要把上面的空心方鄰域錯(cuò)寫(xiě)成

:(請(qǐng)指出※

點(diǎn)和點(diǎn)集之間的關(guān)系以下三種關(guān)系之一

:任意一點(diǎn)

與任意一個(gè)點(diǎn)集

之間必有是E的內(nèi)點(diǎn);由E的全體內(nèi)點(diǎn)所構(gòu)成的集合稱為(i)內(nèi)點(diǎn)——若則稱點(diǎn)

AE的內(nèi)部,記作intE.

錯(cuò)在何處?)注意:不要把上面的空心方鄰域錯(cuò)寫(xiě)成:(請(qǐng)指出※點(diǎn)和(ii)外點(diǎn)——若則稱點(diǎn)A是

E的外點(diǎn)；由

E的全體外點(diǎn)所構(gòu)成的集合(iii)

界點(diǎn)——若

恒有(

其中

),則稱點(diǎn)A是E的界點(diǎn);由E的全體界點(diǎn)所構(gòu)成的集合稱為E的邊界;記作注

E的內(nèi)點(diǎn)必定屬于E;E的外點(diǎn)必定不屬于E;

E的界點(diǎn)可能屬于E,也可能不屬于E.并請(qǐng)注意:稱為E的外部.

(ii)外點(diǎn)——若則稱點(diǎn)A是E的外點(diǎn)；由E只有當(dāng)時(shí),E的外部與

才是兩個(gè)相同的集合.圖16–3例1

設(shè)平面點(diǎn)集（見(jiàn)圖16–3）于D;滿足的一切點(diǎn)也是D的內(nèi)點(diǎn);滿足的一切點(diǎn)是D的界點(diǎn),它們都屬滿足的一切點(diǎn)都是D的界點(diǎn),但它們都不屬于D.只有當(dāng)時(shí),E的外部與才是兩個(gè)相同的集合.圖點(diǎn)A與點(diǎn)集E的上述關(guān)系是按“內(nèi)-外”來(lái)區(qū)分的.此外，還可按“疏-密”來(lái)區(qū)分，即在點(diǎn)A的近旁是否密集著E中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)而構(gòu)成另一類關(guān)系:(i)

聚點(diǎn)——若在點(diǎn)A的任何空心鄰域內(nèi)都含有E中的點(diǎn)，則稱點(diǎn)A是點(diǎn)集E的聚點(diǎn)．注1聚點(diǎn)本身可能屬于E，也可能不屬于E.注2聚點(diǎn)的上述定義等同于:“在點(diǎn)A的任何鄰域內(nèi)都含有E中的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)”.注3

E的全體聚點(diǎn)所構(gòu)成的集合稱為E的導(dǎo)集,記點(diǎn)A與點(diǎn)集E的上述關(guān)系是按“內(nèi)-外”來(lái)區(qū)分的.作

又稱為E

的閉包,記作例如,對(duì)于例1中的點(diǎn)集D,它的導(dǎo)集與閉包同為其中滿足

的那些聚點(diǎn)不屬于D,而其余

所有聚點(diǎn)都屬于D.(ii)

孤立點(diǎn)——若點(diǎn)

,但不是E的聚點(diǎn)（即有某δ

>

0,使得

則稱點(diǎn)A是

E的孤立點(diǎn).注孤立點(diǎn)必為界點(diǎn);內(nèi)點(diǎn)和不是孤立點(diǎn)的界點(diǎn)必作又稱為E的閉包,記作例如,對(duì)于例1中為聚點(diǎn);既非聚點(diǎn),又非孤立點(diǎn),則必為外點(diǎn).例2

設(shè)點(diǎn)集

顯然,E中所有點(diǎn)(p,q)全為E的孤立點(diǎn);并有※

一些重要的平面點(diǎn)集根據(jù)點(diǎn)集所屬的點(diǎn)所具有的特殊性質(zhì),可來(lái)定義一些重要的點(diǎn)集.開(kāi)集——若E所屬的每一點(diǎn)都是E的內(nèi)點(diǎn)(即E=

intE),則稱E為開(kāi)集.為聚點(diǎn);既非聚點(diǎn),又非孤立點(diǎn),則必為外點(diǎn).例2E為閉集.例如前面列舉的點(diǎn)集中,(2)式所示的C是開(kāi)集;(3)式所示的S是閉集;(4)式所示的D既非開(kāi)集,又

非閉集;而(1)式所示的R2

既是開(kāi)集又是閉集.在平面點(diǎn)集中,只有R2

與

是既開(kāi)又閉的.開(kāi)域——若非空開(kāi)集E具有連通性,即E中任意兩點(diǎn)之間都可用一條完全含于E的有限折線相連接,閉集——若E的所有聚點(diǎn)都屬于E

則稱E為閉集.若E沒(méi)有聚點(diǎn)這時(shí)也稱

E為閉集.則稱E為開(kāi)域.簡(jiǎn)單地說(shuō),開(kāi)域就是非空連通開(kāi)集.

閉域——開(kāi)域連同其邊界所成的集合稱為閉域.區(qū)域——開(kāi)域、閉域、開(kāi)域連同其一部分界點(diǎn)所成的集合,統(tǒng)稱為區(qū)域.不難證明:閉域必為閉集;而閉集不一定為閉域.在前述諸例中,(2)式的C是開(kāi)域,(3)式的S

是閉域,(1)式的R2既是開(kāi)域又是閉域,(4)式的D是區(qū)域(但既不是開(kāi)域又不是閉域).又如則稱E為開(kāi)域.簡(jiǎn)單地說(shuō),開(kāi)域就是非空連通開(kāi)集.它是I、III兩象限之并集.雖然它是開(kāi)集,但因不具有連通性,所以它既不是開(kāi)域,也不是區(qū)域.有界點(diǎn)集——對(duì)于平面點(diǎn)集E,若使得其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)(也可以是其他固定點(diǎn)),則稱E

為有界點(diǎn)集.否則就為無(wú)界點(diǎn)集(請(qǐng)具體寫(xiě)出定義).

前面(2),(3),(4)都是有界集,(1)與(5)是無(wú)界集.E為有界點(diǎn)集的另一等價(jià)說(shuō)法是:存在矩形區(qū)域它是I、III兩象限之并集.雖然它是開(kāi)集,但因此外，點(diǎn)集的有界性還可以用點(diǎn)集的直徑來(lái)反映,

所謂點(diǎn)集E的直徑,就是其中ρ(P1,P2)是P1(x1,y1)

與P2(x2,y2)之間的距

離,即

于是,當(dāng)且僅當(dāng)d(E)為有限值時(shí),E為有界點(diǎn)集.根據(jù)距離的定義,不難證明如下三角形不等式:

此外，點(diǎn)集的有界性還可以用點(diǎn)集的直徑來(lái)反映,所謂點(diǎn)集※

舉例討論上述點(diǎn)集的性質(zhì)例3

證明:對(duì)任何恒為閉集.證如圖16–4所示,設(shè)的任一聚點(diǎn)，欲證（即亦為的界點(diǎn)）.為此由聚點(diǎn)定義，存在圖

16–４

再由為界點(diǎn)的定義,

在

※舉例討論上述點(diǎn)集的性質(zhì)例3證明:對(duì)任何恒為閉集.的點(diǎn).由此推知在內(nèi)既有的點(diǎn),又有非的任意性,

為的界點(diǎn),即,也就證得為閉集．注類似地可以證明:對(duì)任何點(diǎn)集

亦恒為閉集.(

留作習(xí)題

)例4設(shè)

試證

E

為閉集的充要條件是：

內(nèi)既有的點(diǎn),又有非的點(diǎn).所以,由的點(diǎn).由此推知在內(nèi)既有的點(diǎn),又有非的任意性,為的界證下面按循環(huán)流程圖16–5來(lái)分別作出證明.

已知為閉集(

即),欲證

反之顯然有

①

②

③圖16–5

證下面按循環(huán)流程圖16–5來(lái)分別作出證明.綜合起來(lái),便證得②已知欲證為此

外點(diǎn),反之顯然

③綜合起來(lái),便證得②已知欲證為此外點(diǎn),反注此例指出了如下兩個(gè)重要結(jié)論:

(i)閉集也可用“”來(lái)定義

(只是使用

起來(lái)一般不如“”方便,因?yàn)橛嘘P(guān)聚點(diǎn)

有許多便于應(yīng)用的性質(zhì))．(ii)閉集與開(kāi)集具有對(duì)偶性質(zhì)——閉集的余集為開(kāi)

集;開(kāi)集的余集為閉集.利用此性質(zhì),有時(shí)可以通

過(guò)討論

來(lái)認(rèn)識(shí)E.注此例指出了如下兩個(gè)重要結(jié)論:例5

以下兩種說(shuō)法在一般情形下為什么是錯(cuò)的?(i)

既然說(shuō)開(kāi)域是“非空連通開(kāi)集”，那么閉域就是

“非空連通閉集”；(ii)

要判別一個(gè)點(diǎn)集是否是閉域,只要看其去除邊界后所得的是否為一開(kāi)域,即答(i)例如取

這是一個(gè)非空連

通閉集.但因它是前面(5)式所示的集合G與其邊界(二坐標(biāo)軸)的并集(即),而G不是例5以下兩種說(shuō)法在一般情形下為什么是錯(cuò)的?(i)開(kāi)域,故S

不是閉域(不符合閉域的定義).(a)(b)(c)

圖16–6

(ii)如圖16–6所示,集為

(c)

中的點(diǎn)集為易見(jiàn)E為一開(kāi)域,據(jù)定義F則為閉域；然而

(a)中的點(diǎn)集為D;(b)中的點(diǎn)開(kāi)域,故S不是閉域(不符合閉域的定義).顯然不符合它為閉域的定義.由此又可見(jiàn)到:二、R2上的完備性定理

※

平面點(diǎn)列的收斂性定義及柯西準(zhǔn)則反映實(shí)數(shù)系完備性的幾個(gè)等價(jià)定理,構(gòu)成了一元函數(shù)極限理論的基礎(chǔ).現(xiàn)在把這些定理推廣到R2,它們同樣是二元函數(shù)極限理論的基礎(chǔ).

顯然不符合它為閉域的定義.定義1

設(shè)

為一列點(diǎn),為一固定點(diǎn).則稱點(diǎn)列{Pn}收斂于點(diǎn)P0,

記作同樣地有定義1設(shè)為一列點(diǎn),為一固定點(diǎn).則稱點(diǎn)列{Pn由于點(diǎn)列極限的這兩種等價(jià)形式都是數(shù)列極限,因

此立即得到下述關(guān)于平面點(diǎn)列的收斂原理.

定理16.1(柯西準(zhǔn)則)收斂的充要條件是:證（必要性）由于點(diǎn)列極限的這兩種等價(jià)形式都是數(shù)列極限,因此立即得應(yīng)用三角形不等式,立刻得到(充分性)

當(dāng)(6)式成立時(shí),同時(shí)有這說(shuō)明{xn}和{yn}都滿足關(guān)于數(shù)列的柯西準(zhǔn)則,

所以它們都收斂.

由點(diǎn)列收斂概念,推知

{

Pn

}

收斂于點(diǎn)P0(x0,y0).

應(yīng)用三角形不等式,立刻得到(充分性)當(dāng)(6)式成

(這是一個(gè)重要命題,證明留作習(xí)題.)※

下述區(qū)域套定理,是區(qū)間套定理在R2

上的推廣.定理16.2(閉域套定理)

設(shè){Dn

}是R2中的一列閉

域,它滿足：(這是一個(gè)重要命題,證明留作習(xí)題.)※下述區(qū)域套注孤立點(diǎn)必為界點(diǎn);內(nèi)點(diǎn)和不是孤立點(diǎn)的界點(diǎn)必),則稱點(diǎn)A是E的界點(diǎn);由E例11是定義在R2上的函數(shù),值域有界點(diǎn)集——對(duì)于平面點(diǎn)集E,若此立即得到下述關(guān)于平面點(diǎn)列的收斂原理.注2聚點(diǎn)的上述定義等同于:“在點(diǎn)A的任何鄰域有界,由聚點(diǎn)定理,由于點(diǎn)A的任意圓鄰域可以包含在點(diǎn)A的某一顯然不符合它為閉域的定義.單位圓域,值域?yàn)閰^(qū)間[0,1],4(有限覆蓋定理)設(shè)圖16–7

則存在惟一的點(diǎn)證如圖16–7所示,任取點(diǎn)列從而有

由柯西準(zhǔn)則知道存在注孤立點(diǎn)必為界點(diǎn);內(nèi)點(diǎn)和不是孤立點(diǎn)的界點(diǎn)必圖16–任意取定n,對(duì)任何正整數(shù)p,有再令由于Dn是閉域,故必定是閉集,

因此

Dn的聚點(diǎn)必定屬于Dn

,則得最后證明

的惟一性.若還有則由任意取定n,對(duì)任何正整數(shù)p,有再令由于Dn推論對(duì)上述閉域套{Dn},

注把{Dn

}改為閉集套時(shí),上面的命題同樣成立.定理16.3(聚點(diǎn)定理)

若為有界無(wú)限點(diǎn)集,則

E在R2中至少有一個(gè)聚點(diǎn).

證現(xiàn)用閉域套定理來(lái)證明.由于E有界,因此存在一個(gè)閉正方形.如圖16–8所示,把D1分成四個(gè)相同的小正方形,則在其中至少有一小閉

正方形含有E中無(wú)限多個(gè)點(diǎn),把它記為D2.再對(duì)

推論對(duì)上述閉域套{Dn},注把{Dn圖16–8

D2如上法分成四個(gè)更小

的正方形,其中又至少有一個(gè)小閉正方形含有E

的無(wú)限多個(gè)點(diǎn).如此下去,

得到一個(gè)閉正方形序列：很顯然,

{

Dn

}

的邊長(zhǎng)隨著而趨于零.

于是由閉域套定理,存在一點(diǎn)圖16–8D2如上法分成四個(gè)更小的最后,由區(qū)域套定理的推論,又由Dn的取法,知道含有E的無(wú)限多個(gè)點(diǎn),這就證得了M0是E的聚點(diǎn).推論任一有界無(wú)限點(diǎn)列

必存在收斂子定理16.4(有限覆蓋定理)

設(shè)為一有界閉域

,為一族開(kāi)域

,它覆蓋了D

中必存在有限個(gè)開(kāi)域

它們

同樣覆蓋了D,

即

(

證明可仿照R中的相應(yīng)命題去進(jìn)行.

)

列最后,由區(qū)域套定理的推論,又由Dn的取法,知道含本定理的證明與R中的有限覆蓋定理(定理7.3)相仿,在此從略.

注

將本定理中的D改設(shè)為有界閉集,而將改設(shè)為一族開(kāi)集,此時(shí)定理結(jié)論依然成立.

例7

設(shè)試證E為有界閉集的充要條件

是:E的任一無(wú)窮子集Eq必有聚點(diǎn),且聚點(diǎn)恒屬本定理的證明與R中的有限覆蓋定理(定理7.3)證(必要性)E有界

有界,由聚點(diǎn)定理

,必有聚點(diǎn).又因的聚點(diǎn)亦為E的聚點(diǎn),而E是閉集,所以該聚點(diǎn)必屬于

E．(充分性)

先證E為有界集.倘若E為無(wú)界集,則

存在各項(xiàng)互異的點(diǎn)列易見(jiàn)這個(gè)子集無(wú)聚點(diǎn),

這與已知條件相矛盾.再證

E為閉集.為此設(shè)P0為E

的任一聚點(diǎn),由聚

點(diǎn)的等價(jià)定義,存在各項(xiàng)互異的點(diǎn)列

使證(必要性)E有界有界,由聚點(diǎn)定理,必有聚點(diǎn)現(xiàn)把看作,由條件的聚點(diǎn)(即)必屬于

E,

所以E為閉集.

三、二元函數(shù)

※

函數(shù)(或映射)是兩個(gè)集合之間的一種確定的對(duì)

應(yīng)關(guān)系.R到R的映射是一元函數(shù),R2到R的映射則是二元函數(shù).

現(xiàn)把看作,由條件定義2

設(shè)平面點(diǎn)集,若按照某對(duì)應(yīng)法則f,

D中每一點(diǎn)P(x,y)都有惟一確定的實(shí)數(shù)z與之對(duì)應(yīng),則稱f為定義在D上的二元函數(shù)(或稱f為

D到R的一個(gè)映射),記作也記作或點(diǎn)函數(shù)形式定義2設(shè)平面點(diǎn)集,若按照某對(duì)與一元函數(shù)相類似,稱D為f的定義域;而稱

為f在點(diǎn)P