(新高考)高考數(shù)學(xué)三輪沖刺解答題核心考點(diǎn)練第5講《數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和》（解析版）

第5講數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和高考預(yù)測一：等差等比公式法求和1．已知等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）是否存在正整數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求SKIPIF1<0的最小值；若不存在，說明理由．【解析】解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，則由已知可得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0故SKIPIF1<0．（Ⅱ）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，從而SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，從而SKIPIF1<0故SKIPIF1<0．綜上，對任何正整數(shù)SKIPIF1<0，總有SKIPIF1<0．故不存在正整數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立．2．記SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和．已知SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）若SKIPIF1<0，求使得SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的取值范圍．【解析】解：（1）根據(jù)題意，等差數(shù)列SKIPIF1<0中，設(shè)其公差為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，變形可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，（2）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，不等式成立，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0，變形可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，綜合可得：SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．高考預(yù)測二：裂項(xiàng)相消求和3．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）若等差數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若SKIPIF1<0＝______，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充到第（Ⅱ）問中，并對其求解．【解析】解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍負(fù)），代入①得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，②設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；（Ⅱ）選擇①：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．選擇②：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；選擇③：由（Ⅰ）知SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．4．SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0通項(xiàng)公式；（2）設(shè)SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求整數(shù)SKIPIF1<0值．【解析】解：（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減，得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0為常數(shù)列，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）由（1）可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0為整數(shù)，當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．5．記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．【解析】解：（1）由題意，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，整理，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0（舍去）．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，兩式相減，可得SKIPIF1<0，整理，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為4，公差為3的等差數(shù)列．SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）由（1）知，SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．6．已知數(shù)列SKIPIF1<0為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0．（Ⅰ）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．【解析】解：SKIPIF1<0由題設(shè)可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0由（Ⅰ）可得：SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<0．7．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）證明數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，并求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．【解析】（1）證明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0為首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）解：由（1）可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，又當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0也適合上式，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．高考預(yù)測三：錯位相減求和8．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0為實(shí)數(shù)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列．（Ⅰ）求SKIPIF1<0的值和SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和．【解析】解：（Ⅰ）數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0為實(shí)數(shù)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，②當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為：SKIPIF1<0．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0①，則SKIPIF1<0，②①SKIPIF1<0②得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．9．設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．【解析】解：（1）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因此SKIPIF1<0．（2）由題意知：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．10．設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，記SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．【解析】解：（1）由題設(shè)知：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由（1）可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，兩式相減可得：SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0．高考預(yù)測四：分組求和11．已知等差數(shù)列SKIPIF1<0前10項(xiàng)的和是120，前20項(xiàng)的和是440．（1）求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）若等比數(shù)列SKIPIF1<0的第2項(xiàng)和第5項(xiàng)分別是6和162，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和．【解析】解：（1）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，由題設(shè)條件知：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，由題設(shè)條件知：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以其前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．12．已知SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0（1）求證：數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列：（2）設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．【解析】SKIPIF1<0證明：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．SKIPIF1<0SKIPIF1<0解：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<