高考數(shù)學(理數(shù))一輪復(fù)習教案：10.4《直線、平面平行的判定及其性質(zhì)》(含解析)

10.4直線、平面平行的判定及其性質(zhì)典例精析題型一面面平行的判定【例1】如圖，B為△ACD所在平面外一點，M、N、G分別為△ABC、△ABD、△BCD的重心.(1)求證：平面MNG∥平面ACD；(2)若△ACD是邊長為2的正三角形，判斷△MNG的形狀并求△MGN的面積.【解析】(1)證明：連接BM、BN、BG并延長分別交AC、AD、CD于E、F、H三點.因為M為△ABC的重心，N為△BAD的重心，所以eq\f(BM,ME)＝eq\f(BN,NF)＝2.所以MN∥EF，同理MG∥HE.因為MN?平面ACD，MG?平面ACD，所以MN∥平面ACD，MG∥平面ACD，因為MN∩MG＝M，所以平面MNG∥平面ACD.(2)由(1)知，平面MNG∥平面ACD，eq\f(BM,ME)＝eq\f(BN,NF)＝2，所以eq\f(MG,EH)＝eq\f(MN,EF)＝eq\f(2,3)，因為EH＝eq\f(1,2)AD，EF＝eq\f(1,2)CD，所以eq\f(MG,\f(1,2)AD)＝eq\f(MN,\f(1,2)CD)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(MG,AD)＝eq\f(MN,CD)＝eq\f(NG,AC)＝eq\f(1,3)，又△ACD為正三角形.所以△MNG為等邊三角形，且邊長為eq\f(1,3)×2＝eq\f(2,3)，面積S＝eq\f(\r(3),4)×eq\f(4,9)＝eq\f(\r(3),9).【點撥】由三角形重心的性質(zhì)得到等比線段，由此推出線線平行，應(yīng)用面面平行的判定定理得出面面平行.【變式訓練1】如圖，ABCD是空間四邊形，E、F、G、H分別是四邊上的點，且它們共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，當EFGH是菱形時，AE∶EB＝____________.【解析】eq\f(m,n).設(shè)AE＝a，EB＝b，由EF∥AC，得EF＝eq\f(bm,a＋b)，同理EH＝eq\f(an,a＋b).EF＝EH，所以eq\f(bm,a＋b)＝eq\f(an,a＋b)?eq\f(a,b)＝eq\f(m,n).題型二線面平行的判定【例2】兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM＝FN.求證：MN∥平面BCE.【證明】方法一：如圖一，作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q為垂足，連接PQ，則MP∥AB，NQ∥AB.所以MP∥NQ，又AM＝NF，AC＝BF，所以MC＝NB.又∠MCP＝∠NBQ＝45°，所以Rt△MCP≌Rt△NBQ，所以MP＝NQ.故四邊形MPQN為平行四邊形.所以MN∥PQ.因為PQ?平面BCE，MN?平面BCE，所以MN∥平面BCE.方法二：如圖二，過M作MH⊥AB于H，則MH∥BC.所以eq\f(AM,AC)＝eq\f(AH,AB).連接NH，由BF＝AC，F(xiàn)N＝AM得eq\f(FN,FB)＝eq\f(AH,AB)，所以NH∥AF∥BE.因為MN?平面MNH，所以MN∥平面BCE.【點撥】解決本題的關(guān)鍵在于找出平面內(nèi)的一條直線和該平面外的一條直線平行，即線(內(nèi))∥線(外)?線(外)∥平面或轉(zhuǎn)化為證明兩個平面平行.方法二中要證明線面平行，通過轉(zhuǎn)化為證兩個平面平行，正確地找出MN所在平面是一個關(guān)鍵方法.方法一是利用線面平行的判定來證明，方法二則采用轉(zhuǎn)化思想，通過證面面平行來證線面平行.【變式訓練2】如圖所示，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH.求證：AP∥GH.【證明】如圖所示，連接AC，設(shè)AC交BD于O，連接MO.因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以O(shè)是AC的中點.又因為M是PC的中點，所以MO∥PA.又因為MO?平面BDM，PA?平面BDM，所以PA∥平面BDM，平面BDM∩平面APG＝GH，所以AP∥GH.題型三線面、面面平行的性質(zhì)【例3】如圖，在四面體ABCD中，截面EFGH平行于對棱AB和CD，試問此截面在什么位置時其面積最大？【解析】因為AB∥平面EFGH，平面EFGH與平面ABC和平面ABD分別交于FG，EH.所以AB∥FG，AB∥EH，所以FG∥EH，同理可證EF∥GH，所以截面EFGH是平行四邊形.設(shè)AB＝a，CD＝b，∠FGH＝α，F(xiàn)G＝x，GH＝y(tǒng)，則由平面幾何知識得eq\f(x,a)＝eq\f(CG,BC)，eq\f(y,b)＝eq\f(BG,BC)，兩式相加得eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，即y＝eq\f(b,a)(a－x)，所以SEFGH＝FG·GH·sinα＝x·eq\f(b,a)(a－x)·sinα＝eq\f(bsinα,a)x(a－x).因為x＞0，a－x＞0且x＋(a－x)＝a為定值，所以當且僅當x＝a－x即x＝eq\f(a,2)時，此時SEFGH＝eq\f(absinα,4)，即E、F、G、H為所屬線段中點時，截面面積最大.【點撥】先利用線面平行的性質(zhì)，判定截面形狀，再建立面積函數(shù)求最值.【變式訓練3】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面α平行于正方體的體對角線BD1，則平面α在該正方體上截得的圖形不可能為()①正方形；②正三角形；③正六邊形；④直角梯形.A.①②