數(shù)量積與向量積_第1頁(yè)
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數(shù)量積與向量積啟示實(shí)例兩向量作這樣的運(yùn)算,結(jié)果是一個(gè)數(shù)量.定義一、兩向量的數(shù)量積結(jié)論兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模和另一個(gè)向量在這向量的方向上的投影的乘積.數(shù)量積也稱為“點(diǎn)積”、“內(nèi)積”.關(guān)于數(shù)量積的說(shuō)明：證證數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：（2）分配律：（3）若為數(shù)若、為數(shù)：證明（1）、（3）由定義可證余下證明（2）僅就下圖所示的情形給出證明，其它情形可仿此證明設(shè)數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式由此可知兩向量垂直的充要條件為解證例3應(yīng)用向量證明Cauchy—Schwarz不等式證記則例4應(yīng)用向量證明直徑所對(duì)的圓周角是直角證如圖所示xyoABC圓的方程：設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為則例5設(shè)是三個(gè)單位向量始于同一點(diǎn)O且證明它們終點(diǎn)的連線構(gòu)成一等邊三角形證一ABCO又由同理故它們終點(diǎn)的連線構(gòu)成等邊三角形證二由得又同理故由余弦定理，有故它們終點(diǎn)的連線構(gòu)成等邊三角形實(shí)例二、兩向量的向量積定義關(guān)于向量積的說(shuō)明：//向量積也稱為“叉積”、“外積”.向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）（2）分配律：（3）若為數(shù)證////設(shè)向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積還可借助于三階行列式表示由上式可推出//例如，補(bǔ)充解解三角形ABC的面積為解定義設(shè)混合積的坐標(biāo)表達(dá)式三、向量的混合積（1）向量混合積的幾何意義：關(guān)于混合積的說(shuō)明：——輪換對(duì)稱性證明由共面設(shè)由混合積的幾何意義知得共面解例9解式中正負(fù)號(hào)的選擇必須和行列式的符號(hào)一致.例11設(shè)是四個(gè)已知向量，其中不共面，試?yán)檬噶窟\(yùn)算將表示為的線性組合[分析]依題意其中x,y,z待定為求得x，須消去y,z由上式可見，若能用一個(gè)與都垂直的向量，則y,z可同時(shí)消去，自然想到

解設(shè)有以與上式兩端作點(diǎn)積，得由于不共面同理又由輪換對(duì)稱性知向量的數(shù)量積向量的向量積向量的混合積（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量

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