Z矩陣、Y矩陣、A矩陣、S矩陣、T矩陣定義、推導(dǎo)及轉(zhuǎn)換公式

微波網(wǎng)絡(luò)各種參量矩陣定義REF_Ref123739937\h圖1所示為二端口微波網(wǎng)絡(luò)，1端口電壓為U1，電流為I1；二端口電壓為U2，電流為I2。圖SEQ圖\*ARABIC1二端口微波網(wǎng)絡(luò)Z矩陣阻抗矩陣如下：(1.1-1)(1.1-2)其中，，，，(1.1-3)對(duì)于互易網(wǎng)絡(luò)：(1.1-4)對(duì)于對(duì)稱網(wǎng)絡(luò)：(1.1-5)對(duì)于無耗網(wǎng)絡(luò)：（i,j=1,2）(1.1-6)歸一化阻抗矩陣定義歸一化電壓和電流與未歸一化電壓和電流的關(guān)系為：(1.1-7)代入式（1.1-1），有(1.1-8)進(jìn)而(1.1-9)(1.1-10)其中，為歸一化阻抗矩陣，，，，。不同書籍上，亦將歸一化阻抗矩陣書寫為Y矩陣導(dǎo)納矩陣如下：(1.2-1)(1.2-2)其中，，，，(1.2-3)對(duì)于互易網(wǎng)絡(luò)：(1.2-4)對(duì)于對(duì)稱網(wǎng)絡(luò)：(1.2-5)對(duì)于無耗網(wǎng)絡(luò)：（i,j=1,2）(1.2-6)歸一化導(dǎo)納矩陣定義歸一化電壓和電流與未歸一化電壓和電流的關(guān)系為：(1.2-7)代入式（1.2-1），有(1.2-8)進(jìn)而(1.2-9)(1.2-10)其中，為歸一化導(dǎo)納矩陣，，，，。不同書籍上，亦將歸一化導(dǎo)納矩陣書寫為。。A矩陣端口2的電流取向外，應(yīng)為-I2。圖SEQ圖\*ARABIC2二端口微波網(wǎng)絡(luò)（A矩陣）轉(zhuǎn)移矩陣如下：(1.3-1)(1.3-2)其中，，，，(1.3-3)歸一化轉(zhuǎn)移矩陣根據(jù)式（1.1-7）中歸一化電壓和電流與未歸一化電壓和電流的關(guān)系：代入式（1.3-1），有(1.3-4)進(jìn)而(1.3-5)(1.3-6)其中，為歸一化轉(zhuǎn)移矩陣，，，，。不同書籍上，亦將歸一化轉(zhuǎn)移矩陣書寫為。對(duì)于互易網(wǎng)絡(luò)：(1.3-7)對(duì)于對(duì)稱網(wǎng)絡(luò)：(1.3-8)對(duì)于無耗網(wǎng)絡(luò)：A11，A22為實(shí)數(shù)；A12，A21為虛數(shù)(1.3-9)微波網(wǎng)絡(luò)各種參量矩陣轉(zhuǎn)換Z矩陣<=>Y矩陣以歸一化矩陣為例，根據(jù)歸一化阻抗矩陣和歸一化導(dǎo)納矩陣，有(2.1-1)則(2.1-2)，根據(jù)式（2.1-1_2），，代入式（2.1-1_1），化簡有： (2.1-3)，根據(jù)式（2.1-1_1），，代入式（2.1-1_2），化簡有：(2.1-4)，根據(jù)式（2.1-1_2），，代入式（2.1-1_1），化簡有： (2.1-5)，根據(jù)式（2.1-1_1），，代入式（2.1-1_2），化簡有：至此，(2.1-6)同理，有(2.1-7)即，與歸一化導(dǎo)納矩陣中結(jié)論一致。Z矩陣<=>A矩陣根據(jù)歸一化阻抗矩陣和歸一化轉(zhuǎn)移矩陣，有(2.2-1)則(2.2-2)，根據(jù)式（2.2-1_2），，代入式（2.2-1_1），化簡有： (2.2-3)，根據(jù)式（2.2-1_2），，代入式（2.2-1_1），化簡有： (2.2-4)，根據(jù)式（2.2-1_2），有 (2.2-5)，根據(jù)式（2.2-1_2），(2.2-6)，將式（2.2-1_3）和式（2.2-1_4）相除，有(2.2-7)，根據(jù)式（2.2-1_4），，代入式（2.2-1_3），化簡有：(2.2-8)，根據(jù)式（2.2-1_4），有(2.2-9)，根據(jù)式（2.2-1_4），至此，由式（2.2-2）-式（2.2-5），有(2.2-10)則，互易網(wǎng)絡(luò)中有，此時(shí)，，式（1.3-7）得證。對(duì)稱網(wǎng)絡(luò)中，，則，式（1.3-8）得證。無耗網(wǎng)絡(luò)中，為純虛數(shù)，則a11，a22為實(shí)數(shù)；a12，a21為純虛數(shù)，與式（1.3-9）結(jié)論一致。 由式（2.2-6）-式（2.2-9），有(2.2-11)Y矩陣<=>A矩陣根據(jù)歸一化導(dǎo)納矩陣和歸一化轉(zhuǎn)移矩陣，有(2.3-1)則(2.3-2)，根據(jù)式（2.3-1_2），有 (2.3-3)，根據(jù)式（2.3-1_2），(2.3-4)，根據(jù)式（2.3-1_2），，代入式（2.3-1_1），化簡有：(2.3-5)，將式（2.3-1_1）和式（2.3-1_2）相除，有：(2.3-6)，將式（2.3-1_3）和式（2.3-1_4）相除，有：(2.3-7)，根據(jù)式（2.3-1_3），，代入式（2.3-1_4），化簡有：(2.3-8)，根據(jù)式（2.3-1_3），有(2.3-9)，根據(jù)式（2.3-1_3），有至此，由式（2.3-2）-式（2.3-5），有(2.3-10)同理，由式（2.3-6）-式（2.3-9），有(2.3-11)匯總式（2.1-6）、式（2.1-7）、式（2.2-10）、式（2.2-11）、式（2.3-10）、式（2.3-11），有：(2.3-12)微波網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣（S矩陣）歸一化入射波和歸一化反射波在微波電路中，用入射波、反射波的概念更甚于用電壓、電流，用反射系數(shù)、駐波比等概念更甚于阻抗或?qū)Ъ{。在每個(gè)端口的參考面上定義歸一化入射波a（復(fù)標(biāo)量），等于入射波的歸一化電壓，有效值平方就是入射波功率。即：(3.1-1)定義歸一化入射波b（復(fù)標(biāo)量），等于入射波的歸一化電壓，有效值平方就是入射波功率。(3.1-2)則(3.1-3) 傳輸功率和歸一化輸入阻抗分別為： (3.1-4)(3.1-5)由a，b為復(fù)標(biāo)量，將a，b寫為式（3-4）證畢。 由式（3-3）和式（1.1-7），根據(jù)給定的，U，I可求得：(3.1-6)S矩陣定義圖SEQ圖\*ARABIC3微波歸一化二端口網(wǎng)絡(luò) S矩陣定義如下：(3.2-1)(3.2-2)其中，，，，(3.2-3)此處表征端口i接匹配負(fù)載，應(yīng)于參量矩陣中短路、開路作區(qū)分。對(duì)于互易網(wǎng)絡(luò)：(3.2-4)對(duì)于對(duì)稱網(wǎng)絡(luò)：(3.2-5)對(duì)于無耗網(wǎng)絡(luò)：(3.2-6)其中，是哈密爾頓矩陣，即的轉(zhuǎn)置共軛矩陣。證明：無耗網(wǎng)絡(luò)：根據(jù)電磁場的特性，有微分方程：(3.2-7)根據(jù)矢量分析恒等式：，將式（3.2-7_1）和式（3.2-7_2）代入有：(3.2-8)式（3.2-8）兩邊作體積積分，有：(3.2-9)令功率密度復(fù)矢量，有(3.2-10)其中，為體積內(nèi)的總磁場儲(chǔ)能，為體積內(nèi)的總電場儲(chǔ)能，為體積內(nèi)的總平均損耗功率。在網(wǎng)絡(luò)分析中，網(wǎng)絡(luò)和外界交換能量僅能通過幾個(gè)口，即的積分僅在幾個(gè)口的截面才有值。則總的復(fù)數(shù)功率可以用各個(gè)口的電流、電壓的乘積之和來表示，即：(3.2-11)由于表示向網(wǎng)格內(nèi)部的功率，正好與能流密度方向相反，因此式（3.2-11）左側(cè)有負(fù)號(hào)。根據(jù)，，代入式（3.2-11）有(3.2-12)此處將歸一化電壓寫成復(fù)數(shù)形式，有：，，則(3.2-13)其中(3.2-14)(3.2-15)將，…和，…均以列矩陣表示，則式（3.2-14）可表示為：(3.2-16)無損網(wǎng)絡(luò)中，P=0，則有：，或(3.2-17)通常網(wǎng)絡(luò)均為可逆，轉(zhuǎn)置矩陣即等于其本身，進(jìn)而有：或(3.2-18)式（3.2-6）證畢?；ヒ?、無耗三端口微波網(wǎng)絡(luò)的三個(gè)端口不能同時(shí)匹配三個(gè)端口不能同時(shí)匹配，即S11，S22，S33不能同時(shí)為零。令S11=0，S22=0。此時(shí)互易網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣可寫為：(3.2-19)根據(jù)網(wǎng)絡(luò)的無耗性，即，有：(3.2-20)根據(jù)式（3.2-20_4）可知，S31和S32中有一個(gè)為零，再根據(jù)式（3.2-20_1）和式（3.2-20_2），可知，|S21|=1，|S31|=|S32|=0。再根據(jù)（3.2-20_3），有|S33|=1≠0，即互易、無耗、三端口微波網(wǎng)絡(luò)的三個(gè)端口不能同時(shí)匹配。S矩陣與其他矩陣的轉(zhuǎn)換3.3.1S矩陣<=>z矩陣求法1：將式（3.1-3）寫成矩陣形式有：(3.3.1-1)則有：(3.3.1-2)(3.3.1-3)進(jìn)而：(3.3.1-4)設(shè)，代入式（3.3.1-2），有：(3.3.1-5)設(shè)，代入式（3.3.1-4），有：(3.3.1-6)求法2：將歸一化阻抗矩陣、S矩陣列出如下：(3.3.1-7)(3.3.1-8)根據(jù)式（3.1-3）有： ，將代入式（3.3.1-7_2）有，再代入式（3.3.1-7_1）有，則(3.3.1-9) ，將代入式（3.3.1-7_1）有，再代入式（3.3.1-7_2）有，則(3.3.1-10)，將代入式（3.3.1-7_2）有，再代入式（3.3.1-7_1）有，則(3.3.1-11) ，將代入式（3.3.1-7_1）有，再代入式（3.3.1-7_2）有，則(3.3.1-12) 根據(jù)式（3.3.1-9）-（3.3.1-12），有(3.3.1-13) 與式（3.3.1-5）一致。 同理可證： (3.3.1-14)3.3.2S矩陣<=>y矩陣求法1：將式（3.1-3）寫成矩陣形式有：(3.3.2-1)則有：(3.3.2-2)(3.3.2-3)進(jìn)而：(3.3.2-4)設(shè)，代入式（3.3.2-2），有：(3.3.2-5)設(shè)，代入式（3.3.2-4），有：(3.3.2-6)求法2：將歸一化導(dǎo)納矩陣、S矩陣列出如下：(3.3.2-7)(3.3.2-8)根據(jù)式（3.1-3）有： ，將代入式（3.3.2-7_2）有，再代入式（3.3.2-7_1）有，則(3.3.2-9) ，將代入式（3.3.2-7_1）有，再代入式（3.3.2-7_2）有，則(3.3.2-10)，將代入式（3.3.2-7_2）有，再代入式（3.3.2-7_1）有，則(3.3.2-11) ，將代入式（3.3.2-7_1）有，再代入式（3.3.2-7_2）有，則(3.3.2-12) 根據(jù)式（3.3.2-9）-（3.3.2-12），有(3.3.2-13) 與式（3.3.2-5）一致。同理可證：(3.3.2-14)3.3.3S矩陣<=>a矩陣 歸一化a矩陣列出如下：(3.3.3-1) 將u=a+b，i=a-b代入式（3.3.3-1），有(3.3.3-2) 將式（3.3.3-2）分別兩式相加和相減有：(3.3.3-3) (3.3.3-4) (3.3.3-5)a1=0，，代入式（3.3.3-3_2）有： (3.3.3-6)(3.3.3-7) 根據(jù)式（3.3.3-4）-（3.3.3-7），有(3.3.3-8)將S矩陣列出如下：(3.3.3-9) 根據(jù)u=a+b，i=a-b，有：(3.3.3-10)i2=0，a2=b2，代入式（3.3.3-9_2），有，代入式（3.3.3-9_1），則 (3.3.3-11)u2=0，a2=-b2，代入式（3.3.3-9_2），有，代入式（3.3.3-9_1），則 (3.3.3-12)i2=0，a2=b2，代入式（3.3.3-9_2），有，代入式（3.3.3-9_1），則(3.3.3-13)u2=0，a2=-b2，代入式（3.3.3-9_2），有，代入式（3.3.3-9_1），則綜上，根據(jù)式（3.3.3-10）-（3.3.3-13），有：(3.3.3-14)二端口網(wǎng)絡(luò)的傳輸矩陣（T矩陣）T矩陣定義圖SEQ圖\*ARABIC4二端口級(jí)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)以入射波和反射波作為端口變量，有：(4.1-1)(4.1-2)其中，(4.1-3)表征2端口接負(fù)載時(shí)，1端口到2端口傳輸系數(shù)的倒數(shù)。 ，，(4.1-4) T12、T21、T22無明確的物理意義。 REF_Ref124242763\h圖4中，，進(jìn)而(4.1-5)T矩陣與其他矩陣的轉(zhuǎn)換4.2.1T矩陣<=>S矩陣 將T矩陣和S矩陣列出如下：(4.2.1-1)(4.2.1-2) 將式（4.2.