中考數(shù)學圓的綜合提高練習題壓軸題訓練含詳細答案

1、中考數(shù)學圓的綜合提高練習題壓軸題訓練含詳細答案一、圓的綜合如圖，已知ABC中，AC=BC，以BC為直徑的OO交AB于E,過點E作EG丄AC于G,交BC的延長線于F.求證：AE=BE；求證：FE是OO的切線；若FE=4,FC=2，求OO的半徑及CG的長./込yE【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析；(3)【解析】(1)證明：連接CE,如圖1所示：BC是直徑,ZBEC=90，.CE丄AB；又:AC=BC,AE=BE.(2)證明：連接0E,如圖2所示：TBE=AE,OB=OC,OE是厶ABC的中位線，OEIIAC,AC=2OE=6.又TEG丄AC,FE丄0E,FE是OO的切線.(3)解：TEF是O

2、O的切線，F(xiàn)E2=FCFB.設(shè)FC=x，則有2FB=16,FB=8,BC=FB-FC=8-2=6,OB=OC=3,即OO的半徑為3；OE=3.CGFCCG26TOEIAC,FCG-FOE,：；：即：一，解得：CG=1.點睛：本題利用了等腰三角形三線合一定理,三角形中位線的判定,切割線定理,以及勾股定理,還有平行線分線段成比例定理,切線的判定等知識如圖，AB是OO的直徑，弦CD丄AB,垂足為H,連結(jié)AC,過BD上一點E作EGIIAC交CD的延長線于點G,連結(jié)AE交CD于點F,且EG=FG,連結(jié)CE.(1)求證：ZG=ZCEF；求證：EG是OO的切線；延長AB交GE的延長線于點M,若tanG=4,

3、AH=3朽，求EM的值.【答案】(1)證明見解析；證明見解析；-【解析】試題分析：(1)由ACIEG,推出ZG=ZACG,由AB丄CD推出Ad二AC，推出ZCEF=ZACD,推出/G=ACEF,由此即可證明;欲證明EG是OO的切線只要證明EG丄OE即可；連接OC.設(shè)OO的半徑為r.在RtAOCH中，利用勾股定理求出r,證明AHHCAHC-MEO,可得二，由此即可解決問題；EMOE試題解析：(1)證明：如圖1.TACIIEG,AZG=ZACG,:AB丄CD,AAd二AC,ZCEF=ZACD,AZG=ZCEF,TZECF=ZECG,AECF-GCE.HCG0BEVHCG0BEV圖1(2)證明：如圖

4、2中，連接OE.TGF=GE,AZGFE=ZGEF=ZAFH,TOA=OE,AZOAE=ZOEA,TZAFH+ZFAH=90,AZGEF+ZAEO=90,AZGEO=90,AGEOE,AEG是OO的切線.(3)解：如圖3中，連接OC.設(shè)OO的半徑為r.在RtAAHC中，tanZACH=tanZG=AHHC,AH=3j3,HC=4朽，在RtAHOC中,：OC=r,OH在RtAAHC中，tanZACH=tanZG=AHHC,AH=3j3,HC=4朽，在RtAHOC中,TGMIIAC,ZCAH=ZM,:ZOEM=ZAHC,AHC-MEO,25朽r=25朽r=6AH_HCEOE(1)如圖1,在矩形AB

5、CD中，點O在邊AB上,ZAOC=ZBOD，求證：AO=OB；(2)如圖2,AB是OO的直徑，PA與OO相切于點A,OP與OO相父于點C,連接CB,ZOPA=40，求ZABC的度數(shù).【答案】(1)證明見解析；(2)25.【解析】試題分析：(1)根據(jù)等量代換可求得ZAOD=ZBOC，根據(jù)矩形的對邊相等，每個角都是直角，可知ZA=ZB=90,AD=BC，根據(jù)三角形全等的判定AAS證得AODBOC，從而得證結(jié)論.(2)利用切線的性質(zhì)和直角三角形的兩個銳角互余的性質(zhì)得到圓心角ZPOA的度數(shù)，然后利用圓周角定理來求ZABC的度數(shù).試題解析：(1)TZAOC=ZBODZAOC-ZCOD=ZBOD-ZCOD

6、即卩ZAOD=ZBOCT四邊形ABCD是矩形ZA=ZB=90,AD=BCAAOD仝ABOCAO=OB(2)解：tAB是eO的直徑，pa與eO相切于點A,PA丄AB,ZA=90.又:ZOPA=40,.ZAOP=50，tOB=OC，.ZB=ZOCB.又:ZAOP=ZB+ZOCB,1ZB二ZOCB=-ZAOP=25。2如圖，AB是半圓0的直徑，C是h；的中點，D是i;的中點，AC與BD相交于點E.（1）求證：（1）求證：BD平分ZABC；2）求證：BE=2AD；3)DE3)DE求BE的值.【答案】答案見解析BE=AF=2AD寧【解析】試題分析：（1）根據(jù)中點弧的性質(zhì)，可得弦AD=CD，然后根據(jù)弦、弧

7、、圓周角、圓心角的性質(zhì)求解即可；（2）延長BC與AD相交于點F,證明BCE竺ACF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BE=AF=2AD；（3）連接OD,交AC于H.簡要思路如下：設(shè)OH為1,則BC為2，OB=OD=，DH=$2-1,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求解.試題解析：（1）TD是i；的中點.AD=DC.ZCBD=ZABDBD平分ZABC（2）提示：延長BC與AD相交于點F,證明BCE竺ACF,BE=AF=2AD(3)連接OD,交AC于H.簡要思路如下:設(shè)OH為1,貝yBC為2,OB=OD=J2,dh=p2dh=p21,DEDHBE=BC5.已知：如圖，在矩形ABCD中，點0在對角線BD上，以0D

8、的長為半徑的O0與AD,BD分別交于點E、點F,且/ABE=ZDBC.判斷直線BE與OO的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論;若sinz若sinzABE=，CD=2，求OO的半徑.3【答案】直線BE與。相切，證明見解析；(2)。的半徑為#【解析】分析：(1)連接0E,根據(jù)矩形的性質(zhì)，可證ZBEO=90，即可得出直線BE與OO相切；連接EF,先根據(jù)已知條件得出BD的值，再在ABEO中，利用勾股定理推知BE的長，設(shè)出OO的半徑為r,利用切線的性質(zhì)，用勾股定理列出等式解之即可得出r的值.詳解：(1)直線BE與OO相切.理由如下：連接OE,在矩形ABCD中，ADIIBC,二ZADB=ZDBC.TOD=OE,ZO

9、ED=ZODE.又:ZABE=ZDBC,.ZABE=ZOED,T矩形ABDC，ZA=90，.ZABE+ZAEB=90，.ZOED+ZAEB=90,.ZBEO=90,.直線BE與OO相切；AC(2)AC(2)連接EF,方法1：T四邊形ABCD是矩形，CD=2,ZA=ZC=90,AB=CD=2.ZABE=ZDBC,sinZCBD=sin上ABE=BD=DCsin上CBD在RtZABE=ZDBC,sinZCBD=sin上ABE=BD=DCsin上CBD在RtAAEB中，TCD=2,BC=2、遼TtanZCBD=tanZABE,AE由勾股定理求得BE=空6.在RtABEO中，ZBEO=90,EO2+E

10、B2=OB2.設(shè)OO的半徑為r,則r2+(、；6)2=(23-r)2,方法2：TDF是OO的直徑,ZDEF=90.T四邊形ABCD是矩形，ZA=ZC=90,AB=CD=2.TZABE=ZDBC，SinZCBD皿ABE弋設(shè)DC=x,BD=U3x，則BC=2x.TCD=2,BC=2邁.DCAETtanZCBD=tanZABE,-BC=IB2邁22-AE,AE=j2,E為AD中點.DF=2BD仝,OO的半徑為FTDF為直徑，ZFED=90,EFIIAB,點睛：本題綜合考查了切線的性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)的應(yīng)用等知識點，具有較強的綜合性，有一定的難度.6.如圖，AB,BC分別是OO的直徑和弦，點D為

11、BC上一點，弦DE交OO于點E,交AB于點F,交BC于點G,過點C的切線交ED的延長線于H,且HC=HG,連接BH,交OO于點M,連接MD,ME.求證：DE丄AB；ZHMD=ZMHE+ZMEH.E【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】分析：(1)連接OC，根據(jù)等邊對等角和切線的性質(zhì)，證明ZBFG=ZOCH=90即可；連接BE,根據(jù)垂徑定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得出ZHMD=ZBME，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)證明ZHMD=ZDEB=ZEMB即可.詳解：證明：(1)連接OC,THC=HG,ZHCG=ZHGC；HC切OO于C點，.ZOCB+ZHCG=90；OB=OC,.ZOCB=ZOB

12、C,ZHGC=ZBGF,.ZOBC+ZBGF=90,ZBFG=90，即DE丄AB；(2)連接BE，由(1)知DE丄AB,TAB是OO的直徑，.ED二甌.ZBED=ZBME；T四邊形BMDE內(nèi)接于OO,.ZHMD=ZBED，.ZHMD=ZBME；TZBME是HEM的外角，.ZBME=ZMHE+ZMEH，.ZHMD=ZMHE+ZMEH.E點睛：此題綜合性較強，主要考查了切線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和外角的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、內(nèi)接四邊形的性質(zhì)7.如圖，A是以BC為直徑的OO上一點，AD丄BC于點D,過點B作O0的切線，與CA的延長線相交于點E,G是AD的中點，連結(jié)CG并延長與BE相交于點F,延長AF

13、與CB的延長線相交于點P.（1）求證：BF=EF：（2）求證：PA是OO的切線；（3）若FG=BF，且OO的半徑長為3邁，求BD的長度.【答案】證明見解析；（2）證明見解析；（3）2邁【解析】分析：（1）利用平行線截三角形得相似三角形，得BFC-DGC且厶FEC-GAC,得到對應(yīng)線段成比例，再結(jié)合已知條件可得BF=EF；（2）利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)和等邊對等角，得到ZFAO=乙EBO,結(jié)合BE是圓的切線，得到PA丄OA,從而得到PA是圓O的切線；（3）點F作FH丄AD于點H,根據(jù)前兩問的結(jié)論，利用三角形的相似性質(zhì)即可以求出BD的長度.詳解：證明：丁BC是圓O的直徑，BE是圓O的切線，

14、EB丄BC.又:ADIBC,:.ADIIBE.BFCDGC,FECGAC,.BFCFEFCF.DGCGAGCGBFEFDGAGTG是AD的中點,DG=AG,BF=EF；(2)連接AO,AB.TBC是圓0的直徑，ZBAC=90,由得：在RtABAE中，F(xiàn)是斜邊BE的中點,AF=FB=EF，可得ZFBA=ZFAB,又T0A=0B,.ZAB0=ZBA0，TBE是圓0的切線，.ZEB0=90，.ZFBA+ZAB0=90，.ZFAB+ZBA0=90，即ZFA0=90,.PA丄0A,.PA是圓0的切線；(3)過點F作FH丄AD于點H,TBD丄AD,FH丄AD,.FHIIBC,由(2),知ZFBA=ZBAF

15、,.BF=AF.TBF=FG,.AF=FG,.AFG是等腰三角形.TFH丄AD,AH=GH,TDG=AG,.DG=2HG.HGDGHGDG12TFHIIBD,BFIIAD,ZFBD=90,.四邊形BDHF是矩形，.BD=FH,TFHIBCHFG-DCG,FHHG1CDDG2BDCDTO的半徑長為3后,.BC=6邁,1_.BD=-BC=2巨.點睛：本題考查了切線的判定、勾股定理、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì).結(jié)合已知條件準確對圖形進行分析并應(yīng)用相應(yīng)的圖形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.8如圖，AB是圓0的直徑，射線AM丄AB，點D在AM上，連接0D交圓0于點E,過點D作DC=DA交圓0于點C(A、C不重

16、合)，連接0C、BC、CE.求證：CD是OO的切線；若圓0的直徑等于2，填空：當AD=時，四邊形OADC是正方形；【解析】試題分析：(1)依據(jù)SSS證明OAD竺OCD，從而得到ZOCD=ZOAD=90；(2)依據(jù)正方形的四條邊都相等可知AD=OA；依據(jù)菱形的性質(zhì)得到OE=CE，則EOC為等邊三角形，則ZCEO=60,依據(jù)平行線的性質(zhì)可知ZDOA=60，利用特殊銳角三角函數(shù)可求得AD的長.試題解析：解：TAM丄AB,.ZOAD=90.TOA=OC,OD=OD,AD=DC,OAD竺OCD,ZOCD=ZOAD=90.OC丄CD,.CD是OO的切線.(2)T當四邊形OADC是正方形，.AO=AD=1.

17、故答案為：1.T四邊形OECB是菱形，.OE=CE.又TOC=OE,.OC=OE=CE.ZCEO=60.TCEIIAB,.ZAOD=60.在RtAOAD中，ZAOD=60,AO=1,AD=.故答案為：點睛：本題主要考查的是切線的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和判定,特殊銳角三角函數(shù)值的應(yīng)用,熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵9.如圖，在直角坐標系中，OM經(jīng)過原點0(0,0),點A(*6,0)與點B(0,心2),點D在劣弧OA上，連結(jié)BD交x軸于點C,且ZCOD=ZCBO.求OM的半徑；求證：BD平分ZABO；在線段BD的延長線上找一點E,使得直線AE恰為OM的切線，

18、求此時點E的坐標.y1i【答案】(1)M的半徑；(2)證明見解析；(3)點E的坐標為(三,2).【解析】試題分析：根據(jù)點A和點B的坐標得出0A和0B的長度，根據(jù)RtAAOB的勾股定理得出AB的長度，然后得出半徑；根據(jù)同弧所對的圓周角得出ZABD=ZCOD,然后結(jié)合已知條件得出角平分線；根據(jù)角平分線得出ABEHBE，從而得出BH=BA=2p2，從而求出0H的長度，即點E的縱坐標，根據(jù)RtAAOB的三角函數(shù)得出ZABO的度數(shù)，從而得出ZCBO的度數(shù)，然后根據(jù)RtAHBE得出HE的長度，即點E的橫坐標.試題解析：（1）T點A為（、拓,0）,點B為（0,-邁）二OA=、，：6OB=邁1_根據(jù)RtAAO

19、B的勾股定理可得：AB=2還二eM的半徑g_AB=、江.2(2)根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得：ZABD=ZCODVZCOD=ZCBOZABD=ZCBOBD平分ZABO如圖，由(2)中的角平分線可得ABE竺HBEBH=BA=2、；2OH=2p2-v2=討2OArr在RtAAOB中，zABO=60ZCBO=30OB(2/63在RtAHBE中,HE3=-3-點E的坐標為、込）考點：勾股定理、角平分線的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)、三角函數(shù).10.如圖，AC是OO的直徑，OB是OO的半徑，PA切O0于點A，在RtAHBE中,HE3=-3-點E的坐標為、込）考點：勾股定理、角平分線的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)、三角函數(shù).

20、（1）求證：PB是OO的切線；【解析】【分析】（1）根據(jù)題意ZM+ZP=90,而ZCOB=ZAPB，所以有ZM+ZCOB=90,即可證明PB是OO的切線.（2）設(shè)圓的半徑為r,則OM=r+2,BM=4,OB=r,再根據(jù)勾股定理列方程便可求出r.【詳解】證明：（1）VAC是OO的直徑，PA切OO于點A,PA丄04在RtAMAP中，ZM+ZP=90,而上C0B=ZAPB,.ZM+ZC0B=90,.Z0BM=90,即0BBP,.PB是OO的切線；(2)設(shè)OO的半徑為r,:.OM=r+2,OB=r,BM=4QAOBM為直角三角形.OM2=OB2+BM2，即(r+2)2=r2+42解得：r=3,.OO的

21、半徑為3.【點睛】本題主要考查圓的切線問題,證明圓的切線有兩種思路一種是證明連線是半徑,另一種是證明半徑垂直.11.如圖，OO是厶ABC的外接圓，AB是直徑，過點O作OD丄CB，垂足為點D,延長DO交OO于點E,過點E作PE丄AB,垂足為點P,作射線DP交CA的延長線于F點，連接EF,aDPA0aDPA0求證：0D=0P；(2)求證：FE是OO的切線.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】試題分析：(2)證明POE竺ADO可得DO=EO；連接AE,BE,證出APEAFE即可得出結(jié)論.試題解析：(1)ZEPO=ZBDO=90ZEOP=ZBODOE=OBOPE竺ODB.OD=OP連接

22、EA,EB.Z1=ZEBCTAB是直徑.ZAEB=ZC=90.Z2+Z3=90T乙3=ZDEBTZBDE=90ZEBC+ZDEB=90Z2=ZEBC=Z1TZC=90ZBDE=90.CFIIOE.ZODP=ZAFPTOD=OP.ZODP=ZOPDTZOPD=ZAPF.ZAFP=ZAPF.AF=AP又AE=AEAPE竺AFE.ZAFE=ZAPE=90.ZFED=90.FE是OO的切線考點：切線的判定如圖，在RtAABC中，點0在斜邊AB上，以0為圓心，OB為半徑作圓，分別與BC,AB相交于點D，E,連接AD.已知ZCAD=ZB.(1)求證：AD是O0的切線；(2)若CD=2，AC=4，BD=6，

23、求OO的半徑.答案】(1)詳見解析；(2)孕-【解析】【分析】解答時先根據(jù)角的大小關(guān)系得到Z1=Z3,根據(jù)直角三角形中角的大小關(guān)系得出OD丄AD,從而證明AD為圓0的切線；(2)根據(jù)直角三角形勾股定理和兩三角形相似可以得出結(jié)果【詳解】證明：連接0D,TOB=OD,Z3=ZB,TZB=Z1,.Z1=Z3,在Rt3CD中，Z1+Z2=90,Z4=180-(Z2+Z3)=90,.ODAD,則AD為圓O的切線；(2)過點0作OF丄BC,垂足為F,TOF丄BD1.DF=BF=BD=32TAC=4,CD=2,ZACD=90.ad!AC2CD2=2爲TZCAD=ZB,ZOFB=ZACD=90.BFO-ACD

24、.bf=obAC=AD3OB即4=肓.ob=久52.OO的半徑為埜52【點睛】此題重點考查學生對直線與圓的位置關(guān)系,圓的半徑的求解,掌握勾股定理,兩三角形相似的判定條件是解題的關(guān)鍵如圖，AB是半圓OO的直徑，點C是半圓OO上的點，連接AC,BC,點E是AC的中點，點F是射線OE上一點.如圖1,連接FA，F(xiàn)C,若/AFC=2ZBAC,求證：FA丄AB；如圖2,過點C作CD丄AB于點D,點G是線段CD上一點(不與點C重合)，連接FA,FG,FG與AC相交于點P,且AF=FG.試猜想/AFG和試猜想/AFG和/B的數(shù)量關(guān)系，并證明；連接0G,若OE=BD,乙GOE=90,OO的半徑為2,求EP的長.

25、答案】(1)見解析；(2)結(jié)論：ZGFA=2ZABC.理由見解析；PE=【解析】【分析】證明ZOFA=ZBAC,由ZEAO+ZEOA=90,推出ZOFA+ZAOE=90,推出ZFAO=90即可解決問題.結(jié)論：ZGFA=2ZABC.連接FC.由FC=FG=FA，以F為圓心FC為半徑作OF.因為AgAG，推出ZGFA=2ZACG,再證明ZACG=ZABC.圖2-1中，連接AG,作FH丄AG于H.想辦法證明ZGFA=120，求出EF,OF,OG即可解決問題.【詳解】(1)證明：連接OC.TOA=OC,EC=EA,OF丄AC,FC=FA,.ZOFA=ZOFC,TZCFA=2ZBAC,ZOFA=ZBAC

26、,TZOEA=90,.ZEAO+ZEOA=90，.ZOFA+ZAOE=90,.ZFAO=90,.AFAB.(2)解：結(jié)論：ZGFA=2ZABC.理由：連接FC-OF垂直平分線段AC,.FG=FA,TFG=FA,.FC=FG=FA，以F為圓心FC為半徑作OF.TAGAG,.ZGFA=2ZACG,TAB是OO的直徑，.ZACB=90,TCD丄AB,.ZABC+ZBCA=90,TZBCD+ZACD=90,.ZABC=ZACG,.ZGFA=2ZABC如圖2-1中，連接AG,作FH丄AG于H.TBD=OE,ZCDB=ZAEO=90,ZB=ZAOE,.CDB竺AEO(AAS),.CD=AE,TEC=EA,

27、.AC=2CD.ZBAC=30,ZABC=60,.ZGFA=120,T0A=0B=2,0E=1,AE=，BA=4,BD=0D=1,TZGOE=ZAEO=90,OGIIAC,DG咅OG=竿:.AGrDG2+AD2二21,3TFG=FA,FH丄AG,AH=HG21,ZAFH=60,3AH_2打sin603在Rt在RtAEF中，EF=AF2-AE2134OF=OE+EF=3TPEI0G,PE_EFO_OF1PE_3珥_占3.PE=26【點睛】圓綜合題,考查了垂徑定理,勾股定理,圓周角定理,全等三角形的判定和性質(zhì),銳角三角函數(shù),解直角三角形等知識,解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線,構(gòu)造直角三角形解決問題

28、.14.如圖所示，AABC內(nèi)接于圓O,CD丄AB于D；如圖1,當AB為直徑，求證：ZOBC_ZACD；如圖2,當AB為非直徑的弦，連接OB,則(1)的結(jié)論是否成立？若成立請證明,不成立說明由；如圖3,在(2)的條件下，作AE丄BC于E,交CD于點F,連接ED,且AD_BD+2ED，若DE_3,OB_5，求CF的長度.EF0BAODOBADE2HiS3【答案】（EF0BAODOBADE2HiS3【答案】（1）見解析；（2）成立；（3）y解析】分析】（1）根據(jù)圓周角定理求出ZACB=90，求出ZADC=90,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即(2)根據(jù)圓周角定理求出ZBOC=2ZA,求出ZOBC=90-

29、ZA和ZACD=90-ZA即可;（3）分別延長AE、CD交OO于H、K,連接HK、CH、AK，在AD上取DG=BD，延長CG交AK于M,延長KO交OO于N,連接CN、AN，求出關(guān)于a的方程，再求出a即可.詳解】(1)證明：TAB為直徑,ZACB=90,tCD丄AB于D,ZADC=90,ZOBC+ZA=90,ZA+ZACD=90。,ZOBC=ZACD；2）成立，證明：連接OC,由圓周角定理得：/BOC=2ZA,OC=OB,ZOBC二1(180。/BOC)=1(180。2ZA)=90。/A,22zADC=90。,ZACD=90。ZA,ZOBC=ZACD；(3)分別延長AE、CD交OO于H、K,連接

30、HK、CH、AK,AE丄BC,CD丄BA,ZAEC=ZADC=90。,ZBCD+ZCFE=90。,ZBAH+ZDFA=90。,ZCFE=ZDFA,ZBCD=ZBAH,根據(jù)圓周角定理得：ZBAH=ZBCH,ZBCD=ZBAH=ZBCH，.由三角形內(nèi)角和定理得：ZCHE=ZCFE,.CH=CF，.EH=EF，同理DF=DK，DE=3，.HK=2DE=6在AD上取DG=BD，延長CG交AK于M,則AG=AD-BD=2DE=6,BC=GC，.ZMCK=ZBCK=ZBAK，.ZCMK=90。，延長KO交OO于N,連接CN、AN，則ZNAK=90=ZCMK，.CM/AN，ZNCK=ZADK=90，.CN/AG，.四邊形CGAN是平行四邊形，.AG