產生的磁通密度為與電流I課件

1、2013年4月9日星期二電磁場與電磁波第六章 電磁感應 作業(yè)：6-1, 6-26-4，6-76-112013年4月9日星期二電磁場與電磁波第六章 電磁感應 主 要 內 容電磁感應定律、自感與互感、磁場能量與力1. 電磁感應定律2. 電感3. 磁場能量4. 磁場力2013年4月9日星期二電磁場與電磁波2013年4月9日星期二電磁場與電磁波1. 電磁感應定律 當閉合線圈中的磁通隨時間變化時，線圈中產生的感應電動勢 e 為 式中電動勢 e 的正方向與磁通方向構成右旋關系。 當磁通增加時，感應電動勢的實際方向與磁通方向構成左旋關系；反之，當磁通減少時，電動勢的實際方向與磁通方向構成右旋關系。 eI穿過

2、曲面S的磁通量定義為2013年4月9日星期二電磁場與電磁波 感應電流產生的感應磁通方向總是阻礙原有磁通的變化，所以感應磁通又稱為反磁通。 感應電場強度 E 沿線圈回路的閉合線積分等于線圈中的感應電動勢，即 又知 ，得上式稱為電磁感應定律，它表明時變磁場可以產生時變電場。 eI2013年4月9日星期二電磁場與電磁波2013年4月9日星期二電磁場與電磁波根據旋度定理，由上式得 該式對于任一回路面積 S 均成立，因此，其被積函數一定為零，即此為電磁感應定律的微分形式。它表明某點磁通密度的時間變化率負值等于該點時變電場強度的旋度。 電磁感應定律是描述時變電磁場著名的麥克斯韋方程組中的方程之一。 201

3、3年4月9日星期二電磁場與電磁波2. 電感 在線性介質中， 單個閉合回路電流產生的磁通密度與回路電流 I 成正比，因此穿過回路的磁通也與回路電流 I 成正比。式中L 稱為回路的電感，單位為H(亨)。 與回路電流 I 交鏈的磁通稱為回路電流 I 的磁通鏈，以 表示。令 與 I 的比值為L，即電感又可理解為與單位電流交鏈的磁通鏈。 2013年4月9日星期二電磁場與電磁波 單個回路的電感僅與回路的形狀及尺寸有關，與回路中電流無關。 磁通鏈與磁通不同，磁通鏈是指與某電流交鏈的磁通。 若交鏈 N 次，則磁通鏈增加 N 倍； 若部分交鏈，則必須給予適當的折扣。因此，與N 匝回路電流 I 交鏈的磁通鏈為 =

4、 N 。由 N 匝回路組成的線圈的電感為2013年4月9日星期二電磁場與電磁波1. 磁通與磁通鏈3.3.3 電感 C回路 磁通 磁通鏈CI電流回路特征：回路可以是任意幾何回路與所有電流回路鉸鏈的總磁通特征：回路是電流回路計入電流存在的所有回路每個回路是計入與之鉸鏈的全部磁通I2013年4月9日星期二電磁場與電磁波n: 為磁場鉸鏈的電流與回路電流I 之比（不一定為整數） 單匝線圈 多匝線圈CI細回路 粗導線回路iCIo粗回路 磁鏈計算o :外磁鏈； i :內磁鏈2013年4月9日星期二電磁場與電磁波稱為導體回路 C 的自感系數，簡稱自感。 外自感2. 自感 內自感；粗導體回路的自感：L = Li

5、 + Lo 自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍的磁介質有關，與電流和磁鏈的大小無關。 自感的特點：特征：磁通鏈是I自已產生的iCIo粗回路 約瑟亨利于 1830年 在實驗中發(fā)現(xiàn)，一個線圈中的電流不但能夠在另一個線圈中感應出另一個電流，而且也能夠在自身線圈中感應出電流，線圈中的實際電流是原來的電流與感應電流之和。前者表示互感，后者表示自感。邁克爾法拉第于 1834 年獨立發(fā)現(xiàn)了自感現(xiàn)象，這次，亨利比法拉第在時間上搶先了一步。射頻集成電路（RFIC ）中的電感2013年4月9日星期二電磁場與電磁波bcaO 例1 計算載有直流電流的同軸線單位長度內的電感。 解 設同軸線內導體的半徑為a，外導體的內

6、半徑為b，外半徑為c，如圖示。 在同軸線中取出單位長度，沿長度方向形成一個矩形回路。 內導體中的電流歸并為矩形回路的內邊電流，外導體中的電流歸并為外邊電流。 IrcbaOdrIIeO2013年4月9日星期二電磁場與電磁波同軸線單位長度的電感定義為 式中，I 為同軸線中的電流； 是單位長度內與電流 I 交鏈的磁通鏈。 該磁通鏈由三部分磁通形成：外導體中的磁通，內、外導體之間的磁通以及內導體中的磁通。由于外導體通常很簿，穿過其內的磁通可以忽略。內外導體之間的磁通密度 Bo 為 2013年4月9日星期二電磁場與電磁波該外磁通與電流 I 完全交鏈，故外磁通與磁通鏈相等。 內導體中的磁通密度 Bi 為該

7、磁場形成的磁通稱為內磁通，以 表示。那么穿過寬度為dr的單位長度截面的內磁通 為該磁場形成的磁通稱為外磁通，以 表示，則單位長度內的外磁通為2013年4月9日星期二電磁場與電磁波 該部分磁通僅與內導體中部分電流 I 交鏈。因此，對于總電流 I 來說，這部分磁通折合成與總電流 I 形成的磁通鏈應為 求得內導體中的磁場對總電流 I 提供的磁通鏈 i 為bcaOIrcbaOdrIIeO2013年4月9日星期二電磁場與電磁波那么，與總電流 I 交鏈的總磁通鏈為(o + i ) 。因此，同軸線的單位長度內電感為式中第一項稱為外電感；第二項稱為內電感。 當同軸線傳輸電磁波時，內外導體中的磁通均可忽略，同軸

8、線單位長度內的電感等于外電感，即 2013年4月9日星期二電磁場與電磁波 解：由安培環(huán)路定理，得單位長度的總自感內導體的內自感內外導體間的外自感外導體的內自感例題1 設螺線管足夠長，可忽略兩端的邊緣磁場效應，求長度為 l 的螺線管線圈的電感。 設螺線管由 N 匝線圈構成，單位長度的線圈匝數為 無限長螺線管產生的磁場為 磁通鏈為 由此可得 考慮到 結果可得例題2 設圓環(huán)線圈的橫截面為矩形，內半徑為 a ，外半徑為 b ，高度為 d ，求該環(huán)形線圈的電感。N匝線圈 匝數為 N 的環(huán)形線圈所產生的磁場為如果圓環(huán)的半徑很大，可得如下近似結果圓環(huán)平均半徑圓環(huán)橫截面的面積電磁場與電磁波求雙線傳輸線長度為l

9、的自感。導線半徑為a，導線間距離Da,如圖所示解：由得二導線在x處產生的磁場分別為總的磁感應強度外自感為內自感為總自感為2013年4月9日星期二電磁場與電磁波 與I1交鏈的磁通鏈由兩部分磁通形成，其一是 I1本身的磁通形成的磁通鏈 11 ，另一是 I2 在回路 l1 中的磁通形成的磁通鏈 12 。 dl1Ozyxdl2l2l1I2I1r2 - r1r2r1那么，與電流 l1 交鏈的磁通鏈1為同理，與電流 I2 交鏈的磁通鏈2為互感2013年4月9日星期二電磁場與電磁波 在線性介質中，比值 ， ， 及 均為常數。式中L11稱為回路 l1的自感，M12稱為回路 l2 對 l1 的互感。同理定義式中

10、L22 稱為回路 l2的自感，M21稱為回路 l1對 l2的互感。 令2013年4月9日星期二電磁場與電磁波將上述參數 L11，L22，M12 及 M21 代入前式，得 可以證明，任意兩個回路之間的互感公式為（見后面推導） 考慮到 ，由上兩式可見2013年4月9日星期二電磁場與電磁波磁通密度B通過某一表面S的通量稱為磁通：（1）矢量磁位：由上兩個公式可以得到（電流I1在回路l2中產生的磁通鏈）：A1為電流I1在回路l2所在處產生的矢量磁位，因此：（3）（2）將公式（3）代入公式（1），得：2013年4月9日星期二電磁場與電磁波 在電子電路中，若要增強兩個線圈的耦合，應彼此平行放置；若要避免兩個

11、線圈的耦合，則應相互垂直?；ジ锌烧韶?，但電感始終為正值。 若互磁通與原磁通方向相同，則磁通鏈增加，互感應為正值；反之，若兩者方向相反，則磁通鏈減少，互感為負值。若處處 ，則互感 。若處處 ，則互感 M 最大。2013年4月9日星期二電磁場與電磁波 例1 計算無限長直導線與矩形線圈之間的互感。設線圈與導線平行，周圍介質為真空，如圖所示。abdrrD0I1I2zS2 解 建立圓柱坐標系，令 z 軸方向與電流 I1一致，則 I1 產生的磁通密度為 與電流I2交鏈的磁通鏈21 為 2013年4月9日星期二電磁場與電磁波求得 若電流I2為逆時針方向時，則B1與dS 反向， M21 為負。 若電流I2為

12、如圖所示的順時針方向，則dS 與B1方向相同。那么abdrrD0I1I2zS2但在任何線性介質中2013年4月9日星期二電磁場與電磁波3. 磁場能量 若加入外源，回路中產生電流。在電流建立過程中，回路中產生的反磁通企圖阻礙電流增長，為了克服反磁通產生反電動勢，外源必須作功。 若電流變化非常緩慢，可以不計輻射損失，則外源輸出的能量全部儲藏在磁場中。 根據在建立磁場過程中外源作的功即可計算磁場能量。eIB2013年4月9日星期二電磁場與電磁波 設單個回路的電流從零開始逐漸緩慢地增加到最終值 I，因而回路磁通也由零值逐漸緩慢地增加到最終值 。反電動勢為eIB 為了克服這個反電動勢，外源必須在回路中產

13、生的電壓 。即2013年4月9日星期二電磁場與電磁波 若時刻 t 回路中的電流為 i(t) ，則此時刻回路中的瞬時功率為 在d t 時間內外源作的功為 單個回路的磁通鏈與電流的關系為 。 那么，在線性介質中，求得 d t 時間內外源作的功為 2013年4月9日星期二電磁場與電磁波當回路電流增至最終值 I 時，外源作的總功 W 為 因電流增長很慢，輻射損失可以忽略，外源作的功完全轉變?yōu)橹車艌龅哪芰?。若?Wm 表示磁場能量，那么上式又可改寫為利用此式計算電感十分方便。2013年4月9日星期二電磁場與電磁波 考慮到 ，則單個回路電流的磁場能量又可表示為式中， 為與電流 I 交鏈的磁通鏈。 對于

14、N 個回路，可令各個回路電流均以同一比例同時由零值緩慢地增加到最終值。 已知各回路磁通鏈與其電流之間的關系是線性的，第j 個回路的磁通鏈 j 為式中Ij 為電流最終值。2013年4月9日星期二電磁場與電磁波第 j 個回路在時刻 t 的電流為在 dt 時間內，外源在 N 個回路中作的功為那么，在同一時刻該回路的磁通鏈為2013年4月9日星期二電磁場與電磁波那么，具有最終值電流的 N 個回路產生的磁場能量為 當各個回路電流均達到最終值時，外源作的總功 W 為 若已知各個回路的電流及磁通鏈，由上式即可計算N 個回路共同產生的磁場能量。 2013年4月9日星期二電磁場與電磁波 已知回路磁通可用矢量磁位

15、 A 表示為 ，因此第 j 個回路的磁通鏈可用矢量磁位 A 表示為 那么，N 個回路的磁場能量又可用矢量磁位表示為式中 A 為周圍回路電流在第 j 個回路所在處產生的合成矢量磁位。 2013年4月9日星期二電磁場與電磁波 若電流分布在體積V中，電流密度為J，已知 ，則上式變?yōu)轶w積分，此時磁場能量可以表示為式中V 為體電流所占據的體積。 對于面電流，則產生的磁場能量為 式中S 為面電流所在的面積。 2013年4月9日星期二電磁場與電磁波磁能密度 利用矢量恒等式 ，上式又可寫為若將積分區(qū)域擴大到無限遠處，上式仍然成立。已知 ，代入 ，得 式中， V 為電流所在的區(qū)域。2013年4月9日星期二電磁場

16、與電磁波 令 S 為半徑無限大的球面，則由散度定理知，上式第一項的當電流分布在有限區(qū)域時， ， ，因此考慮到 ，求得上式中的被積函數即是磁場密度。 2013年4月9日星期二電磁場與電磁波若以小寫字母 wm 表示磁能密度，則 已知各向同性的線性介質， ，因此磁場能量密度又可表示為 可見，磁場能量與磁場強度平方成正比，磁場能量不符合疊加原理。 2013年4月9日星期二電磁場與電磁波磁場和電場的能量計算方法單個回路：N 個回路：分布電流：磁能密度：2013年4月9日星期二電磁場與電磁波 例 設同軸線中通過的恒定電流為I，內導體的半徑為a，外導體的厚度可以忽略，其半徑為b，內外導體之間為真空。計算該同

17、軸線中單位長度內的磁場能量。 解 已知同軸線單位長度內的電感為因此，單位長度內同軸線中磁場能量為 baOI02013年4月9日星期二電磁場與電磁波已知內導體中的磁場強度為 也可通過磁場密度計算同軸線的磁場能量。因此內導體中單位長度內的磁場能量為又知內、外導體之間的磁場強度 Ho 為2013年4月9日星期二電磁場與電磁波所以內外導體之間單位長度內的磁場能量為 此結果與前式完全相同。 單位長度內同軸線的磁場能量應為 ，即例2 設螺線管足夠長，可忽略兩端的邊緣磁場效應，導線匝數為 N ， 請利用磁場能量公式計算長度為 l 的螺線管線圈的電感。N匝線圈2013年4月9日星期二電磁場與電磁波4. 磁場力

18、 dl1Ozyxdl2l2l1I2I1r2 r1r2r1已知式中的磁通密度B1為因此， B1 對于整個回路 l2 的作用力F21 為那么，由回路電流 I1 產生的磁場 B1對于電流元 I2dl 的作用力 dF21為2013年4月9日星期二電磁場與電磁波 同理，回路電流 I2 產生的磁場 B2 對于整個回路 l1 的作用力F12 為 上述兩式稱為安培定律。根據牛頓定律得知，應該 。如果回路形狀復雜，上述積分計算非常困難。 磁場力的計算也可采用虛位移方法，通過能量關系可以導出計算磁場力的公式。 直接利用前述廣義力和廣義坐標的概念，導出計算磁場力的一般公式。2013年4月9日星期二電磁場與電磁波 設

19、在電流 I1 產生的磁場廣義力 F 的作用下，使得回路 l2 的某一廣義坐標變化的增量為dl，同時磁場能量的增量為 dWm 。下面分為兩種情況分別導出磁場力的計算公式。 兩個回路中的外源作的總功dW應該等于磁場廣義力作的功與磁場能量的增量之和，即2013年4月9日星期二電磁場與電磁波 第一，若電流 I1 和 I2 不變，這種情況稱為常電流系統(tǒng)，則磁場能量的增量為 兩個回路中外源作的功分別為 兩個回路中的外源作的總功 dW 為即求得常電流系統(tǒng)中的廣義力F 為 2013年4月9日星期二電磁場與電磁波 第二，若各回路中的磁通鏈不變，即磁通未變，這種情況稱為常磁通系統(tǒng)。求得常磁通系統(tǒng)中廣義力為 由于各個回