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文檔簡介

1、主要內(nèi)容引入第一節(jié) 線性變換的定義定義舉例性質(zhì)二、定義定義 1 線性空間 V 的一個(gè)變換 A 稱為線性變換,如果對于 V 中任意的元素 , 和數(shù)域 P 中任意數(shù) k ,都有A( + ) = A( ) + A( ) ,A( k ) = k A( ) .以后我們一般用花體拉丁字母 A , B , 代表V 的變換, A() 或 A 代表元素 在變換 A下的像.定義中的等式所表示的性質(zhì),有時(shí)也說成線性變換保持向量的加法與數(shù)量乘法.下面我們來看幾個(gè)簡單的例子,它們表明線性變換這個(gè)概念是有豐富的內(nèi)容的.三、舉例例 1 平面上的向量構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的二維線性空間. 把平面圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)按反時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 角就是一個(gè)

2、線性變換,我們用 R 表示. 如果平面上一個(gè)向量 在直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)是 ( x , y ), 那么像 R ( ) 的坐標(biāo),即 旋轉(zhuǎn) 角之后的坐標(biāo) ( x , y ) 是按照公式來計(jì)算的. 性變換.Oxxyyxy圖 7 - 1 = ( x , y ) = ( x , y )如圖 7 - 1 所示.同樣地,空間中繞軸的旋轉(zhuǎn)也是一個(gè)線例 2 設(shè) 是幾何空間中一固定的非零向量,把每個(gè)向量 變到它在 上的內(nèi)射影的變換也是一個(gè)線性變換,以 表示它. 這里 ( , ), ( , )表示內(nèi)積.幾何意義如圖 7 - 2 所示. ( )xoyz圖 7 - 2 用公式表示就是例 3 線性空間 V 中的恒等變換或稱

3、單位變換 E ,即A ( ) = ( V) ,以及零變換 0 ,即0 ( ) = 0 ( V)都是線性變換.例 4 設(shè) V 是數(shù)域 P 上的線性空間,k 是 P 中某個(gè)數(shù),定義 V 的變換如下: k , V .不難證明,這是一個(gè)線性變換,稱為由數(shù) k 決定的數(shù)乘變換, 可用 K 表示.顯然,當(dāng) k = 1 時(shí),我們便得恒等變換,當(dāng) k = 0 時(shí),便得零變換.數(shù)組成實(shí)數(shù)域上一線性空間,以 C( a , b ) 代表.例 5 在線性空間 P x 或者 P x n 中,求微商是一個(gè)線性變換.這個(gè)變換通常用 D 代表,即D ( f (x) ) = f (x) .例 6 定義在閉區(qū)間 a , b 上的

4、全體連續(xù)函在這個(gè)空間中,變換I ( f (x) ) =是一線性變換.四、性質(zhì)線性變換有以下三個(gè)簡單性質(zhì):性質(zhì) 1 設(shè) A 是 V 的線性變換,則A( 0 ) = 0A( - ) = - A( ) .性質(zhì) 2 線性變換保持線性組合與線性關(guān)系式不變.換句話說,如果 是 1 , 2 , , r 的線性組合: = k11 + k22 + + krr ,那么經(jīng)過線性變換 A 之后,A ( ) 是 A ( 1 ),A ( 2 ) , , A ( r ) 同樣的線性組合: 又如果 1 , 2 , , r 之間有關(guān)系式k11 + k22 + + krr = 0 ,A ( ) = k1A ( 1 ) + k2A

5、 ( 2 ) + + krA ( r ) .那么它們的像之間也有同樣的關(guān)系以上兩點(diǎn),根據(jù)定義不難驗(yàn)證,由此即得性質(zhì) 3 線性變換把線性相關(guān)的向量組變成線性相關(guān)的向量組.但應(yīng)該注意,性質(zhì) 3 的逆是不對的,線性變換可能把線性無關(guān)的向量組也變成線性相關(guān)的向量組.例如零變換就是這樣.k1A ( 1 ) + k2A ( 2 ) + + krA ( r ) = 0 .本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課

6、, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)

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