數(shù)學(xué)文化中的數(shù)學(xué)思維和方法市公開課獲獎(jiǎng)?wù)n件

1、數(shù)學(xué)文化 四川省內(nèi)江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系 王新民第1頁第1頁三大邏輯老式希臘邏輯老式三段論中國邏輯老式推類印度邏輯老式因明論第2頁第2頁希臘邏輯老式三段論亞里士多德三段論： 大前提：所有些人都是要死； 小前提：蘇格拉底是人； 結(jié) 論：因此蘇格拉底是要死。第3頁第3頁印度邏輯老式因明論印度新因明推理形式。有三個(gè)部分（“支”）構(gòu)成，即：宗（論題目）、因（理由）、喻（例證）。宗：此處有熱； 因：由于有火緣故； 喻：有火地方都有熱。宗：蘇格拉底是要死。因：人故。同喻：有某個(gè)人是要死，如張三。異喻：不死都不是人。第4頁第4頁中國邏輯老式推類推類例1：關(guān)關(guān)雎鳩，在河之州。窈窕淑女，君子好逑。（詩經(jīng)）推類例2：

2、“繪事后素”是孔子在論語八佾中說一句話：子夏問曰：“巧笑倩兮，美目盼兮，素認(rèn)為絢兮。何謂也？”子曰：“繪事后素?！痹唬骸岸Y后乎？”子曰：“起予者商也！始可與言詩已矣?！钡?頁第5頁中國邏輯老式推類推類例3：論語述而載:“子曰:不憤不啟,不悱不發(fā)。舉一隅而不以三隅反,則不復(fù)也?！蓖祁惱?：周易說卦有:“乾為天,為圓,為君,為父,為玉,為金,為寒,為冰,為大赤,為良馬,為老馬,為瘠馬, 為駁馬,為木果。”周易說卦有“坤為地,為母,為臣,為釜,為吝嗇,為均,為子母牛,為大興,為文,為眾,為柄,其于地也為黑。”第6頁第6頁中國邏輯老式推類推類例5：墨經(jīng)小取:(1)白馬,馬也;乘白馬,乘馬也;獲,人也;

3、愛獲,愛人也。(2)白馬,馬也;乘白馬,乘馬也;盜人,人也;愛盜,愛人也。推類例6：唐律疏議對(duì)“舉重以明輕”解釋：“依賊盜律：夜無端入人家，主人登時(shí)殺之，勿論。假有折傷，灼然不坐”。推類依照類同、異關(guān)系進(jìn)行推論被稱為“推類”第7頁第7頁第四章 數(shù)學(xué)文化中思維與辦法 演繹推理 歸納推理 類比推理 統(tǒng)計(jì)推理第8頁第8頁演繹推理推理模式: 普通 特殊世界上第一個(gè)演繹體系 歐幾里得幾何原本柏拉圖 “理念世界”亞里斯多德 “三段論”第9頁第9頁演繹推理公理化思想對(duì)人類思維影響 愛因斯坦：一切科學(xué)偉大目標(biāo)，即要從盡也許少假說或者公理出發(fā)，通過邏輯演繹，概括盡也許多經(jīng)驗(yàn)事實(shí)。 歐幾里得幾何原本、牛頓自然哲學(xué)

4、數(shù)學(xué)原理、馬克思資本論、杰文斯政治經(jīng)濟(jì)學(xué)原理、瓦爾拉斯純正經(jīng)濟(jì)學(xué)要義、斯賓諾沙論理學(xué)、洛克人類理性論、貝可萊人類知識(shí)原理、休謨?nèi)诵哉摵腿祟惲私庋芯?、邊沁道德與立法原理理論、穆勒人性分析等。第10頁第10頁演繹推理公理化思想對(duì)人類思維影響 西爾伯特：“確實(shí)，無論在哪個(gè)領(lǐng)域，對(duì)于任何嚴(yán)正研究精神來說，公理化辦法都是并且始終是一個(gè)適當(dāng)不可或缺助手；它在邏輯上是無懈可擊，同時(shí)也是富有結(jié)果；因此它確保了研究完全自由。在這個(gè)意義上，用公理化進(jìn)行研究就等于用已掌握了東西進(jìn)行思考。早年沒有公理化辦法時(shí)候，人們只能素樸地把一些關(guān)系作為信條來遵守，公理化研究辦法則可去掉這種素樸性而使信奉得到利益”第11頁第11頁

5、幾何原本公理體系五個(gè)公設(shè)：1.過相異兩點(diǎn)，能作且只能作始終線（直線公理）。 2.線段(有限直線)能夠任意地延長。 3.以任一點(diǎn)為圓心、任意長為半徑，可作一圓(圓公理)。 4.但凡直角都相等(角公理)。 5.兩直線被第三條直線所截，假如同側(cè)兩內(nèi)角和小於兩個(gè)直角， 則兩直線作延長時(shí)在此側(cè)會(huì)相交。第12頁第12頁幾何原本公理體系五個(gè)公理：1.跟同一個(gè)量相等兩個(gè)量相等；即若 a=c 且 b=c，則 a = b（等量代換公理）。 2.等量加等量，其和相等；即若 a=b 且 c=d，則 a+c = b+d（等量加法公理）。 3.等量減等量，其差相等；即若 a=b 且 c=d，則 a-c = b-d（等量減

6、法公理）。 4.完全疊合兩個(gè)圖形是全等（移形疊合公理）。 5.全量大於分量，即 a+ba（全量大於分量公理）。第13頁第13頁自然科學(xué)數(shù)學(xué)原理公理化展開模式8個(gè)定義：物質(zhì)量，運(yùn)動(dòng)量，物體固有力，外力，向心力，向心力絕對(duì)度量，問心力加速度，問心力運(yùn)動(dòng)度量。公理（3條）：1牛頓第一定律：每個(gè)物體都保持其靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，除非有外力作用于它迫使改變那個(gè)狀態(tài)。2牛頓第二定律：運(yùn)動(dòng)改變正比于外力，改變方向沿外力作用直線方向。3牛頓第三定律：每一個(gè)作用都有一個(gè)相等反作用，或者兩個(gè)物體間互相作用總是相等并且指向相反。第14頁第14頁六個(gè)基本定理：l力平行四邊形法則：二力共同作用于一物體時(shí)，此物體沿二力

7、構(gòu)成平行四邊形對(duì)角線運(yùn)動(dòng)；運(yùn)動(dòng)所需時(shí)間與它分別受到這兩個(gè)力作用時(shí)沿平行四邊形兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同。2力三角形法則：沿AD力可由沿AB力與沿BD力合成；同樣沿AD力也可分解為兩個(gè)任意沿AB力與沿BD力。3運(yùn)動(dòng)（動(dòng)量）守恒，即在物體互相碰撞時(shí)，各方向運(yùn)動(dòng)（動(dòng)量）總和不變。第15頁第15頁4二物體或多物體體系公共重心，在無外力作用時(shí)，保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)，而不以體系內(nèi)物體作用而改變其狀態(tài)。5當(dāng)某空間靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，該空間內(nèi)所有物體運(yùn)動(dòng)不受影響。6無論物體之間以任何方式運(yùn)動(dòng)，假如有相等加速力以平行方向?qū)χl(fā)生作用，則物體之間仍繼續(xù)以相同方式運(yùn)動(dòng)著，就像沒有受到這個(gè)力作用同樣。全書共88個(gè)定理。第1

8、6頁第16頁公理化思想對(duì)人類思維影響?yīng)毩⑿?美國 1776年 在人類歷史事件進(jìn)程中，當(dāng)一個(gè)民族必須解除其與另一個(gè)民族之間迄今所存在著政治聯(lián)系，而在世界列國之中取得“自然法則”和“自然神明”所要求給他們獨(dú)立與平等地位時(shí)，就有一個(gè)真誠尊重人類公意心理，要求他們一定要把那些迫使他們不得已而獨(dú)立原因宣布出來。 第17頁第17頁獨(dú)立宣言 美國 1776年 我們堅(jiān)信這些不言而喻真理：人人生而平等，他們都從他們“造物主”那里被賦予了一些不可轉(zhuǎn)讓權(quán)利，其中包括生命權(quán)、自由權(quán)和追求幸福權(quán)利。為了保障這些權(quán)利，因此才在人們中間成立政府。而政府合法權(quán)利，系得自被統(tǒng)治者同意。假如遇有任何一個(gè)形式政府變成是損害這些目

9、的，那么，人民就有權(quán)利來改變它或廢除它，以建立新政府。這新政府， 必須是建立在這樣原則基礎(chǔ)上，并且是按照這樣方式來組織它權(quán)力機(jī)關(guān)，庶幾就人民看來那是能夠增進(jìn)他們安全和幸福。第18頁第18頁獨(dú)立宣言公理化展開模式公理：人人生而平等：生命權(quán)、自由權(quán)和追求幸福權(quán)利。定理：（1）為了保障這些權(quán)利，人民才組織成立政府，政府由人民同意后、取得合法權(quán)利。（2）任何政府一旦損害這些權(quán)利，人們就有權(quán)改換它或廢除它，建立新政府。（3）新政府所依據(jù)原則及其組織權(quán)力方式，務(wù)必使人民認(rèn)為，唯有這樣才最有也許保障他們安全與幸福。第19頁第19頁儒家文化公理化模式三綱五常君為臣綱君臣義父為子綱父子親夫?yàn)槠蘧V夫妻順【仁】親也

10、。對(duì)人寬厚有愛心【義】事之宜也。為人正派，愛憎分明【禮】理也。待人彬彬有禮，行為端莊【智】智慧也。處事果斷周密【信】誠信也。做人誠實(shí)穩(wěn)重講信譽(yù)第20頁第20頁邏輯推理力量 有這樣一個(gè)故事，國王有三個(gè)聰明大臣，國王想知道他們?nèi)齻€(gè)人中誰更聰明。有一天，國王拿來三頂小白帽和兩頂小黑帽，讓大臣們看過之后閉上眼睛，國王給他們每個(gè)人都戴了一頂小帽，待大臣們睜開眼睛后，國王要三個(gè)大臣猜自己戴是黑帽子，還是白帽子？當(dāng)國王第一次問大臣們時(shí)，無人回答；當(dāng)?shù)诙螌枙r(shí)，還是沒人回答，但當(dāng)國王剛要第三次尋問時(shí)，三個(gè)大臣卻異口同聲地答道：“我戴是白色帽子。”你明白其中道理嗎？ 第21頁第21頁邏輯推理力量 人類對(duì)“無窮

11、”結(jié)識(shí) 在我國戰(zhàn)國時(shí)期莊子天下篇中有這樣一句著名話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！?伽利略 ：“部分=整體” 149162512345nn2第22頁第22頁人類對(duì)“無窮”結(jié)識(shí) 康托兒：自然數(shù)個(gè)數(shù)=有理數(shù)個(gè)數(shù) 線段上點(diǎn)個(gè)數(shù)=直線上點(diǎn)個(gè)數(shù) =平面上點(diǎn)個(gè)數(shù)=宇宙中點(diǎn)個(gè)數(shù)1/12/13/14/15/16/11/22/23/24/25/26/21/32/33/34/35/36/31/42/43/44/45/46/41/52/53/54/55/56/51/62/63/64/65/66/6第23頁第23頁邏輯推理迷惑數(shù)學(xué)悖論畢達(dá)哥拉斯悖論：2不能用整數(shù)來表示芝諾悖論：阿基里斯（善跑神）追不上烏龜羅素悖論

12、：“宇宙不存在”： 若U=宇宙=物質(zhì)，則UU？集合悖論： 若U=A AA，UU？剪發(fā)師悖論：商定：剪發(fā)師只給那些不給自己刮胡子人刮胡子；問，剪發(fā)師該不該給自己刮胡子？ 第24頁第24頁邏輯推理迷惑數(shù)學(xué)悖論歌德爾不完備性定理 歌德爾第一定理：對(duì)于包括自然數(shù)系任何相容形式體系F，存在F中不可鑒定命題；即存在F中命題S，使得S和非S都不是在F中可證。 歌德爾第二定理：對(duì)于包括自然數(shù)系任何相容形式體系F，F(xiàn)相容性不能在F中被證實(shí)。第25頁第25頁邏輯與操作在12個(gè)顏色與大小都同樣乒乓球中有且只有一個(gè)次品，用一架沒有砝碼天平，至少秤幾次才干將那個(gè)不合格乒乓球找出來？老虎過河 一天，有三對(duì)虎母子要通過一條

13、河流，條件是： 有一只船，每次最多只能坐兩只老虎（無論大?。?每一只老虎均會(huì)劃船； 只要小老虎不在媽媽身邊時(shí)，就回被身邊其它虎媽媽吃掉。 問，這三對(duì)老虎如何利用這條船，才干安全地渡過這條河？第26頁第26頁歸納推理推理模式: 特殊 普通歸納推理特點(diǎn)： 合情性 猜想性 超越性第27頁第27頁歸納推理歸納法分類： 不完全歸納法 猜想歸納法 完全歸納法 真理 數(shù)學(xué)歸納法 證實(shí)第28頁第28頁歸納魅力已知 12=34 1122=3334 111222=333334 已知 37 3 =111 37 6 =222 37 9 =333 3712=444 以上兩例，你能延續(xù)下去嗎？第29頁第29頁歸納魅力已

14、知 1=1 3+5=8 7+9+11=27 13+15+17+19=64 21+23+25+27+29=125 你能寫出第6個(gè)，第7個(gè)等式嗎？普通式呢？1323334353第30頁第30頁哥德巴赫猜想起源 德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫在1742年6月7日致大數(shù)學(xué)家歐拉信中說：“看起來至少仿佛每個(gè)不小于5奇數(shù)是三個(gè)素?cái)?shù)和?！睔W拉在當(dāng)年6月30日回信中說：“即使我不能證實(shí)，但我必定每個(gè)不小于2偶數(shù)是兩個(gè)素?cái)?shù)之和?！备绲掳秃詹孪搿?第31頁第31頁哥德巴赫猜想發(fā)覺過程 4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 8 = 3 + 5 10 = 3 + 7 = 5 + 5 由此能夠推測：任何一個(gè)不小于2偶數(shù)都等于兩個(gè)

15、素?cái)?shù)之和 第32頁第32頁哥德巴赫猜想證實(shí)歷程19挪威數(shù)學(xué)家布朗證實(shí)了（9+9）；1924年德國數(shù)學(xué)家拉德馬哈爾證實(shí)了（7+7）；1932年英國數(shù)學(xué)家麥斯特曼證實(shí)了（6+6）；1938年前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家布赫斯塔勃證實(shí)了（5+5）， 1940年又證實(shí)了（4+4）；1956年前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉托夫證實(shí)了（3+3）；（陳景潤挑戰(zhàn)對(duì)象）1957年中國數(shù)學(xué)家王元證實(shí)了（2+3）； 1948年匈亞利數(shù)學(xué)家蘭恩依證實(shí)了（1+6）；1962年中國數(shù)學(xué)家潘承洞證實(shí)了（1+5），后又與王元共同證實(shí)了（1+4）；1965年布赫斯塔勃，維諾格拉托夫與意大利龐皮艾黎都證實(shí)了（1+3）；1966年中國數(shù)學(xué)家陳景潤證實(shí)了（1

16、+2）。 第33頁第33頁“和”=“積”2個(gè)數(shù) 2+2=223個(gè)數(shù) 1+2+3=1234個(gè)數(shù) ？+1+2+4=？1245個(gè)數(shù) ？+？+1+2+5= ？ ？125 n個(gè)數(shù)呢？結(jié)論：若n個(gè)自然數(shù)和等于它們積，則這n個(gè)自然數(shù)只能是（1，1，2，n）第34頁第34頁晦氣費(fèi)馬數(shù)費(fèi)馬數(shù)：費(fèi)馬素?cái)?shù)： =3， =5， =17， =257， =655371732年歐拉證實(shí)： =64167004171880年路加（法）證實(shí)： =274177672804213107211971年莫利遜，1981年勃蘭特分別證實(shí)了 與 是合數(shù)，1980年與1984年開勒分別證實(shí)了 與 是合數(shù)?，F(xiàn)在，仍不能擬定 ， ， 是否為素?cái)?shù)。推

17、測：費(fèi)馬素?cái)?shù)只有上述五個(gè)。 FnF0F1F2F3F4F5F6F7F8F9448F23471F22F24F28第35頁第35頁數(shù)學(xué)黑洞任意寫出一個(gè)自然數(shù)N，并按照下列規(guī)則進(jìn)行變換： 假如N是一個(gè)奇數(shù)，則下一步將其變?yōu)?N+1； 假如N是一個(gè)偶數(shù)，則下一步將其變?yōu)镹/2。 結(jié)果：無論你寫出多么大自然數(shù)，最后必定會(huì)落到谷底1，或者說落如底部421循環(huán)，而永遠(yuǎn)跳不出這個(gè)小圈子。 雅號(hào)：冰雹猜想，角谷猜想，西方寶樹 聞?wù)f道/西方寶樹喚婆娑/上結(jié)著/長生果。 紅樓夢虛花悟曲 西方寶樹特點(diǎn)：僅在兼具4k與3m+1（k，m均為自然數(shù)）處數(shù)才干產(chǎn)生“樹”分叉。 第36頁第36頁數(shù)學(xué)打開宇宙奧秘鑰匙 歸納：從第谷

18、到小行星發(fā)覺第37頁第37頁銀河系第38頁第38頁行星名稱水星 金星地球火星木星土星公轉(zhuǎn)周期 T0.2410.6151.0001.88111.86229.457太陽距離 D0.3870.7231.0001.5245.2039.539第谷（15461601，丹麥）數(shù)據(jù)第39頁第39頁行星名稱水星 金星地球火星木星土星公轉(zhuǎn)周期T0.0580.3781.0003.524140.7867.7太陽距離 D0.0580.3781.0003.524140.85867.98開普勒（15711630，德國）數(shù)表(17) 23第40頁第40頁第41頁第41頁提丟斯（1766年）波德（1772年）數(shù)組行星名稱水星 金星地球