勾股定理典型例題詳解及練習(xí)(附答案)

1、典型例題知識(shí)點(diǎn)一、直接應(yīng)用勾股定理或勾股定理逆定理例1：如圖，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB、CD、EF、GH四條線段,其中能構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的線段是（）CD、EF、GHAB、EF、GHAB、CD、GHAB、CD、EF1）題意分析：本題肴查勾股定理更勾股定理的逆定理-屮2）解題思路：可利用勾股宦理直接求出各辺長(zhǎng)，再進(jìn)行判斷-屮解答迫程：屮在RtAEAF中，AF=1,AE=2,根據(jù)勾股宦理，得dEF=+AF2=J，+F=辰同理AB=2/2?GH=fCD=25計(jì)算發(fā)現(xiàn)（75）2+（2血尸=即衛(wèi)護(hù)+超礦=&臚，根據(jù)勾股定理的逆定理得到韶亦EF.GH為邊的三角形是直角三Wo故選解題后的思考=

2、屮勾股定理只適用于直角三角形，而不適用于銳角三角形和鈍角三角形因此，解題時(shí)一定要認(rèn)真分析題目所給條件，看是否可用勾股定理來(lái)解-在運(yùn)用勾股宦理時(shí)，要正確分析題目所給的條件，不要習(xí)慣性地認(rèn)為9就是斜邊而“固執(zhí)地運(yùn)用公式其實(shí)，同樣是AABC,NU不一定就等于go。，c不一宦就是斜邊，ABC不定就是直角三角直角三角形的判定條件與勾股定理是互逆的，區(qū)別在于勾股定理的運(yùn)用是一亍從iWf一牛三角形是直角三角形）到曦（c2=a2+b2）的過(guò)程，而直角三角形的判定是一個(gè)從“數(shù)（個(gè)三角舷的三辺滿足?=/+滬的條件）到“形陽(yáng)（這個(gè)三角形是直角三角形）的過(guò)程。心在應(yīng)用勾股定理解題時(shí)，要全面地若慮間題，注意間題中存在的

3、多種可能性，嵯免漏解-屮A例2：如圖，有一塊直角三角形紙板朋C,兩直BC=ma現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折醫(yī)，使它落在斜辺貝B上,且點(diǎn)U落到點(diǎn)E處,則仞等于（）心A.2cmB.3cmC.斗cmD.5cmJ1）題意分析：本題若查勾股定理的應(yīng)用亠2）解題思路：本題若直接在衛(wèi)仞中運(yùn)用勾股定理是無(wú)法求得CD的長(zhǎng)的，因?yàn)橹恢酪粭l15.AC的長(zhǎng)，由題意可知，衛(wèi)仞和血刀關(guān)于直線衛(wèi)D對(duì)稱，因而/XACDAEDa進(jìn)一歩則有=J1Odem,CD=ED,ED丄AB,設(shè)CD=ED=m,則在RJAABC中，由勾股定理可得A=AC+B（=f?+82=100,得AB=10cm,在取中，有迅+（10-6）2=（8x）2n解得

4、gdo心h解題后的蜒亠勾股定理說(shuō)到底是一個(gè)等式，而含有未知數(shù)的等式就是方程。所以，在利用勾股定理求線段的長(zhǎng)時(shí)常通過(guò)解方程來(lái)解決。勾股定理表達(dá)式中有三個(gè)量，如果條件中只有一個(gè)已知量，必須設(shè)法求出另一個(gè)量或求出另外兩個(gè)量之間的關(guān)系，這一點(diǎn)是利用勾股定理求線段長(zhǎng)時(shí)需要明確的思路。方程的思想：通過(guò)列方程（組）解決問(wèn)題，如：運(yùn)用勾股定理及其逆定理求線段的長(zhǎng)度或解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常利用勾股定理中的等量關(guān)系列出方程來(lái)解決問(wèn)題等。例3：一場(chǎng)罕見(jiàn)的大風(fēng)過(guò)后，學(xué)校那棵老楊樹(shù)折斷在地，此刻，張老師正和占明、清華、繡亞、冠華在樓上憑欄遠(yuǎn)眺。清華開(kāi)口說(shuō)道：“老師，那棵樹(shù)看起來(lái)挺高的?！薄笆前?，有10米高呢，現(xiàn)在被風(fēng)攔腰

5、刮斷，可惜呀！”“但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧?！惫谌A興致勃勃地說(shuō)。張老師心有所動(dòng)，他說(shuō)：“剛才我跑過(guò)時(shí)用腳步量了一下，發(fā)現(xiàn)樹(shù)尖距離樹(shù)根恰好3米，你們能求出楊樹(shù)站立的那一段的高度嗎？”占明想了想說(shuō)：“樹(shù)根、樹(shù)尖、折斷處三點(diǎn)依次相連后構(gòu)成一個(gè)直角三角形?！薄肮垂啥ɡ硪欢ㄊ且玫模也粍?dòng)筆墨恐怕是不行的?！崩C亞補(bǔ)充說(shuō)。幾位男孩子走進(jìn)教室，畫(huà)圖、計(jì)算，不一會(huì)就得出了答案。同學(xué)們，你算出來(lái)了嗎？思路分析：1）題意分析：本題考查勾股定理的應(yīng)用2）解題思路：本題關(guān)鍵是認(rèn)真審題抓住問(wèn)題的本質(zhì)進(jìn)行分析才能得出正確的解答設(shè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別術(shù)爲(wèi)爲(wèi)s心如圖，則尬=了米，i+c=10o心又c2-b又c

6、2-b2=a冃卩y+bc直i=&c-b=二11c+b101011=|+-=-|10-|=4-10丿解得2臥10丿20（米）。10丿解題后的思心這是一道閱讀理解糞試題-這種題型特點(diǎn)鮮明、內(nèi)容豐富、超越常規(guī)，源于課本，高于課本，不僅考查閱讀能力，而且還綜合考查數(shù)學(xué)育識(shí)和數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能力，尤其若查數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新意識(shí)-解題時(shí)，一股是通過(guò)閱讀，理解概念，掌握方法，領(lǐng)悟思想，抓住本質(zhì)，然石才能解答間題話知識(shí)點(diǎn)二、構(gòu)造直角三角形使用勾股定理卩例辦如圖,一個(gè)長(zhǎng)方體形的木柜抜在墻角處（與墻面和地面均沒(méi)有縫隙），有一只螞蟻從柜角山處沿著木柜表面爬到柜角G處-亠（1）諳你畫(huà)出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑；心

7、當(dāng)AB=A,BC=A,Uq二亍時(shí)，求螞蟻爬過(guò)的最短路徑的長(zhǎng)比（3）求點(diǎn)到最短路徑的距離-心爸用圖1）題意分析：本題若查勾股定理的應(yīng)用-亠2）解題思路：解決此類間題的關(guān)鍵是把立體圖形間題轉(zhuǎn)化次平面圖舷間題，從而利用勾股定理解決-路徑雖無(wú)數(shù)最短卻唯一，要注育弄清哪一條路徑是最短的-亠解答過(guò)程：門）如圖，木柜的表面展開(kāi)圖是兩亍矩形曲耳和r螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑有如圖的山G和山4（2）螞掀沿著木柜表面經(jīng)線段國(guó)月1到厲，爬過(guò)的路徑的長(zhǎng)是/1=742+（4+5）2=V97o,螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段月禺到G，爬過(guò)的路徑的長(zhǎng)杲3最短路徑的長(zhǎng)是耳=屎亠作昭丄g于民則g.価.89V為所求-亠解題后的思心

8、轉(zhuǎn)化的思想是將復(fù)雜間題轉(zhuǎn)化、分解為簡(jiǎn)單的間題，或?qū)⒛吧拈g題轉(zhuǎn)化為熟悉的間題來(lái)處理的一種思想右法-如：在訐多實(shí)際間題中，首先將實(shí)際間題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)間題，另外，當(dāng)間題中沒(méi)有給出直角三角形時(shí)，通常通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形將它們轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題等。例耳有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角辺長(zhǎng)分別為加,現(xiàn)在要將綠地?cái)U(kuò)充戚等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以為直角辺的直角三角形，求擴(kuò)充后等腰三角形綠地的周長(zhǎng)-*思路分析：此題如有圖形將變得很簡(jiǎn)單，按圖形解答即可f旦若沒(méi)有圖舷，則需要討論幾種可能的情況-這正是“無(wú)圖題前細(xì)思考，分類討論保周到3亠解答辿程：在RtAC中，ZACB=9fAC=fBC=6,由勾股定理有：

9、血=10,擴(kuò)充部分淘RtMUD擴(kuò)充戚等腫肋口應(yīng)分以下三種情況：如圖1,當(dāng)=10時(shí)，可求CD=CB=6,得ABD的周長(zhǎng)為32mo如圖2,當(dāng)AB=BD=0時(shí)，可求CD*由勾股定理得：皿=4昉，得朋D的周長(zhǎng)為0+4j5ini.如圖$_25當(dāng)血為底時(shí)，設(shè)AD=BD=x,則=i由勾股定理得：X_T,80解題后的思考：分類討論思想是解題時(shí)常用的一種思想方法，同學(xué)們?nèi)绻莆樟诉@種方法，可以使思維的條理性、縝密性、靈活性得到培養(yǎng)，才能在解題中真正做到不重不漏。知識(shí)點(diǎn)三、勾股定理及其逆定理的正逆混用例6：（1）圖甲是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形。若大正方形的面積為13,每個(gè)直角三角形

10、兩條直角邊的和是5,求中間小正方形的面積。（2）現(xiàn)有一張長(zhǎng)為6.5cm、寬為2cm的紙片，如圖乙，請(qǐng)你將它分割成6塊，再拼合成一個(gè)正方形。（要求：先在圖乙中畫(huà)出分割線，再畫(huà)出拼成的正方形并標(biāo)明相應(yīng)數(shù)據(jù)）1）題意分析：本題考查利用勾股定理迸行圖形的拼割剪接72）解題思路z注意拼接過(guò)程中而積是不變的則jg答遷屮（1）設(shè)直筠三角形的較長(zhǎng)直筠邊長(zhǎng)為a,較短直角邊長(zhǎng)為b,則小正行形的邊長(zhǎng)加-b.由題意得a十以=5卩由勾股定理，得aUb2=13“彳一得2aB二12u所以（a-bF-a1+滬-2ab=13-12=1卍即所求的中間小正方形的面積為2）所拼成的正方形的面積為65x2=130*）,所以可搜照?qǐng)D甲制

11、作。屮由得幺-“K*由、組成方程組解得a亠b=J結(jié)合題意，每個(gè)直角三角形的較長(zhǎng)直角邊只能在紙片6.5cm的長(zhǎng)邊上截取，去掉四個(gè)直角三角形后，余下的醞積為13-x3x2x4=13-12=1W）2，恰好等于中間的小正方形的而積。于是，得到以下分割拼合方法；屮解題后的思考，這是一道綜合題，棍據(jù)題目所提供的信息是不灘解決間題的，但是，要注意掌握和運(yùn)用好題目所給的各個(gè)有用信息，否則，間題就不容易得到解袂。4知識(shí)點(diǎn)四、連續(xù)應(yīng)用勾股定理P例7；如圖，以等屢三角形AOB的斜邊為直角邊向外作第2個(gè)等屢直角三角形ABAp再以等睡直角三弟形ABAi的斜邊為直角邊向外作第3個(gè)等膜直角三角形AiBBi，如此作下去，若O

12、A=OB=1,則第ni個(gè)等膜直角三角形的醞積弘=Od1）題意分析；本題考查利用勾股定理進(jìn)行歸納推理日2）解題思路：先在RtAABO中，由OA=OB=1求出AB=旋：再在RtAABA】中，由AB=AAi=Q求出A田=2,?再分別求出AOB、AABAi、的面積，夙中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想出結(jié)論。屮解答過(guò)程在RtAAB0中，由ZAOB=90,OA=OB=1,可求出AB=血，S21A0B=2xlxl=2=21；在RtAABAi中，由ZAiAB=90,AB=AAi=丄血，可求出AiB=2,S2=2x72x72=i=20；在RtAAjBBi中，由Z1AiBBi=90%AjB=BBl=2,可求出Ai=2運(yùn)，S3=2

13、x2x2=2=2氣在RtAAiB2Bi中，由ZB?扣Bi=90,AiBi=AiB2=22,可2求出盯比=4,S4=2x2V2x22=4=22；，由此可以猜想=2解題后的思考，類比歸納法是兩種或兩種以上在某些關(guān)系上妾現(xiàn)相似的對(duì)欽迸行對(duì)比，作出歸納判斷的一種科學(xué)研究方法。在中考數(shù)學(xué)中若查類比歸納法，旨在引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)知識(shí)的類比和歸納，把知識(shí)由點(diǎn)連成線，由線織成網(wǎng)，便知識(shí)有序化、系統(tǒng)化，從而使學(xué)生掌握知識(shí)內(nèi)在的規(guī)律。屮預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)亠下一講我們將講解四辺形的應(yīng)用，本講內(nèi)容是中考重點(diǎn)之一，如特殊四邊形（平行四邊瓠矩形、菱形、正方形、鋅腰梯形）的性質(zhì)和判定，以及運(yùn)用這些知識(shí)解決實(shí)際間題。中肴中常以選擇題、填空

14、題、解答題和證明題等形式呈現(xiàn)，近年的中考中又出現(xiàn)了開(kāi)歆題、應(yīng)用題、閱讀理解題、學(xué)科間綜合題、動(dòng)點(diǎn)間題、折蠱問(wèn)題等，這些都是熱點(diǎn)題型，應(yīng)引起同學(xué)們高度關(guān)注。7同步練習(xí)（答題吋間：60分鐘）心S選擇題31如圖，每個(gè)小正方形的辺長(zhǎng)為1,兒RG是小正方形的頂爲(wèi)則ZABC的度數(shù)為（）口A.90B.60C.45D.30J2.如圖所示，X、B.C分別表示三個(gè)村莊,xB=1000米，BC=600米,AC=800米，在社會(huì)主義新農(nóng)村建設(shè)中，為了豐富群眾生活，擬建一個(gè)文化活動(dòng)中心，要求這三個(gè)村莊到活動(dòng)中心的距離相等，則活動(dòng)中心P處的位苴應(yīng)在（）dKC1JA.AB中點(diǎn)處C.AC中點(diǎn)處BBC中點(diǎn)處*D.ZC的平分線與

15、AB的交點(diǎn)處a3.如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15,寬為1山高為加點(diǎn)3到點(diǎn)U的距離為5,只螞電義如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B,需要爬行的最短距離是（）2A.521B.25C.10?+5d.35卩二、填空題存某樓梯的側(cè)醞視圖如圖所示，其中AB=A米，ZBAC=3,ZC=93,因某種活動(dòng)要求鋪設(shè)紅色地毯，則在HE段樓梯所鋪地毯的長(zhǎng)度應(yīng)為O則已知理ABC的周長(zhǎng)杲4十4朽,斜邊上的中線長(zhǎng)是2,則S竝尸如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為lctn和3cm,懸為6cmo如杲用一根細(xì)線從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B,那么所用細(xì)線最短需要cm;如果從點(diǎn)丄開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞圈到i左點(diǎn)呂那么所用細(xì)鏡最短誌、Ctt

16、la*圖甲是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖的示意圖.它是由四個(gè)全等的直角三角形圍戚的.在現(xiàn)AABC中，若直角辺AC=6,BC=6,將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為6的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到圖乙所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車3則這個(gè)図車的外圍周長(zhǎng)（圖乙中的實(shí)線）是-BBBD8.如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花圃,圖乙門有極少數(shù)人為了遴開(kāi)拐角走捷徑巴BD8.如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花圃,圖乙門有極少數(shù)人為了遴開(kāi)拐角走捷徑巴在花圃內(nèi)走出了一條“路巴他們僅僅少走了歩路（假設(shè)2歩為1米），卻踩傷了花草。d&如圖所示的圓柱體中底面圓的半徑是二高為2,若一只小蟲(chóng)從蟲(chóng)點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的側(cè)面爬行到C點(diǎn)，則小蟲(chóng)爬行的最短路程是（結(jié)果保留根號(hào)）。

17、d三、解答題如圖，A,占是公路？仃為東西走向）兩旁的兩個(gè)村莊，衛(wèi)村到公路？的距離B村到公路？的距離班）=2km,辦村在衛(wèi)村的南偏東仃方向上屮（1）求出兒辦兩村之間的距離；亠（2）為方便村民出行，計(jì)劃在公路邊新建一牛公共汽車站卩要求該車站到兩村的距離相等，請(qǐng)用尺規(guī)在圖中作出點(diǎn)卩的位苴（保帶蓿晰的作圖痕跡，并簡(jiǎn)要寫(xiě)明作法）-dm你熱愛(ài)生命嗎？那么別浪費(fèi)時(shí)間,因肯時(shí)間是組成生抹命的材料富蘭克林試題答案a2呂3.10,加9+1朋（或J36+64*）【解析】由題意得：細(xì)線從點(diǎn)蟲(chóng)開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn).B,其最短長(zhǎng)度為將長(zhǎng)方體的四個(gè)側(cè)面展開(kāi)即可構(gòu)戚一亍直角辺分別為呂cm和Ecm的直角三角形，所囚細(xì)線的最短長(zhǎng)度應(yīng)為Kkni；當(dāng)細(xì)線經(jīng)過(guò)四個(gè)側(cè)面纏繞n圈時(shí)，到達(dá)點(diǎn).B的最短長(zhǎng)度為2+朋（或（36+64）cmj5.4&2罷+j7.解析：（1）方法一：設(shè)山與UD的交點(diǎn)次0,根據(jù)題意可得ZA=ZB=45aHU0和厶肋0都是等腰直角三角瓠亠.-.A0=忑,B0=22oa山呂兩村之間的距離為血=衛(wèi)。+0=旋+2旋=3旋（km）o