有限元法基礎通常將有限元法分為兩大類變分法和加權余量

1、第三章有限元法基礎通常將有限元法分為兩大類:變分法和加權余量法。兩種方法的出發(fā)點不同， 但最后都歸結為：離散化：用若干個子區(qū)域（即單元）代替整個連續(xù)區(qū)域， 算子解析方程，即偏微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組：區(qū)域的物理性質(zhì)可以用節(jié)點上 有限個自由度來描述，再應用離散系統(tǒng)分析方法將其匯集在一起。3-1算子方程及變分原理3.1.1算子的概念（1）靜電場中，泊松方程V-8V = -p可以寫為 L = p，其中L = -V-sV稱為算子。（2）穩(wěn)態(tài)磁場中，雙旋度方程 Vx - Vx A = J n LA = JR其中算子是L = Vx-1 Vx（3）時變場中，波動方程 VxvVxH -vk2H =vVx Jn

2、LH =vVx J其中算子L = VxvVx-vk2 , v = 1R3.1.2泛函1、泛函的概念泛函是函數(shù)空間H中，函數(shù)到數(shù)的映像，如I G）= I y（x ）也可以說泛函是函數(shù)的函數(shù)，函數(shù)空間中的某一函數(shù)y G）有一個I值與之對應，變量I就是D空間的函數(shù)yG）的泛函。例如 求yG）所表示的曲線長度及所圍面積。曲線長度I y G）=E + 弟:dx曲線所圍面積I y G)=j x2 y G認x1不同的yG),有不同的I與之對應，不同的圖3-1求曲線長度及所圍面積IyG)構成了函數(shù)空間H。2、泛函連續(xù)若對于yG)的微小改變，有泛函IyG)的微小改變與之對應，就稱泛函是連 續(xù)的。3、線性泛函若泛

3、函滿足Ijy(x)= cIyG)c為常數(shù)或I y G)+y G)= I y (x)+1 y (x)1212則稱其為線性泛函。4、函數(shù)的變分5y泛函IyG)的宗量yG)的變分8y是yG)的微小增量6y = yG)- y (x)5、泛函的變分51對于宗量y(x)的變分5y，泛函的增量為 式中，Lyx)5y是對5y的線性泛函，是AI的主要部分，稱為一階(或一次)變 分AI AI = IyG)+5y -1 y G)=5I + 5 21 +5 31 +=Ly G)5y + oyG)5y 5I = Ly (x) 5y oy (x)5 y是誤差項。5y與dy的區(qū)別:當自變量x的增量Ax = x-X充分小時，

4、可用dx來表示，dx稱為x的微分。相應地，函數(shù)y的增量Ay = y(x + Ax)- y(x)= A(x)Ax + o(Ax)當Ax充分小時，可用dy來表示，dy稱為y的微分，dy是x的變化引起的微分，是函數(shù)增量Ay的線性主要部分A dV -J fdIdJ 18(Vp dV -J fpdV 8p L V 2Vi=J 8(Vp)(Vpdv-JV8pijVNjv j=1Jf色dVv伽iZ 里 NN,j=1J-8中i I j=1jNJdVdV- J fN dVV j j Jj=1Z p J 8VN - VN dV- J fN dV = 0j=1jVi = 1,2,3,n可寫為Z p Kj=1式中對換

5、i,j的位置，=J 式中對換i,j的位置，=J fN dVD 1K.不變，表示剛度矩陣的對稱性Kij=j &NN -VN dV ,矩陣形式KU = F解之，可得到離散解u = b1 q 中J 3-2加權余量法3.2.1加權余量法設方程Lu = f的近似解為，那么方程的余量（即任一點的余量）為R（u ）= Lu - f邊界余量R（u ）= B（u ）式中，第一類r G）= u -u 或 r G）=&?-q第三類u最佳的值應能使余量在D域內(nèi)所有的點上有最小值，如果D域內(nèi)有m個節(jié)點，是這m個節(jié)點坐標的函數(shù)（若為子域：。是剖分單元節(jié)點坐標的函數(shù)），其中 有n個節(jié)點不受約束（即節(jié)點不在第一類邊界上），那

6、么，要選擇n個不同的權 函數(shù).，強使每一個權函數(shù)與余量的乘積在整個區(qū)域積分后為零r =J w RdV + J w R dT = 0i = 1,2,nn個權函數(shù)線性無關，是完備函數(shù)系中線性獨立函數(shù)，這是某種平均意義下的誤 差為零。這樣，可以得到n個方程，從中解出u。這就是加權余量法。設近似解為u = N (x, y, ziii=1式中，u.為待求系數(shù)（函數(shù)值），N.是一組線性無關的直交基序列，那么（不考慮邊界）)i = 1,2,ni = 1,2,nLu N - f dV = 0i = 1,2,ni = 1,2,nj=i j j)u.是節(jié)點上的值，與積分無關，提出積分號外工 u j wL(N dV

7、 = j w fdVj =1j D 1 jD j =1u 11、w1，f）u =-u,F =).Lu n(w ,f)即或矩陣形式系數(shù)矩陣Eu (w ,Ln即或矩陣形式系數(shù)矩陣Eu (w ,Lnj=1u K = Fj=1KU = F=w,r：i = 1,2nMg W)州,出七)(w ,L(N (w ,L(N i(w ,L(N -2X 22 f 、2 n y注：（1）加權余量法可以用于微分方程，也可以用于積分方程，前者對整個定義 域剖分，后者只要對邊界及源區(qū)剖分。（2）選取不同的權函數(shù)，構成不同的計算方法，在微分方程中經(jīng)常采用若權函數(shù)取為形狀函數(shù)，即w. = N，稱為伽遼金法；若權函數(shù)取為Dira

8、c函數(shù)，即w. =5 .，稱為點匹配法；若權函數(shù)取為1，即w. = 1，稱為子域配置法。（3）加權余量法不需要找到問題的泛函便可得到離散的代數(shù)方程組，因此 應用范圍更廣，使用更方便。（4）用加權余量法時，離散的代數(shù)方程組的系數(shù)陣不一定是對稱、稀疏。 它取決于是用于微分方程，還是積分方程（如邊界積分方程）；權函數(shù)的選 取。3.2.2伽遼金有限元法當權函數(shù)w. = Ni時，可以得到對稱、稀疏系數(shù)矩陣，因此，廣泛用于有限 元法中，稱為伽遼金有限元法。設近似解為u =nu j j j=1由于基函數(shù)N是完備函數(shù)系，因此，方程的余量R（U）= LU - f也是連續(xù)的，只 i有當r（u）與完備函數(shù)系W中每一

9、個元素正交時，內(nèi)積才為零ij NR（U）dV = -N ,R（U）：= 0i = 1,2,n因此，伽遼金有限元法可以解釋為使方程余量正交于完備函數(shù)系的每一個函數(shù)?；瘮?shù)特性，i, j = 1,2,，n表明節(jié)點i處的余量R（U）=0 （因為在節(jié)點i處的N =1，若R（U貝0，積分后也不 i為零），其它地方余量很小。這樣保證了誤差限制在單元之內(nèi)。重寫伽遼金公式：j N RG）dV = j N（L（U）- f ）dV = 0i = 1,2,n移項后j N L（U ）dV = j N fdVi = 1,2；.,n將U = n u代入上式，得到 jjj=1i = 1,2,n乙 j N Ln dV = j N fdV j =i = 1,2,n以泊松方程為例:-V .阿=fV。=0r=0r2dn用伽遼金有限元法，設u=n甲，則根據(jù)jj j=1j N L（u ）dV = j N fdVi = 1,2,n有j N （- V-PV（UU）dV = j N fdV i = 1,2；.,n由格林定理（降階連續(xù)性處理）j N (-V-V()dV = j &NN -VdV-f N & 匏 drd d r / 6n代入第二類齊次邊界條件，上式第二項為零，因此j PVN -V(dVN fdVi = 1,2,nD 1D 1將=n（代入，得到j=1PVNPVN - VN dV