2021課標版理數(shù)高考總復習專題6.3等比數(shù)列（講解練）理科數(shù)學教學講練

1、6.3等比數(shù)列高考理數(shù)考點一等比數(shù)列及其性質(zhì)考點清單考向基礎(chǔ)1.定義:如果一個數(shù)列從第二項起,每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母q(q0)表示.2.通項公式通項公式通項公式的推廣an=a1qn-1(揭示首末兩項的關(guān)系)an=amqn-m(揭示任意兩項之間的關(guān)系)3.等比中項如果在a與b中間插入一個數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,那么稱這個數(shù)G為a與b的等比中項,即G=(a,b同號).(1)a,G,b成等比數(shù)列G2=ab(ab0).(2)同號的兩個數(shù)才有等比中項.4.等比數(shù)列的單調(diào)性設(shè)等比數(shù)列an的首項為a1,公比為q.(1

2、)當q1,a10或0q1,a11,a10或0q0時,數(shù)列an為遞減數(shù)列;(3)當q=1時,數(shù)列an是(非零)常數(shù)列;(4)當q=-1時,數(shù)列an是擺動數(shù)列.5.等比數(shù)列項的運算性質(zhì)設(shè)數(shù)列an是等比數(shù)列.(1)若m+n=p+q,則aman=apaq,其中m,n,p,qN*,反之,不一定成立.特別地,若2s=p+r,則apar=,其中p,s,rN*.(2)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列,即ak,ak+m,ak+2m,仍是等比數(shù)列,公比為qm(k,mN*).(3)若數(shù)列an,bn是兩個項數(shù)相同的等比數(shù)列,則數(shù)列an,anbn和(0,nN*)也是等比數(shù)列.考向突破考向一等比數(shù)列的基本量運算例1(

3、2018廣東珠海模擬,4)Sn是正項等比數(shù)列an的前n項和,a3=18,S3=26,則a1=()A.2B.3C.1D.6解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,因為a3=18,S3=26,則有a3+=26,即18+=26,解得q=3或q=-,由數(shù)列an為正項等比數(shù)列,得q=3,則a1=2,故選A.答案A考向二等比數(shù)列的性質(zhì)的應用例2(2019山西3月高考考前適應性測試,6)正項等比數(shù)列an中,a1a5+2a3a7+a5a9=16,且a5與a9的等差中項為4,則an的公比是()A.1B.2C.D. 解析設(shè)公比為q,由正項等比數(shù)列an中,a1a5+2a3a7+a5a9=16,可得+2a3a7+=(a3+a7

4、)2=16,即a3+a7=4,由a5與a9的等差中項為4,得a5+a9=8,則q2(a3+a7)=4q2=8,則q=(舍負),故選D.答案D考點二等比數(shù)列的前n項和考向基礎(chǔ)1.等比數(shù)列an的前n項和公式(1)當q=1時,Sn=na1.(2)當q1時,Sn=.2.對于非常數(shù)列的等比數(shù)列an的前n項和Sn=-qn+,若設(shè)a=,則Sn=-aqn+a(a0,q0,q1).由此可知,數(shù)列Sn的圖象是函數(shù)y=-aqx+a圖象上一系列孤立的點.3.等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)(1)當q-1(或q=-1且k為奇數(shù))時,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,是等比數(shù)列.注意當q=-1且k為偶數(shù)時,Sk,S2k-Sk,

5、S3k-S2k,不是等比數(shù)列.(2)若a1a2an=Tn,則Tn,成等比數(shù)列.(3)若數(shù)列an的項數(shù)為2n,S偶與S奇分別為偶數(shù)項與奇數(shù)項的和,則=q;若項數(shù)為2n+1,則=q.注意在運用等比數(shù)列及其前n項和的性質(zhì)時,要注意字母間的上標、下標的對應關(guān)系.考向突破考向等比數(shù)列的前n項和計算例(2019福建模擬考試,7)已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn,若S10=20,S30=140,則S40=()A.280B.300C.320D.340解析解法一:設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,由題意易知q1,所以=20,=140,兩式相除得=7,化簡得q20+q10-6=0,解得q10=2(舍負),所以S40=S3

6、0+S10q30=140+160=300,故選B.解法二:由題意知S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比數(shù)列,(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-20)2=20(140-S20),解得S20=60(舍負),=2,S40-S30=S1023,S40=S30+S1023=300.故選B.答案B方法等比數(shù)列的判定與證明1.定義法:若=q(q為非零常數(shù))或=q(q為非零常數(shù)且n2,nN*),則an是等比數(shù)列.2.中項公式法:若數(shù)列an中,an0且=anan+2(nN*),則數(shù)列an是等比數(shù)列.3.通項公式法:若數(shù)列的通項公式可寫成an=cqn(c,q均是不

7、為0的常數(shù),nN*),則an是等比數(shù)列.方法技巧4.前n項和公式法:若數(shù)列an的前n項和Sn=k-kqn(k為常數(shù)且k0,q0,1),則an是等比數(shù)列.其中前兩種方法是證明等比數(shù)列的常用方法,后兩種方法常用于選擇題、填空題中.若證明一個數(shù)列不是等比數(shù)列,只要證明存在相鄰三項不成等比數(shù)列即可.例(2020屆山西大同開學學情調(diào)研,17)在數(shù)列an中,a1=3,an=2an-1+n-2(n2,且nN*).(1)求a2和a3的值;(2)證明:數(shù)列an+n是等比數(shù)列,并求an的通項公式;(3)求數(shù)列an的前n項和Sn.解析本題考查遞推數(shù)列的性質(zhì)和應用,考查等比數(shù)列的證明及求和方法,考查考生的數(shù)學運算能力和邏輯推理能力.(1)a1=3,an=2an-1+n-2(n2,且nN*),a2=2a1+2-2=6,a3=2a2+3-2=13.(2)證明:=2,數(shù)列an+n是首項為a1+1=4,公比為2