2021-2022學(xué)年天津市南開區(qū)南開中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考模擬試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意：1答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1若一個直三棱柱的所有棱長都為1，且其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（ ）ABCD2設(shè)拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為ABCD3已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且

2、，則不等式的解集為( )ABCD4已知平面，直線，滿足，則下列是的充分條件是（ ）ABCD5已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（ ）.A1B2C3D6函數(shù)f(x)=|x|-ln|x|，若f(x)2-mf(x)+3=0有A(23,4)B(2,4)C(2,27若函數(shù)在上有最大值無最小值，則實數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD8設(shè)x，y，z，則x，y，z的大小關(guān)系是()AxyzBzxyCyzxDxzy9函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）A0B1C2D310下列四個結(jié)論中正確的個數(shù)是（1）對于命題使得，則都有；（2）已知，則 （3）已知回歸直線的斜率的估計值是2，樣本點的中心為（4,5），則回歸直線方程為；（4）“”是“”

3、的充分不必要條件.A1B2C3D411如圖，是正四面體的面上一點，點到平面距離與到點的距離相等，則動點的軌跡是( )A直線B拋物線C離心率為的橢圓D離心率為3的雙曲線12在的展開式中，項的系數(shù)為（ ）AB40CD80二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13若關(guān)于的不等式的解集是空集，則實數(shù)的取值范圍是_.14已知函數(shù)，若函數(shù)恰有4個不同的零點，則的取值范圍為_ .15設(shè)函數(shù)圖象在處的切線方程是，則函數(shù)的圖象在處的切線方程是_16已知函數(shù)，則函數(shù)的最大值為_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）甲、乙兩袋中各裝有大小相同的小球9個，其中甲袋中紅

4、色、黑色、白色小球的個數(shù)分別為2、3、4，乙袋中紅色、黑色、白色小球的個數(shù)均為3，某人用左手從甲袋中取球，用右手從乙袋中取球，（1）若左右手各取一球，求兩只手中所取的球顏色不同的概率；（2）若一次在同一袋中取出兩球，如果兩球顏色相同則稱這次取球獲得成功某人第一次左手先取兩球，第二次右手再取兩球，記兩次取球的獲得成功的次數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望18（12分）某大學(xué)餐飲中心為了了解新生的飲食習(xí)慣，在某學(xué)院大一年級名學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查，發(fā)現(xiàn)喜歡甜品的占.這名學(xué)生中南方學(xué)生共人。南方學(xué)生中有人不喜歡甜品.（1）完成下列列聯(lián)表：喜歡甜品不喜歡甜品合計南方學(xué)生北方學(xué)生合計（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)

5、，問是否有的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”；（3）已知在被調(diào)查的南方學(xué)生中有名數(shù)學(xué)系的學(xué)生，其中名不喜歡甜品；有名物理系的學(xué)生，其中名不喜歡甜品.現(xiàn)從這兩個系的學(xué)生中，各隨機(jī)抽取人，記抽出的人中不喜歡甜品的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：.0.150.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63519（12分）如圖，矩形和等邊三角形中，平面平面（1）在上找一點，使，并說明理由；（2）在（1）的條件下，求平面與平面所成銳二面角余弦值20（12分）已知非零向量，且，求證：21（12分）甲、乙兩隊進(jìn)行一場排球比賽，根據(jù)以往經(jīng)驗，

6、單局比賽甲隊勝乙隊的概率為.本場比賽采用五局三勝制，即先勝三局的隊獲勝，比賽結(jié)束.設(shè)各局比賽相互間沒有影響且無平局.求：（1）前三局比賽甲隊領(lǐng)先的概率；（2）設(shè)本場比賽的局?jǐn)?shù)為，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望. (用分?jǐn)?shù)表示)22（10分）已知函數(shù)（1）當(dāng)，求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)題意畫出其立體圖形.設(shè)此直三棱柱兩底面的中心分別為,則球心為線段的中點,利用勾股定理求出球的半徑,即可求得該球的表面積【詳解】畫出其立體圖形: 直三棱柱的所有棱長都

7、為1,且每個頂點都在球的球面上，設(shè)此直三棱柱兩底面的中心分別為,則球心為線段的中點，設(shè)球的半徑為，在中是其外接圓半徑 ,由正弦定理可得: , ,即 在中 球的表面積 .故選:B.【點睛】本題主要考查空間幾何體中位置關(guān)系、球和正棱柱的性質(zhì).解決本題的關(guān)鍵在于能想象出空間圖形,并能準(zhǔn)確的判斷其外接球的球心就是上下底面中心連線的中點2、D【解析】分析：橢圓的右焦點為，拋物線的焦點坐標(biāo)為，求解，再得出準(zhǔn)線方程詳解：橢圓的右焦點為，拋物線的焦點坐標(biāo)為，解得，得出準(zhǔn)線方程點睛：拋物線的焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程3、A【解析】令，這樣原不等式可以轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)，并結(jié)合已知條件，可以判斷出的單調(diào)性，利用單

8、調(diào)性，從而可以解得，也就可以求解出，得到答案.【詳解】解:令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，故選A.【點睛】本題考查了利用轉(zhuǎn)化法、構(gòu)造函數(shù)法、求導(dǎo)法解決不等式解集問題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和推理論證能力.4、D【解析】根據(jù)直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，依次判斷每個選項的充分性和必要性，判斷得到答案.【詳解】當(dāng)時，可以，或，或相交，不充分，錯誤；當(dāng)時，可以，或，或相交，不充分，錯誤；當(dāng)時，不能得到，錯誤；當(dāng)，時，則，充分性；當(dāng)時，故，與關(guān)系不確定，故不必要，正確；故選：.【點睛】本題考查了直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，充分條件，意在考查學(xué)生的空間想象能力和推斷能力.5、D【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的基本

9、運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，然后求模即可【詳解】解：，故選：D【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)模長的計算，屬于基礎(chǔ)題6、A【解析】方程有8個不相等的實數(shù)根指存在8個不同x的值；根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象，可知方程f(x)2-mf(x)+3=0必存在2個大于1【詳解】f(x)=f(-x)=f(x)，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可畫出其函數(shù)圖象（如圖所示），若f(x)2-mf(x)+3=0有8個不相等的實數(shù)根關(guān)于=【點睛】與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的函數(shù)或方程問題，要會運(yùn)用整體思想看問題；本題就是把所求方程看成是關(guān)于f(x)的一元二次方程，再利用二次函數(shù)根的分布求m的范圍.7、C【解析】分析：函數(shù)在上有最大值無最小值，則極大值在

10、之間，一階導(dǎo)函數(shù)有根在，且左側(cè)函數(shù)值小于1，右側(cè)函數(shù)值大于1，列不等式求解詳解：f（x）3ax2+4x+1，x（1，2）a1時，f（x）4x+11，函數(shù)f（x）在x（1，2）內(nèi)單調(diào)遞增，無極值，舍去a1時，1612a由1，解得，此時f（x）1，函數(shù)f（x）在x（1，2）內(nèi)單調(diào)遞增，無極值，舍去由1，解得a（a1），由f（x）1，解得x1，x2當(dāng)時，x11，x21，因此f（x）1，函數(shù)f（x）在x（1，2）內(nèi)單調(diào)遞增，無極值，舍去當(dāng)a1時，x11，x21，函數(shù)f（x）ax3+2x2+x+1在（1，2）上有最大值無最小值，必然有f（x1）1，12，a1解得：a綜上可得：a故選：C點睛：極值轉(zhuǎn)化為最

11、值的性質(zhì)：1、若上有唯一的極小值，且無極大值，那么極小值為的最小值；2、若上有唯一的極大值，且無極小值，那么極大值為的最大值；8、D【解析】先對y,z分子有理化，比較它們的大小，再比較x,z的大小得解.【詳解】y，z，0，zy.xz0，xz.xzy.故答案為D【點睛】(1)本題主要考查比較法比較大小，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2) 比差的一般步驟是：作差變形（配方、因式分解、通分等）與零比下結(jié)論；比商的一般步驟是：作商變形（配方、因式分解、通分等）與1比下結(jié)論.如果兩個數(shù)都是正數(shù)，一般用比商，其它一般用比差.9、C【解析】，如圖，由圖可知，兩個圖象有2個交點，所以原函數(shù)

12、的零點個數(shù)為2個，故選C10、C【解析】由題意，（1）中，根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，即可判定是正確的；（2）中，根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，即可判定是正確的；（3）中，由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點斜式方程，即可判定是正確；（4）中，基本不等式和充要條件的判定方法，即可判定【詳解】由題意，（1）中，根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，可知命題使得，則都有，是錯誤的；（2）中，已知，正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，可知其對稱軸的方程為，所以 是正確的；（3）中，回歸直線的斜率的估計值是2，樣本點的中心為（4,5），由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點斜式方程，可得回歸直線方程為是正確；（4）中，當(dāng)時，可得成立，當(dāng)時

13、，只需滿足，所以“”是“”成立的充分不必要條件【點睛】本題主要考查了命題的真假判定及應(yīng)用，其中解答中熟記含有量詞的否定、正態(tài)分布曲線的性質(zhì)、回歸直線方程的性質(zhì)，以及基本不等式的應(yīng)用等知識點的應(yīng)用，逐項判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題11、C【解析】分析：由題設(shè)條件將點P到平面ABC距離與到點V的距離相等轉(zhuǎn)化成在面VBC中點P到V的距離與到定直線BC的距離比是一個常數(shù)，依據(jù)圓錐曲線的第二定義判斷出其軌跡的形狀詳解：正四面體VABC面VBC不垂直面ABC，過P作PD面ABC于D，過D作DHBC于H，連接PH，可得BC面DPH，所以BCPH，故PHD為二面角VBCA的

14、平面角令其為則RtPGH中，|PD|：|PH|=sin（為VBCA的二面角的大?。┯贮cP到平面ABC距離與到點V的距離相等，即|PV|=|PD|PV|：|PH|=sin1，即在平面VBC中，點P到定點V的距離與定直線BC的距離之比是一個常數(shù)sin，又在正四面體VABC，VBCA的二面角的大小有：sin=1，由橢圓定義知P點軌跡為橢圓在面SBC內(nèi)的一部分故答案為：C點睛：（1）本題主要考查二面角、橢圓的定義、軌跡方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想(2)解答本題的關(guān)鍵是聯(lián)想到圓錐曲線的第二定義.12、D【解析】通過展開二項式即得答案.【詳解】在的展開式中,的系數(shù)為，

15、故答案為D.【點睛】本題主要考查二項式定理，難度很小.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、 (，6【解析】由題意可設(shè)，則當(dāng)時， ；當(dāng)時，；當(dāng)時，不等式可化為。在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖像如圖，結(jié)合圖像可知當(dāng)，不等式的解集是空集，則實數(shù)的取值范圍是，應(yīng)填答案。14、【解析】若函數(shù)恰有4個不同的零點，令，即，討論或，由求得，結(jié)合圖象進(jìn)而得到答案.【詳解】函數(shù)，當(dāng)時，的導(dǎo)數(shù)為，所以在時恒成立，所以在上單調(diào)遞減，可令，再令，即有，當(dāng)時，只有，只有兩解；當(dāng)時，有兩解，可得或，由和各有兩解，共4解，有，解得，可得的范圍是：，故答案是：.【點睛】該題考查的是有關(guān)根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)確定參數(shù)

16、的取值范圍的問題，涉及到的知識點有畫函數(shù)的圖象，研究函數(shù)的單調(diào)性，分類討論的思想，屬于較難題目.15、【解析】分析：先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得，再根據(jù)點斜式求切線方程.詳解：因為函數(shù)圖象在處的切線方程是，所以,因此函數(shù)的圖象在處的切線斜率等于，切線方程是.點睛：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點坐標(biāo)、切線斜率之間的關(guān)系來進(jìn)行轉(zhuǎn)化16、0【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值.【詳解】解：由，得，因為，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以的最大值為故答案：0【點睛】此題考查函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值的求法，考查導(dǎo)數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力和思維能力，考查函數(shù)與方程思想，屬于

17、基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（1）分布列詳見解析，【解析】試題分析：本題主要考查概率、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力第一問，在總數(shù)中去掉左右手各取一球，所取顏色相同的情況，即所取顏色均為紅色，均為黑色、均為白色的情況；第二問，先分別求出左右手所取的兩球顏色相同的概率，再利用獨立事件計算兩次取球的獲得成功的次數(shù)為0次、1次、1次的概率，列出分布列，利用計算數(shù)學(xué)期望試題解析：（1）設(shè)事件為“兩手所取的球不同色”， 則依題意，的可能取值為0，1，1左手所取的兩球顏色相同的概率為右

18、手所取的兩球顏色相同的概率為所以的分布列為：011考點：概率、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望18、 (1)列聯(lián)表見解析.(2) 有的把認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”.(3)分布列見解析；.【解析】分析：（1）根據(jù)數(shù)據(jù)填寫表格，（2）根據(jù)卡方公式得，再與參考數(shù)據(jù)比較得可靠率，（3）先列隨機(jī)變量可能取法，再利用組合數(shù)求對應(yīng)概率，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求期望.詳解：（1）喜歡甜品不喜歡甜品合計南方學(xué)生602080北方學(xué)生101020合計7030100（2）由題意，有的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”.（3）的所有可能取值為0，1，2，3，則的分布列為

19、0123所以的數(shù)學(xué)期望.點睛：求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式等)，求出隨機(jī)變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值.19、（1）證明過程見解析；（2）平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【解析】試

20、題分析：(1) 分別取的中點，利用三角形的中位線的性質(zhì)，即可證明面，進(jìn)而得到；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面與平面法向量成的角去求解.試題解析：（1）為線段的中點，理由如下：分別取的中點，連接，在等邊三角形中，又為矩形的中位線，而，所以面，所以；（2）由（1）知兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，三角形為等邊三角形，于是，設(shè)面的法向量，所以，得，則面的一個法向量，又是線段的中點，則的坐標(biāo)為，于是，且，又設(shè)面的法向量，由，得，取，則，平面的一個法向量，所以，平面與平面所成銳二面角的余弦值為20、證明見解析【解析】同時注意，將要證式子等價變形，用分析法即可獲證【詳解】解：，要證，只需證，只需證，只需證，只需證0，即，上式顯然成立，故原不等式得證【點睛】用分析法證明，即證使等式成立的充分條件成立注意應(yīng)用條件和21、（1）；（2）詳見解析.【解析】（1）分為甲隊勝三局和甲隊勝二局兩種情況，概率相加得到答案.（2）本場