《土木工程-力學(xué)》第十三章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論

1、第十三章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論1FQ橫截面上不同點的應(yīng)力各不相同。131 概 述 2單向應(yīng)力狀態(tài)同一點不同方向面上的應(yīng)力各不相同。3 受力構(gòu)件內(nèi)一點處所有方位截面上應(yīng)力的集合，稱為一點的應(yīng)力狀態(tài) 。研究一點的應(yīng)力狀態(tài)時，往往圍繞該點取一個無限小的正六面體單元體來研究。 xyxxyxyyxyxyxxzyxzzyzyxyzyzx空間應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)4 任何應(yīng)力狀態(tài)，總能找到三對互相垂直的面，在這些面上只有正應(yīng)力，而切應(yīng)力等于零，這樣的面稱為應(yīng)力主平面(簡稱主平面)，主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。 12132三向應(yīng)力狀態(tài)雙向應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)簡單應(yīng)力狀態(tài)5簡單應(yīng)力狀態(tài)下材料的強(qiáng)度條件：

2、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料的強(qiáng)度條件： 單軸拉壓狀態(tài) 純剪切應(yīng)力狀態(tài)工作應(yīng)力；許用應(yīng)力，通過直接試驗的方法確定。 不可能總是通過直接試驗的方法來確定材料的極限應(yīng)力。通過應(yīng)力狀態(tài)分析來探求材料破壞的規(guī)律，確定引起材料破壞的決定因素，從而建立相應(yīng)的強(qiáng)度條件，即強(qiáng)度理論。 6132 平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析解析法 一、斜截面應(yīng)力 圖(a)所示平面應(yīng)力單元體常用平面圖形(b)來表示。現(xiàn)欲求垂直于平面xy的任意斜截面ef上的應(yīng)力。7 圖(b)中所示任意斜截面ef 的外法線n與x軸的夾角（方位角）為a ，故截面ef簡稱a截面。其中a角規(guī)定自x軸逆時針轉(zhuǎn)至外法線n為正。 斜截面上的正應(yīng)力sa 以拉應(yīng)力為正，切應(yīng)力ta

3、以使其所作用的體元有順時針轉(zhuǎn)動趨勢者為正(圖(c)。8 由圖(c)知，如果斜截面ef的面積為dA，則體元左側(cè)面eb的面積為dAcosa，而底面bf的面積為dAsina。圖(d)示出了作用于體元ebf 諸面上的力。體元的平衡方程為：9根據(jù)切應(yīng)力互等定理有：(13-1) (13-2) 利用三角關(guān)系整理后可得到a 斜截面上應(yīng)力sa、ta的計算公式為：(13-4) 將其代入平衡方程可得：(13-3) 10例題131 圖a為一平面應(yīng)力狀態(tài)單元體，試求與x軸成30角的斜截面上的應(yīng)力。則由公式得到該斜截面上的應(yīng)力：單位：MPa203030 xy(a)3030(b)xn30301020y303030解：由圖可

4、知：1112二、主應(yīng)力和主平面將式(13 3)對取導(dǎo)數(shù)：令此導(dǎo)數(shù)等于零，可求得達(dá)到極值時的值，以0表示此值，即(135) (a)(b)13 由式(135)可求出0相差90的兩個根，亦即有相互垂直的兩個面，其中一個面上作用的正應(yīng)力是極大值，以max表示，另一個面上的是極小值，以min表示。(135) 14(136) 將式(135)代入以上兩式，再回代到式(133)經(jīng)整理后即可得到求max和min的公式如下：利用三角關(guān)系：15 由式(135)求得兩個0值后，確定哪個是max作用面的方位角(以0max表示)，哪個是min作用面的方位角(以0min表示)，則可按下述規(guī)則進(jìn)行判定：(137)(1) 若

5、x y ，則有 |0max|45(2) 若 x y ，則有 |0max|45(3) 若 x = y ，則有 (138) 求得0max后，0min可按下式計算：16將式(b)與式(134)比較，可知： 這表明在正應(yīng)力達(dá)到極值的面上，切應(yīng)力必等于零，即該截面為主平面，相應(yīng)的正應(yīng)力即為主應(yīng)力。 主應(yīng)力常用1、 2、 3 表示，并按1 2 3排序。應(yīng)注意在平面應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)力為零的平面也是主平面，其主應(yīng)力等于零，應(yīng)將它與max和min 比較，確定出1、 2、 3 。 17(139) 即對于同一個點所截取的不同方位的單元體，其相互垂直面上的正應(yīng)力之和是一個不變量，稱之為第一彈性應(yīng)力不變量?？衫么岁P(guān)系來

6、校核計算結(jié)果。另外，由式(136) 可知：18 用類似的方法，可以討論切應(yīng)力的極值和它們所在的平面。將式(134)對取導(dǎo)數(shù)：令此導(dǎo)數(shù)等于零，可求得達(dá)到極值時的值，以 表示此值，即(1310) 由式(1310)解出sin2和cos2，代入式(134)可求得切應(yīng)力的最大和最小值：19(1311) 對比式(136)可知：(1312) 這表明20與2相差90，即切應(yīng)力極值所在平面與主平面的夾角為45。(1313) 另外，對比式(135)和式(1310)可知：20例題132 圖示為某構(gòu)件某一點的應(yīng)力狀態(tài)，試確定該點的主應(yīng)力的大小及方位。 單位：MPa20303035.813解：由圖可知：將其代入式21則

7、主應(yīng)力為：因為所以22例題133 對圖(a)所示單元體，試用解析法求：（1）主應(yīng)力值；（2）主平面的方位（用單元體圖表示）；（3）最大切應(yīng)力值。單位：MPa200300200圖(a)解：由圖可知：23單位：MPa200300200圖(a)（1）將其代入式24128.153圖(b)由式（137）進(jìn)行判斷，由于 ，即主應(yīng)力1與x軸的夾角為28.15（如圖(b)所示）。（3）最大切應(yīng)力為：（2）由25133 應(yīng) 力 圓將式(133)與式(134)改寫成如下形式： 將以上二式各自平方后再相加可得：(c)(a)(b)一、應(yīng)力圓26 這是一個以正應(yīng)力、切應(yīng)力為坐標(biāo)的圓的方程，此圓稱為應(yīng)力圓或莫爾(O.Mo

8、hr)圓。其圓心坐標(biāo)為 ，半徑為 。OC圖 134 圓上任意一點的縱、橫坐標(biāo)分別代表單元體相應(yīng)截面上的切應(yīng)力和正應(yīng)力。27二、應(yīng)力圓的繪制及應(yīng)用OC(b) 圖a所示單元體的應(yīng)力圓可按如下方法作出：由單元體x截面上的應(yīng)力sx,tx按某一比例尺定出點D1，由單元體y截面上的應(yīng)力sy,ty(取ty = -tx)定出點D2，然后連以直線，以它與s 軸的交點C為圓心，以 或 為半徑可作出應(yīng)力圓(圖b)。(a)28 利用應(yīng)力圓求a 斜截面(圖a)上的應(yīng)力sa，ta時，只需將應(yīng)力圓圓周上表示x截面上的應(yīng)力的點D1所對應(yīng)的半徑 按方位角a的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動2a角，得到半徑 ，那么圓周上E點的座標(biāo)便代表了單元體a斜截面

9、上的應(yīng)力?，F(xiàn)證明如下(參照圖b)：29E點橫座標(biāo)30E點縱座標(biāo)31 當(dāng)單元體內(nèi)截面A和B的夾角為a 時，應(yīng)力圓上相應(yīng)點a和b所夾的圓心角則為2 a ，且二角之轉(zhuǎn)向相同。因此，單元體上兩個相互垂直的截面在應(yīng)力圓上的對應(yīng)點所夾圓心角為180，即它們必位于同一直徑的兩端。圖 136ABOC2ab32例題134 試用圖解法求解圖示應(yīng)力狀態(tài)單元體的主應(yīng)力。 (a)200300200單位：kPa0 100kPaOCCD(b)1283x62(c)解：首先選定坐標(biāo)系的比例尺，由坐標(biāo)(200,-300)和(-200,300)分別確定C和C點(圖b）。然后以CC為直徑畫圓，即得相應(yīng)的應(yīng)力圓。從應(yīng)力圓量得主應(yīng)力及方

10、位角，并畫出主應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)如圖。 33134 三向應(yīng)力狀態(tài)的最大應(yīng)力dabc12xzy3213 表示與主應(yīng)力3平行的斜截面上應(yīng)力的點，必位于由1與2所確定的應(yīng)力圓上。同理，與主應(yīng)力2 (或1)平行的各截面的應(yīng)力，則可由1與3(或2與3)所畫應(yīng)力圓確定。 一、三向應(yīng)力圓O132K34圖 138O132K圖 13912xzyB3CA 在坐標(biāo)平面內(nèi)，表示與三個主應(yīng)力均不平行的任意斜截面ABC（圖139）上應(yīng)力的點K必位于圖138所示以主應(yīng)力作出的三個應(yīng)力圓所圍成的陰影區(qū)域內(nèi)。 35二、最大應(yīng)力 (1319) (1317) (1318) 而最大切應(yīng)力則為： 由應(yīng)力圓可知，一點處的最大與最小正應(yīng)力分別

11、為最大與最小主應(yīng)力，即36例題135 圖a所示應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)力x = 80 MPa，x = 35 MPa， y = 20 MPa， z =-40 MPa，試畫三向應(yīng)力圓，并求主應(yīng)力、最大切應(yīng)力。 (a)xyxxyzyz(c)CEODAB(b)yxx37解： 1. 畫三向應(yīng)力圓 對于圖示應(yīng)力狀態(tài)，已知z為主應(yīng)力，其它兩個主應(yīng)力則可由x ，x與y確定(圖b) 。在 坐標(biāo)平面內(nèi)(圖c)，由坐標(biāo)(80,35)與(20, -35)分別確定A和B點，然后，以AB為直徑畫圓并與 軸相交于C和D，其橫坐標(biāo)分別為：取E(-40, 0)對應(yīng)于主平面z，于是，分別以ED及EC為直徑畫圓，即得三向應(yīng)力圓。38而最大正應(yīng)

12、力與最大切應(yīng)力則分別為：2. 主應(yīng)力與最大應(yīng)力由上述分析可知，主應(yīng)力為：39135 空間應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律 對于各向同性材料，它在各個方向上應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系相同。因此，對于各向同性材料： (1)在正應(yīng)力作用下，沿正應(yīng)力方向及與之垂直的方向產(chǎn)生線應(yīng)變，而在包含正應(yīng)力作用面在內(nèi)的三個相互垂直的平面內(nèi)不會發(fā)生切應(yīng)變； (2)在切應(yīng)力作用下只會在切應(yīng)力構(gòu)成的平面內(nèi)產(chǎn)生切應(yīng)變，而在與之垂直的平面內(nèi)不會產(chǎn)生切應(yīng)變；也不會在切應(yīng)力方向和與它們垂直的方向產(chǎn)生線應(yīng)變。40一、雙向應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律11(b)22(c)1122(a) 當(dāng)材料處于雙向應(yīng)力狀態(tài)(圖a)時，為計算沿兩個主應(yīng)力方向的應(yīng)變1和2

13、 ，可按疊加原理將原應(yīng)力狀態(tài)分解為圖b和圖c兩種單向應(yīng)力狀態(tài)的疊加。 41而垂直于1或2方向的線應(yīng)變分別為： 當(dāng)材料處于圖b或圖c所示單向應(yīng)力狀態(tài)時，沿主應(yīng)力1或2方向的線應(yīng)變分別為： (a) (b) 式中為泊松比。42 (13-20) 上式即雙向應(yīng)力狀態(tài)下的廣義胡克定律。當(dāng)材料處于圖a所示雙向應(yīng)力狀態(tài)時，沿兩個主應(yīng)力方向的應(yīng)變1和2分別為：43yxyx圖 1311而對于圖1311所示平面應(yīng)力狀態(tài)，廣義胡克定律表達(dá)式為 ： (13-21) 式中xy是在xy平面內(nèi)由切應(yīng)力x或y所引起的切應(yīng)變，G是切變模量。 44二、空間應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律當(dāng)空間應(yīng)力狀態(tài)以主應(yīng)力表示時，廣義胡克定律為：式中，e

14、1，e2，e3分別為沿主應(yīng)力s1，s2，s3方向的線應(yīng)變。45一般空間應(yīng)力狀態(tài)下的廣義胡克定律為：46例題136 有一邊長a=200mm的立方體混凝土試塊，無空隙地放在剛性凹座里(圖a) 。上表面受壓力F300kN作用。已知混凝土的泊松比1/6。試求凹座壁上所受的壓力FN 。 FNxFNzFa圖(a)FNx解：混凝土塊在z方向受壓力F作用后，將在x、y方向發(fā)生伸長。但由于x、y方向受到座壁的阻礙，兩個方向的變形為零，即根據(jù)對稱性可知，試塊在x、y方向所受到的座壁反力FNx和FNy應(yīng)相等，即47FNxFNyFNy圖(b)FNx由三向應(yīng)力的胡克定律，有：由上式可解出：由于試塊較小，可近似認(rèn)為應(yīng)力分

15、布均勻，則48將有關(guān)數(shù)據(jù)代入，可得49單元體受力變形時其體積的改變率稱為體應(yīng)變q。 123213 設(shè)單元體變形前三個邊長分別為dx、dy、dz，在受力變形后其邊長分別為dx(1+e1)、dy(1+e2)、dz(1+e3)，故體應(yīng)變?yōu)椋喝?、體應(yīng)變的概念50將上式展開并略去高階微量e1e2、e2e3、e3e1、e1e2e3，再利用各向同性材料的廣義胡克定律可得： 在一般空間應(yīng)力狀態(tài)下，由于單元體每一個平面內(nèi)的切應(yīng)力引起的純剪切相當(dāng)于該平面內(nèi)的二向等值拉壓，它們引起的體應(yīng)變?yōu)榱?，故體應(yīng)變只與三個線應(yīng)變之和有關(guān)，即：51例137 一體積為10 mm10 mm10 mm的正方形鋼塊放人寬度也為10 mm

16、的鋼槽中如圖a所示。在鋼塊頂部表面作用一合力F8kN的均布壓力，試求鋼塊的三個主應(yīng)力及體應(yīng)變。已知材料的泊松比0.33，材料的彈性模量E = 200 GPa，且不計鋼槽的變形。 解：由分析可知，正方形鋼塊處于雙向應(yīng)力狀態(tài)（圖b）。在 y方向的應(yīng)力為壓應(yīng)力，即(a)F(b)yxxy52在x方向，應(yīng)變?yōu)榱悖瑒t由廣義胡克定律而z = 0，代入上式，得因此，正方形鋼塊的三個主應(yīng)力為由體積應(yīng)變計算公式(1326)，可得53136 主應(yīng)力跡線的概念 一、m-m截面上的主應(yīng)力 （a）（b）（c）abcdemmmmmmxq54梁內(nèi)任一點處的主應(yīng)力及其方位角： 在梁內(nèi)任一點處的非零主應(yīng)力中，其中必有一個為拉應(yīng)力

17、，另一個為壓應(yīng)力。 55二、主應(yīng)力跡線 根據(jù)梁內(nèi)各點的主應(yīng)力方向，可繪制兩組曲線。在一組曲線上，各點的切向即該點的主拉應(yīng)力方向；而在另一組曲線上，各點的切向則為該點的主壓應(yīng)力方向。上述曲線族稱為梁的主應(yīng)力跡線。 在鋼筋混凝土梁中，主要承力鋼筋應(yīng)大致沿主拉應(yīng)力跡線配置，使鋼筋承擔(dān)拉應(yīng)力，從而提高梁的承載能力。 FxF/2F/256137 強(qiáng)度理論概述 材料在簡單應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度可通過試驗加以測定。但是材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度，則不可能總是由試驗來測定。因而需要通過對材料破壞現(xiàn)象的觀察和分析尋求材料強(qiáng)度破壞的規(guī)律。人們根據(jù)長期的實踐和大量的試驗結(jié)果，對材料失效的原因提出了各種不同的假說，通常將這

18、些假說稱為強(qiáng)度理論。材料強(qiáng)度破壞的兩種類型： 1.沒有明顯塑性變形的脆性斷裂； 2.產(chǎn)生顯著塑性變形而喪失工作能力的塑性屈服。57一、最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論） 最大拉應(yīng)力是引起材料斷裂的主要因素。無論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，只要最大拉應(yīng)力1達(dá)到材料在單向拉伸試驗中發(fā)生脆性斷裂時的強(qiáng)度極限u，材料即發(fā)生斷裂。即材料斷裂破壞的條件為：相應(yīng)的強(qiáng)度條件為：其中，s為對應(yīng)于脆性斷裂的許用拉應(yīng)力，ssu/n，其中n為安全因數(shù)。58二、最大拉應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論） 最大拉應(yīng)變是引起材料斷裂的主要因素。無論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，只要最大拉應(yīng)變1達(dá)到材料在單向拉伸試驗中發(fā)生脆性斷裂時的極限拉應(yīng)變值u，材料

19、即發(fā)生斷裂。即材料斷裂破壞的條件為：復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的最大拉應(yīng)變?yōu)椋憾牧显趩蜗蚶鞌嗔褧r的最大拉應(yīng)變?yōu)椋?9考慮安全因數(shù)后，第二強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為：則材料斷裂破壞的條件可改寫為 當(dāng)脆性材料處于雙向拉伸壓縮應(yīng)力狀態(tài)，且應(yīng)力值不超過拉應(yīng)力值時，該理論與試驗結(jié)果基本符合。但對于脆性材料雙向受拉或受壓的情況，該理論與試驗結(jié)果卻完全不符。 60三、最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論） 最大切應(yīng)力是引起材料屈服的主要因素。無論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，只要最大切應(yīng)力max達(dá)到材料在單向拉伸屈服時的最大切應(yīng)力s ，材料即發(fā)生屈服破壞。即材料屈服破壞的條件為：復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的最大切應(yīng)力為：61而材料單向拉伸屈服時的最

20、大切應(yīng)力則為 ：考慮安全因數(shù)后，第三強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為：則材料屈服破壞的條件可改寫為 這一理論與試驗符合較好，比較滿意地解釋了塑性材料出現(xiàn)屈服的現(xiàn)象，因此在工程中得到廣泛應(yīng)用。但對于三向等值拉伸情況，按該理論分析，材料將永遠(yuǎn)不會發(fā)生破壞，這與實際情況不符。 62 構(gòu)件因其形狀和體積發(fā)生改變而在其內(nèi)部積蓄的能量，稱為變形能。通常將構(gòu)件單位體積內(nèi)所積蓄的變形能，稱為比能。比能可分為形狀改變比能和體積改變比能兩部分 。 該理論認(rèn)為形狀改變比能是引起材料屈服的主要因素。無論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，只要形狀改變比能vd達(dá)到材料在單向拉伸屈服時的形狀改變比能極限值vdu，材料即發(fā)生屈服破壞。即材料屈服破壞

21、的條件為：四、形狀改變比能理論理論（第四強(qiáng)度理論） 63而材料單向拉伸屈服時的形狀改變比能極限值為 ：考慮安全因數(shù)后，第四強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為：則材料屈服破壞的條件可改寫為三向應(yīng)力狀態(tài)下的形狀改變比能為：64 需要指出的是，破壞形式不但與材料有關(guān)，還與應(yīng)力狀態(tài)等因素有關(guān)。例如由低碳鋼制成的等直桿處于單向拉伸時，會發(fā)生顯著的塑性流動；但當(dāng)它處于三向拉應(yīng)力狀態(tài)時，會發(fā)生脆性斷裂。低碳鋼制圓截面桿在中間切一條環(huán)形槽，當(dāng)該桿受單向拉伸時，直到拉斷時，也不會發(fā)生明顯的塑性變形，最后在切槽根部截面最小處發(fā)生斷裂，其斷口平齊，與鑄鐵拉斷時的斷口相仿，屬脆性斷裂。這是因為在截面急劇改變處有應(yīng)力集中，屬三向拉應(yīng)力狀態(tài)。相應(yīng)的切應(yīng)力較小，不易發(fā)生塑性流動之故。又如大理石在單向壓縮時，其破壞形式為脆性斷裂