高中數(shù)學(xué)選擇性必修一 第2章專題8 最值問題?？碱}型專題練習(xí)

1、最值問題考向一 斜率型最值1、已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2y24x10，求eq f(y,x)的最大值和最小值答案：eq f(y,x)的最大值為eq r(3)，最小值為eq r(3).解析：原方程可化為(x2)2y23，表示以(2,0)為圓心，eq r(3)為半徑的圓eq f(y,x)的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè)eq f(y,x)k，即ykx.當(dāng)直線ykx與圓相切時(shí)(如圖)，斜率k取得最大值或最小值，此時(shí)eq f(|2k0|,r(k21)eq r(3)，解得keq r(3).所以eq f(y,x)的最大值為eq r(3)，最小值為eq r(3).2、已知圓C：(x2)2y21，P(

2、x，y)為圓上任意一點(diǎn)，則eq f(y2,x1)的最大值為_答案：eq f(3r(3),4)解析：設(shè)eq f(y2,x1)k，即kxyk20，圓心C(2,0)，r1.當(dāng)直線與圓相切時(shí)，k有最值，eq f(|2k0k2|,r(k21)1，解得keq f(3r(3),4).eq f(y2,x1)的最大值為eq f(3r(3),4).3.已知圓C：，求 的最大值與最小值. 解析:令，則表示圓上一點(diǎn)與的斜率由題意可知，當(dāng)直線與圓相切時(shí)取最值 ， 考向二 截距型最值1、已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2y24x10，求yx的最大值和最小值答案：yx的最大值為2eq r(6)，最小值為2eq r(6).解析：yx

3、可看作是直線yxb在y軸上的截距，如圖所示，當(dāng)直線yxb與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)eq f(|20b|,r(2)eq r(3)，解得b2eq r(6).所以yx的最大值為2eq r(6)，最小值為2eq r(6).備注：形如axby型的最值問題，常轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題求解如本題可令byx，即yxb，從而將yx的最值轉(zhuǎn)化為求直線yxb的截距的最值問題另外，此類問題也常用三角代換求解由于圓的方程可整理為(x2)2y23，故可令eq blcrc (avs4alco1(x2r(3)cos ，,yr(3)sin ，)即eq blcrc (avs4alco1(xr(3)cos 2，

4、,yr(3)sin ，)從而yxeq r(3)sin eq r(3)cos 2eq r(6)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)2，進(jìn)而求出yx的最大值和最小值2.已知圓C：，求 的最大值與最小值.解析:令即當(dāng)直線與圓相切時(shí)取最值圓心到直線的距離 3、已知P(x，y)為圓(x2)2y21上的動(dòng)點(diǎn)，則|3x4y3|的最大值為_答案：8解析：設(shè)t3x4y3，即3x4y3t0.由圓心(2,0)到直線3x4y3t0的距離deq f(|63t|,r(3242)1，解得2t8.所以|3x4y3|max8.考向三 距離型最值1、已知實(shí)數(shù)x，y滿足(x5)2(y12)225，那么eq r

5、(x2y2)的最小值為_答案：8解析：由題意得eq r(x2y2)eq r(x02y02)表示點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)的距離，所以eq r(x2y2)的最小值表示圓(x5)2(y12)225上一點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值又圓心(5,12)到原點(diǎn)的距離為eq r(52122)13，所以eq r(x2y2)的最小值為1358.2、已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2y24x10，求x2y2的最大值和最小值答案：x2y2的最大值是(2eq r(3)274eq r(3)，x2y2的最小值是(2eq r(3)274eq r(3).解析：如圖所示，x2y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)和圓心連線與圓

6、的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值又圓心到原點(diǎn)的距離為eq r(202002)2，所以x2y2的最大值是(2eq r(3)274eq r(3)，x2y2的最小值是(2eq r(3)274eq r(3).備注：形如(xa)2(yb)2型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)(x，y)與定點(diǎn)(a，b)的距離的平方求最值如本題中x2y2(x0)2(y0)2，從而轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)(x，y)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方3.已知圓C：，若 求 的最大值與最小值.解析: 考向四 利用對(duì)稱求最值1、已知A(0，2)，點(diǎn)P在直線xy20上，點(diǎn)Q在圓C：x2y24x2y0上，則|PA|PQ|的最小值是_.答案:2eq r(5).解析:因?yàn)閳AC

7、：x2y24x2y0，故圓C是以C(2，1)為圓心，半徑req r(5)的圓.設(shè)點(diǎn)A(0，2)關(guān)于直線xy20的對(duì)稱點(diǎn)為A(m，n)，故eq blc(avs4alco1(f(m0,2)f(n2,2)20，,f(n2,m0)1，)解得eq blc(avs4alco1(m4，,n2，)故A(4，2).連接AC交圓C于Q，由對(duì)稱性可知|PA|PQ|AP|PQ|AQ|AC|r2eq r(5).2、設(shè)點(diǎn)，若在圓上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍是答案：解析：由于圓的對(duì)稱性，可以只考慮的情況.點(diǎn)在直線上移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在直線與直線之間的圓弧上時(shí)，此時(shí)，由對(duì)稱性可知.當(dāng)點(diǎn)在余下的半圓弧上時(shí)，情況如下圖所示：為圓的切線，

8、為臨界情況，,此時(shí)由于由于圓的對(duì)稱性，所以.考向5 其他最值問題1、圓的點(diǎn)到直線距離的最小值是AB2CD【答案】C【解析】由圓可得圓心坐標(biāo)，半徑為1，所以圓心到直線的距離為，所以直線與圓相離，所以圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為，故選C2、若過直線上一點(diǎn)向圓作一條切線于切點(diǎn)，則的最小值為AB4CD【答案】D【解析】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2要求的最小，則圓心到直線的距離最小，為的最小值為故選D3、直線是圓在處的切線，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則到的距離的最小值等于AB2C3D4【答案】B【解析】根據(jù)題意，直線是圓在處的切線，則直線的方程為，變形可得，圓，即，其圓心為，半徑，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則圓心到直線的距離，則到的距離的