初中數(shù)學北師大九年級下冊（2023年新編） 直角三角形的邊角關系教案

1、1230，45，60角的三角函數(shù)值 新津縣華潤初級中學 張蓉教學目標1經(jīng)歷探索30、45、60角的三角函數(shù)值的過程，能夠進行有關的推理，進一步體會三角函數(shù)的意義2能夠進行30、45、60角的三角函數(shù)值的計算3能夠根據(jù)30、45、60的三角函數(shù)值說明相應的銳角的大小重點難點重點探索30、45、60角的三角函數(shù)值；能夠進行含30、45、60角的三角函數(shù)值的計算；比較銳角三角函數(shù)值的大小難點進一步體會三角函數(shù)的意義教學過程一、創(chuàng)設情境，導入新課 問題：為了測量一棵大樹的高度，準備了如下測量工具：含30和60兩個銳角的三角尺；皮尺請你設計一個測量方案，能測出一棵大樹的高度(用多媒體演示上面的問題，并讓

2、學生交流各自的想法)生我們組設計的方案如下： 讓一位同學拿著三角尺站在一個適當?shù)奈恢肂處，使這位同學拿起三角尺，她的視線恰好和斜邊重合且過樹梢C點，30的鄰邊和水平方向平行，用卷尺測出AB的長度，BE的長度，因為DEAB，所以只需在RtCDA中求出CD的長度即可生在RtACD中，CAD30，ADBE，BE是已知的，設BEa米，則ADa米，如何求CD呢？生含30角的直角三角形有一個非常重要的性質：30的角所對的邊等于斜邊的一半，即AC2CD，根據(jù)勾股定理，(2CD)2CD2a2，CDeq f(r(3),3)a，則樹的高度即可求出 師我們前面學習了三角函數(shù)的定義，如果一個角的大小確定，那么它的正切

3、、正弦、余弦值也隨之確定，如果能求出30的正切值，在上圖中，tan30eq f(CD,AD)eq f(CD,a)，則CDatan30，豈不簡單 你能求出30角的三個三角函數(shù)值嗎？二、合作交流，探究新知探索30、45、60角的三角函數(shù)值 師觀察一副三角尺，其中有幾個銳角？它們分別等于多少度？生一副三角尺中有四個銳角，它們分別是30、60、45、45.師sin30等于多少呢？你是怎樣得到的？與同伴交流 生sin30eq f(1,2). sin30表示在直角三角形中，30角的對邊與斜邊的比值，與直角三角形的大小無關我們不妨設30角所對的邊為a(如圖所示)，根據(jù)“直角三角形中30角所對的邊等于斜邊的一

4、半”的性質，則斜邊等于2a.根據(jù)勾股定理，可知30角的鄰邊為eq r(3)a，所以sin30eq f(a,2a)eq f(1,2).師cos30等于多少？tan30呢？生cos30eq f(r(3)a,2a)eq f(r(3),2)，tan30eq f(a,r(3)a)eq f(1,r(3)eq f(r(3),3). 師我們求出了30角的三個三角函數(shù)值，還有兩個特殊角45、60，它們的三角函數(shù)值分別是多少？你是如何得到的？ 生求60的三角函數(shù)值可以利用求30角三角函數(shù)值的三角形因為30角的對邊和鄰邊分別是60角的鄰邊和對邊利用上圖，很容易求得sin60eq f(r(3)a,2a)eq f(r(

5、3),2)，cos60eq f(a,2a)eq f(1,2)，tan60eq f(r(3)a,a)eq r(3).生也可以利用上節(jié)課我們得出的結論：一銳角的正弦等于它余角的余弦，一銳角的余弦等于它余角的正弦可知sin60cos(9060)cos30eq f(r(3),2)，cos60sin(9060)sin30eq f(1,2). 師生共析：我們一同來求45角的三角函數(shù)值含45角的直角三角形是等腰直角三角形(如圖)設其中一條直角邊為a，則另一條直角邊也為a，斜邊eq r(2)a.由此可求得 sin45eq f(a,r(2)a)eq f(1,r(2)eq f(r(2),2)， cos45eq f

6、(a,r(2)a)eq f(1,r(2)eq f(r(2),2)， tan45eq f(a,a)1. 師下面請同學們完成下表(用多媒體演示)30、45、60角的三角函數(shù)值三角函數(shù)三角函數(shù)值角sincostan30eq f(1,2)eq f(r(3),2)eq f(r(3),3)45eq f(r(2),2)eq f(r(2),2)160eq f(r(3),2)eq f(1,2)eq r(3)這個表格中的30、45、60角的三角函數(shù)值需熟記，另一方面，要能夠根據(jù)30、45、60角的三角函數(shù)值，說出相應的銳角的大小 為了幫助大家記憶，我們觀察表格中函數(shù)值的特點先看第一列30、45、60角的正弦值，你

7、能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律呢？ 生30、45、60角的正弦值分母都為2，分子從小到大分別為eq r(1)，eq r(2)，eq r(3)，隨著角度的增大，正弦值在逐漸增大 師再來看第二列函數(shù)值，有何特點呢？ 生第二列是30，45、60角的余弦值，它們的分母也都是2，而分子從大到小分別為eq r(3)，eq r(2)，eq r(1)，余弦值隨角度的增大而減小 師第三列呢？ 生第三列是30、45、60角的正切值，首先45角是等腰直角三角形中的一個銳角，所以tan451比較特殊 師很好，掌握了上述規(guī)律，記憶就方便多了下面同桌之間可互相檢查一下對30、45、60角的三角函數(shù)值的記憶情況相信同學們一定做得很棒三、運

8、用新知，深化理解例1(教材示例)計算：(1)sin30cos45； (2)sin260cos260tan45. 分析：本題旨在幫助學生鞏固特殊角的三角函數(shù)值，今后若無特別說明，用特殊角三角函數(shù)值進行計算時，一般不取近似值，另外sin260表示(sin60)2，cos260表示(cos60)2. 解：(1)sin30cos45eq f(1,2)eq f(r(2),2)eq f(1r(2),2)；(2)sin260cos260tan45(eq f(r(3),2)2(eq f(1,2)21eq f(3,4)eq f(1,4)10.例2(教材示例)一個小孩蕩秋千，秋千鏈子的長度為2.5 m，當秋千向兩

9、邊擺動時，擺角恰好為60，且兩邊的擺動角度相同，求它擺至最高位置時與其擺至最低位置時的高度之差(結果精確到0.01 m)分析：引導學生自己根據(jù)題意畫出示意圖，培養(yǎng)學生把實際問題轉化為數(shù)學問題的能力 解：根據(jù)題意(如圖)可知，BOD60，OBOAOD2.5 m，AODeq f(1,2)6030， OCODcos302.5eq f(r(3),2)2.165(m) AC2.52.1650.34(m) 所以，最高位置與最低位置的高度約為0.34 m.例3要求tan30的值，可構造如圖所示的直角三角形進行計算作RtABC，使C90，斜邊AB2，直角邊AC1，那么BCeq r(3)，ABC30，tan30

10、eq f(AC,BC)eq f(1,r(3)eq f(r(3),3).在此圖的基礎上，通過添加適當?shù)妮o助線，探究tan15與tan75的值分析：作B的平分線，如圖，根據(jù)角平分線的性質以及勾股定理首先求出CD的長，進而得出tan15eq f(CD,BC)，tan75eq f(BC,CD).解：作B的平分線交AC于點D，作DEAB，垂足為E.BD平分ABC，CDBC，DEAB，CDDE.設CDx，則AD1x，AE2BE2BC2eq r(3).在RtADE中，DE2AE2AD2，x2(2eq r(3)2(1x)2，解得x2 eq r(3)3，tan15eq f(2 r(3)3,r(3)2eq r(3)，tan75eq f(BC,CD)eq f(r(3),2 r(3)3)2eq r(3).四、課堂練習，鞏固提高1教材P9隨堂練習2探究在線高效課堂相關作業(yè)五、反思小結，梳理新知 本節(jié)課總結如下： (1)探索30、45、60角的三角函數(shù)值 sin30eq f(1,2)，sin45eq f(r(2),2)，sin60eq f(r(3),2)； cos30eq f(r(