綿陽市高中2022級（2025屆）高三第一次診斷性考試（一診）數(shù)學試卷（含答案逐題解析）

秘密★啟用前【考試時間:2024年10月30日15∶00—17∶00】綿陽市高中2022級第一次診斷性考試數(shù)學注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的班級、姓名、考號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4.考試結束后，將答題卡交回。第Ⅰ卷(選擇題,共58分)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x+1)2≤1},則A∩B=A.{-2,-1}B.{-2,-1,0}C.[-2,0]D.[-2,2]2.“ac2＞bc2”是“a＞A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件3.已知x＞0,y＞0,且滿足x+y=xy-3,則xy的最小值為A.3B.23C.6D.4.某公司根據(jù)近幾年經(jīng)營經(jīng)驗，得到廣告支出與獲得利潤數(shù)據(jù)如下：廣告支出x/萬元258111519利潤y/萬元334550535864根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得利潤y關于廣告支出x的經(jīng)驗回歸方程為y=1.65x+a.據(jù)此經(jīng)驗回歸方程，若計劃利潤達到100萬元，估計需要支出廣告費A.30萬元B.32萬元C.36萬元D.40萬元5.下列選項中，既是增函數(shù)，也是奇函數(shù)的是A.y=x?2B.y=x+1xC.y=x-si6.已知θ為第一象限角，且tanθ+πA.9B.3C.13D.數(shù)學試題卷第1頁(共4頁)7.某工廠產生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P(單位：mg/L)與時間t(單位：h)間的關系為.P=P0e-M(e是自然對數(shù)的底數(shù)，P?，k為正的常數(shù)).如果前9h消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的時間約為()(參考數(shù)據(jù)：lg2≈A.33hB.35hC.37hD.39h8.已知函數(shù)fx=-3x+12,x≤0,exx2-3,x＞0,gx=mx,若關于A.(0,32]B.(0C.(-2e,0]D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知數(shù)列{an}的前n項和為S,,且a?=6,A.S?=42C.{Sn}是等比數(shù)列D.存在大于1的整數(shù)n,k,使得10.已知函數(shù)fx=2sinωx2cA.ω∈（113B.令gx=fx+π6,存在ωC.函數(shù)f(x)在(0,π)上可能有3個或4個極值點D.函數(shù)f(x)在-π11.已知函數(shù)f(x)的定義域為R,f(x)不恒為0,且fxA.f(0)可以等于零B.f(x)的解析式可以為:f(x)=cos2xC.曲線f(x-l)為軸對稱圖形D.若f(l)=1,則∑數(shù)學試題卷第2頁(共4頁)第Ⅱ卷(非選擇題，共92分)三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.記△ABC內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b=2,c=3,cosB+C=-2313.已知函數(shù)f(x)=|ln|x+2||-m,m為正的常數(shù),則f(x)的零點之和為.14.若x=2是函數(shù)fx=x-3e四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)近年來，解放軍強軍興軍的深刻變化，感召了越來越多的高中優(yōu)秀青年學子獻身國防，投身軍營.2024年高考，很多高考畢業(yè)學生報考了軍事類院校.從某地區(qū)內學校的高三年級中隨機抽取了900名學生，其中男生500人，女生400人，通過調查，有報考軍事類院校意向的男生、女生各100名.(1)完成給出的列聯(lián)表，并分別估計該地區(qū)高三男、女學生有報考軍事類院校意向的概率；有報考意向無報考意向合計男學生女學生合計(2)根據(jù)小概率值α=0.10的獨立性檢驗，能否認為學生有報考軍事類院校D意愿與性別有關.參考公式及數(shù)據(jù)：χα0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001xα1.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828數(shù)學試題卷第3頁(共4頁)16.(15分)記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知(asinC=12,且acosC+(1)求△ABC的面積;(2)若B=π4,17.(15分)已知數(shù)列{an},{bn}滿足(n+1an=nbn,且an,(1)若a?+a?=4,求b?的值；(2)若a?=2,設數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別為Sn(i)求數(shù)列{an},{b(ii)求T18.(17分)已知函數(shù)f(1)當a=-5時，則過點(0，2)的曲線f(x)的切線有幾條?并寫出其中一條切線方程；(2)討論f(x)的單調性;(3)若f(x)有唯一零點，求實數(shù)a的取值范圍.19.(17分)已知函數(shù)fx=lnx+x2-3x+a,f(x)在(0,1]上的最大值為(1)求實數(shù)a的值；(2)若數(shù)列{an}滿足2an(i)當n≥2,n∈Z時,比較an與1(ii)求證:3∑數(shù)學試題卷第4頁(共4頁)原卷掃描版原卷掃描版秘密★啟用前【考試時間:2024年10月30日15:00—17:00】綿陽市高中2022級第一次診斷性考試數(shù)學注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的班級、姓名、考號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.寫在本試卷上無效.3.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.4.考試結束后，將答題卡交回.第I卷(選擇題,共58分)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x+1)2≤1},則A∩B=()A.{-2,-1}B.{-2,-1,0}C.[-2,0]D.[-2,2]【答案】B【解析】【分析】先求出集合B，再根據(jù)集合交集運算即可得答案【詳解】由x+12≤1,可得-2≤x≤0,所以所以A∩B=-2,-1,0,1,2∩x|-2≤x≤0=-2,-1,0故選:B2.`ac2>bc2",是“a>b”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】若ac2>bc2,則c≠0,c2>0,因此a>b,當a>b,c=0時,ac2=0=bc2,第1頁共18頁所以“ac2>bc2",是“a>b”的充分不必要條件.故選:A3.已知x>0,y>0,且滿足x+y=xy-3,則xy的最小值為()A.3B.23C.6D.【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式化簡已知條件，再解不等式求得xy的范圍，從而求得xy的最小值.【詳解】x+y=xy-3≥2xyxy當且僅當x=y=3時等號成立，所以xy的最小值為9.故選:D4.某公司根據(jù)近幾年經(jīng)營經(jīng)驗，得到廣告支出與獲得利潤數(shù)據(jù)如下：廣告支出x/萬元258111519利潤y/萬元334550535864根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得利潤y關于廣告支出x的經(jīng)驗回歸方程為.y=1.65x+a.據(jù)此經(jīng)驗回歸方程，若計劃利潤達到100A.30萬元B.32萬元C.36萬元D.40萬元【答案】D【解析】【分析】先得求數(shù)據(jù)的中心點(10,50.5),代入.y=1.65x+a得a=34,再由y=100求得【詳解】x因y=1.65x+a過點(x,y),故50.5=1.65×10+a,得à=34故當y=100時,1.65x+34=100,得x=40第2頁共18頁故選:D5.下列選項中，既是增函數(shù)，也是奇函數(shù)的是()A.y=x2B.y=x+1xC.y=x-sinx【答案】C【解析】【分析】分別判斷函數(shù)的奇偶性和單調性即可.【詳解】對于A，令f所以y=x2是偶函數(shù)，故A錯誤；對于B,y=x+1x在(-∞,-1)和(1,+∞)上單調遞增,在(-1,0)和(0,1)上單調遞減,故對于C,令8ξx所以y=x-sinx是奇函數(shù),又y'=1-cosx≥0,所以y=x-sinx是R上的增函數(shù),故對于D，令h則h'x=x+1x-1?x-1x+1'=故選:C.6.已知θ為第一象限角，且tanθ+π3A.9B.3c.13【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩角和的正切公式結合已知條件可求出tanθ=【詳解】由題意知θ為第一象限角，且tan第3頁共18頁故tanθ+tanπ31-tanθ則1-故選:B7.某工廠產生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P(單位：mg/L)與時間t(單位：h)間的關系為P=P?e???(e是自然對數(shù)的底數(shù)，P?，k為正的常數(shù)).如果前9h消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的時間約為()(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.301)A.33hB.35hC.37hD.39h【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出常數(shù)k，然后再令P=0.4即可解出t.【詳解】依題意，(1-20解得k=-19ln當.P=(1-60%)P?時,0.4P0=解得t=所以污消除60%的污染物需要的時間約為37h.故選:C8.已知函數(shù)fx=-3x+12,x≤0exx2-3,x>0,gx=mx,若關于x的不等式xA.032B.0e22C【答案】A【解析】【分析】判斷函數(shù)的單調性，作出函數(shù)圖象，結合題意列出相應不等式組，即可求得答案.【詳解】令hx=e?x2-3,x>0,則h'x=e?x+3x-1,當0<x<1時,h'(x)<第4頁共18頁當x>1時,h'x>0,則h(x)在(令kx=-3x+12,x≤0,由關于x的不等式x可知.x≠0,,當x>0時,fx<gx當x<0時,fx>gx作出函數(shù)圖象如圖：要使關于x的不等式x(f(x)-g(x))<0|的整數(shù)解有且僅有2個，顯然m≤0不能滿足題意，故需滿足m>0h2≥g2k-2≤g-2,即故選:A【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵在于作出函數(shù)圖象，從而列出相應不等式組，求得答案.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且(a?=6,aA.S?=42B.C.{Sn}是等比數(shù)列D.存在大于1的整數(shù)n,k,使得【答案】AB【解析】第5頁共18頁【分析】通過an與Sn的關系，作差得到數(shù)列a?是以6為首項，2【詳解】由an??=兩式相減可得：a又a所以數(shù)列a?是以6為首項，2所以a所以S?=6×23-6=42,A正確;2a?=6×2?,所以S由S?=6×2?-6,可得S?=6,S?=18,S?=42,顯然S2S1≠若S?=a?也即2?-2??1=1,顯然不存在大于1的整數(shù)n，k，使得等式成立，D錯誤；故選:AB10.已知函數(shù)fx=2sinωx2cosωxA.ω∈B.令gx=fx+π6,存在C.函數(shù)f(x)在(0,π)上可能有3個或4個極值點D.函數(shù)f(x)在-π【答案】ABD【解析】【分析】利用二倍角和輔助角公式化簡得到fx=2sinωx+π3,根據(jù)f(x第6頁共18頁零點，可確定ωx+π3∈π【詳解】】f對于A,x∈0π,ωx+π3∈π3πω+π3所以4π<πω+π3≤5π,解得11對于B,gg'x=2ωcosωx+π6ω+π3為偶函數(shù)，則π6∵ω>0,∴取ω=4,g'(x)=-8cos4x為偶函數(shù),滿足題意,故B正確;對于C,x∈∵ω∈∴函數(shù)f(x)在(0，π)上可能有4個或5個極值點，故C不正確；對于D,若x∈-π35:ω∈∴函數(shù)f(x)在-π35π故選:ABD.11.已知函數(shù)f(x)的定義域為R,f(x)不恒為0,且fxA.f(0)可以等于零B.f(x)的解析式可以為:f第7頁共18頁C.曲線f(x-1)為軸對稱圖形D.若f(1)=1,則∑【答案】BCD【解析】【分析】利用賦值法可得f(0)=0或f(0)=1,分類討論可得f(0)=1,判斷A;.有一只判斷出函數(shù)的奇偶性，可判斷B；結合B的分析以及圖象的平移可判斷C；判斷出{f(k)}是以f(1)=1為首項，0為公差的等差數(shù)列，即可判斷D.【詳解】令x=y=0,可得f0+f02=f0+02f0-02,可得f0=f2當f(0)=0時,則可得f則f(x)=0,與f(x)不恒為0矛盾,所以f(0)=1,故A錯誤;令y=-x,可得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x),∴f(-x)=f(x),所以f(x)為偶函數(shù)，因為f(x)=cos2x是偶函數(shù),所以f(x)的解析式可以為:f(x)=cos2x,故B正確;因為f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)的圖象關于直線x=0對稱，所以f(x-1)關于直線x=1對稱,所以曲線f(x-1)為軸對稱圖形,故C正確;令x=k+2,y=k,則可得f所以f(k+2)+f(k)=2f(k+1),k∈N*,又f解得f(2)=1,所以{f(k)}是以f(1)=1為首項,0為公差的等差數(shù)列,所以∑k=120f故選:BCD.【點睛】關鍵點點睛：采用賦值法是解抽象函數(shù)的一種有效方法，多領會其思路.第Ⅱ卷(非選擇題，共92分)第8頁共18頁三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.記△ABC內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b=2,c=3,cosB+C=-23【答案】5【解析】【分析】結合三角形內角和、誘導公式與余弦定理計算即可得解.【詳解】由cosB+C=cos則a2=b故答案為：513.已知函數(shù)f(x)=|ln|x+2||-m,m為正的常數(shù),則f(x)的零點之和為.【答案】-8【解析】【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的對稱性，再結合零點的意義即可求解得答案.【詳解】函數(shù)f(x)的定義域為{x∈R|x≠-2},由f(x)=0,得|ln|x+2||=m,令函數(shù)g(x)=|ln|x+2||,g(-4-x)=|ln|-4-x+2||=|ln|x+2||=g(x),則函數(shù)y=g(x)圖象關于直線.x=-2對稱，在同一坐標系內作出直線y=m(m>0)與函數(shù)y=g(x)的圖象，如圖，直線y=m(m>0)與函數(shù)y=g(x)的圖象有4個交點，令其橫坐標從左到右依次為x?,x?,x?,x?,觀察圖象得x?+x?=x?+x?=-4,所以f(x)的零點之和為-8.故答案為：-814.若x=2是函數(shù)fx=x-3ex【答案】a<-e2【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的導數(shù)，對a分類討論，再結合f'第9頁共18頁出答案.【詳解】f當a≥0時,e?+a>0,當x<2時,f(x)<0,當x>2時,f所以f(x)在(-∞,2)上單調遞減,在(2,+∞)上單調遞增,所以x=2是函數(shù)的極小值點，不符合題意；當a<0時,令f'(x)=0,可得x?=2,x?=ln若2<ln(-a),即(a<-e2時,則x<2時,f(x)>0,函數(shù)f(x)單調遞增,2<x<ln(-a)時,f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調遞減,所以2是函數(shù)fx若2>ln(-a)即(0>a>-e22時,則x>2時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調遞增,ln(-a)<x<2時,f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調遞減,所以2是函數(shù)fx若2=ln(-a)即(a=-e22時,則x∈R時,f'(x)≥0,函數(shù)f(x)單調遞增,函數(shù)f(x)無極值點，不符合題意.綜上，當a<-e2時，2是函數(shù)f(x)的極大值點.故答案為：a<-e2【點睛】關鍵點點睛：首先觀察導函數(shù)，當a≥0時，分析函數(shù)單調性判斷2是否為極大值點，當a<0時，根據(jù)f'(x)=0的兩根大小分類，由導數(shù)的正負得函數(shù)的單調性，再由單調性判斷極大值點是否為2.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.近年來，解放軍強軍興軍的深刻變化，感召了越來越多的高中優(yōu)秀青年學子獻身國防，投身軍營.2024年高考，很多高考畢業(yè)學生報考了軍事類院校.從某地區(qū)內學校的高三年級中隨機抽取了900名學生，其中男生500人，女生400人，通過調查，有報考軍事類院校意向的男生、女生各100名.(1)完成給出的列聯(lián)表，并分別估計該地區(qū)高三男、女學生有報考軍事類院校意向的概率；第10頁共18頁有報考意向無報考意向合計男學生女學生合計(2)根據(jù)小概率值α=0.10的獨立性檢驗，能否認為學生有報考軍事類院校的意愿與性別有關.參考公式及數(shù)據(jù)：χα0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001xα1.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析，男生有報考軍事類院校意向的概率為15,女生有報考軍事類院校意向的概率為(2)能認為學生有報考軍事類院校的意愿與性別有關【解析】【分析】(1)先填寫2×2列聯(lián)表，再根據(jù)古典概型概率計算公式求得正確答案.(2)計算x2的知識，從而作出判斷.【小問1詳解】根據(jù)已知條件，填寫2×2列聯(lián)表如下：有報考意向無報考意向合計男學生100400500第11頁共18頁女學生100300400合計200700900男生有報考軍事類院校意向的概率為100女生有報考軍事類院校意向的概率為100【小問2詳解】χ所以能認為學生有報考軍事類院校的意愿與性別有關.16.記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知asinC=12,且acosC(1)求△ABC的面積;(2)若B=π4,【答案】12π8或【解析】【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用余弦定理及三角形面積公式求解即得.(2)利用正弦定理，結合和角的正弦公式、二倍角公式求解即得.【小問1詳解】在△ABC中，由余弦定理及(acosC+ccosA=1,得a?a2+b2-c22ab+c?b2【小問2詳解】由(1)及正弦定理得asinA=于是2sinAsin整理得2sinA?2第12頁共18頁因此sin2A=cos2A,即tan2A=1,由0<A<3π4,得0<2A<3π2,解得2A=π4或17.已知數(shù)列{an},{bn}滿足n+1a?=nb?,且(an+(1)若a?+a?=4,求b?的值；(2)若a?=2,設數(shù)列{an},{abn}的前n項和分別為Sn,Tn(i)求數(shù)列{an},{bn}{的通項公式；(ii)求T【答案】(1)22【解析】【分析】(1)先得b1=2a1,b2=32(2)(i)先求得bn=n+1nan,利用am.1是bn與bn+1的等比中項可得(ii)先得b?-a?=n+1,利用等差數(shù)列前【小問1詳解】由n+1a?=nb由題意可知a?是b?與b?的等比中項，故a可得a22=3a1a2,即故b?=2a?=2【小問2詳解】(i)由(n+1an=n由題意可得an+12=第13頁共18頁故a故ab故aiT==2+3+…+(n+1)==18.已知函數(shù)f(1)當a=-5時，則過點(0，2)的曲線f(x)的切線有幾條?并寫出其中一條切線方程；(2)討論f(x)的單調性;(3)若f(x)有唯一零點，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)有3條切線,y=-32x+2(2)答案見解析3【解析】【分析】(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義，設出切點得出切線斜率，列方程組分析解得個數(shù)即可；(2)求出導函數(shù)，對a分類討論即可得出函數(shù)單調區(qū)間；(3)根據(jù)函數(shù)的單調性，結合當x→+∞時，f(x)→+∞，利用極大值建立不等式求解.【小問1詳解】第14頁共18頁當a=-5時,f設切點為(x?,y?),因為切線過點(0，2)，所以切線斜率存在，故可設切線方程為y=kx+2，則kx0+2=即x0-12x02-3x0-3=0,由2故x0-12所以切線有3條,其中一條切點橫坐標為1,故k=3-10-25=-32,所以切線方程為y=-32x+2.【小問2詳解】f當a=0時,f'x=3x2≥0,當a>0時,-a<a3,所以.x<-a或a3<x時,f'(x)>0當-a<x<a3時,f'(x)<0,f(當a<0時,-a>a3,所以x>-a或x<a3時,f'(x)>0當a3<x<-a時,f'(x)<0,f(綜上,a=0時,f(x)在