2021-2022學年高二物理競賽課件：簡并態(tài)的定態(tài)微擾理論

1、簡并態(tài)的定態(tài)微擾理論簡并態(tài)的定態(tài)微擾理論未微擾態(tài)簡并時，原微擾公式:不能用，原因是1)出現(xiàn)分母=0情形；2)零階態(tài)矢可為簡并態(tài)的疊加。若取使Vnn（n與n簡并）為零的初始態(tài)，則上述表達式有可能仍有用。設有g(shù)度簡并態(tài)|m(0),其展開的子空間為D。D中的態(tài)可一般地寫為：記P0為投影到D的投影算符,P1=1-P0則是投影到其他態(tài)矢組成的子空間部分的算符.本征方程可寫為分別用P0和P1作用于上式，有若微擾成立,則要求 且 E 與 不同. 上式可解為: , 代入前一式得考慮能量至一階, 波函數(shù)至零階, 可有此即g維簡并子空間的線性方程組，其解即為求 (V=)由此可得零階態(tài)矢和一階能移:因采用使V對角化

2、的|m(0)組合,該方法不限于嚴格簡并情形. 將近簡并能級并入D可使微擾展開快速收斂。若微擾使簡并完全消除,可將 看作微擾，其對態(tài)矢的一階修正為P1子空間對一階態(tài)矢修正的貢獻：P0|l(1)+P1|l(1)即為完整的一階態(tài)矢修正。2階能量修正：形式與非簡并情形類似,但求和限于D外的子空間上述一階波函數(shù)和二階能級修正成立的條件是微擾完全消除簡并，否則需將 作為微擾，進一步用簡并法求其修正。歸納之，簡并態(tài)的微擾法為：1）對簡并態(tài)的微擾態(tài)構(gòu)造相應的微擾矩陣2）解久期方程，即對角化微擾矩陣。久期方程本征值為一階能量修正，本征解為0的零階本征矢3）對高階微擾使用等同于非簡并的微擾理論表達式，但求和不包括

3、D子空間中的態(tài)。簡并微擾理論應用舉例一、一階Stark效應氫原子的n相同但lm不同的態(tài)是簡并的，如2s和2p態(tài)簡并。對V=-ezE，應用簡并微擾理論，得微擾矩陣其中容易求出 ，能移與E成線性關(guān)系（一階Stark效應），源于零階波函數(shù)有偶極矩 .類似氫的原子如堿金屬, 外層電子所受勢為非純庫侖形式的中心勢。不同l 的能級分裂，l 越大能量越高。自旋軌道作用可定性地理解為：在電場中運動的電子感受到等效磁場對電子磁矩作用導致上式比實際大一倍，需用相對論性量子力學解釋。下面我們?nèi)0=p2/2m+Vc(r) ，可選基：|ls;mms或|ls;jmj 由于HLS與J2、Jz對易，選|ls;jmj為基：由于HLS在nlm下已對角化，故一級能量修正為HLS對不同 j 產(chǎn)生的能移差正比于(2l+1)和nl對Na,基態(tài)為(1s)2(2s)2(2p)6(3s),3p與3s能量不簡并，而HLS使3p1/2和3p3/2進一步分裂，使其向3s的躍遷產(chǎn)生所謂Na的兩條D線，波長為5890和5896A(黃光)由于nle2/a03，精細結(jié)構(gòu)