高中數(shù)學(xué)必修二 第六章 章末復(fù)習(xí)

1、 知識(shí)系統(tǒng)整合 規(guī)律方法收藏1本章我們學(xué)習(xí)的向量具有大小和方向兩個(gè)要素用有向線段表示向量時(shí)，與有向線段的起點(diǎn)位置沒(méi)有關(guān)系，同向且等長(zhǎng)的有向線段都表示同一向量數(shù)學(xué)中的向量指的是自由向量，根據(jù)需要可以進(jìn)行平移2共線向量條件和平面向量基本定理，揭示了共線向量和平面向量的基本結(jié)構(gòu)，它們是進(jìn)一步研究向量正交分解和用坐標(biāo)表示向量的基礎(chǔ)3向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)，當(dāng)兩個(gè)向量的夾角是銳角或零角時(shí)，它們的數(shù)量積為正數(shù)；當(dāng)兩個(gè)向量的夾角為鈍角或180角時(shí)，它們的數(shù)量積為負(fù)數(shù)；當(dāng)兩個(gè)向量的夾角是90時(shí)，它們的數(shù)量積等于0.零向量與任何向量的數(shù)量積等于0.通過(guò)向量的數(shù)量積，可以計(jì)算向量的長(zhǎng)度(模)、平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離、兩

2、個(gè)向量的夾角，判斷相應(yīng)的兩條直線是否垂直4平面向量的應(yīng)用中，用平面向量解決平面幾何問(wèn)題，要注意“三部曲”；用向量解決物理問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的要求，要根據(jù)題意結(jié)合物理意義作出圖形，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再通過(guò)向量運(yùn)算使問(wèn)題解決5正、余弦定理將三角形邊和角的關(guān)系進(jìn)行量化，為我們解三角形或求三角形的面積提供了依據(jù)，而三角形中的問(wèn)題常與向量、函數(shù)、方程及平面幾何相結(jié)合，通常可以利用正、余弦定理完成證明，求值問(wèn)題(1)解三角形與向量的交匯問(wèn)題，可以結(jié)合向量的平行、垂直、夾角、模等知識(shí)轉(zhuǎn)化求解(2)解三角形與其他知識(shí)交匯問(wèn)題，可以運(yùn)用三角形的基礎(chǔ)知識(shí)，正、余弦定理、三角形的面積公式與三角恒等變換，通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化

3、構(gòu)造方程及函數(shù)求解6學(xué)習(xí)本章要注意類比，如向量的運(yùn)算法則及運(yùn)算律可與實(shí)數(shù)相應(yīng)的運(yùn)算法則及運(yùn)算律進(jìn)行橫向類比7向量是數(shù)形結(jié)合的載體在本章學(xué)習(xí)中，一方面通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)研究向量的概念和運(yùn)算；另一方面，我們又以向量為工具，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和物理的相關(guān)問(wèn)題同時(shí)，向量的坐標(biāo)表示為我們用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題提供了可能，豐富了我們研究問(wèn)題的范圍和手段 學(xué)科思想培優(yōu)向量的線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算包含向量及其坐標(biāo)運(yùn)算的加法、減法、數(shù)乘，向量的加法遵循三角形法則和平行四邊形法則，減法可以轉(zhuǎn)化為加法進(jìn)行運(yùn)算，向量的加法滿足交換律、結(jié)合律，數(shù)乘向量滿足分配律，向量的線性運(yùn)算也叫向量的初等運(yùn)算，它們的運(yùn)算法則

4、在形式上很像實(shí)數(shù)加減法與乘法滿足的運(yùn)算法則，但在具體含義上是不同的不過(guò)由于它們?cè)谛问缴舷囝愃?，因此，?shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等變形手段在向量的線性運(yùn)算中都可以使用如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2.典例1如圖，梯形ABCD中，ABCD，點(diǎn)M，N分別是DA，BC的中點(diǎn)，且eq f(DC,AB)k，設(shè)eq o(AD,sup6()e1，eq o(AB,sup6()e2，以e1，e2為基底表示向量eq o(DC,sup6()，eq o(BC,sup6()，eq o(MN,sup6().解eq o(AB,sup

5、6()e2，且eq f(DC,AB)k，eq o(DC,sup6()keq o(AB,sup6()ke2.eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(DA,sup6()0，eq o(BC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(DA,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()eq o(AD,sup6()e1(k1)e2.又eq o(MN,sup6()eq o(NB,sup6()eq o(BA,sup6()eq o(AM,sup6()0，且eq o(NB,sup6()eq f(1,2

6、)eq o(BC,sup6()，eq o(AM,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()，eq o(MN,sup6()eq o(AM,sup6()eq o(BA,sup6()eq o(NB,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(BC,sup6()eq f(k1,2)e2.典例2已知線段AB的端點(diǎn)為A(x,5)，B(2，y)，直線AB上的點(diǎn)C(1,1)，且|Aeq o(C,sup6()|2|Beq o(C,sup6()|，求x，y的值解由|Aeq o(C,sup6()|2|Beq o(C,sup6()|

7、，可得Aeq o(C,sup6()2Beq o(C,sup6()，又Aeq o(C,sup6()(1x,15)，2Beq o(C,sup6()2(12,1y)(6,22y)，當(dāng)Aeq o(C,sup6()2Beq o(C,sup6()時(shí)，有eq blcrc (avs4alco1(1x6，,422y，)解得eq blcrc (avs4alco1(x5，,y3.)當(dāng)Aeq o(C,sup6()2eq o(BC,sup6()時(shí)，有eq blcrc (avs4alco1(1x6，,422y，)解得eq blcrc (avs4alco1(x7，,y1.)由可知eq blcrc (avs4alco1(x5

8、，,y3)或eq blcrc (avs4alco1(x7，,y1.)向量的數(shù)量積運(yùn)算向量的數(shù)量積運(yùn)算是本章的核心，由于向量數(shù)量積的運(yùn)算及其性質(zhì)涵蓋向量的長(zhǎng)度、角度以及不等式等，因此它的應(yīng)用也最為廣泛利用向量的數(shù)量積可以求長(zhǎng)度、也可判斷直線與直線之間的關(guān)系(相交的夾角以及垂直)，還可以通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算將代數(shù)中的有關(guān)函數(shù)、不等式等知識(shí)融合在一起典例3在OAB中，eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，OD是AB邊上的高，若eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()，則實(shí)數(shù)等于()Aeq f(baa,|ab|) Beq f(aba,|ab|2)Ceq f(ba

9、a,|ab|2) Deq f(aba,|ab|)解析eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()，eq o(OD,sup6()eq o(OA,sup6()(eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()，eq o(OD,sup6()eq o(OB,sup6()(1)eq o(OA,sup6()b(1)a，又eq o(OD,sup6()是AB邊上的高，eq o(OD,sup6()eq o(AB,sup6()0，即eq o(OD,sup6()(eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()0，(1)ab(ba)0.整理可得(ab)2(ab)a，即eq f(aba,|

10、ab|2).答案B典例4平面內(nèi)有向量eq o(OA,sup6()(1,7)，eq o(OB,sup6()(5,1)，eq o(OP,sup6()(2,1)，點(diǎn)M為直線OP上的一動(dòng)點(diǎn)(1)當(dāng)eq o(MA,sup6()eq o(MB,sup6()取最小值時(shí)，求eq o(OM,sup6()的坐標(biāo)；(2)在(1)的條件下，求cosAMB的值解(1)設(shè)eq o(OM,sup6()(x，y)，點(diǎn)M在直線OP上，向量eq o(OM,sup6()與eq o(OP,sup6()共線，又eq o(OP,sup6()(2,1)x1y20，即x2y.eq o(OM,sup6()(2y，y)又eq o(MA,sup6

11、()eq o(OA,sup6()eq o(OM,sup6()，eq o(OA,sup6()(1,7)，eq o(MA,sup6()(12y,7y)同理eq o(MB,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OM,sup6()(52y,1y)于是eq o(MA,sup6()eq o(MB,sup6()(12y)(52y)(7y)(1y)5y220y12.可知當(dāng)yeq f(20,25)2時(shí)，eq o(MA,sup6()eq o(MB,sup6()有最小值8，此時(shí)eq o(OM,sup6()(4,2)(2)當(dāng)eq o(OM,sup6()(4,2)，即y2時(shí)，有eq o(MA,sup6()(

12、3,5)，eq o(MB,sup6()(1，1)，|eq o(MA,sup6()|eq r(34)，|eq o(MB,sup6()|eq r(2)，eq o(MA,sup6()eq o(MB,sup6()(3)15(1)8.cosAMBeq f(o(MA,sup6()o(MB,sup6(),|o(MA,sup6()|o(MB,sup6()|)eq f(8,r(34)r(2)eq f(4r(17),17).向量的應(yīng)用向量的應(yīng)用是多方面的，但由于我們所學(xué)的知識(shí)范圍較窄，因此我們目前的應(yīng)用主要限于平面幾何以及用來(lái)探討函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)等方面，當(dāng)然還有在物理方面的應(yīng)用典例5在ABC中，eq o(AB

13、,sup6()eq o(AC,sup6()0，|eq o(AB,sup6()|12，|eq o(BC,sup6()|15，l為線段BC的垂直平分線，l與BC交于點(diǎn)D，E為l上異于D的任意一點(diǎn)(1)求eq o(AD,sup6()eq o(CB,sup6()的值；(2)判斷eq o(AE,sup6()eq o(CB,sup6()的值是否為一個(gè)常數(shù)，并說(shuō)明理由解(1)eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()0，ABAC又|eq o(AB,sup6()|12，|eq o(BC,sup6()|15，|eq o(AC,sup6()|9.由已知可得eq o(AD,sup6()eq f(1,2

14、)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，eq o(CB,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，eq o(AD,sup6()eq o(CB,sup6()eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()2eq o(AC,sup6()2)eq f(1,2)(14481)eq f(63,2).(2)eq o(AE,sup6()eq o(CB,sup6()的值為一個(gè)常數(shù)理由：l為線段BC的垂直平分線，l與BC交于點(diǎn)D，

15、E為l上異于D的任意一點(diǎn)，eq o(DE,sup6()eq o(CB,sup6()0.故eq o(AE,sup6()eq o(CB,sup6()(eq o(AD,sup6()eq o(DE,sup6()eq o(CB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(CB,sup6()eq o(DE,sup6()eq o(CB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(CB,sup6()eq f(63,2).典例6平面向量a(eq r(3)，1)，beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(r(3),2)，若存在不同時(shí)為0的實(shí)數(shù)k和t，使xa(t23)b，ykatb，

16、且xy，試求函數(shù)關(guān)系式kf(t)解由a(eq r(3)，1)，beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(r(3),2)得ab0，|a|2，|b|1，由xy，得xya(t23)b(katb)0，即ka2tabk(t23)abt(t23)b20，4kt33t0，keq f(1,4)(t33t)，即kf(t)eq f(1,4)(t33t)典例7已知ABC中，A(2,4)，B(1，2)，C(4,3)，BC邊上的高為AD(1)求證：ABAC；(2)求點(diǎn)D和向量eq o(AD,sup6()的坐標(biāo)；(3)設(shè)ABC，求cos；(4)求證：AD2BDCD解(1)證明：eq o(AB,sup6

17、()(1，2)(2,4)(3，6)，eq o(AC,sup6()(4,3)(2,4)(2，1)eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()32(6)(1)0，ABAC(2)設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則eq o(AD,sup6()(x2，y4)，eq o(BC,sup6()(5,5)ADBC，eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()5(x2)5(y4)0.又eq o(BD,sup6()(x1，y2)，而eq o(BD,sup6()與eq o(BC,sup6()共線，5(x1)5(y2)0，聯(lián)立解得xeq f(7,2)，yeq f(5,2).故D點(diǎn)坐標(biāo)為eq blc(rc

18、)(avs4alco1(f(7,2)，f(5,2).eq o(AD,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,2)2，f(5,2)4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，f(3,2).(3)coseq f(o(BA,sup6()o(BC,sup6(),|o(BA,sup6()|o(BC,sup6()|)eq f(3565,r(3262)r(5252)eq f(3r(10),10).(4)證明：eq o(AD,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，f(3,2)，eq o(BD,sup6()eq blc(rc)(avs4alco

19、1(f(9,2)，f(9,2)，eq o(DC,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，|eq o(AD,sup6()|2eq f(9,2)，|eq o(BD,sup6()|eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(9,2)2blc(rc)(avs4alco1(f(9,2)2)eq f(9r(2),2)，|eq o(DC,sup6()|eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2)eq f(r(2),2).|eq o(AD,sup6()|2|eq o(BD,sup6()|eq o

20、(DC,sup6()|，即AD2BDCD典例8在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知向量m(ac，b)與向量n(ac，ba)互相垂直(1)求角C；(2)求sinAsinB的取值范圍解(1)由已知可得，(ac)(ac)b(ba)0a2b2c2ab，cosCeq f(a2b2c2,2ab)eq f(1,2)，所以Ceq f(,3).(2)由Ceq f(,3)，得ABeq f(2,3)，sinAsinBsinAsineq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)A)sinAsineq f(2,3)cosAcoseq f(2,3)sinAeq f(3,2)sinAeq f(r(3

21、),2)cosAeq r(3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)sinAf(1,2)cosA)eq r(3)sineq blc(rc)(avs4alco1(Af(,6)，由0Aeq f(2,3)，eq f(,6)Aeq f(,6)eq f(5,6)eq f(1,2)sineq blc(rc)(avs4alco1(Af(,6)1.所以sinAsinB的取值范圍是eq blc(rc(avs4alco1(f(r(3),2)，r(3).數(shù)形結(jié)合思想向量本身既有大小，又有方向，可以用幾何法表示，而向量又有良好的運(yùn)算性質(zhì)坐標(biāo)運(yùn)算，可把向量與數(shù)聯(lián)系起來(lái)，這樣向量具備了“數(shù)”與“形”

22、的兩方面特征兩條直線平行、垂直，三點(diǎn)共線等幾何問(wèn)題，可通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算這種代數(shù)手段實(shí)現(xiàn)證明，還可利用向量的數(shù)量積處理線段的長(zhǎng)度、角度等問(wèn)題典例9已知向量a與b不共線，且|a|b|0，則下列結(jié)論正確的是()A向量ab與ab垂直B向量ab與a垂直C向量ab與a垂直D向量ab與ab共線解析如圖所示，作eq o(OA,sup6()a，eq o(OC,sup6()b，以O(shè)A和OC為鄰邊作OABC由于|a|b|0，則四邊形OABC是菱形所以必有ACOB又因?yàn)閍beq o(OB,sup6()，abeq o(CA,sup6()，所以(ab)(ab)答案A典例10已知向量eq o(OB,sup6()(2,0)

23、，向量eq o(OC,sup6()(2,2)，向量eq o(CA,sup6()(eq r(2)cos，eq r(2)sin)，則向量eq o(OA,sup6()與向量eq o(OB,sup6()的夾角的取值范圍為()Aeq blcrc(avs4alco1(0，f(,4) Beq blcrc(avs4alco1(f(,4)，f(5,12)Ceq blcrc(avs4alco1(f(5,12)，f(,2) Deq blcrc(avs4alco1(f(,12)，f(5,12)解析如圖，向量eq o(CA,sup6()的終點(diǎn)A在以點(diǎn)C(2,2)為圓心、半徑為eq r(2)的圓上，OA1，OA2是圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A1，A2.在RtOCA1