分析力學三二

1、四、地球表面的引力 人造衛(wèi)星問題：對于靠近地球表面的物體， 成立？關鍵：地球此時是否可看作質點？顯然：此時地球不能再當成質點。高斯定理 均勻球體對球外一點的力和整個球體的 “作用荷”集中在球心上時對這一點所 施的力相同。 “作用荷” ：電荷(對庫侖力)；質量(對萬有引力) 1庫侖力、萬有引力：均為平方反比力故：由高斯定理所得的結論對地球也成立。此時：地球 質量均勻分布的球體 地球與地球表面的物體可用萬有引力定律： ( ：地球的質量； ：地球的半徑)討論：2人造衛(wèi)星：飛船以什么速度環(huán)繞地球飛行成為人造衛(wèi)星？ (第一宇宙速度 )飛船以什么速度擺脫地球引力而飛入太空？ (第二宇宙速度 ) 3先求v2

2、 = ?設：初始時刻 (相切發(fā)射)末了時刻：飛船飛到無窮遠處，此時E 0。 E = 0：臨界條件由 4得求v1 = ? 此時E 0 (束縛運動)5幾何關系：a 越小，E 越小；a 的最小值：R06用E表示v1：7第三宇宙速度的計算1. 二體系統(tǒng)：太陽+衛(wèi)星(或火箭)；質心系：太陽為 質心(靜止) 衛(wèi)星的單體運動仿照第二宇宙速度的計算，有得到 衛(wèi)星逃離太陽系所應具有的最小速率8 在此，地球是當作質點(無所謂自轉)，還是當作剛體？92. 地球公轉所具有的速率=29.8(公里/秒)，衛(wèi)星逃離地 球時，只要具有對地球的速率 =12.4 (公里/秒)，就 可達到衛(wèi)星逃離太陽系所具有的最小速率。3. 對于

3、衛(wèi)星逃離地球(地球+衛(wèi)星：兩體問題)的過程， 在相對于太陽靜止的慣性系看來： 地球與衛(wèi)星之間有相互作用(內力)，此相互作用會改變地球與衛(wèi)星各自的動能、動量。具體來說，對衛(wèi)星：從相對于地球的發(fā)射速率(第三宇宙速率) 變化到12.4(公里/秒) (在太陽看來，衛(wèi)星速率的變化： 29.8 + 29.8 + 12.4=42.2)10對地球：在太陽看來，地球的速率會從29.8 (公里/秒)經歷一個微小的變化，但其動能或動量的變化可觀，可對此進行計算。 對于衛(wèi)星逃離地球的過程，在質心系 (質心系相對于上面提到的慣性系的速率：29.8公里/秒牽連速度)看來：地球與衛(wèi)星組成二體系統(tǒng)；質心為地心(地球相對于質心

4、靜止) 衛(wèi)星的單體運動 于是，在質心系中，對衛(wèi)星有以下方程11而因此 衛(wèi)星相對于地球以16.7(公里/秒)的速率出發(fā)，逃離地球時速率變?yōu)?2.4(公里/秒)，再加上地球公轉速率(29.8公里/秒)，最后得到相對于太陽的速率(42.2公里/秒)，從而可以逃逸出太陽系。12上一節(jié)：研究的問題歸納為 軌道 (有限運動) 力 (平方反比引力)具體：宏觀物體的位置隨時間變化的規(guī)律、萬有引力 定律現在：研究微觀粒子在有心場中的運動(碰撞、散射 問題)宏觀物體與微觀粒子運動的異同點1. 相同點：都遵循有心力場中運動的一般規(guī)律132. 相異點：對宏觀物體，研究碰撞問題兩個質點 先相互飛近，然后在飛開； 對微觀

5、粒子，研究散射問題平行飛來的粒子束和“靶”中的粒子碰撞而散開到不同方向上。 對單個射彈粒子和單個靶粒子是碰撞問題，對粒子束和“靶”為散射問題，即束流中不同的粒子會被同一固定的靶粒子散射到不同的方向。 這兩者之間有聯(lián)系！14散射問題關心：射彈粒子被散射到不同方向的概率 是多少？不關心：射彈粒子被散射到什么方向。1.3.4 碰撞與散射 盧瑟福公式一、瞄準距離定義：如果兩個質點從相互遠離的地方飛攏，然后再 飛開叫碰撞。15質心系： 兩個質點的質心系(質心系在此為慣性系)實驗室系：觀察兩個質點中的一個在碰撞前靜止不 動的參考系靶： 靜止不動的質點 射彈： 從遠處飛來和靶相碰的質點設：兩質點m1、m2，

6、其中 m1 射彈，m2 靶 在遠離m2處，m1勻速運動：v1，動量：p116 散射過程示意圖1 由圖：瞄準距離大，散射角小 瞄準距離小，散射角大 (為什么？)17定義：瞄準距離b v1所在直線的延長線和m2之間 的垂直距離實驗室系：碰撞前系統(tǒng)動量 碰撞后系統(tǒng)動量 與 之間的夾角散射角質心系： 碰撞前系統(tǒng)動量 碰撞后系統(tǒng)動量 與 的夾角 18質心系中： 動量守恒 能量守恒或 碰撞前后的各個動量的大小都相等 19 散射過程示意圖2 20瞄準距離b不同， 不同(或 不同)，即 它們決定于m1、m2 之間的相互作用力F(r)。二、散射截面1. 散射：用一束動量同為p1的射彈射靶。在和靶 相互作用之前，

7、射彈形成平行的束流。在和靶 相互作用后，它們以不同的角度飛開射彈 束流在靶上的散射。21 散射過程示意圖3 22 散射過程示意圖3 23 散射過程示意圖4 在此討論的散射問題具有軸對稱性 24 散射過程示意圖4 252. 微分散射面 射入 方向的立體角 中的粒子數 來自于通過靶面 上的粒子當 一定時， 與b的關系是一一對應的。設：J入射流強(單位時間內通過垂直束流運動 方向的平面上單位面積的粒子數)則： 粒子被散射到 方向的幾率又26關于 的說明(1) 幾何意義對應于立體角 的入射束截面積 面積量綱來源于J：粒子數/(單位時間單位面積)；(2) 由射彈和靶之間的相互作用決定；(3) 散射有效截

8、面。27 被散射到 方向的單位立體角中粒子 的幾率(量綱：面積量綱，來源于 )三、 粒子的散射 盧瑟福公式 散射實驗 物質的微觀結構盧瑟福：用 粒子束撞擊非常薄的金箔(厚度= ) 通過 粒子的散射實驗，盧瑟福提出原子的 有核模型。28 粒子：兩個質子 + 兩個中子，帶電：+2e 射彈靶：金屬的原子核，帶正電Ze：(Z：原子序數)庫侖力：近似處理：金屬原子核質量比 粒子質量大得多 金屬原子核靜止 (有心力場中的單體問題)比較： 和 29 以前講的有關公式可用 粒子的運動軌道： (在此： ， 不取為0)其中 30E：入射粒子的能量， ：入射粒子的角動量 (因靶靜止，所以二體系統(tǒng)能量=入射粒子能量)

9、設： 粒子遠離力心時的速度，則 (能量守恒) (角動量守恒)說明(1)軌道方程中的 為極軸和極點與軌道某一點連線 之間的夾角。粒子散射前的方向沿雙曲線的一條漸 近線，該方向正好沿著平行于極軸正方向的方向。31散射后(射彈粒子遠離靶粒子，即無窮遠處)的方向沿 角方向(雙曲線的另一漸近線)。根據散射角 的定義，此角正好為散射角。為了將軌道方程中的極角與散射角區(qū)分，在此用了兩種符號。(實際上，在無窮遠處： )(2) 積分常數 的幾何意義因為 當r最小時，有 ，于是 ， 即 為極點到雙曲線短半軸和雙曲線一支的交點的連線與極軸(z軸)反方向之間的夾角。32現在要做的事：由軌道方程 散射粒子的去向 粒子的

10、運動軌道：由 得散射前：粒子遠離靶，即散射后：粒子遠離靶，即33 的計算：滿足由散射前 得： 散射后 ，所以由即34散射后的角度 可測得，因而由上式可得 又 35 瞄準距離與散射角的關系進一步，對上式微分，得到“”：瞄準距離越大，散射角越小。物理上：b越大， 粒子離靶的距離遠，受作用較小， 36運動方向改變得小。 由瞄準距離與散射角的關系可以確定 的值，即可確定粒子被散射到什么地方。但，散射問題不是問：射彈粒子被散射到什么地方？而是問：射彈粒子被散射到不同方向的幾率是多大？ (散射問題的提法)此時要求解的是微分散射截面 3738微分散射截面的計算： 進入圓環(huán)(b,b+db)的粒子被散射到以靶為

11、中心的極角在 到 ， 在0 到 的立體角 (與 無關) 中 環(huán)帶所張的立體角，此時由 射到圓環(huán)上的粒子數為微分散射截面為39總散射截面：不管入射粒子的瞄準距離有多大，都會被散射盧瑟福公式或40推導盧瑟福公式的另一種方法已知：(1) 有心力場中，軌道的微分公式 其中： 為矢徑r與矢徑r+dr之間的夾角，dr：r的增量 (2) 對 粒子散射實驗，有 則41其中： 的值由能量守恒與角動量守恒定律確定，即42由此得到而 ，所以43由微分散射截面公式，得到上式即為盧瑟福公式。44說明：大到行星，小到原子，它們運動規(guī)律的分析都 基于有心力場 (特別是平方反比有心力場)的運 動規(guī)律。思考題：盧瑟福怎樣根據粒

12、子散射實驗提出原子的有 核模型？四、實驗室系和質心系 前面的分析：假設靶保持不動(靶質量和射彈粒子質量相差很大時)，此時，實驗室系和質心系的區(qū)別消失(實際上是單體運動)。 45一般情況：二體運動，需要考慮這兩種參考系的區(qū)別。 在碰撞過程中，動量守恒在質心系、實驗室的表示如下。質心系： 動量守恒 能量守恒46 碰撞過程中，兩個粒子的速度大小 不變，只是改變了方向。47實驗室系：已知 v1，v2 = 0 設： 第一個粒子碰后速度方向的單位矢量 (質心系中的散射方向)則質心系對實驗室系的速度為 48由 得碰前 (質心系) ：碰后(實驗室系) ： 49碰后動量： 其中 為約化質量觀察： 中均含 、 和

13、(實驗室系)50上兩式可用幾何圖形表示： 以o點為圓心， 為半徑作一個圓，水平方向：入射方向， 的方向作矢量： ， (質心系中，所在直線OC交圓于C)51顯然：AO、OB沿水平方向，且B點在圓周上。由 的表達式設： 質心系中的散射角 實驗室系中的散射角易得， 與 的關系討論：1. ：碰后的粒子可沿任意方向運動 522. ：碰后的粒子在實驗室系中的運動受限制最大散射角：有實驗室系碰前： 射彈的能量 靶粒子的能量53碰后： 靶獲得的能量由前面的圖： 越大，BC越大 越大當 時，即 (舍去0) b=0 (兩個粒子對頭相碰后原路返回)此時：能量轉移最大轉移的最大能量 54 越小，能量轉移越大解釋：核反

14、應堆中采用含輕核多的物質作中子減速劑 (中子的能量最大程度地轉移給輕核) 射彈粒子的能量全部轉移給靶粒子， 自己停下來(實驗室系)。 55五、 粒子散射實驗結果及分析 粒子的初速度：結果：多數 粒子穿進金箔 散射角 1/8000的粒子反彈回來 散射角原子模型(1) 葡萄干面包模型： 原子中正電荷均勻分布在原子球體內，電子鑲嵌在其中。原子如同西瓜，瓜瓤好比正電荷，電子如同瓜籽分布在其中。該模型還進一步假定，電子分布在分離的同心環(huán)上，每個環(huán)上的電子容量都不相同，如下圖。 5657 粒子穿進帶正電荷球體內部所受斥力大小為 當 (原子半徑)時，F的值不可能太大，這樣 不會出現大角度散射，即不會有 。 (2) 原子有核模型 由 及 ，得余切函數圖58盧瑟福的原子模型：“行星” 模型59有1/8000幾率的大角度散射： b更小 (散射角更大) 粒子打入原子中心附近區(qū)域，受到很大斥力 大部分粒子的散射角 ，說明b較大時受到 的力很小 金屬中的正電荷集中在半徑小于 的小范 圍內 (原子有核模型)說明：在計算散射截面時的假定(1)原子核前后不互相遮擋；(2) 粒子只經過一次散射60六、硬球散射見理論物理基礎教程P5253七、量子散射理論見理論物理基礎教程P48349561補充說明：物理公式 物理量是通過描述自然規(guī)律的方程式或定義新