張齊華《交換律》實(shí)錄

1、【一個例子，究竟能說明什么？師：喜歡聽故事嗎？生：喜歡。師：那就給大家講一個“朝三暮四”的故事吧。(故事略)聽完故事，想說些什么嗎？結(jié)合學(xué)生發(fā)言，教師板書：3+4=4+3。師：觀察這一等式，你有什么發(fā)現(xiàn)？生1：我發(fā)現(xiàn)，交換兩個加數(shù)的位置和不變。(教師板書這句話)師：其他同學(xué)呢？(見沒有補(bǔ)充)老師的發(fā)現(xiàn)和他很相似，但略有不同。(教師隨即出示：交換3和4的位置和不變)比較我們倆給出的結(jié)論，你想說些什么？生2：我覺得您(老師)給出的結(jié)論只代表了一個特例，但他(生1)給出的結(jié)論能代表許多情況。生3：我也同意他(生2)的觀點(diǎn)，但我覺得單就黑板上的這一個式子，就得出“交換兩個加數(shù)的位置和不變”好像不太好。

2、萬一其它兩個數(shù)相加的時候，交換它們的位置和不等呢！我還是覺得您的觀點(diǎn)更準(zhǔn)確、更科學(xué)一些。師：的確，僅憑一個特例就得出“交換兩個加數(shù)的位置和不變”這樣的結(jié)論，似乎草率了點(diǎn)。但我們不妨把這一結(jié)論當(dāng)作一個猜想(教師隨即將生1給出的結(jié)論中的“?！备臑椤?？”)。既然是猜想，那么我們還得生：驗(yàn)證。【驗(yàn)證猜想，需要怎樣的例子？】師：怎么驗(yàn)證呢？生1：我覺得可以再舉一些這樣的例子？師：怎樣的例子，能否具體說說？生1：比如再列一些加法算式，然后交換加數(shù)的位置，看看和是不是跟原來一樣。（學(xué)生普遍認(rèn)可這一想法）師：那你們覺得需要舉多少個這樣的例子呢？生2：五、六個吧。生3：至少要十個以上。生4：我覺得應(yīng)該舉無數(shù)個例

3、子才行。不然，你永遠(yuǎn)沒有說服力。萬一你沒有舉到的例子中，正好有一個加法算式，交換他們的位置和變了呢？（有人點(diǎn)頭贊同）生5：我反對！舉無數(shù)個例子是不可能的，那得舉到什么時候才好？如果每次驗(yàn)證都需要這樣的話，那我們永遠(yuǎn)都別想得到結(jié)論！師：我個人贊同你（生5）的觀點(diǎn)，但覺得他（生4）的想法也有一定道理。綜合兩人的觀點(diǎn)，我覺得是不是可以這樣，我們每人都來舉三、四個例子，全班合起來那就多了。同時大家也留心一下，看能不能找到“交換加數(shù)位置和發(fā)生變化”的情況，如果有及時告訴大家行嗎？學(xué)生一致贊同，隨后在作業(yè)紙上嘗試舉例。師：正式交流前，老師想給大家展示同學(xué)們在剛才舉例過程中出現(xiàn)的兩種不同的情況。（教師展示如

4、下兩種情況：1先寫出1223和2312，計算后，再在兩個算式之間添上“”。2不計算，直接從左往右依次寫下“12232312”。）師：比較兩種舉例的情況，想說些什么？生6：我覺得第二種情況根本不能算舉例。他連算都沒算，就直接將等號寫上去了。這叫不負(fù)責(zé)任。（生笑）生7：我覺得舉例的目的就是為了看看交換兩個加數(shù)的位置和到底等不等，但這位同學(xué)只是照樣子寫了一個等式而已，至于兩邊是不是相等，他想都沒想。這樣舉例是不對的，不能驗(yàn)證我們的猜想。（大家對生6、生7的發(fā)言表示贊同。）師：哪些同學(xué)是這樣舉例的，能舉手示意一下嗎？（幾位同學(xué)不好意思地舉起了手。）師：明白問題出在哪兒了嗎？（生點(diǎn)頭）為了驗(yàn)證猜想，舉例

5、可不能亂舉。這樣，再給你們幾位一次補(bǔ)救的機(jī)會，迅速看看你們寫出的算式，左右兩邊是不是真的相等。師：其余同學(xué)，你們舉了哪些例子，又有怎樣的發(fā)現(xiàn)？生8：我舉了三個例子，7887，2992，4774。從這些例子來看，交換兩個加數(shù)的位置和不變。生9：我也舉了三個例子，5445，30151530，200500500200。我也覺得，交換兩個加數(shù)的位置和不變。（注：事實(shí)上，選生8、生9進(jìn)行交流，是教師有意而為之。）師：兩位同學(xué)舉的例子略有不同，一個全是一位數(shù)加一位數(shù)，另一個則有一位數(shù)加一位數(shù)、二位數(shù)加兩位數(shù)、三位數(shù)加三位數(shù)。比較而言，你更欣賞誰？生10：我更欣賞第一位同學(xué)，他舉的例子很簡單，一看就明白。生

6、11：我不同意。如果舉得例子都是一位數(shù)加一位數(shù)，那么我們最多只能說，交換兩個一位數(shù)的位置和不變。至于加數(shù)是兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)等等，就不知道了。我更喜歡第二位同學(xué)的。生12：我也更喜歡第二位同學(xué)的，她舉的例子更全面。我覺得，舉例就應(yīng)該這樣，要考慮到方方面面。（多數(shù)學(xué)生表示贊同。）師：如果這樣的話，那你們覺得下面這位同學(xué)的舉例，又給了你哪些新的啟迪？教師出示作業(yè)紙：0+88+0，62121+6，1/9+4/94/91/9。生：我們在舉例時，都沒考慮到0的問題，但他考慮到了。生：他還舉到了分?jǐn)?shù)的例子，讓我明白了，不但交換兩個整數(shù)的位置和不變，交換兩個分?jǐn)?shù)的位置和也不變。師：沒錯，因?yàn)槲覀儾恢皇且?/p>

7、說明“交換兩個整數(shù)的位置和不變”，而是要說明，交換生：任意兩個加數(shù)的位置和不變。師：看來，舉例驗(yàn)證猜想，還有不少的學(xué)問?，F(xiàn)在，有了這么多例子，能得出“交換兩個加數(shù)的位置和不變”這個結(jié)論了嗎？（學(xué)生均表示認(rèn)同）有沒有誰舉例時發(fā)現(xiàn)了反面的例子，也就是交換兩個加數(shù)位置和變了？（學(xué)生搖頭）這樣看來，我們能驗(yàn)證剛才的猜想嗎？生：能。（教師重新將“？”改成“?！保⒀a(bǔ)充成為：“在加法中，交換兩個加數(shù)的位置和不變。”）師：回顧剛才的學(xué)習(xí)，除了得到這一結(jié)論外，你還有什么其它收獲？生：我發(fā)現(xiàn)，只舉一、兩個例子，是沒法驗(yàn)證某個猜想的，應(yīng)該多舉一些例子才行。生：舉的例子盡可能不要雷同，最好能把各種情況都舉到。師：從

8、“朝三暮四”的寓言中，我們得出“3+44+3”，進(jìn)而形成猜想。隨后，又通過舉例，驗(yàn)證了猜想，得到了這一規(guī)律。該給這一規(guī)律起什么名稱呢？（學(xué)生交流后，教師揭示“加法交換律”，并板書。）師：在這一規(guī)律中，變化的是兩個加數(shù)的（板書：變）生：位置。師：但不變的是生：它們的和。（板書：不變）師：原來，“變”和“不變”有時也能這樣巧妙地結(jié)合在一起?！窘Y(jié)論，是終點(diǎn)還是新的起點(diǎn)？】師：從個別特例中形成猜想，并舉例驗(yàn)證，是一種獲取結(jié)論的方法。但有時，從已有的結(jié)論中通過適當(dāng)變換、聯(lián)想，同樣可以形成新的猜想，進(jìn)而形成新的結(jié)論。比如（教師指讀剛才的結(jié)論，加法的“加”字予以重音），“在加法中，交換兩個加數(shù)的位置和不變。

9、”那么，在生1：（似有所悟）減法中，交換兩個數(shù)的位置，差會不會也不變呢？（學(xué)生中隨即有人作出回應(yīng)，“不可能，差肯定會變?！保煟翰患庇诎l(fā)表意見。這是他（生1）通過聯(lián)想給出的猜想。（教師隨即板書：“猜想一：減法中，交換兩個數(shù)的位置差不變？”）生2：同樣，乘法中，交換兩個乘數(shù)的位置積會不會也不變？（教師板書：“猜想二：乘法中，交換兩個數(shù)的位置積不變？”）生3：除法中，交換兩個數(shù)的位置商會不變嗎？（教師板書：“猜想三：除法中，交換兩個數(shù)的位置商不變？”）師：通過聯(lián)想，同學(xué)們由“加法”拓展到了減法、乘法和除法，這是一種很有價值的思考。除此以外，還能通過其它變換，形成不一樣的新猜想嗎？生4：我在想，如果

10、把加法交換律中“兩個加數(shù)”換成“三個加數(shù)”、“四個加數(shù)”或更多個加數(shù)，不知道和還會不會不變？師：這是一個與眾不同的、全新的猜想!如果猜想成立，它將大大豐富我們對“加法交換律”的認(rèn)識。(教師板書“猜想四：在加法中，交換幾個加數(shù)的位置和不變？”)現(xiàn)在，同學(xué)們又有了不少新的猜想。這些猜想對嗎？又該如何去驗(yàn)證呢？選擇你最感興趣的一個，用合適的方法試著進(jìn)行驗(yàn)證。（學(xué)生選擇猜想，舉例驗(yàn)證。教師參與，適當(dāng)時給予必要的指導(dǎo)。然后全班交流。）師：哪些同學(xué)選擇了“猜想一”，又是怎樣驗(yàn)證的？生5：我舉了兩個例子，結(jié)果發(fā)現(xiàn)862，但68卻不夠減；3/51/52/5，但1/53/5卻不夠減。所以我認(rèn)為，減法中交換兩個數(shù)

11、的位置差會變的，也就是減法中沒有交換律。師：根據(jù)他舉的例子，你們覺得他得出的結(jié)論有道理嗎？生：有。師：但老師舉的例子中，交換兩數(shù)位置，差明明沒變嘛。你看，330，交換兩數(shù)的位置后，33還是得0；還有，14141414，100100100100，這樣的例子多著呢。生6：我反對，老師您舉的例子都很特殊，如果被減數(shù)和減數(shù)不一樣，那就不行了。生7：我還有補(bǔ)充，我只舉了一個例子，2112，我就沒有繼續(xù)往下再舉例。師：哪又是為什么呢？生7：因?yàn)槲矣X得，只要有一個例子不符合猜想，那猜想肯就錯了。師：同學(xué)們怎么理解他的觀點(diǎn)。生8：（略。）生9：我突然發(fā)現(xiàn)，要想說明某個猜想是對的，我們必須舉好多例子來證明，但要

12、想說明某個猜想是錯的，只要舉出一個不符合的例子就可以了。師：瞧，多深刻的認(rèn)識！事實(shí)上，你們剛才所提到的符合猜想的例子，數(shù)學(xué)上我們就稱作“正例”，至于不符合猜想的例子，數(shù)學(xué)上我們就稱作生：反例。（有略。）師：關(guān)于其它幾個猜想，你們又有怎樣的發(fā)現(xiàn)？生10：我研究的是乘法。通過舉例，我發(fā)現(xiàn)乘法中交換兩數(shù)的位置積也不變。師：能給大家說說你舉的例子嗎？生10：5445，01001000，18121218。（另有數(shù)名同學(xué)交流自己舉的例子，都局限在整數(shù)范圍內(nèi)。）師：那你們都得出了怎樣的結(jié)論？生11：在乘法中，交換兩數(shù)的位置積不變。生12：我想補(bǔ)充。應(yīng)該是，在整數(shù)乘法中，交換兩數(shù)的位置積不變，這樣說更保險一些

13、。師：你的思考很嚴(yán)密。在目前的學(xué)習(xí)范圍內(nèi)，我們暫且先得出這樣的結(jié)論吧，等學(xué)完分?jǐn)?shù)乘法、小數(shù)乘法后，再補(bǔ)充舉些例子試試，到時候，我們再來完善這一結(jié)論，你們看行嗎？（對猜想三、四的討論略。）隨后，教師引導(dǎo)學(xué)生選擇完成教材中的部分習(xí)題（略），從正、反兩面鞏固對加法、乘法交換律的理解，并借助實(shí)際問題，溝通“交換律”與以往算法多樣化之間的聯(lián)系?！驹鯓拥氖斋@更有價值？】師：通過今天的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？生：我明白了，加法和乘法中有交換律，但卻沒有減法交換律或除法交換律。生：我發(fā)現(xiàn)，有了猜想，還需要舉許多例子來驗(yàn)證，這樣得出的結(jié)論才準(zhǔn)確。生：我還發(fā)現(xiàn)，只要能舉出一個反例，那我們就能肯定猜想是錯誤的。生：舉例

14、驗(yàn)證時，例子應(yīng)盡可能多，而且，應(yīng)盡可能舉一些特殊的例子，這樣，得出的結(jié)論才更可靠。師：只有一個例子，行嗎？生：不行，萬一遇到特殊情況就不好了。（作為補(bǔ)充，教師給學(xué)生介紹了如下故事：三位學(xué)者由倫敦去蘇格蘭參加會議，越過邊境不久，發(fā)現(xiàn)了一只黑羊。“真有意思，”天文學(xué)家說：“蘇格蘭的羊都是黑的?！薄安粚Π??！蔽锢韺W(xué)家說，“我們只能得出這樣的結(jié)論：在蘇格蘭有一些羊是黑色的?！睌?shù)學(xué)家馬上接著說：“我覺得下面的結(jié)論可能更準(zhǔn)確，那就是：在蘇格蘭，至少有一個地方，有至少一只羊，它是黑色的?！保颈匾耐卣梗鹤尳Y(jié)論增殖！】師：在本課即將結(jié)束的時候，依然有一些問題需要留給大家進(jìn)一步展開思考。（教師出示如下算式：2

15、0862068 ;60236032）師：觀察這兩組算式，你發(fā)現(xiàn)什么變化了嗎？生：我發(fā)現(xiàn)，第一組算式中，兩個減數(shù)交換了位置，第二組算式中，兩個除數(shù)也交換了位置。師：交換兩個減數(shù)或除數(shù)，結(jié)果又會怎樣？由此，你是否又可以形成新的猜想？利用本課所掌握的方法，你能通過進(jìn)一步的舉例驗(yàn)證猜想并得出結(jié)論嗎？這些結(jié)論和我們今天得出的結(jié)論有沖突嗎，又該如何去認(rèn)識？專家評析張齊華教學(xué)的交換律一課北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 曹一鳴一堂有價值的數(shù)學(xué)課，給予學(xué)生的影響應(yīng)該是多元而立體的。有知識的豐厚、技能的純熟，更有方法的領(lǐng)悟、思想的啟迪、精神的熏陶。事實(shí)上，數(shù)學(xué)的確擁有這一切，而且，也可能傳遞這一切。然而，出于對知識與技

16、能的盲目追逐，當(dāng)今數(shù)學(xué)課堂忽視了本該擁有的文化氣度和從容姿態(tài)。知識化、技巧化、功利化思想的不斷彌散，讓數(shù)學(xué)思想、方法和精神失卻了可能生長的土壤，并逐漸為數(shù)學(xué)課堂所遺忘，這不能不說是當(dāng)今眾多數(shù)學(xué)課堂的悲哀。近年來，在觀念層面的探討不少，真正落實(shí)到課堂教學(xué)實(shí)踐的卻不多。可喜的是，在張老師的這一節(jié)課中，我們看到了另一種努力，以及由此而帶來的變化。透過課堂，我們似乎觸及到了數(shù)學(xué)更為豐厚的內(nèi)涵，感受到數(shù)學(xué)教學(xué)可能呈現(xiàn)的更為開闊的景象。對于“交換律”，一貫的教學(xué)思路是：結(jié)合具體情境，得出某一具有交換律特征的實(shí)例，由此引發(fā)猜想，并借助舉例驗(yàn)證猜想、形成結(jié)論，進(jìn)而在解釋和應(yīng)用的過程中進(jìn)一步深化認(rèn)識。本課，在宏

17、觀架構(gòu)上并未作太大開拓。然而，在保持其整體架構(gòu)的基礎(chǔ)上，這一堂課在更多細(xì)節(jié)上所給予的突破卻是十分顯見。我們不妨重歷課堂，去找尋這些細(xì)節(jié)，并探尋細(xì)節(jié)背后的意蘊(yùn)所在。由“3+4=4+3”得出“交換兩數(shù)的位置，和不變”的猜想，似乎再自然不過了。然而，教師略顯突兀的介入，以“交換的位置，和不變”的細(xì)微變化，確又發(fā)人于深思。正如案例中所提及的，“一個例子究竟能說明什么”，是得出結(jié)論？還是僅僅是觸發(fā)猜想和驗(yàn)證的一根引線？這里關(guān)乎知識的習(xí)得，更關(guān)乎方法的生成，關(guān)乎學(xué)生對于如何從事數(shù)學(xué)思考的思考?！膀?yàn)證猜想，需要怎樣的例子”的探討，更是折射出了張老師獨(dú)特的教學(xué)智慧。曾經(jīng)，在太多的課堂里，我們目睹這樣的情形：學(xué)

18、生舉例三、四，教師引導(dǎo)學(xué)生匆匆過場，似乎也有觀察、也有比較、也有提煉。然而，我們卻很少琢磨：觀察也好、提煉也罷，它究竟該建立在怎樣的基石之上，再換言之，在“簡潔”和“豐富”之間，誰才是“舉例驗(yàn)證猜想”時應(yīng)該遵循的規(guī)則。張老師的嘗試與表達(dá)無疑是對傳統(tǒng)教學(xué)的一種突破?！芭e例”不應(yīng)只追求簡約，例子的多元化、特殊性恰恰是結(jié)論準(zhǔn)確和完整的前提。沒有老師適時的點(diǎn)撥與引導(dǎo)，學(xué)生如何才能有此深度體驗(yàn)？無此體驗(yàn)，我們?nèi)绾文苷f，學(xué)生已經(jīng)歷過程，并已感悟思想與方法？觸及我深思的問題還在于，是什么原因觸發(fā)了這一節(jié)課將原來的“加法交換律”置換成了“交換律”？是內(nèi)容的簡單擴(kuò)張？是教學(xué)結(jié)構(gòu)的適度調(diào)整？隨后的課堂，給了我清晰的答復(fù)?！凹臃ńY(jié)合律”只是一個觸點(diǎn)，“減法中是否也會有交換律？”“乘法、除法中呢？”等新問題，則是原有觸點(diǎn)中誕生的一個個新的生長點(diǎn)。統(tǒng)整到一起時，作為某一特定運(yùn)算的“交換律知識”被弱化了，而“交換律”本身、“變與不變”的辯證關(guān)系、“猜想實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證”的思考路線、由“此知”及“彼知”的數(shù)學(xué)聯(lián)想等卻一一獲得突顯，成為超越于知識之上的更高的數(shù)學(xué)課堂追求。這何嘗不是一種有意義、有