內(nèi)容分析微積分3

1、一、導(dǎo)數(shù)的定義3.2 導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)符號與導(dǎo)數(shù)的定義式導(dǎo)函數(shù)幾個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義三、左右導(dǎo)數(shù)四、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁一、導(dǎo)數(shù)的定義 定義3.1 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn) x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義。如果極限存在，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且稱此極限值為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記為 f (x0)，即下頁 如果上述極限不存在，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)。 導(dǎo)數(shù)的其它符號：下頁函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的其它定義式：。 例1求函數(shù)y=x2在點(diǎn)x=2處的導(dǎo)數(shù)。 解： 方法一，下頁導(dǎo)數(shù)的其它符號：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的其它定義式：。 例1求函數(shù)y=x2在點(diǎn)x=2處的導(dǎo)數(shù)

2、。 解： 方法二， 設(shè) f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)，則對于區(qū)間(a, b)內(nèi)每一點(diǎn) x，都有一個(gè)導(dǎo)數(shù)值與它對應(yīng)，這就定義了一個(gè)新的函數(shù)，稱為函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)對x的導(dǎo)函數(shù)，簡稱為導(dǎo)數(shù)，記作導(dǎo)函數(shù)： 如果函數(shù) f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)。下頁導(dǎo)函數(shù)的定義式： 例2求函數(shù)f(x)=C（C為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。 解：即 (C ) =0。 導(dǎo)函數(shù)的定義式：下頁常數(shù)的導(dǎo)數(shù)：下頁 例3 例4 解： 解：常數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (C ) =0。 冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)函數(shù)的定義式： 例5求函數(shù)f(x)=x n (n為正整數(shù))在x=a處的導(dǎo)數(shù)。 更一般地，

3、有 (x m)=m x m-1(其中m為常數(shù))。 把以上結(jié)果中的a換成x得f (x)=nxn-1，即 (xn)=nxn-1。下頁 解：常數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (C ) =0。 冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)函數(shù)的定義式： 例6求函數(shù)f(x)=x3在點(diǎn)x=1處的導(dǎo)數(shù)。 解：f (x)=(x3)=3x2， f (1)=3x2|x=1=3。下頁常數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (C ) =0。 冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)函數(shù)的定義式： 例7求函數(shù)f(x)=sin x的導(dǎo)數(shù)。=cos x。用類似地可求得 (cos x )=-sin x。即 (sin x) =cos x。下頁 解：正弦余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：常數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (C ) =0。 冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)函數(shù)的定

4、義式： 例8求對數(shù)函數(shù)y=log ax的導(dǎo)數(shù)。 解：正弦余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(sin x)=cos x，(cos x )=-sin x。常數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (C ) =0。 冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)函數(shù)的定義式：練習(xí)下頁所以f(x)在點(diǎn)x=0處連續(xù)。不存在，所以f(x)在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo)。 因?yàn)闃O限 解：首頁 函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f (x0)就曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x0, y0)處的切線的斜率。 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線的點(diǎn)斜式方程，可知曲線y=f(x)上點(diǎn)(x0, y0)處的切線方程為 y-y0=f (x0)(x-x0)。x0My=f(x)Ox y f(x0)aT 下頁二、導(dǎo)數(shù)的幾

5、何意義 函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f (x0)就曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x0, y0)處的切線的斜率。 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線的點(diǎn)斜式方程，可知曲線y=f(x)上點(diǎn)(x0, y0)處的切線方程為 y-y0=f (x0)(x-x0)。 f (1)=-1，所求切線方程為 y-1=-(x-1)，即 x+y-2=0。二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義首頁 定義3.2 設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義。三、左右導(dǎo)數(shù)為f(x)在點(diǎn)x0處的左導(dǎo)數(shù)，記作f -(x0)。 為f(x)在點(diǎn)x0處的右導(dǎo)數(shù)，記作f +(x0)。下頁 顯然，當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)在一點(diǎn)的左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等時(shí)，函數(shù)在該點(diǎn)才是可導(dǎo)的。 函數(shù)f(x)

6、在a, b上可導(dǎo)，指f(x)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)處處可導(dǎo)，且存在f -(b)及f +(a)。函數(shù)在閉區(qū)間上的可導(dǎo)性：導(dǎo)數(shù)與左右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：首頁左右導(dǎo)數(shù)： 定理3.1 如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則它在點(diǎn)x0處一定連續(xù)。 這是因?yàn)樽⒁猓?這個(gè)定理的逆定理不成立，即函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，但在點(diǎn)x0處不一定可導(dǎo)。下頁四、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 解：因?yàn)?f +(0)f -(0)， 所以函數(shù)y=|x|在x=0處不可導(dǎo)。 雖然y=|x|在x=0處不可導(dǎo)，但它在x=0處是連續(xù)的。xO y y=-x y=x下頁 例11所以f(x)在 x=0處不連續(xù)，從而f(x)在 x=0處不可導(dǎo)。 下頁在點(diǎn)x=0及x=1處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。 解：(1)因?yàn)閒(0)=-1， 而下頁在點(diǎn)x=0及x=1處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。 解：(2)