2024年重慶市中考數(shù)學(xué)試題B卷含答案

重慶市2024年初中學(xué)業(yè)水平暨高中招生考試數(shù)學(xué)試題（B卷）（全卷共三個(gè)大題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）注意事項(xiàng)：1．試題的答案書(shū)寫(xiě)在答題卡上，不得在試題卷上直接作答；2．作答前認(rèn)真閱讀答題卡上的注意事項(xiàng)；3．作圖（包括作輔助線）請(qǐng)一律用黑色2B鉛筆完成；4．考試結(jié)束，由監(jiān)考人員將試題卷和答題卡一并收回．參考公式：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為．一、選擇題：（本大題10個(gè)小題，每小題4分，共40分）在每個(gè)小題的下面，都給出了代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將答題卡上題號(hào)右側(cè)正確答案所對(duì)應(yīng)的方框涂黑．1.下列各數(shù)中最小的數(shù)是（）A. B.0 C.1 D.22.下列標(biāo)點(diǎn)符號(hào)中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.3.反比例函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是（）A. B. C. D.4.如圖，，若，則的度數(shù)為（）A B. C. D.5.若兩個(gè)相似三角形的相似比為，則這兩個(gè)三角形面積的比是（）A. B. C. D.6.估計(jì)的值應(yīng)在（）A.8和9之間 B.9和10之間 C.10和11之間 D.11和12之間7.用菱形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有2個(gè)菱形，第②個(gè)圖案中有5個(gè)菱形，第③個(gè)圖案中有8個(gè)菱形，第④個(gè)圖案中有11個(gè)菱形，…，按此規(guī)律，則第⑧個(gè)圖案中，菱形的個(gè)數(shù)是（）A.20 B.21 C.23 D.268.如圖，是的弦，交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，．若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.9.如圖，在邊長(zhǎng)為4正方形中，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，，平分．交于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)度為（）A.2 B. C. D.10.已知整式，其中自然數(shù)，為正整數(shù)，且．下列說(shuō)法：①滿足條件的整式中有5個(gè)單項(xiàng)式；②不存在任何一個(gè)，使得滿足條件的整式有且只有3個(gè)；③滿足條件的整式共有16個(gè)．其中正確個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3二、填空題：（本大題8個(gè)小題，每小題4分，共32分）請(qǐng)將每小題的答案直接填在答題卡中對(duì)應(yīng)的橫線上．11.計(jì)算：______．12.甲、乙兩人分別從A、B、C三個(gè)景區(qū)中隨機(jī)選取一個(gè)景區(qū)前往游覽，則他們恰好選擇同一景區(qū)的概率為_(kāi)_______．13.若正多邊形的一個(gè)外角是45°，則該正多邊形的邊數(shù)是_________.14.重慶在低空經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域?qū)崿F(xiàn)了新的突破．今年第一季度低空飛行航線安全運(yùn)行了200架次，預(yù)計(jì)第三季度低空飛行航線安全運(yùn)行將達(dá)到401架次．設(shè)第二、第三兩個(gè)季度安全運(yùn)行架次的平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意，可列方程為_(kāi)_______．15.如圖，在中，，，平分交于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)度為_(kāi)_______．16.若關(guān)于的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于的分式方程的解均為負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是________．17.如圖，是的直徑，是的切線，點(diǎn)為切點(diǎn)．連接交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，，，則的長(zhǎng)度是________；的長(zhǎng)度是________．18.一個(gè)各數(shù)位均不為0的四位自然數(shù)，若滿足，則稱這個(gè)四位數(shù)為“友誼數(shù)”．例如：四位數(shù)1278，∵，∴1278是“友誼數(shù)”．若是一個(gè)“友誼數(shù)”，且，則這個(gè)數(shù)為_(kāi)_______；若是一個(gè)“友誼數(shù)”，設(shè)，且是整數(shù)，則滿足條件的的最大值是________．三、解答題：（本大題8個(gè)小題，第19題8分，其余每題各10分，共78分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過(guò)程或推理步驟，畫(huà)出必要的圖形（包括輔助線），請(qǐng)將解答過(guò)程書(shū)寫(xiě)在答題卡中對(duì)應(yīng)的位置上．19.計(jì)算：（1）；（2）．20.數(shù)學(xué)文化有利于激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)興趣．某校為了解學(xué)生數(shù)學(xué)文化知識(shí)掌握的情況，從該校七、八年級(jí)學(xué)生中各隨機(jī)抽取10名學(xué)生參加了數(shù)學(xué)文化知識(shí)競(jìng)賽，并對(duì)數(shù)據(jù)（百分制）進(jìn)行整理、描述和分析（成績(jī)均不低于70分，用表示，共分三組：A．，B．，C．），下面給出了部分信息：七年級(jí)10名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．八年級(jí)10名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)?cè)贐組中的數(shù)據(jù)是：80，83，88，88．七、八年級(jí)抽取的學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)表年級(jí)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)七年級(jí)8687八年級(jí)8690根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）填空：________，________，________；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該校七、八年級(jí)中哪個(gè)年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)文化知識(shí)較好？請(qǐng)說(shuō)明理由（寫(xiě)出一條理由即可）；（3）該校七年級(jí)學(xué)生有500人，八年級(jí)學(xué)生有400人．估計(jì)該校七、八年級(jí)學(xué)生中數(shù)學(xué)文化知識(shí)為“優(yōu)秀”的總共有多少人？21.在學(xué)習(xí)了矩形與菱形的相關(guān)知識(shí)后，小明同學(xué)進(jìn)行了更深入的研究，他發(fā)現(xiàn)，過(guò)矩形的一條對(duì)角線的中點(diǎn)作這條對(duì)角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點(diǎn)和這條對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結(jié)論．根據(jù)他的想法與思路，完成以下作圖與填空：（1）如圖，在矩形中，點(diǎn)是對(duì)角線中點(diǎn)．用尺規(guī)過(guò)點(diǎn)作的垂線，分別交，于點(diǎn)，，連接，．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）（2）已知：矩形，點(diǎn)，分別在，上，經(jīng)過(guò)對(duì)角線的中點(diǎn)，且．求證：四邊形是菱形．證明：∵四邊形是矩形，∴．∴①，．∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴②．∴（AAS）．∴③．又∵，∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形．進(jìn)一步思考，如果四邊形是平行四邊形呢？請(qǐng)你模仿題中表述，寫(xiě)出你猜想的結(jié)論：④．22.某工程隊(duì)承接了老舊小區(qū)改造工程中1000平方米的外墻粉刷任務(wù)，選派甲、乙兩人分別用、兩種外墻漆各完成總粉刷任務(wù)的一半．據(jù)測(cè)算需要、兩種外墻漆各300千克，購(gòu)買外墻漆總費(fèi)用為15000元，已知種外墻漆每千克的價(jià)格比種外墻漆每千克的價(jià)格多2元．（1）求、兩種外墻漆每千克的價(jià)格各是多少元？（2）已知乙每小時(shí)粉刷外墻面積是甲每小時(shí)粉刷外墻面積的，乙完成粉刷任務(wù)所需時(shí)間比甲完成粉刷任務(wù)所需時(shí)間多5小時(shí)．問(wèn)甲每小時(shí)粉刷外墻的面積是多少平方米？23.如圖，在中，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．設(shè)的長(zhǎng)度為，點(diǎn)，的距離為，的周長(zhǎng)與的周長(zhǎng)之比為．（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出，分別關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)，的圖象；請(qǐng)分別寫(xiě)出函數(shù)，的一條性質(zhì)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫(xiě)出時(shí)的取值范圍．（近似值保留一位小數(shù)，誤差不超過(guò)）24.如圖，，，，分別是某公園四個(gè)景點(diǎn)，在的正東方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏東方向，且在的北偏西方向，千米．（參考數(shù)據(jù)：，，）（1）求的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到千米）；（2）甲、乙兩人從景點(diǎn)出發(fā)去景點(diǎn)，甲選擇的路線為：，乙選擇的路線為：．請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明誰(shuí)選擇的路線較近？25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸是直線．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)是直線下方對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，作于點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）將拋物線沿射線方向平移個(gè)單位，在取得最大值的條件下，點(diǎn)為點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，點(diǎn)為平移后的拋物線上一點(diǎn)，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．26.在中，，，過(guò)點(diǎn)作．（1）如圖1，若點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：；（2）如圖2，若點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，求證：；（3）若點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且．點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，．在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)取得最小值時(shí)，在平面內(nèi)將沿直線翻折得到，連接．在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，直接寫(xiě)出的最大值．

參考答案一、選擇題：（本大題10個(gè)小題，每小題4分，共40分）在每個(gè)小題的下面，都給出了代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將答題卡上題號(hào)右側(cè)正確答案所對(duì)應(yīng)的方框涂黑．1.【答案】A【解析】是負(fù)數(shù)，其他三個(gè)數(shù)均是非負(fù)數(shù)，故是最小的數(shù)；故選：A．2.【答案】A【解析】解：A．該標(biāo)點(diǎn)符號(hào)是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；B．該標(biāo)點(diǎn)符號(hào)不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；C．該標(biāo)點(diǎn)符號(hào)不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；D．該標(biāo)點(diǎn)符號(hào)不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：A．3.【答案】B【解析】解：解：當(dāng)時(shí)，，圖象不經(jīng)過(guò)，故A不符合要求；當(dāng)時(shí)，，圖象一定經(jīng)過(guò)，故B符合要求；當(dāng)時(shí)，，圖象不經(jīng)過(guò)，故C不符合要求；當(dāng)時(shí)，，圖象不經(jīng)過(guò)，故D不符合要求；故選：B．4.【答案】C【解析】解：如圖，∵，∴，∵，∴，故選：C．5.【答案】D【解析】解：∵兩個(gè)相似三角形的相似比為，∴這兩個(gè)三角形面積的比是，故選：D．6.【答案】C【解析】解：∵，而，∴，故答案為：C7.【答案】C【解析】解：第①個(gè)圖案中有個(gè)菱形，第②個(gè)圖案中有個(gè)菱形，第③個(gè)圖案中有個(gè)菱形，第④個(gè)圖案中有個(gè)菱形，∴第個(gè)圖案中有個(gè)菱形，∴第⑧個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)為，故選：C．8.【答案】B【解析】解：∵，∴，∵，，∴，，∴，故選：B．9.【答案】D【解析】解：∵四邊形是正方形，∴，又∵，∴，∴，∵平分，∴，又∵，∴，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，故選：D．10.【答案】D【解析】解：∵為自然數(shù)，為正整數(shù)，且，∴，當(dāng)時(shí)，則，∴，，滿足條件的整式有，當(dāng)時(shí)，則，∴，，，，滿足條件的整式有：，，，，當(dāng)時(shí)，則，∴，，，，，，滿足條件的整式有：，，，，，；當(dāng)時(shí)，則，∴，，，，滿足條件的整式有：，，，；當(dāng)時(shí)，，滿足條件的整式有：；∴滿足條件的單項(xiàng)式有：，，，，，故①符合題意；不存在任何一個(gè)，使得滿足條件的整式有且只有3個(gè)；故②符合題意；滿足條件的整式共有個(gè)．故③符合題意；故選D二、填空題：（本大題8個(gè)小題，每小題4分，共32分）請(qǐng)將每小題的答案直接填在答題卡中對(duì)應(yīng)的橫線上．11.【答案】3【解析】解：原式=2+1=3，故答案為：3．12.【答案】【解析】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下：由圖可知，共有9種等可能的情況，他們選擇同一個(gè)景點(diǎn)有3種，故他們選擇同一個(gè)景點(diǎn)的概率是：，故答案為：．13.【答案】8【解析】解：多邊形外角和是360度，正多邊形的一個(gè)外角是，即該正多邊形的邊數(shù)是8，故答案為：8．14.【答案】【解析】解：設(shè)第二、第三兩個(gè)季度安全運(yùn)行架次的平均增長(zhǎng)率為，由題意得，，故答案為：．15.【答案】2【解析】解：∵在中，，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴,故答案為：2．16.【答案】【解析】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∵不等式組的解集為，∴，∴；解分式方程得，∵關(guān)于的分式方程的解均為負(fù)整數(shù)，∴且是整數(shù)且，∴且且a是偶數(shù)，∴且且a是偶數(shù)，∴滿足題意的a的值可以為4或8，∴所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是．故答案為：．17.【答案】①.##②.##【解析】解：∵是的直徑，∴，在中，由勾股定理得，∴，∵是的切線，∴，∴，∴，在中，；如圖所示，連接，∵，∴，∵，，∴，∴，∴；故答案為：；．18.【答案】①.3456②.【解析】解：∵是一個(gè)“友誼數(shù)”，∴，又∵，∴，∴，∴這個(gè)數(shù)為；∵是一個(gè)“友誼數(shù)”，∴，∴，∴，∵是整數(shù)，∴是整數(shù)，即是整數(shù)，∴是13的倍數(shù)，∵都是不為0的正整數(shù)，且，∴，∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不滿足是13的倍數(shù)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不滿足是13的倍數(shù)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)可以滿足是13的倍數(shù)，即此時(shí)，則此時(shí)，∵要使M最大，則一定要滿足a最大，∴滿足題意的M的最大值即為；故答案為：3456；．三、解答題：（本大題8個(gè)小題，第19題8分，其余每題各10分，共78分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過(guò)程或推理步驟，畫(huà)出必要的圖形（包括輔助線），請(qǐng)將解答過(guò)程書(shū)寫(xiě)在答題卡中對(duì)應(yīng)的位置上．19.【答案】（1）（2）【解析】【小問(wèn)1詳解】解：；【小問(wèn)2詳解】解：．20.【答案】（1）88；87；40（2）八年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)文化知識(shí)較好，理由見(jiàn)解析（3）310人【解析】【小問(wèn)1詳解】解：八年級(jí)C組的人數(shù)為人，而八年級(jí)B組有4人，則把八年級(jí)10名學(xué)生的成績(jī)按照從低到高排列，處在第5名和第6名的成績(jī)分別為88分，88分，∴八年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)；∵七年級(jí)10名學(xué)生成績(jī)中，得分為87分的人數(shù)最多，∴七年級(jí)眾數(shù)；由題意得，，∴；故答案為：88；87；40；【小問(wèn)2詳解】解：八年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)文化知識(shí)較好，理由如下：∵兩個(gè)年級(jí)10名學(xué)生的平均成績(jī)相同，但是八年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)和眾數(shù)都比七年級(jí)學(xué)生成績(jī)的高，∴八年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)文化知識(shí)較好；【小問(wèn)3詳解】解：人，∴估計(jì)該校七、八年級(jí)學(xué)生中數(shù)學(xué)文化知識(shí)為“優(yōu)秀”的總共有310人．21.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）①；②；③；④四邊形是菱形【解析】【小問(wèn)1詳解】解：如圖所示，即為所求；【小問(wèn)2詳解】證明：∵四邊形是矩形，∴．∴，．∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴．∴．∴．又∵，∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形．猜想：過(guò)平行四邊形的一條對(duì)角線的中點(diǎn)作這條對(duì)角線的垂線，與平行四邊形兩邊相交的兩點(diǎn)和這條對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是菱形；證明：∵四邊形是平行四邊形，∴．∴，．∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴．∴．∴．又∵，∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形．故答案為：①；②；③；④四邊形是菱形．22.【答案】（1）種外墻漆每千克的價(jià)格為元，則種外墻漆每千克的價(jià)格為元．（2）甲每小時(shí)粉刷外墻的面積是平方米．【解析】【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)種外墻漆每千克的價(jià)格為元，則種外墻漆每千克的價(jià)格為元，∴，解得：，∴，答：種外墻漆每千克的價(jià)格為元，種外墻漆每千克的價(jià)格為元．【小問(wèn)2詳解】設(shè)甲每小時(shí)粉刷外墻面積為平方米，則乙每小時(shí)粉刷外墻面積是平方米；∴，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根且符合題意，答：甲每小時(shí)粉刷外墻的面積是平方米．23.【答案】（1）（2）函數(shù)圖象見(jiàn)解析，隨x增大而增大，隨x增大而減小（3）【解析】【小問(wèn)1詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴；【小問(wèn)2詳解】解：如圖所示，即為所求；由函數(shù)圖象可知，隨x增大而增大，隨x增大而減??；【小問(wèn)3詳解】解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)的取值范圍．24.【答案】（1）千米（2）甲選擇的路線較近【解析】【小問(wèn)1詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作于E，由題意得，，∴，在中，千米，∴千米，在中，千米，∴的長(zhǎng)度約為千米；【小問(wèn)2詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作于D，在中，千米，∴千米，在中，千米，千米，在中，，∴千米，千米，∴千米，千米，∵，∴甲選擇的路線較近．25.【答案】（1）（2）最大值為；；（3）或【解析】【小問(wèn)1詳解】解：∵拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)